Bsp. 2: Spontane Symmetriebrechung in der Teilchenphysik

Statistische Mechanik, SS21: ¨ Ubung 6

Abgabefrist: Mi., 2. Juni 2021, 8:00 a.m.

Besprechung: Fr., 4. Juni 2021

Bsp. 1: Ising-Modell in einer Dimension

16 Punkte Der Hamiltonian des Ising-Modells ist gegeben durch

H =−X

i

Bσ_i−X

{i,j}

J σ_iσ_j , (1)

hierbei ist σi =±1der Spin-Operator an Position i, B das ¨außere Magnetfeld und J >0die Spin-Wechselwirkung. Die zweite Summe l¨auft ¨uber alle n¨achste-Nachbar-Paare {i, j}.

(a) Berechnen Sie die Zustandssumme des 1D Ising-Modells ohne ¨außeres Magnetfeld im thermodynamischen Limes N → ∞ mit freien Randbedingungen. Damit ist gemeint, dass der einzige Wechselwirkungsterm der σ₁ enth¨alt −J σ₁σ₂ ist und der einzige Term, der σ_N enth¨alt −J σN−1σ_N ist.

(b) Berechnen Sie die mittlere innere Energie E und skizzieren SieE als Funktion der Tem- peratur T. Wie verhalten sich die Spins f¨ur T →0und T → ∞?

(c) Betrachten wie nun das 1D Ising-Modell mit periodischen Randbedingungen σ_N+1 =σ₁ mit endlichem externem Magnetfeld. Zeigen Sie, dass die Zustandssumme durch

Z = X

σ1=±

X

σ2=±

· · · X

σN=±

V_σ1σ2V_σ1σ2. . . V_σNσ1 = Tr(V^N) , (2) gegeben ist, wobei die V_σiσj die Matrixelemente von

V =

V₊₊ V₊₋

V−+ V−−

=

e^β(J+B) e^−βJ e^−βJ e^β(J−B)

(3) sind und mit

Tr(V^N) = X

σ1=±

(V^N)_σ1σ1 (4)

die Spur gemeint ist.

Hinweis: V_σiσj = exp ¹₂βB(σ_i+σ_j) +βJ σ_iσ_j

(d) Die Spur einer Matrix ist invariant unter ¨Ahnlichkeitstransformationen, d.h. Tr(V) = Tr(P⁻¹V P), f¨ur beliebige invertierbare Matrizen P. Damit kann man die Spur einer Matrix durch summieren ihrer Eigenwerte berechnen. Berechnen Sie die Eigenwerte von V und dr¨ucken Sie damit die Zustandssumme aus. Vergleichen Sie im Fall ohne externes Magnetfeld B = 0 mit der Zustandssumme des Ising-Modells mit freien Randbedingun- gen.

1

(e) Berechnen Sie die freie Energie pro Spin f(β, B) = limN→∞ 1

NF(β, B) und die Mag- netisierung pro Spin m(β, B). Skizzieren Sie m(β, B) als Funktion von B f¨ur einige Temperaturen. Gibt es eine spontane Magnetisierung?

Hinweis: Zeigen Sie, dass f¨ur N → ∞ der gr¨oßte Eigenwert dominiert.

Bsp. 2: Spontane Symmetriebrechung in der Teilchenphysik

9 Punkte Betrachten Sie ein komplexes Skalarfeld φ(x) =φ₁(x) +iφ₂(x) mit der Lagrangefunktion

L= Z

d³r[(∂_µφ)^∗(∂^µφ)−V(φ^∗φ)] , (5) mit dem Potential der Form

V(φ^∗φ) =µ²(φ^∗φ) +λ(φ^∗φ)² . (6) Im Standardmodell der Elementarteilchenphysik wird mit dieser Lagrangefunktion das Higgs- teilchen beschrieben. Der mathematische Formalismus in dieser Aufgabe ist identisch zu dem f¨ur die Beschreibung des ferromagnetischen Phasen¨ubergang im 2-dimensionalen-Spin- Gitter verwendeten, z.B. in der xy-Ebene. Das komplexe Skalarfeld φ(x) ist ¨aquivalent zur Magnetisierung pro Spinm(~~ r) = (m_x(~r), m_y(~r))und die LagrangefunktionLentspricht der Landau-Ginzburg freien Energie F.

(a) Zeigen Sie, dass die Lagrangefunktion invariant unter der Transformation φ → e^iαφ ist, mit α unabh¨angig von den Koordinaten. Im Spin-Modell entspricht das einer Drehung der Magnetisierung ¨uberall in derxy-Ebene um denselben Winkel α.

(b) F¨ur die Wahl λ > 0 skizzieren Sie das Potential als Funktion von |φ| f¨ur sowohl µ² >0 als auch µ² < 0. Wo ist das Minimum? Skizzieren Sie ¨Aquipotentiallinien in der φ₂ vs. φ₁ Ebene. Im Spin-Modell entspricht der Fall µ² > 0 der ungeordneten Phase ohne spontane Magnetisierung, w¨ahrend µ² <0der geordneten Phase entspricht.

(c) Definieren wir den “Vakuumerwartungswert” v =|φ| ausgewertet am Minimum des Po- tentials. F¨ur µ² < 0, dr¨ucken Sie das Feld als φ(x) = (v + ^√1

2ρ(x)) e^ia(x)/(

√2v) aus, hier sind ρ(x)und a(x)reelle Skalarfelder. Schreiben Sie die Lagrangefunktion als Funk- tion von ρ und a. Wie ist die Masse von ρ? Wie ist die Masse von a? ¨Andert sich die Lagrangefunktion unter der “Verschiebungssymmetrie” a(x) → a(x) +δ? Im Spin- Modell ist diese Verschiebungssymmetrie Ausdruck davon, dass in der geordneten Phase die spontane Magnetisierung in jede Richtung der xy-Ebene zeigen kann. Es gibt keinen Grund daf¨ur, dass eine Vorzugsrichtung existiert.

Hinweis: in der Lagrangefunktion hat der Masseterm f¨ur ρ die Form −¹₂m²_ρρ²(x).

2

(d) F¨ugen wir nun den folgenden Masseterm zum Potential hinzu:

1

2m²_aa(x)² . (7)

Zeichnen Sie die Position des Minimums in der φ₂ vs.φ₁ Ebene. Ist die Lagrangefunktion unter der Transformation a(x) → a(x) +δ invariant? Im analogen Spin-Problem ist dieser Term ¨aquivalent zu einem externen Magnetfeld. Der Spin wird sich entlang des Magnetfeldes ausrichten, d.h. es gibt eine Vorzugsrichtung.

3