8. Ideale und Faktorringe
Im letzten Kapitel haben wir Ringe eingeführt und (analog zur Theorie von Gruppen) Unterringe und Ringhomomorphismen untersucht. Es fehlen uns allerdings noch die Faktorstrukturen — d. h. wir müssen noch sehen, wie man aus einem Ring analog zu den Faktorgruppen in Kapitel6geeignete Unterstrukturen herausteilen kann. Ein Beispiel dafür haben wir bereits gesehen: In Beispiel7.4(b) hatten wir gezeigt, dassZn=Z/nZein Ring ist. In diesem Fall hatten wir also durch Herausteilen der Untergruppe (bzw. des Normalteilers)nZbereits eine Ringstruktur erhalten — insbesondere war also neben der Additiona+b:=a+bauch die Multiplikationa·b:=abwohldefiniert.
Wir wollen nun untersuchen, ob dies immer der Fall ist: Es seiR ein Ring und S eine additive Untergruppe vonR. Da(R,+)nach der Ringeigenschaft (R1) eine abelsche Gruppe ist, ist(S,+) dann nach Beispiel6.6(a) sogar ein Normalteiler von(R,+). Wir können nach Satz6.13also in jedem Fall schon einmal die Faktorgruppe (R/S,+) bilden, d. h. wir haben aufR/S bereits eine wohldefinierte (und kommutative) Addition.
Leider bedeutet dies jedoch im Allgemeinen nicht, dass wir mit der Vorschrifta·b:=abdann auch eine wohldefinierte Multiplikation aufR/S erhalten: FürR=RundS=Zist z. B. 1=2 inR/Z wegen 2−1∈Z, aber12·1=126=1=12·2 wegen 1−12∈/Z, so dass die Multiplikation von 12mit 1=2 also nicht wohldefiniert ist. DaZsogar ein Unterring vonRist, sehen wir an diesem Beispiel auch schon, dass wir Unterringe auch nicht herausteilen können.
Wir müssen an unsere herausgeteilte MengeS also andere Bedingungen stellen. Wie im Fall von Faktorgruppen geben wir auch hier die nötigen Bedingungen zunächst in Form einer Definition an und zeigen später, dass wir damit wirklich das Gewünschte erreichen.
Definition 8.1(Ideale). Eine TeilmengeIeines RingesRheißt einIdeal, wenn gilt:
(I1) 0∈I;
(I2) für allea,b∈Iista+b∈I;
(I3) für allea∈Iundx∈Rista·x∈I.
IstIein Ideal vonR, so schreiben wir dies alsIER, sofern keine Verwechslungsgefahr mit dem Be- griff des Normalteilers aus Definition6.3besteht. (Die gleiche Bezeichnung kommt daher, dass sich Ideale in Ringen analog zu Normalteilern in Untergruppen als diejenigen Teilmengen herausstellen werden, mit denen eine Faktorstruktur definiert werden kann.)
Bemerkung 8.2.
(a) Jedes IdealIeines RingesRist eine additive Untergruppe vonR: Die Eigenschaften (U1) und (U2) des Untergruppenkriteriums aus Satz3.3sind genau die Bedingungen (I2) und (I1) in Definition8.1, und die Eigenschaft (U3) folgt aus (I3) mitx=−1. Da(R,+)außerdem nach Definition eines Ringes abelsch ist, ist jedes Ideal vonRnach Beispiel6.6(a) sogar ein Normalteiler bezüglich der Addition inR.
(b) IstIein Ideal in einem RingRmit 1∈I, so folgt aus Eigenschaft (I3) von Definition8.1 mita=1 sofort x∈I für allex∈R, d. h. es ist dann bereits I=R. Da jeder Unterring die 1 enthalten muss, schließen sich Unterringe und Ideale also fast vollständig aus: Die einzige Teilmenge vonR, die gleichzeitig ein Unterring und ein Ideal vonRist, istRselbst.
Unterringe und Ideale sind in diesem Sinne also „sehr unterschiedliche“ Objekte.
Beispiel 8.3.
(a) Im RingR=ZistI=nZfürn∈Nein Ideal:
(I1) ist offensichtlich;
(I2) für zwei Zahlenkn,ln∈nZ(mitk,l∈Z) ist auchkn+ln= (k+l)n∈nZ; (I3) fürkn∈nZundx∈Z(mitk,x∈Z) ist auchkn·x= (kx)·n∈nZ.
Da jedes Ideal eines Ringes nach Bemerkung8.2(a) auch eine additive Untergruppe sein muss und diese im RingZnach Satz3.17alle von der FormnZfür einn∈Nsind, sind dies auch bereits alle Ideale vonZ. Insbesondere stimmen Untergruppen und Ideale im RingZ also überein. Dies ist aber nicht in jedem Ring so: So ist z. B.Zeine additive Untergruppe vonQ, aber nach Bemerkung8.2(b) kein Ideal (denn es ist ja 1∈Z, aberZ6=Q).
(b) In einem RingRsind{0}undRoffensichtlich stets Ideale vonR. Sie werden dietrivialen IdealevonRgenannt.
(c) IstKein Körper, so sind die trivialen Ideale{0}undK aus (b) bereits die einzigen Ideale von K: Enthält ein Ideal IEK nämlich ein beliebiges Elementa6=0, so enthält es nach Eigenschaft (I3) auch 1=a·a−1und ist nach Bemerkung8.2(b) damit gleichK.
09
Wir hatten schon erwähnt, dass Ideale in Ringen in gewissem Sinne analog zu Normalteilern in Gruppen sind. Da Kerne von Gruppenhomomorphismen nach Lemma6.7Normalteiler sind, ist es daher nicht weiter erstaunlich, dass Kerne von Ringhomomorphismen Ideale sind:
Lemma 8.4. Ist f:R→S ein Ringhomomorphismus, so istKerf ein Ideal von R.
Beweis. Wir prüfen die Idealeigenschaften nach:
(I1) Es ist f(0) =0 nach Bemerkung7.26und damit 0∈Kerf.
(I2) Füra,b∈Kerf ist f(a+b) =f(a) +f(b) =0+0=0 und damita+b∈Kerf.
(I3) Füra∈Kerf undx∈Rist f(ax) = f(a)f(x) =0·f(x) =0 und damitax∈Kerf. Als wir Untergruppen in Kapitel3 untersucht haben, haben wir gesehen, dass man zu jeder Teil- mengeMeiner Gruppe Geine davon erzeugte UntergruppehMikonstruieren kann, die man sich vorstellen kann als die „kleinste Untergruppe vonG, dieMenthält“. Wir hatten diese vonMerzeugte Untergruppe zwar elegant, aber recht abstrakt definiert als Durchschnitt aller Untergruppen, dieM enthalten (siehe Definition3.11). Später hatten wir in Aufgabe3.14dann eine Darstellung fürhMi gesehen, die zwar explizit war, aber dennoch so kompliziert, dass sie insbesondere für nicht-abelsche Gruppen meistens nicht wirklich zur Berechnung vonhMigeeignet ist.
Auch für Ideale gibt es eine ähnliche Konstruktion, mit der man einer TeilmengeM eines Ringes Rein „kleinstes Ideal, dasMenthält“ zuordnen kann. Man könnte dies analog zum Fall von Unter- gruppen als Schnitt über alle Ideale definieren, dieMenthalten (siehe Aufgabe8.7) — im Fall von Idealen ist jedoch die zu Aufgabe3.14analoge explizite Formel so einfach und nützlich, dass wir sie hier als Definition verwenden wollen.
Definition 8.5(Erzeugte Ideale). Es seiMeine beliebige Teilmenge eines RingesR. Dann heißt hMi:={a1x1+· · ·+anxn:n∈N;a1, . . . ,an∈M;x1, . . . ,xn∈R},
das vonMerzeugte Ideal. Man sagt auch, dasshMiaus den endlichenLinearkombinationenvon Elementen ausMmit Koeffizienten inRbesteht.
IstM={a1, . . . ,an}eine endliche Menge, so schreibt man statthMi=h {a1, . . . ,an} iin der Regel auchha1, . . . ,ani.
Beachte, dass wir wegen der Analogie der Konstruktion hier die gleiche Bezeichnung wie für die vonM erzeugte Untergruppe in Definition3.11verwendet haben — genauso wie wir das Symbol
„≤“ sowohl für Untergruppen als auch Unterringe benutzt haben. Falls eine Verwechslungsgefahr besteht, ist für das vonM erzeugte Ideal in der Literatur statthMioft auch die Bezeichnung(M) oderhMiRüblich.
Bevor wir Beispiele dieser Konstruktion betrachten, sollten wir uns zunächst davon überzeugen, dass hMiwirklich ein Ideal ist, und in der Tat auch interpretiert werden kann als das kleinste Ideal, das Menthält. Wir zeigen dazu fürhMidie zu Lemma3.12analogen Eigenschaften.
Lemma 8.6. Für jede Teilmenge M eines Ringes R gilt:
(a) hMiist ein Ideal, das M enthält.
(b) Ist I ein beliebiges Ideal, das M enthält, so gilt bereitshMi ⊂I.
hMiist damit also das kleinste Ideal, das M enthält.
Beweis.
(a) hMierfüllt (I1), da in Definition8.5auch n=0 erlaubt ist und damit die leere Summe, also 0, inhMienthalten ist. Die Eigenschaft (I2) ist offensichtlich. Für (I3) seiena∈ hMi undx∈R, alsoa=a1x1+· · ·+anxnfür gewissen∈N,a1, . . . ,an∈Mundx1, . . . ,xn∈R.
Dann ist auchax=a1(xx1) +· · ·+an(xxn)∈ hMi. Also isthMiein Ideal. Weiterhin istM natürlich inhMienthalten, denn füra∈Mista=a·1∈ hMi.
(b) Es seienn∈N,a1, . . . ,an∈M undx1, . . . ,xn∈R. IstI ein beliebiges Ideal mitM⊂I, so enthältI alsoa1x1, . . . ,anxn nach Eigenschaft (I3), und damit aucha1x1+· · ·+anxnnach
(I2) (bzw. nach (I1) im Falln=0). Also gilthMi ⊂I.
Aufgabe 8.7. Es sei M eine Teilmenge eines RingesR. Zeige, dass für das vonM erzeugte Ideal hMidie Formel
hMi= \
IER mitI⊃M
I
gilt, also die analoge Formel zu unserer Definition3.11für die von einer Teilmenge einer Gruppe erzeugte Untergruppe.
Beispiel 8.8.
(a) Besteht die MengeMin Definition8.5nur aus einem Elementa, so ist offensichtlich hai={ax:x∈R}
die „Menge aller Vielfachen vona“. Insbesondere gilt inR=Zalso fürn∈N hni={nx:x∈Z}=nZ,
d. h. hier stimmt das von einem Element erzeugte Ideal mit der von ihm erzeugten Unter- gruppe in Beispiel3.13(a) überein.
(b) Im RingR=Z×Zist das vom Element(2,2)erzeugte Ideal
h(2,2)i={(2,2)·(m,n):m,n∈Z}={(2m,2n):m,n∈Z},
während die von diesem Element erzeugte (additive) Untergruppe nach Beispiel 3.13(a) gleich
{n·(2,2):n∈Z}={(2n,2n):n∈Z} ist.
(c) Wir wissen aus Beispiel8.3(c) bereits, dass ein Körper nur die beiden trivialen Ideale besitzt.
In der Tat gilt hiervon auch die Umkehrung: IstR6={0} ein Ring, in dem{0}und Rdie einzigen Ideale sind, so muss von jedem Elementa6=0 das erzeugte Idealhaibereits gleich Rsein und damit insbesondere die Eins enthalten. Nach (a) ist dann aberax=1 für einx∈R, d. h.aist invertierbar. Also istRdann ein Körper.
Aufgabe 8.9. IstIein Ideal in einem RingR, so heißt
√
I:={a∈R:an∈Ifür einn∈N} ⊂R dasRadikalvonI.
(a) Zeige, dass√
Iwieder ein Ideal vonRist.
(b) Man zeige: Ista∈p
h0i, so ist 1+aeine Einheit inR.
(c) Berechne das Ideal√
180ZinZ.
Wie bereits angekündigt sind Ideale in Ringen besonders deswegen interessant, weil man mit ihnen analog zu Satz6.13Faktorstrukturen definieren kann. Dies wollen wir jetzt zeigen. Ist dazu zunächst einmalIeine additive Untergruppe in einem RingR, so können wir in jedem Fall die zugehörige FaktorgruppeR/I bilden, d. h. es istx=x+I für x∈R(siehe Lemma5.6(b)) undx=yinR/I genau dann, wenny−x∈I(siehe Bemerkung5.7(a)). IstIzusätzlich ein Ideal, so lässt sich auch die Multiplikation wohldefiniert vonRaufR/Iübertragen:
Satz 8.10(Faktorringe). Es sei IER ein Ideal in einem Ring R. Dann gilt:
(a) Auf der Menge R/I ist neben der Addition auch die Multiplikation x·y:=x·y wohldefiniert und macht R/I zu einem Ring.
(b) Die Restklassenabbildungπ:R→R/I,x7→x ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kern I.
Analog zum Fall von Gruppen wird R/I als einFaktorringvon R bezeichnet.
Beweis.
(a) Die Multiplikation ist wohldefiniert: Es seienx,x0,y,y0∈Rmitx=x0undy=y0, d. h. es ist x0=x+aundy0=y+bfür gewissea,b∈I. Dann gilt
x0y0= (x+a)(y+b) =xy+ay+bx+ab
| {z }
∈I
,
wobei die Summe der letzten drei Terme inIliegt, weil jeder einen Faktor ausI(nämlicha oderb) enthält und Ideale bezüglich Summen sowie Produkten mit beliebigen Ringelemen- ten abgeschlossen sind. Also istxy=x0y0inR/I.
Analog zu Satz6.13(a) übertragen sich nun die Ringeigenschaften aus Definition7.1sofort vonRaufR/I. Wir zeigen exemplarisch die Distributivität (R3): Für allex,y,z∈Rgilt
x+y
·z=x+y·z= (x+y)z (∗)= xz+yz=xz+yz=x·z+y·z,
wobei (∗) die Distributivität inRist und alle anderen Gleichungen einfach nur die Definitio- nen der Verknüpfungen aufR/Isind.
(b) Wir wissen aus Satz 6.13(b) bereits, dass die Restklassenabbildung π ein surjektiver ad- ditiver Gruppenhomomorphismus mit KernI ist. Weiterhin istπ(1) =1 das multiplikative neutrale Element des Faktorringes, und es gilt
π(x·y) =x·y=x·y=π(x)·π(y)
für allex,y∈R. Also istπsogar ein Ringhomomorphismus.
Beispiel 8.11. DanZnach Beispiel8.3(a) ein Ideal inZist, istZn=Z/nZnach Satz8.10ein Ring
— wie wir vorher schon in Beispiel7.4(b) gesehen hatten.
Zum Abschluss dieses Kapitels wollen wir schließlich noch den Homomorphiesatz, den wir in Satz 6.17für Gruppen gesehen hatten, auf den Fall von Ringen übertragen. Mit unseren Vorbereitungen verläuft diese Übertragung nun genau wie erwartet:
Satz 8.12(Homomorphiesatzfür Ringe). Es sei f:R→S ein Ringhomomorphismus. Dann ist die Abbildung
g:R/Kerf →Imf x7→ f(x)
zwischen dem Faktorring R/Kerf von R und dem UnterringImf von S ein Ringisomorphismus.
Beweis. Da Kerf nach Lemma8.4ein Ideal vonRist, können wir den FaktorringR/Kerf bilden.
Wenden wir weiterhin den Homomorphiesatz6.17für Gruppen auf den zugehörigen Gruppenhomo- morphismus f:(R,+)→(S,+)an, so sehen wir, dassgwohldefiniert, mit der Addition verträglich und bijektiv ist. Außerdem istgauch mit der Multiplikation verträglich: Für allex,y∈R/Kerf ist
g(x·y) =g(xy) =f(xy) = f(x)f(y) =g(x)·g(y).
Wegen f(1) =1 gilt schließlich auchg(1) =f(1) =1, und damit istgein Ringisomorphismus.
Aufgabe 8.13. Es seienRein Integritätsring unda,b∈R\{0}keine Einheiten.
Man zeige: Istaein Nullteiler inR/hbi, so istbein Nullteiler inR/hai.
Aufgabe 8.14. In einem RingRheißt ein Elemente∈Ridempotent, wenne2=e.
Offensichtlich sind 0 und 1 stets idempotent. Man zeige nun:
(a) IstR=S×T ein nicht-triviales Produkt von zwei Ringen (d. h.SundT sind beide nicht der Nullring), so besitztRein idempotentes Elemente∈ {0,1}./
(b) Besitzt umgekehrt Rein idempotentes Element e∈ {0,1}, so ist/ R∼=R/hei ×R/h1−ei isomorph zu einem nicht-trivialen Produkt von zwei Ringen.
IstZ8bzw.Z12isomorph zu einem nicht-trivialen Produkt von zwei Ringen?
