Theorie F (SS2004) Musterlosung Ubungsblatt 8 15.06.04
1 a)
Eigenbasis von
^
S
x :
^
S
x
jxi= h
2
jxi ; jxi=
+
jz+i+ jz i ;
^
S
x
= 1
2 (
^
S
+ +
^
S )
Leiteroperatoren:
^
S
+
jz i = h jz+i ;
^
S
+
jz+i=0
^
S jz+i = h jz i ;
^
S jz i=0
damit
^
S
x
jxi= 1
2 [h
+
jz i+h jz+i℄
KoeÆzientenvergleih:
1
1
!
+
!
= 0
0
!
) =1
Die normierten Eigenvektoren ergeben sih damitzu
jxi= 1
p
2
(jz+ijz i) ) j (t=0)i=jx+i= 1
p
2
(jz+i+jz i)
Zustandsoperator: Zur Zeit t=0liegt ein reinerZustand vor, namlihjx+i. Damitist
^
W(t=0)=jx+ihx+j = 1
2
(jz+ihz+j+jz ihz j+jz+ihz j+jz ihz+j)
Test: Tr(
^
W)=1 und
^
W y
=
^
W inbeidenDarstellungen.
Entropie: S = kTr (
^
Wln
^
W).Hier istBasis ratsam, inder
^
W diagonalist, alsofjxig:
S = k X
=1 hxj
^
Wln
^
Wjxi= khx+jln
^
Wjx+i= khx+jx+iln(1)=0
Die Entropie fur einen reinen Zustand ist 0, denn es gibt eben keine Unwissenheit uber den
Mikrozustand des Systems.
b)
Zeitentwiklung:Jetztistdiefjzig-Basisangebraht,dabilligerweise
^
U(t)jzi=e
i
2 Bt
jzi
)
^
W(t)= 1
(jz+ihz+j+jz ihz j+e iBt
jz+ihz j+e iBt
jz ihz+j)
Damit:
h
^
S
x
i(t)=Tr(
^
W(t)
^
S
x )=
1
2 X
=1 hzj
^
W(t)[
^
S
+ +
^
S ℄jzi= h
2 [hz+j
^
W(t)jz i+hz j
^
W(t)jz+i℄
) h
^
S
x i(t)=
h
4 (e
iBt
+e iBt
)= h
2
os (Bt)
Ganz analog folgtmit
^
S
y
= 1
2i (
^
S
+
^
S ):
h
^
S
y i(t)=
h
2i [hz+j
^
W(t)jz i hz j
^
W(t)jz+i℄ ) h
^
S
y i(t)=
h
2
sin(Bt)
Fur
^
S
z
ergibt sihallerdings:
h
^
S
z i(t)=
X
=1 hzj
^
W(t) h
2
jzi= h
4 X
=1
hzjzi=0
Es ersheint verwunderlih, da sih der Spin im Magnetfeld in z-Rihtung niht ausrihtet. Das
liegt ander Anfangsbedingung j (t =0)i=jx+i mit
^
S
z
jx+i=0 und der Tatsahe, da
^
S
z eine
Erhaltungsgroe ist: [
^
S
z
;
^
H℄=0.
2 a)
Ungestortes System: Shon bekannt(Vorlesung,
Ubungsblatt 7):
^
H
0
=
^ p 2
2m +
1
2 m!
2
0
^ x 2
=h!
0 ( ^a
y
^ a+
1
2 )
und
Z
0
= 1
X
n=0 e
En
; E
n
=h!
0 (n+
1
2
) ; Z
0
= e
h!
0
=2
1 e h!
0
F
0
= kT ln(Z
0 )=
h!
0
2
+kTln(1 e h!
0
)
Freie Energie in 1. Ordnung:
F
1
=Tr(
^
W
0
^
V)= 1
Z
0 1
X
n=0 e
En
hnj
^
Vjni
Wir mussen jetzt
^
V durha;^ ^a y
ausdruken: mit x^=
h
2m!
0
1=2
( ^a+a^ y
) folgt
^ x 3
= h
2m!
0
!
3=2
^ a
y3
+^a y2
^ a+^a
y
^ a ^a
y
+^a^a y2
+^a 3
+^a y
^ a 2
+^a ^a y
^ a+^a
2
^ a y
Die Wirkung der ^a;^a y
ist bekannt,
^
ajni = p
njn 1i
y
p
Wird der Ausdruk fur x^ 3
in hnj
^
Vjni = hnj^x 3
jni eingesetzt, so ergeben sih eine Reihe von
Termen,aber inkeinem dieser Terme wird der Ausgangszustand jniwieder hergestellt, soda
hnj^x 3
jni=0 ) h
^
Vi
1
=F
1
=0
Manmualsomind.in2.Ordnung rehnen,um einenihttrivialeKorrekturzu F
0
zu bekommen.
b)
Mittlere Ausdehnung in Storungstheorie: h^xi=hxi^
0 +h^xi
1 +:::
Ungestortes System:
h^x i
0
=Tr(
^
W
0
^ x)=
1
Z
0 1
X
n=0 e
En
h
2m!0
1=2
hnj ^a+^a y
jni
| {z }
=0
=0
Das war klar,denn x^ist ja dieAuslenkung aus der Ruhelage des harmonishen Oszillators
^
H
0 .
1. Ordnung:
h^x i
1
=Tr(
^
W
1
^ x)=
Z
0 d
1
Z
0 1
X
n=0 hnje
^
H
0
[e
^
H
0
^
Ve
^
H
0
h
^
Vi
0
|{z}
=0
℄x^jni
Jetzt eine
^
1vor demx^einshieben und alle e
^
H
0
auf diejni-Zustande anwenden,
h^x i
1
= 1
Z
0 1
X
n=0 1
X
m=0 e
En
Z
0 d e
(En Em)
hnj
^
Vjmihmj^xjni
Ausfuhrendes R
d,
h^x i
1
= 1
Z
0 1
X
n;m=0 e
En
e Em
E
n E
m hnj
^
Vjmihmj^xjni
Im 1. Term e E
m
kann man noh dieVariablenumbenennen, n $m, soda
h^xi
1
= 1
Z
0 1
X
n;m=0 e
En
E
n E
m [hmj
^
Vjnihnj^xjmi+ hnj
^
Vjmihmj^xjni
| {z }
=(hmj
^
Vjnihnj^xjmi)
℄
)
Das Matrixelement hnj^xjmi vereinfaht die endlosen Summen erstmal:
hnj^xjmi=
h
2m!
1=2
hnj ^a+^a y
jmi =
h
2m!
1=2
hnjm 1i p
m+hnjm+1i p
m+1
Damit wird dien-Summe eliminiert,und esbleibt
ubrig:
h^x i
1
= q
h=2m!
0
Z
0
"
1
X
m=1 p
m e
Em
1
E
m 1 E
m hmj
^
Vjm 1i
+ 1
X
m=0 p
m+1 e
Em+1
E
m+1 E
m hmj
^
Vjm+1i
#
+komplex konj.
In der ersten Zeile ersetzen wir die Summationsvariable durh m = m 1, m = 0;1;2;::: und
nennen diese dann wieder m, um die beiden Summen gleih zu mahen. Auerdem kann man
E
m+1
=E
m +h!
0
einsetzen,
h^x i
1
= h
2m!
0
!
2
h!
0 1
Z
0 1
X
m=0 e
E
m+1 p
m+1 h
hmj^x 3
jm+1i hm+1j^x 3
jmie h!
0 i
+komp.konj.
Vonder Menge Terme in x^ 3
tragen nur wenige zu dem Matrixelement bei:
hm+1j^x 3
jmi= hm+1j ^a y2
^ a+^a
y
^ a^a
y
+^a^a y2
jni
| {z }
hm+1jm+1i p
m+1(m+1)3
Damit ergibt sihdann endlih
h^xi
1
= 12 h
2m!
0
!
2
h!
0
sinh(h!
0
=2) 1
X
m=0
(m+1) 2
e h!
0 (m+1)
Die Summe kann
uber den Ableitungstrik ausgefuhrt werden: mit x h !
0 ist
1
X
m=0
(m+1) 2
e
h!0(m+1)
= 1
X
n=0 (n)
2
e h!0n
=
2
x 2
1
X
n=0 e
xn
!
=
2
x 2
1
1 e x
= e
x
(1+e x
)
(1 e x
) 3
Auerdem istnoh Z
0
= e
x=2
1 e x
einzusetzen, also
1
Z
0 1
X
n=0 n
2
e xn
= e
x=2
(1+e x
)
(1 e x
) 2
=
2osh(x=2)
4sinh 2
(x=2)
=
oth(x=2)
2sinh(x=2)
Das Ergebnis lautet damit:
h^xi=h^x i
1
= 6 h
2m!
0
!
2
h !
0 oth (
h!
0
2kT )
Wenn man das anharmonishe Potential 1
2 m!
0 x
2
+ x 3
fur <0plottet, wird klar,da sih der
Nullpunkt der Shwingung nah rehts (positive x) verlagern sollte. In der Tat ist hxi^ > 0. h^xi
ist endlih furT =0(endlihe Ausdehnung der Grundzustandswellenfunktion) und nimmt mitT
zu, weilimmerhohereZustandeindem beipositiven xabgeahten Potentialthermishangeregt
werden.
Man beahte: Das Ganze maht naturlih nurSinn solange h^xi1, denn es handeltsih hier ja
um Storungstheorie. Selbst das Potential im Hamiltonian entsteht aus einer Reihenentwiklung,
^
![jz~ ]Vo\g^ $kj Z](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)