MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN Prof. Dr. H.-D. Donder
WS 09/10 Blatt 13 1.2.10
2. Probeklausur zu Analysis I (f¨ ur Mathematiker)
1. (a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe f(x) =
∞
X
k=1
n+k−2 k−1
xk f¨ur n∈N+ 1 (b) Gegeben sei die Funktion
f(x) = x2 1−x2 .
Stellen Sie f durch eine Potenzreihe dar und bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Reihe.
(4 Punkte)
2. (a) Sei
f(x) =
coshx−1
x , x6= 0
0, x= 0
mit coshx = 12(ex+e−x). Pr¨ufen Sie die Differenzierbarkeit von f und geben Sie, falls existent, die Ableitung in x= 0 an.
(b) Ist die Funktion
f(x) =
ex, x≥0
−e−x, x <0 inR differenzierbar?
(4 Punkte) 3. Berechnen Sie die Ableitung von
(a) f :
−π 2,π
2
→ R, f(x) = ln 1
cosx
(b) g :R→R, g(x) = |sinx| ·sinx
(4 Punkte) 4. Gegeben sei eine nullstellenfreie, differenzierbare Funktion f : [0,1]→R mit
f(0) = 1, f(1) =e.
Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass es ein c∈(0,1) gibt, so dass f0(c) = f(c).
(4 Punkte)
Abgabetermin: Montag, den 8. Februar 2010, 14.30 Uhr (Gekennzeichneter ¨Ubungskasten im 1. Stock vor der Bibliothek).
