K lassische M echanik

K lassische M echanik

David Gross, David Wierichs, Markus Heinrich, Johan Åberg Übungsblatt11 Abgabe: Donnerstag,28. Januar bis24Uhr

I Lagrange Hamilton4eva

1 Von Lagrange zu Hamilton

Leiten Sie für die folgenden Lagrange-Funktionen die zugehörige Hamilton-Funktion und die Hamilton- schen Bewegungsgleichungen her.

a)

L(θ, ˙θ) = ^m

2R²θ˙²+ ^m

2R²Ω²sin²θ+mgRcosθ

(2Punkte) Kommentar: Diese Lagrange-Funktion stammt von einer früheren Aufgabe, sehen Sie von welcher?

b)

L(r,θ, ˙r, ˙θ) = ^m 2(1+ ^α

2

r⁶)r˙²+^m

2r²θ˙²+ ^mgα 2r²

(3Punkte)

2 Teilchen in einem elektromagnetischen Feld

Die Lagrange-Funktion eines Teilchens der Massemund der elektrischen Ladungeam Ort~r, das sich einem elektromagnetischen Feld bewegt, hat die folgende Form

L(~r, ˙~r) = ^m

2~r˙²−eφ(~r,t) +e_A~(~r,t)·~r.^˙ (1) Dabei ist φ(~r,t) eine reellwertige Funktion (das skalare Potential) und ~_A(~r,t) eine vektorwertige Funktion (dasVektorpotential)¹.

Keine Panik! Sie sind zwar wahrscheinlich noch nicht mit Elektromagnetismus und Vektorpoten- tialen vertraut, aber das brauchen Sie für diese Aufgabe auch gar nicht. Sehen Sie Gl. (1) einfach als eine weitere (vielleicht etwas komisch aussehende) Lagrange-Funktion eines Teilchens.

1Das elektrische und das magnetische Feld erhält man durch~_E(~r,t) =−∇φ−_∂t^∂_A~ _und~_B(~r,t) =∇ ×~_A.

1

Klassische Mechanik WS2020/21 a) Führen wir nun kartesische Koordinaten~r = (r₁,r2,r3)und _A~ = (A₁,A2,A3)ein. Zeigen Sie,

dass die Euler-Lagrange-Gleichungen zu Gl.(1)wie folgt geschrieben werden können²: m¨r_j+e

∂φ

∂r_j + ^∂Aj

∂t

−e

∑

˙ r_k

∂A_k

∂r_j −^∂Aj

∂r_k

=0, j=1, 2, 3. (2)

Hinweis: Es kann nützlich sein, erst Gl. (1) in kartesischen Koordinaten auszuschreiben:

L(~r, ˙~r) = ^m 2

∑

˙

r²_k−eφ(~r,t) +e

∑

A_k(~r,t)r˙_k.

(2Punkte) b) Seiχ(~r,t)eine reellwertige Funktion und nehmen wir an, wir transformierenφund _A~ _{in neue}

Funktionenφ⁰ und _A~⁰ _{wie folgt}

φ⁰ =φ− ^∂χ

∂t, _A~⁰ = _A~ +∇χ.

Es sei L⁰ die neue Lagrangefunktion, die man dadurch erhält, dass manφund _A~ _{in (}1) durch φ⁰ und _A~⁰ _ersetzt. Zeigen Sie, dass sich L und L⁰ nur durch die totale Zeitableitung einer Funktion

von~r und t unterscheiden. (2Punkte)

Bemerkung: Diese Art der Transformation der Potentiale heißt Eichtransformation. Erinnern Sie sich, dass die Addition einer totalen Zeitableitung zu der Lagrangefunktion die Euler- Lagrange-Gleichungen nicht ändert (und somit auch nicht die Zeitentwicklung des Systems).

c) Leiten Sie die Hamilton-Funktion her. (2Punkte)

d) Leiten Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen her. (2Punkte) Kommentar: Hierbei handelt es sich um nichttriviales Beispiel der Anwendung des Lagrange- und Hamilton-Formalismus. Außerdem erhalten wir einen ersten Einblick in das Konzept der Ei- chinvarianz, das Ihnen in anderen Vorlesungen wieder begegnen wird.

3 Die Algebra aus Poissonklammern

Die Poissonklammer zwischen zwei Funktionen f(q₁, . . . ,q_N,p₁, . . . ,p_N,t)_und g(q₁, . . . ,q_N,p₁, . . . ,p_N,t)ist definiert als³

{f,g}=

∑

∂f

∂pn

∂g

∂qn

− ^∂f

∂qn

∂g

∂pn

. (3)

In der Vorlesung haben wir fünf Eigenschaften diskutiert, welche die Poissonklammer erfüllt (siehe Video 4.2). Beim Rechnen mit Poissonklammern ist es oft einfacher, diese Regeln zu benutzen als mit der Definition (3) zu arbeiten, wie wir in dieser Aufgabe sehen werden.

a) Zeigen Sie:

{q_j,pⁿ_k}=−npⁿ_k⁻¹δ_jk, {p_j,qⁿ_k}=nqⁿ_k⁻¹δ_jk, n=1, 2, 3, . . .

Hinweis: Hier bietet sich ein Induktionsbeweis an. (3Punkte)

2Die üblichere Variante Gl. (2) zu schreiben istm~r¨=e~_E+e~r˙×~_B.

3Die Definition der Poissonklammer gibt es in zwei Varianten, die sich aber lediglich in einem globalen Vorzeichen unterscheiden. Die Wahl des Vorzeichens bestimmt das der Klammer{p_k,q_l}.

2

Klassische Mechanik WS2020/21 b) Der Drehimpuls eines Teilchen mit Ort~qund Impuls~pist~_L =~q×~p. Mit~_L= (L₁,L2,L3)kann

man dies als L_j = _∑kle_jklq_kp_l schreiben, wobeie_jkldas sogenannte Levi-Civita-Symbol ist⁴. Zeigen Sie:

{q_n,L_j}=−

∑

k

e_njkq_k, {p_n,L_j}=−

∑

l

e_njlp_l, j,n=_{1, 2, 3,} und

{~q²,L_j}=_0, {~p²,L_j}=_0, j=_{1, 2, 3.}

Hinweis: Beachten Sie, dass(~a×~_b)_j = _∑kle_jkla_kb_l und~a×~a= 0 sowie dasse_jkl das Vorzei- chen ändert, wenn man zwei Indizes vertauscht, z.B.e_jkl =−e_kjl =e_klj.

(4Punkte)

4Das Levi-Civita-Symbol in drei Dimensionen iste_jkl=







1 (jkl) = (123),(312),(231)

−1 (jkl) = (213),(321),(132)

0 else

.

3