Physik-Praktikum: Versuche mit dem mathematischen Pendel

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Fachbereich IuM, Physik-Labor I WiSe 21/22

Physik-Praktikum:

Versuche mit dem mathematischen Pendel

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis ... I

1 Einleitung ... 1

2 Physikalische Grundlagen ... 1

3 Versuchsaufbau ... 3

4 Versuchsdurchführung ... 4

5 Versuchsauswertung ... 4

Literaturverzeichnis ... 6

A Größtfehlerbetrachtung der Periodendauer 𝑻𝑻_𝟎𝟎 ... 6

B Größtfehlerbetrachtung der Schwerebeschleunigung g ... 6

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: (a) reales und (b) mathematisches Pendel. ... 1

Abbildung 2: Kräfte auf eine Pendelmasse. ... 1

Abbildung 3: Bestandteile des Versuchsaufbaus. ... 3

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Fachbereich IuM, Physik-Labor 1 WiSe 21/22

1 Einleitung

Dieser einführende Versuch soll Sie mit verschiedenen Methoden zur Auswertung von Messdaten, der Ab- schätzung von Messungenauigkeiten, der Fehlerrechnung und der Ergebnisdarstellung mit Angabe der Unsi- cherheit vertraut machen.

Dabei wird die harmonische Schwingung am Fadenpendel untersucht und insbesondere die Formel für die Schwingungsdauer

𝑇𝑇₀= 2𝜋𝜋 ∙ �𝐿𝐿

𝑔𝑔 (1)

verifiziert. Die Formel setzt die Periodendauer 𝑇𝑇₀, die Länge 𝐿𝐿 des Pendels und die Erdbeschleunigung 𝑔𝑔 in Beziehung.

2 Physikalische Grundlagen

(a) (b)

Abbildung 1: (a) reales und (b) mathemati- sches Pendel.

Ein Pendel besteht aus einer Masse 𝑚𝑚, die an einem Faden der Länge 𝐿𝐿 hängt (vgl. Abbildung 1(a)). Das sogenannte mathematische Pendel (Abb. 1(b)) ist eine Idealisierung zur theoretischen Behandlung der Bewe- gung eines realen Pendels. Folgende vereinfachende Annahmen werden zur Idealisierung gemacht:

• Der Faden wird als masselos betrachtet.

• Die Masse 𝑚𝑚 hat keine räumliche Ausdeh- nung, somit ist 𝑚𝑚 eine Punktmasse am Ort des Schwerpunkts der realen Masse.

• Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.

Wird das Pendel aus seiner vertikalen Ruhelage ausgelenkt und dann losgelassen, bewegt sich die Pen- delmasse periodisch auf einem Kreisbogen um den Aufhängepunkt. Ursache für die Pendelbewegung ist die zur Ruhelage (𝜃𝜃= 0°) gerichtete rücktrei- bende Kraftkomponente 𝐹𝐹⃗_{𝐺𝐺,𝑡𝑡} der immer senkrecht nach unten wirkenden Gewichtskraft 𝐹𝐹⃗_𝐺𝐺 =𝑚𝑚 ∙ 𝑔𝑔⃗.

Zum besseren Verständnis betrachten Sie Abbil- dung 2. Die vektorielle Gewichtskraft 𝐹𝐹⃗_𝐺𝐺 kann in zwei Komponenten zerlegt werden:

• eine in Richtung der Bahnbewegung weisende

tangentiale Komponente 𝐹𝐹⃗_{𝐺𝐺,𝑡𝑡} Abbildung 2: Kräfte auf eine Pendelmasse.

• und eine dazu senkrechte Komponente 𝐹𝐹⃗_{𝐺𝐺,𝑛𝑛}, die längs des Pendelfadens wirkt und die Pendelmasse von der Aufhängung wegzieht.

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Die Komponente 𝐹𝐹⃗_{𝐺𝐺,𝑛𝑛} wird zu allen Zeiten kompensiert durch die Zugkraft 𝐹𝐹⃗_𝑍𝑍 im Faden, die als Zentripetalkraft die Pendelmasse auf ihrer Kreisbahn hält. Somit ist nur die Tangentialkomponente 𝐹𝐹⃗𝐺𝐺,𝑡𝑡 der senkrecht wirkenden Gewichtskraft 𝐹𝐹⃗_𝐺𝐺 für die Bewegung der Masse auf der kreisförmigen Pendelbahn verantwortlich.

Allgemein gilt: ändert sich der Bewegungszustand eines Körpers, erfährt er eine Beschleunigung. Newton hat den Zusammenhang zwischen der Beschleunigung 𝑎𝑎⃗ eines Körpers und der Wirkung einer Kraft 𝐹𝐹⃗ in seinem zweiten Axiom formuliert [1]:

Die Beschleunigung eines Körpers ist direkt proportional zu der auf ihn wirkenden Gesamtkraft, wobei die Pro- portionalitätskonstante der Kehrwert der Masse ist. Somit gilt:

𝑎𝑎⃗= 1

𝑚𝑚 ∙ 𝐹𝐹⃗ (2)

Da 𝐹𝐹⃗𝐺𝐺,𝑡𝑡 immer in Richtung der Ruhelage des Pendels zeigt, handelt es sich hierbei um eine sogenannte Rück- stellkraft. Der Betrag dieser Rückstellkraft steigt mit dem Auslenkungswinkel 𝜃𝜃. Das mathematische Pendel besitzt effektiv nur einen Freiheitsgrad (in Tangentialrichtung), daher genügt im Folgenden eine skalare Glei- chung zur Beschreibung der Bewegung. Es gilt in diesem Fall:

𝐹𝐹_{𝐺𝐺,𝑡𝑡}(𝑡𝑡) =− 𝑚𝑚 ⋅ 𝑔𝑔 ⋅sin(𝜃𝜃(𝑡𝑡)) =𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎_𝑡𝑡 (3)

Verwendet man noch die Beziehung 𝑠𝑠=𝐿𝐿 ∙ 𝜃𝜃 zwischen der Bogenlänge 𝑠𝑠 und dem Winkel 𝜃𝜃, folgt daraus die Bewegungsgleichung für das mathematische Pendel:

𝑑𝑑²𝜃𝜃(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡² =−𝑔𝑔

𝐿𝐿 sin�𝜃𝜃(𝑡𝑡)� (4)

Für kleine Auslenkwinkel gilt näherungsweise sin(𝜃𝜃)≈ 𝜃𝜃, und diese Differentialgleichung wird somit linear.

Sie hat dann eine einfache periodische Bewegung als Lösung: eine harmonische Schwingung. Die zeitliche Funktion des Winkels ist gegeben durch:

𝜃𝜃(𝑡𝑡) =𝜃𝜃0∙sin�2𝜋𝜋

𝑇𝑇0 ∙ 𝑡𝑡+𝜑𝜑0� (5)

mit einer Periodendauer

𝑇𝑇₀= 2𝜋𝜋 ∙ �𝐿𝐿

𝑔𝑔 (6)

(Eine genauere Behandlung der Bewegungsgleichung einer Schwingung folgt im Modul „Physik 2“.)

Durch eine Messung der Periodendauer 𝑇𝑇₀ bei einer vorgegebenen Pendellänge 𝐿𝐿 lässt sich folglich die Schwerebeschleunigung 𝑔𝑔 mit dem mathematischen Pendel experimentell bestimmen.

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3 Versuchsaufbau

Abbildung 3 zeigt, welche Komponenten am Messplatz vorhanden sind:

• eine vertikal verschiebbare Schneide zur Einstellung der Pendellängen 𝐿𝐿_𝑖𝑖,

• ein vertikaler Maßstab mit mm-Teilung und Verschiebereiter zur Bestimmung der Pendellängen 𝐿𝐿_𝑖𝑖,

• eine analoge Stoppuhr zur Zeitmessung,

• eine Wasserwaage, um vertikale und horizontale Einstellungen überprüfen zu können,

• und ein Messschieber ("Schiebelehre" mit Noniusablesehilfe).

Falls Sie die Funktion eines Nonius nicht kennen, machen Sie sich bitte mit der Funktion einer Nonius-Ablesung durch eigene Recherche in Praktikumsbüchern vertraut.

Abbildung 3: Bestandteile des Versuchsaufbaus. An einer Halterung ist an einem dünnen Faden ein Pendel- körper befestigt. Mit Hilfe der Schneide kann die Pendellänge eingestellt werden, die mit dem Maßstab gemessen werden kann.

Verschiebbare Schneide Maßstab

𝐿𝐿_𝑖𝑖

Stoppuhr Wasserwaage

Messschieber

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4 Versuchsdurchführung

Messen Sie den Durchmesser der Kugel mit der Schieblehre und berechnen Sie daraus den Radius der Kugel.

Dieser Radius wird anschließend verwendet, um die Pendellänge 𝐿𝐿 (Abstand zwischen Aufhängepunkt und Schwerpunkt der Masse) korrekt zu bestimmen.

In diesem Versuch werden für jede Pendellänge 𝐿𝐿_𝑖𝑖 drei unterschiedliche Messzeiten 𝑡𝑡_mess betrachtet. Das Messen mehrerer Schwingungsperioden ist sinnvoll, um die Periodendauer 𝑇𝑇0 genauer zu ermitteln (warum?).

Stoppen Sie für vier verschiedene Pendellängen 𝐿𝐿𝑖𝑖 jeweils die Zeiten für 5, 20 und 40 Schwingungsperioden (Messzeiten 𝑡𝑡_mess = 5∙ 𝑇𝑇₀, 20∙ 𝑇𝑇₀ und 40∙ 𝑇𝑇₀).

Hierfür wird der Pendelkörper anfangs aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, festgehalten und dann losgelassen. Achten Sie bei der Auslenkung des Pendels darauf, dass der Auslenkwinkel 𝜃𝜃 nicht viel größer als 10°

ist, da sonst die „Kleinwinkelnäherung“ sin(𝜃𝜃)≈ 𝜃𝜃 nicht gilt.

5 Versuchsauswertung

1. Bestimmung der Periodendauer 𝑻𝑻_𝟎𝟎

a. Berechnen Sie für die vier Pendellängen die jeweiligen Periodendauern 𝑇𝑇₀ aus Ihren Messwerten, d.h.

also 𝑇𝑇_0;5, 𝑇𝑇_0;20 und 𝑇𝑇_0;40. Denken Sie daran, dass Sie zunächst noch nicht wissen, wie genau Sie die Periodendauern angeben müssen. Verwenden Sie zur Sicherheit eine Rechengenauigkeit von jeweils sechs Nachkommastellen.

b. Welchen Einfluss hat die Messdauer auf die Ergebnisunsicherheit?

Überlegen Sie dazu, welche Messunsicherheit ∆𝑡𝑡mess Sie bei der Zeitmessung haben, und führen Sie eine Größtfehlerbetrachtung für jede Länge zu den Ergebnissen der drei unterschiedlichen Messzeiten durch (vgl. Anhang A).

2. Bestimmung der Schwerebeschleunigung 𝒈𝒈 aus den vorigen Messungen mit statistischer Auswertung Bestimmen Sie 𝑔𝑔 unter Verwendung aller Ihrer Messwerte. Berechnen Sie also mit diesen 12 Werten:

• den Mittelwert 𝑔𝑔̅ für die Schwerebeschleunigung,

• die dazugehörende Standardabweichung der Messwerte 𝜎𝜎_𝑛𝑛−1 und

• die dazugehörende Standardabweichung des Mittelwertes 𝜎𝜎_𝑥𝑥̅.

Geben Sie ein sinnvoll gerundetes Endergebnis für 𝑔𝑔 mit Angabe der Unsicherheit ∆𝑔𝑔 an.

3. Graphische Bestimmung der Schwerebeschleunigung 𝒈𝒈 aus den vorigen Messungen

a. Stellen Sie Ihre Ergebnisse aus Teil 1 graphisch dar, wobei Sie 𝑇𝑇₀² als Ordinate und 𝐿𝐿 als Abszisse auf- tragen. (Bitte mm-Papier am Versuchstag mitbringen!) Was stellen Sie fest?

b. Bestimmen Sie 𝑔𝑔 auch aus der graphischen Darstellung.

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Fachbereich IuM, Physik-Labor 5 WiSe 21/22 4. Bestimmung der Schwerebeschleunigung 𝒈𝒈 aus Einzelmessungen mit Angabe des Größtfehlers

a. Da 𝑔𝑔 aus den Messwerten 𝑇𝑇0 und 𝐿𝐿 errechnet und selbst nicht direkt gemessen wird, ist es bei Einzel- messungen notwendig, eine Fehlerfortpflanzungsbetrachtung durchzuführen, um einen Größtfehler angeben zu können (vgl. Anhang B).

- Schätzen Sie die Messunsicherheit ∆𝐿𝐿 bei der Längenmessung ab.

- Welcher der Messfehler für die beiden Messgrößen (Pendellänge 𝐿𝐿 und Periodendauer 𝑇𝑇₀) lässt sich durch Erhöhung der Anzahl der gemessenen Perioden verkleinern?

- Welches ist somit der letztlich bestimmende Fehler aus der Messung?

b. Geben Sie gerundete Endergebnisse für 6 Einzelmessungen von 𝑔𝑔 an – je drei Messungen zur größten und kleinsten Pendellänge.

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Literaturverzeichnis

[1] P. A. Tipler und G. Mosca, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, 7. Aufl., Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum, 2015. doi: https://doi.org/10.1007/978-3-642-54166-7.

A Größtfehlerbetrachtung der Periodendauer 𝑻𝑻

_𝟎𝟎

𝑇𝑇0 =𝑇𝑇0(𝑡𝑡_mess,𝑁𝑁) =𝑡𝑡_mess

𝑁𝑁 →

∆𝑇𝑇₀=� 𝜕𝜕𝑇𝑇0

𝜕𝜕𝑡𝑡_mess∙ ∆𝑡𝑡_mess�

𝑁𝑁=konst.+�𝜕𝜕𝑇𝑇0

𝜕𝜕𝑁𝑁 ∙ ∆𝑁𝑁�

𝑡𝑡mess=konst.

(7a) (7b) Unter der Annahme, dass Sie sich nicht verzählen (∆𝑁𝑁= 0), bleibt nur der erste Term und die Frage nach dem Messfehler ∆𝑡𝑡_mess, der hier die Ungenauigkeit Ihrer persönlichen Zeitmessung ist. ∆𝑡𝑡_mess ist nicht abhängig von der Messzeit. Dieser Messfehler muss von Ihnen selbst abgeschätzt werden und besteht aus der Summe der Reaktionszeiten und der Ableseungenauigkeit!

Schließlich folgt für den absoluten Fehler der Periodendauer:

∆𝑇𝑇₀=� 𝜕𝜕𝑇𝑇₀

𝜕𝜕𝑡𝑡mess∙ ∆𝑡𝑡_mess�

𝑁𝑁=konst.

. (8)

B Größtfehlerbetrachtung der Schwerebeschleunigung 𝒈𝒈

𝑇𝑇0= 2𝜋𝜋 ∙ �𝐿𝐿

𝑔𝑔 → 𝑔𝑔=𝑔𝑔(𝐿𝐿,𝑇𝑇0) =4𝜋𝜋²∙ 𝐿𝐿

𝑇𝑇₀² (9)

∆𝑔𝑔=�𝜕𝜕𝑔𝑔

𝜕𝜕𝐿𝐿 ∙ ∆𝐿𝐿�

𝑇𝑇0=konst.+�𝜕𝜕𝑔𝑔

𝜕𝜕𝑇𝑇₀∙ ∆𝑇𝑇₀�

𝐿𝐿=konst. (10)