Dämpfung von kohärenten Schwingungen. von. A. Wrulich

Interner Bericht DESY Hl-72/1 Februar 1972

Dämpfung von kohärenten Schwingungen

von

A. Wrulich

A.) Einleitung

B . ) Theorie

I. ) Kohärente Betatronschwingungen 1. ) Feldkonfiguration

2. ) Teilchendynamik 3. ) Dispersionsrelation

a) Homogener Strahl

b) Gebunchter Strahl mit Synchrotronschwingung

II. ) Kohärente Synchrotronschwingungen

C . ) Ergebnisse I . ) Dekremente

I I . )Plattenanordnungen

D.) Zusammenfassung

1

A.) Einleitung

Durch die Wechselwirkung des Teilchenstrahls mit Elementen der Vakuumkammer kann es zu kohärenten Effekten kommen. Die Auslegung der Ionenabsaugplatten bietet eine Möglichkeit kohärente Instabilitäten zu unterdrücken.

Entlang den Platten breiten sich Wellen aus, die mit dem Strahl widerwirken.

Insbesondere kann zwischen Strahl und Welle ein Energieaustausch erfolgen, der zu einer Dämpfung oder Anregung der kohärenten Strahlschwingung führt.

In der vorliegenden Arbeit sollen die Möglichkeiten einer Dämpfung untersucht werden. Abschnitt B) bringt eine kurze Zusammenfassung der Theorie. Darin behandelt Teil I.) die kohärenten Betatronschwingungen. Es wird das elektro­

magnetische Feld beschrieben, das durch kleine transversale Auslenkungen der Teilchen induziert wird und die Teilchendynamik im Phasenraum behandelt.

Feldgleichungen und Liouvillegleichung bilden ein selbstkonsistentes System zur Lösung des Problems. Teil II.) behandelt in analoger Weise die Dämpfung von kohärenten Synchrotronschwingungen. Mit dem Abschnitt C werden relevante Plattenanordnungen diskutiert und eine mögliche Anordnung für DORIS sngedeutet.

Folgende Annahmen liegen den Betrachtungen zugrunde:

1. Die Platten bestehen aus einem Material mit idealer Leitfähigkeit.

2. Die Platten sollen zur Vermeidung von Reflexion mit dem Wellenwiderstand belastet werden.

3. Der Frequenzpread wird nicht berücksichtigt.

4. Es werden nur Anregungen kleiner Frequenz betrachtet, so daß lediglich die Ausbreitung des TEM-Modes (=Hauptwelle) angenommen werden kann.

Abweichungen von diesen vereinfachenden Annahmen sollen den Gegenstand weiterer Untersuchungen darstellen.

2

B Q Theorie

I.) Kohärente Betatronschwingungen 1.) Feldkonfiguration

Setzt ma n eine ideale Impedanzanpassung voraus, so kann man die F e l d ­ struktur als die eines unendlichen, mehrfach zusammenhängenden H o h l ­ leiters berechnen. Die entsprechende Lösung der Maxwellgleichung soll hier für das Vektorpotential durchgeführt werden.

O )

Ohne Ladungen und Ströme erhält man als allgemeine Lösung

A (r,t) = I A Ä (?) e“^

üj 2 = c2(K2+:*.2 ) dC

K ... Betrag des Wellenvektors für eine verlustfreie Ausbreitung in y-Richtung, d.h. in Richtung der Strahlbewegung

T

% ... charakterisiert den Hohlleiter­

mode und hängt von der Geometrie a b .

gilt die Orthogonalitätsrelation Für a -> oo

- 3 -

Nimmt man eine harmonische Azimuthaiabhängigkeit des Feldes an

. .KR 6

\ ( ? ) = — A (r) e1 /²tt

dann werden die Lösungen durch die Helmholtzgleichung beschrieben

Ä1 A1 ^{+ 2}

Wellen beliebiger Frequenz können sich nur für Hi = o (Hauptwelle) ausbreiten'.

Mit der Forderung A = 0 am Rand und A A = 0 folgt, daß A = 0 und damit das

y y y

Feld rein transversal ist.

Bei Vorhandensein eines Teilchenstrahls stellt für die Hauptwelle der Ansatz

A(r,t) = C | QR (t) AK (r) dK

eine Lösung des inhomogenen Problems (1) dar, wenn Q folgende Differential“

K

gleichung erfüllt

Qk + C2K2 Qk = | (i)J ^{d 3r}

Mit der Konvektionsstromdichte für ein Teilchen

T = P (r,t) v e und p (r,t) = j f (r, p, t) d 3p Tedchen- Phasen­

dichte dichte folgt

Qk + c2K2 Qk = e J ^ fJ r (rl) f e ^ “ 6g(6)f (2)

d r . . . Volumelement im Phasenraum wobei g(0)nur innerhalb der Platten von "0" verschieden ist.

- 4 -

2.) Teilchendynamik

Die Bewegung der Teilchen im Phasenraum wird durch die Liouville- gleichung beschrieben

8f_

8t + -* 8f v — ->

8r F fok

8f_

8p

o (3)

F,_ , ... Fokussierungskraft fok

F. ... Wechselwirkungskraft zwischen Hauptwelle und Strahl

"fM kann für kleine Störungen als Summe einer Equilibriumverteilung und einer Störverteilung dargestellt werden. " kennzeichnet den Störterm

f = f + £ ebenso = F + F

o int o

Geht man mit dem Störansatz in die Liouvillegleichung und betrachtet nur transversale Kräfte, so wird (3) bei Vernachlässigung aller quadratischen Störglieder

3t + 3*

Vy 3y +

'v

^ 8f

o

Da vorwiegend die Frequenz der Bewegung interessiert, führt man eine kanonische Transformation der transversalen Komponenten auf die Wink el­

und Wirkungsvariablen durch.

(rl ,p[) -> (i]_ ,J_L) Für die Poisson-Klammer gilt

M u U ' M h u

- 5 -

und erhält

a£

3t + v ai

y ⁰). + 1 (F

3 ip.

°lapl

(

)

x)l # + 3^i (F

3 J . ___i

°_L^pJ_

(

)

3^

äT.

„ 3J. 3f __La ___o l?Pj^ ⁹J i (3)

= o (4)

es gilt die Summenkonvention !

Term (1) hat die Dimension einer Frequenz und kann als reelle Frequenz- Verschiebung durch die Wechselwirkung der Hauptwelle mit der Equlibrium- Verteilung gedeutet werden.

Term (2) hat die Dimension einer Energie und kennzeichnet die Energie­

änderung durch diese Wechselwirkung.

Die beiden Ausdrücke stellen somit zusätzliche Fokussierungsterme dar.

(3) ist der wesentliche Term, er repräsentiert die Wechselwirkung zwischen Hauptwelle und kohärenter Anregung.

Die Phasendichte f und damit alle Wechselwirkungskräfte sind periodisch mit \p, Führt man eine Fourierzerlegung durch

£ . [ f ejm* = f + 7 £ ejm*

m m o “ m

m+o

m = (m , m ) z* r

ip = ( i p z , \pr )

d l p .

Foit— — = A m . - l Am» e^m ^

J-3Pj_ 1 4 lm

F^ 31 -

Oi

J_

'L i

o i

oim

> | S - » i - Z » i - e jm*

6 -

So erhält man schließlich für (4) nach Vernachlässigung der Kopplung zwischen den Harmonischen

3fm

3f

• s r ■ 0 (5>

i

Ist die Störung hinreichend klein, dann dominieren in (5) die Diagonal­

elemente und unter der Summe ist nur der Term mit m' = m wesentlich. Eine Vernachlässigung der nichtdiagonalen Elemente ist also gleichbedeutend mit einer Mittelung der Größen nAa)." und "W .M über die Periode der Betatron-

1 01

Schwingung

Diese Größen sind nur dann von 0 verschieden, wenn inkohärente Effekte berücksichtigt werden, was hier nicht geschehen soll.

KJ

KJ

(5) wird

d im

+ V_{y 3y}

(

)

3.) Dispersionsrelation

Die Beziehungen (2) und (6) bilden ein selbstkonsistentes Gleichungs­

system zur Ableitung der Dispersionsrelation. Ihre Koeffizienten sind periodische Funktionen der Zeit. Ihre Lösungen haben die Form

fm * m (t) = 0

jnoj0 t n

Qk = qK (t)e—J ¿Ot

qK( t ) = ¿q n

v jno)0 t Kn

2 TT ... Umlaufsfrequenz Mittelt man den Störterm in (6) über eine Umlaufperiode

a.im - ftim ^{( 7 )}

so erhält man Lösungen von der Art

fm (8)

Die Ableitung der Dispersionsrelation aus den Gleichungen (2) und (6) mit (7) und (8) soll im folgenden für einen homogenen Strahl und einen gebunchten Strahl durchgeführt werden.

a) Homogener Strahl 3fo

3 cp

3f

V 7— = 0 im System, das sich mit dem Strahl y 3y

m i tb ew eg t.

Aus (6) erhält man

- 8 -

hängt von folgenden Größen ab:

% O/ 3J.'i w. = |f , 7—

im J-

transversale Lorentzkraft F p — eE + — v x H

1

- 1 |A + 1 £ x (V xl)

c 9t c 7

L

Vektorpotential A = c d K QK (t) AK (r)

Substituiert man schließlich Qv aus (2), folgt für die Dispersionsrelation K.

oo - m. oo. =

i i = - 02e z Z

, _ r ^ 3f ^

dr * __ o t

- K ü ä f AiJ

Im inneren Plattenbereich verschwindet der Rotor von Aj^ und Aj^ kann als Gradient eines Skalarpotentials dargestellt werden.

t 3V

I 9r i-►

Zur Integration von (9) entwickelt man V nach Harmonischen von ^

v = I

und erhält schließlich für (9)

j (mr ipr +mzrjjz )

(10)

Ne „ o o ~ m . oo. = - - - L

1 1 c

ilM l +B III e L:

n K z z r r' \ z 3J r 3J

> z r

kennzeichnet die Mittelung mit der Equilibriumverteilung.

Wegen der Kleinheit der transversalen Auslenkung kann (10) durch eine Taylorentwicklung ersetzt werden

V - l ^{1 1}

m m r I • K ! ! l

m + m l ^ 3I rI I zlv

m<

Sri“* 9 z I z

m r \m z r i l i z i z

r = z = o

und man erhält für das Dämpfungsdekrement eines homogenen Strahles

6 = - Jm(a)-m£0)i) = — r °— - JmZn ^{m,. + m.}

, \ / 2 m r l 2 2 'm-7 "2 (mr a)r + mz 03z ) < a f 1 r i a z z 1 zi m.

1 -2

* lrar 2'

I

\

mz !

m .U lm 1 az > 9 r i i z i v mr^ r J / a lmrU 1 mz 1

1 r U2

1 / ^\

Für kleine Anregungsfrequenzen ist - JmZ^ - IfJ

L = Umfang des Ringes

b) Gebunchter Strahl mit Synchrotronschwingung

3 f o

w ^{* 0 V}

9fm -

y

^Xm

<#> ~ To s i m U = cf> sinftt s To s

Es ist hier zweckmäßiger, auch die longitudinale Bewegung als Funktion der Winkel- und Wirkungsvariablen anzugeben

X m - I

(Xm)ms

m s

Die Anwendung des Formalismus vo no be n liefert hier das Dekrement

homogen

wobei m c = o gesetzt wurde, d.h.reine kohärente Betatronanregungen und inkohärente Synchrotronanregungen betrachtet wurden.

gebuncht -

10

II. Kohärente Synchrotronschwingungen

Die Anregung der Hauptwelle durch die longitudinale Bewegung der Teilchen kann auf verschiedene Art und Weise erzielt werden:

1. Durch eine Inklination. Bei einer Neigung der Hohlleiterachse zur Equilibriumachse sieht das Teilchen ein longitudinales Feld.

2. Durch die Randeffekte. Am Rand hat das statische Feld der Hauptwelle eine longitudinale Komponente.

3. Über die radiale Bewegung, durch die Dispersion

Ähnlich wie im vorigen Kapitel wird auch hier das selbstkonsistente System von Vlasov-Gleichungen abgeleitet. Die Phasendichte wird hier als Fourierreihe der Synchrotronbewegung dargestellt und man erhält für die Differentialgleichung der Feldvariable Q anstatt (2)

K

In der Liouvillegleichung beachten wir jetzt nur die longitudinale Komponente, die die Wechselwirkung der Hauptwelle mit der kohärenten Synchrotron-Schwingung beschreibt. -*■

Die Anwendung des Formalismus von Kapitel I.) führt zur Dispersions­

relation

D — Dispersion

co—m c ^c H ü

c²k 2- n²(jo²

- 11-

Die Berechnung der Harmonischen wird folgendermaßen modifiziert:

(?Ak>n " -(27)3/2 [7V rl>

jkR0-jn0

d⁰

Hi)

A^.(rj^(0)) hängt nun auf 2 Arten von Azimuth ab 1. über die Dispersion

rI = r o + r

i s c

AP- D r p D„ AP y

= radiale Dispersion D z = vertikale Dispersion

2. über die Inklination

r c = r + R0a s o

S = f r }

für a z = 0 î r ^ = r g + r ccos ar r ccos ar - r c r = r + R0s i n a sin a - a

s o r r r

Zur Berechnung des Integrals wird die Azimuthabhängigkeit der Dispersion über den Plattenbereich linearisiert

D ( 0 ) = D0 + D f *0 D* 9D

90

12

V ri (9))

Wegen der Randeffekte zerfällt das Integral (13)

f+t 'i j (KR0-n0)

lvAk)e de

in 3 Teilintegrale

0 e / R oo

, 1 ^*°

f

Wegen k£^<l fällt das Feld am Rand sehr stark ab und zur Berechnung der Randintegrale kann der Phasenfaktor vor das Integral gezogen werden. Man erhält schließlich für die Dekremente der Synchrotronanregung, die hier in Abhängigkeit von Potenzen der Inklination angeschrieben werden sollen

a o :

a

a 1 .

2 .

N r 0c 2 . H a i

Y TT3£b R 1

N r 0c 1 i

Y 7TZ 2VRY

N r 0c 1 . 5 a -

Y ^{i , H b} R

-UAr

D'a- _—y

d r

f -> 3U^{2 2}

(14)

N

Y

Teilchenzahl

m c2 o

^Sollbahn m c^

o

Bunchlänge 3U

3r_[

13 -

C.) Diskussion der Ergebnisse

I.) Dekremente eines Systems mit radialer Dispersion

Aus Gründen der Übersichtlichkeit sollen hier die Dekremente n u r in Abhängigkeit ihrer relevanten Größen angegeben werden.

Mit (11) folgt für die eindimensionalen Betatronanregungen:

jg

6. ^ £ m. 2 |A.I2 i = r , z B.. bezieht sich auf Betatronschschwingungen

d.h. zur Strahldämpfung sind alle eindimensionalen Anregungen gedämpft.

Zweidimensionale Anregungen sind stabil, wenn nu m^ > o, wie aus (1 1) unmittelbar ersichtlich ist.

Nur Dekremente kleiner Multipolarität " lm r l+ lm z l" sind wesentlich von "0" verschieden.

Für m^= -1, m^= +1 folgt aus (11)

6B

r,z ^ (U) -03 ) z r '

2

Stabilität herrscht nur, wenn

(u - u ) z r

a r 2 1

>o is t .

Wie in (14) angegeben, sind die Dekremente der Synchrotronschwingung

Ss * Do O ° 3 r

6? ^ — D'a -— (UAr ) 9?

1

^s _ 3 1+ 3U

82 ^ Do T T Ia

2 ' -> , r v .1

00. 1

a . . .

1 Amplitude der Betatronschwingung

14 -

II.

Durch die Kopplung zwischen longitudinaler und transversaler Bewegung aufgrund der D i sp er si ontinduziert man bei Dämpfung der Synchrotron­

schwingung immer ein Inkrement der transversalen Bewegung. Zur Dämpfung der Betatronschwingung muß daher das Betatrondekrement größer als das Synchrotrontdekrement sein, um in Summa eine Dämpfung zu ergeben.

6S +

o o

) Plattenanordnungen

1)

4 *

Plattenpaar normal zur z-Richtung

D (radiale Dispersion) = o D^ (vertikale Dispersion)= o a ( I n k l i n a t i o n ) = o

r, z

= o

= £ A

= o

6 = o o 4

«2 ■ 0

£ ... Plattenlänge

2)

Es wird lediglich die Bewegung in z-Richtung beeinflußt. Die vertikalen Betatronschwingungen sind gedämpft.

1 Plattenpaar senkrecht zur r-Richtung i r1" 1

D J o ; D = o ; a - o :

r * z r

6B 'v, £ I A I 2 o ^O ^ D„ ----n 9u2 r ¹ r ¹ o ° 9r

*Bo = o <o CO — il o z

<5 I-S

n N II o o2 = o

Da das induzierte p . #

U symmetrisch um die y-Achse ist, wird durch diese Anordnung die Synchrotronschwingung nicht gedämpft. In positiver r-Richtung besteht Dämpfung, in negativer Entdämpfung.

15

3) t- Einzelne Platte normal zur radialen Richtung an der - •— d — --- Außenseite der Vakuumkammer

D 4* 0; D

r1 * ■ ° * a r = 0; 0B ^ £

r A I2

r 1 Xs n n ₆ ^ D n -r-- 8lj2 *eff0

o 0 a ' r

r 0B ^ £

z A I2

z 1

x s 4 i = ° 6B ^£

r, z M i .

^z ^{2 6}* = o

A oB f. s

^ 6 ~ 6

r o

Mit dieser Anordnung kann eine energieabhängige Dämpfung der Synchro­

tronschwingung erzielt werden. Ein Teilchen, das außerhalb der Sollbahn fliegt, sieht ein größeres Feld A r und wird auch stärker gedämpft.

Über die Dispersion bewirkt nur die Dämpfung der Synchrotronschwingung ein Inkrement - - 6q der radialen Bewegung.

Verwendet man die oben beschriebenen Anordnungen zur Dämpfung eines Systems, so kann das auf folgende Weise geschehen.

a) Dämpfung der vertikalen Betatronschwingungen mit Anordnungen vom Typ 1.) an Stellen ohne vertikale Dispersion.

öB ^ y £.

z h 1

1

aui

£^ .. Länge der i'ten Platte

ß) Dämpfung von Synchrotronschwingungen durch Anbringen von Platten entsprechend 3.) an Stellen großer Dispersion

«S ^ I

y) Dämpfung der radialen Betatronschwingung durch Platten vom Typ 2.) an Stellen verschwindender Dispersion

XB6 ^

r ° m

m

I «

6r - 6 (D ) > oN r '

öB - 6S (D ) > o

z z'

es muß gelten

16 -

Einzelplatte senkrecht zur r-Richtung mit Inklination

D = o

r D = o

z ⁰¹,, = O

6 v £ A r 1 r

ÄS „ n 9U2 6 'v* D -—

o or dy.

6B = o

z ⁶® v - £2 D f a IaJ 2

1 r r 1 ri

6B v £ rz

3 A r 6S ^ - z £2 D aro r 2 lA-, 1 n ,9 2 3U;

r

Diese Anordnung könnte zur Dämpfung von radialen Betatron­

schwingungen dienen - ohne die Synchrotronschwingung zu beeinflussen - wenn es gelänge, die Beziehung

X® ^{_ L} X® ^I X®

6 + o , + 6 „ = o

o 1 2

zu erfüllen.

D.) Zusammenfassung

Die Dämpfung von Synchrotronschwingungen wird am besten mit E i nz el­

platten an Stellen mit großer Dispersion erfolgen. Diese Stabili­

sierung verursacht eine Entdämpfung der transversalen Bewegung. An Stellen verschwindender Dispersion können nun Platten angebracht werden, die die Betatronschwingung dämpfen, mit einem Dekrement, das das Inkrement durch die Kopplung mit der longitudinalen Bewegung übersteigen muß.

Bei Doris haben wir für kohärente Anregungen des gesamten Bunch- systems mit Anstiegzeiten von 100 ys bis 1 ms zu rechnen. Für Ei n z e l ­ bewegungen liegen die Zeiten bereits im Bereich der natürlichen Dämpfung.

17

Die Kalkulation der DämpfungsZeiten ergab für die vereinfachende Annahme eines Vakuumkammerquerschnittes von ⁸ x ⁸ cm'folgende Werte:

g

Dämpfungszeiten für die Betatronschwingung x = 50 ys

g

für die Synchrotronschwingung x = 10 ys

Folgende Parameter liegen der Berechnung zugrunde:

Strom .... 3 A

Energie .... 1 GeV

Plattenlänge .... 3 m mittlere Dispersion .... 1 m

Bunchlänge .... 3 cm

Literatur:

1. Auslender, Dikanskii,

Preprint N. 72 Inst. Nucl. Phys. Novosibirsk (1967)

2. Derbenev, Dikanskii,

Preprint Nr. 315 Inst. Nucl. Phys. Novosibirsk (1969)

3. Derbenev, Dikanskii,

Prepring Nr. 318 Inst. Nucl. Phys. Novosibirsk (1969)