Lineare Abbildungen und Algebraische Strukturen

Lineare Abbildungen und Algebraische Strukturen

Ubersicht¨

Sei K ein K¨orper¹. Ferner seien V, W Vektorr¨aume ¨uber K. Dann heißt die Abbildung f:V →W linear, falls die Linearit¨atsbedingungen gelten:

(i) f ist additiv: f(x+y) =f(x) +f(y) f¨ur alle x, y∈V, (ii) f ist homogen: f(λx) =λf(x) f¨ur alle x∈V, λ∈K. Eine lineare Abbildung f:V →W heißt

a) Monomorphismus, fallsf injektiv ist, b) Epimorphismus, fallsf surjektiv ist,

c) Endomorphismus, fallsV =W gilt,

d) Automorphismus, fallsV =W gilt und f bijektiv ist, e) Isomorphismus, fallsf bijektiv ist.

Beispiele: Die Abbildung

f1:R²→R², f1

x y

:=

x−y 1 +y

ist nicht linear, da f₁(000) = 0

1

6= 000 gilt, wobei 000 der Nullvektor ist. F¨ur jede lineare Abbildungf gilt n¨amlich

f(0) =f(0 + 0) =f(0) +f(0), also f(0) = 0.

Die Abbildung

f2:R³ →R², f2







 x y z







:=

x−y x−y

ist hingegen linear (leichte ¨Ubung - interessant:z geht gar nicht in den Funktionswert ein).

Ferner sei noch ein Beispiel daf¨ur angegeben, dass die Linearit¨at vom zugrundeliegenden K¨orperKabh¨angt:

f3:C→C, f3(z) :=z f¨urK∈ {R,C}.

Die Additivit¨at ist unabh¨angig vom K¨orper und immer erf¨ullt, jedoch gilt f¨ur die Homoge- nit¨at

f₃(λz) =λz=λf₃(z).

Nur f¨ur λ ∈ R gilt λ = λ und damit auch die Homogenit¨at. f₃ ist also nur f¨ur K = R linear.

Weitere Beispiele:f¨ur den VektorraumV der Polynomep=p(x) ¨uberRsind f:V →V mit

f1(p:) =p⁰ = dp

dx und f2(p) :=

x

Z

0

p(t) dt

lineare Abbildungen nach Rechenregeln f¨ur Ableitungen und Integrale. Es handelt sich jedoch nicht um Automorphismen, denn f₁ ist nicht injektiv wegen f₁(x) = f₁(x+ 1) (p(x) =x undq(x) =x+ 1 sind Polynome) undf2ist nicht surjektiv, da KonstantenC 6= 0 nicht als Bild angenommen werden (C kann nicht Stammfunktion sein).

Satz: Eine lineare Abbildung f: V → W ist durch die Angabe auf einer Basis von V eindeutig bestimmt. Genauer: Sei {v₁, . . . , vn} eine Basis von V , f:V → W linear und f(v1), . . . , f(vn) bekannt. Dann ist f(v) f¨ur alle v ∈V eindeutig bestimmt und berechen- bar.

Dieser Satz l¨asst sich leicht zeigen, in dem man v als Linearkombination durch die Basis schreibt und die Linearit¨ats-Rechenregeln anwendet. Wir verdeutlichen das an einem Beispiel: Seif:R²→R³ linear und gegeben durch

f 1

1

:=



 1 0

−2



, f 1

2

:=



 0 1

−1



.

Die Vektoren (1,1)^T,(1,2)^T bilden eine Basis vonR²und deren Bilder unterf sind gegeben.

Der Satz findet also Anwendung. Wir bestimmen zun¨achst exemplarisch f 5

8

. Man sieht leicht (oder erh¨alt durch L¨osen des entsprechenden linearen Gleichungssystems)

5 8

= 2 1

1

+ 3 1

2 und man erh¨alt durch die Linearit¨atsbedingungen von f:

f 1

1

=f

2 1

1

+ 3 1

2

= 2f 1

1

+ 3f 1

1

=



 3 2

−8



.

M¨ochte man von ganz allgemeinen Vektoren (x, y)^T ∈R² das Bild bestimmen, so bietet es sich an, zun¨achst die Bilder der kanonischen Basisvektoren (1,0)^T und (0,1)^T wie eben f¨ur (5,8)^T zu bestimmen:

1 0

= 2 1

1

− 1

2

, also:f 1

0

=



 2

−1 3



 0

1

=− 1

1

+ 1

2

, also: f 0

1

=





−1 1 1



.

Dann erh¨alt man f¨ur beliebige x, y ∈ R durch die Koordinatendarstellung und die eben berechneten Werte f¨ur die Basisvektoren:

f x

y

=f

x· 1

0

+y· 0

1

=x·f 1

0

+y·f 0

1

=





2x−y

−x+y

−3x+y



.

Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung: Betrachten wir eine m×n Matrix A mit Eintr¨agen aus einem K¨orper K(beispielsweise reell), also A∈K^m×n mit







a₁₁ . . . a_1n ... ... a_m1 . . . a_mn





. Dann k¨onnen wir eine lineare Abbildung definieren durch

F:Kⁿ→K^m, F(x) :=Ax (∗)

mitx= (x₁, . . . , x_n)^T ∈Kⁿ und F(x) =:y= (y₁, . . . , y_m)^T ∈K^m. Dann gilt

yi =

n

X

i=1

aijxj f¨uri= 1, . . . , m.

Man kann zeigen: jede lineare Abbildung F:Kⁿ →K^m l¨asst sich darstellen wie in (∗) mit einer geeigneten Matrix A. Die Spaltenvektoren von A sind die Bilder F(e_j) der in Kⁿ kanonischen Basisvektorenej und es gilt

F(ej) =

m

X

i=1

aije⁰_i, j= 1, . . . , n

mite⁰_i, i= 1, . . . , mkanonische Basisvektoren inK^m.²

Satz ¨uber die Eigenschaften von linearen Abbildungen: Sei F:V → W beliebige lineare Abbildung. Mit den Bezeichnungen

ImF :=F(V) :={w∈W|∃v∈V :F(v) =w}

f¨ur dasBild von F und

kerF :={v∈V|F(v) = 000}=F⁻¹(000)⊆V f¨ur den Kern vonF gelten folgende Eigenschaften f¨urF:

(i) F(000) = 000,

(ii) F(v₁−v₂) =F(v₁)−F(v₂) f¨ur alle v₁, v₂ ∈V, (iii) F

_n P

i=1

λivi

=

n

P

i=1

λiF(vi) f¨ur alle v1, . . . , vn∈V, λ1, . . . , λn∈K, (iv) kerF bzw.F(V) sind Unterr¨aume von V bzw.W,

(v) AusV = span{v₁, . . . , v_n}folgt F(V) = span{F(v₁), . . . , F(v_n)},

(vi) Aus{v₁, . . . , v_n}linear abh¨angig inV folgt:{F(v₁), . . . , F(v_n)}linear abh¨angig inW, (vii) Aus{F(v₁), . . . , F(vn)} linear unabh¨angig in W folgt:{v₁, . . . , vn}linear unabh¨angig

inV,

(viii) Ist F injektiv, dann gilt: aus {v₁, . . . , v_n} linear unabh¨angig in V folgt:

{F(v1), . . . , F(vn)} linear unabh¨angig in W, (ix) dimF(V)≤min{dimV,dimW},

(x) Ist kerF ={000}, so ist F injektiv,

(xi) IstF bijektiv, so ist auchF⁻¹:W →V linear.

2Das ganze geht nat¨urlich noch allgemeiner f¨ur beliebige Basisvektoren im Urbild- und Bildraum, siehe Abbildungsmatrix f¨ur Koordinatenvektoren in der Literatur.

Weiterhin gilt die wichtigeKern-Bild-Dimensionsformel: IstF:V →W linear mit dimV <

∞, dann ist dimF(V)<∞und es gilt

dimV = dimF(V) + dim kerF.

Genauer: istB1={w₁, . . . , wl}eine Basis von F(V) und B2 ={v₁, . . . , vk} eine Basis von kerF sowie ˜v_i ∈F⁻¹(w_i) beliebig f¨ur i= 1, . . . , l, dann ist B= (v₁, . . . , v_k,v˜₁, . . . ,v˜_l} eine Basis von V.

Im Falle dimV = dimW < ∞ sind außerdem f¨ur eine lineare Abbildung F: V → W

¨aquivalent:

F ist injektiv ⇐⇒ F ist surjektiv ⇐⇒F ist bijektiv.

Beispiel: Wir bestimmen die Dimension und eine Basis von kerF bzw. ImF f¨urF:R³ → R³ mit

F







 x y z







=





2x+y+ 3z x+ 4y−z

−7y+ 5z



.

Um kerF zu bestimmen l¨ost man das homogene lineare Gleichungssystem

F







 x y z







=



 0 0 0



.

Dazu bringt man die das Gleichungssystem beschreibende Matrix auf Zeilenstufenform (wir vertauschen zu Beginn die ersten beiden Gleichungen), in dem wir von der zweiten Zeile 2·(I) abziehen:





1 4 −1

2 1 3

0 −7 5



 ⇒





1 4 −1

0 −7 5 0 −7 5





und anschließend eine Nullzeile in (III) erzeugen. Damit ist kerF = span











−13 5 7









 , also

ein Unterraum mit Basis





−13 5 7



 und hat Dimension 1. Nach Kern-Bild-Satz hat ImF Dimension 2. Eine Basis vom Bild erh¨alt man, in dem man eine Basis des Urbildraums R³ (z.B. die kanonischen Basisvektoren e1, e2, e3) ¨uber F abbildet und aus den daraus resultierenden Bildvektoren (die ja das Bild ImF aufspannen) eine Basis bestimmt. Man braucht hier nur zwei Basisvektoren abbilden, insofern die Bildvektoren linear unabh¨angig sind, da ja dim ImF = 2 gilt. Man erh¨alt als Basis von ImF

F







 1 0 0







=



 2 1 0



 und F







 0 1 0







=



 1 4

−7



.

Anhang: Algebraische Strukturen (Gruppen, Ringe, K¨orper, Vektorr¨aume) Eine Menge G zusammen mit einer assoziativen Verkn¨upfung ◦:G×G → G heißt Halb- gruppe. Gibt es zus¨atzlich noch ein eindeutig bestimmtes Elemente∈Gderart, dass

a◦e=e◦a=af¨ur alle a∈G (eheißt neutrales Element) gilt sowie zu jedem a∈Gein eindeutig bestimmtes Elementa⁻¹∈Gexistiert mit

a◦a⁻¹ =a⁻¹◦a=e, (a⁻¹ heißt inverses Element zua)

dann heißt (G,◦) Gruppe und abelsche Gruppe, falls ◦ kommutativ ist, also a◦b = b◦a f¨ur alle a, b ∈ G gilt. Beispielsweise sind (Z,+),(Q,+) und (Rⁿ,+) abelsche Gruppen.

Bei der Addition + als Verkn¨upfung setzt man stets die Kommutatitivit¨at voraus. Man schreibt dann die 0 f¨ur das neutrale Element, also a+ 0 = 0 + a = a, und −a f¨ur das Inverse vona∈G. Allgemein schreibt man statt◦bei einer beliebigen Verkn¨upfung oft den Multiplikationspunkt · (den man auch verwendet, wenn man wirklich die Multiplikation meint) und schreibt oft kurz ab f¨ur a·b und bezeichnet das neutrale Element mit 1, also 1·a=a·1 = 1, und dass Inverse zu a∈Gmita⁻¹.

In Gruppen gelten folgende Rechenregeln:

(i) (a⁻¹)⁻¹ =aund (a·b)⁻¹=a⁻¹·b⁻¹,

(ii) Ausa·x=a·y folgt x=y und ebenso ausx·a=y·amitx, y∈G, a∈G\{0}, (iii) Die Gleichungen a·x = b und y·a =b sind eindeutig l¨osbar durch x = a⁻¹·b und

y=b·a⁻¹.

Eine MengeKzusammen mit zwei Verkn¨upfungen

+ :K×K→K und ·:K×K→K heißtK¨orper, wenn gelten:

(K1) (K,+) ist eine abelsche Gruppe, (K2) (K,·) ist eine abelsche Gruppe, (K3) Es gelten die Distributivgesetze:

a·(b+c) =a·b+a·c und (a+b)·c=a·c+b·c.

Ist (K,·) nur eine Halbgruppe, so spricht man von einemRing bzw. falls die Multiplikation zus¨atzlich kommutativ ist von einemkommutativen Ring.

IstK(also (K,+,·)) ein K¨orper, so gelten:

(i) 16= 0,

(ii) a+ (−a) = 0 f¨ura∈K, (iii) a·a⁻¹= 1 f¨ura∈K\{0},

(iv) Ausa·b = 0 folgta= 0 oderb= 0 f¨ura, b∈K, (v) a·(−b) =−(a·b) und (−a)·(−b) =a·b,

(vi) Ausx·a=y·amita∈K\0, x, y∈K folgtx=y.

zum Beispiel bilden Q,R und C mit der gew¨ohnlichen Addition und Multiplikation einen K¨orper, jedochNbzw.Znicht, da beispielsweise kein Inverses Element zu + bzw.·existiert, was zuN bzw.Zgeh¨ort.

W¨ahrend man es gewohnt ist, bei Vektorr¨aumen automatisch an den Rⁿ zu denken, kann man stattRnat¨urlich auch jeden beliebigen K¨orperKzulassen und nennt die Elemente von KSkalare. Die Rechenregeln aus demRⁿ stellen dabei die Grundlage f¨ur die axiomatische Definition dar:

Ein Vektorraum ¨uber einen K¨orper K besteht aus einer Menge V zusammen mit einer Addition +++ :V ×V →V und einer Multiplikation mit Skalaren •:K×V →V derart, dass gilt:

(V1) (V,+++) ist eine abelsche Gruppe mit Nullelement 000 (genanntNullvektor). Der zuv∈V negative Vektor werde mit−−−v bezeichnet.

(V2) F¨ur alle µ, λ∈Kund v, w∈V gelten:

(λ·µ)•v=λ•(µ•v), 1•v=v,

(λ+µ)•v=λ•v+++µ•v, λ•(v+++w) =λ•v+++λ•w.

Es gelten in einem VektorraumV (genauer: (V,+++,•)) f¨urv∈V und λ∈K: (i) 0•v= 000,

(ii) λ•000 = 000,

(iii) Aus λ•v= 000 folgt λ= 0 oderv = 000, (iv) (−1)•v=−−−v.

Da die Unterscheidung zwischen +,−,·und +++,−−−,•offensichtlich vernachl¨assigt werden kann (man denke beispielsweise anRⁿ), schreiben wir jetzt auch nur +,−,·und unterstellen das klar ist, was gemeint ist. Ein weiteres sch¨ones Beispiel f¨ur einenK-Vektorraum ist die Menge aller Abbildungen von einer nichtleeren MengeM in einen K¨orperK, also

V_K:=Abb(M,K) ={f:M →K}, zusammen mit

(f +g)(x) :=f(x) +g(x), und (λ·f)(x) :=λ·f(x) f¨ur alle f, g∈V_K, λ∈K. Eine TeilmengeU ⊆V heißt Untervektorraum, wenn gilt:

(U1) U 6=∅,

(U2) v+w∈U f¨ur alle v, w∈U, (U3) λv ∈U

Beispiele von Untervektorr¨aumen zum Rⁿ haben wir in der Zusammenfassung zum euklidi- schen Vektorraum und den ¨Ubungen. Unterr¨aume von V_R=Abb(I,R) mit einem Intervall

I ⊆R sind beispielsweise

B:={f ∈V_R|f ist beschr¨ankt}, C⁰ :={f ∈V_R|f ist stetig},

D:={f ∈V_R|f ist differenzierbar}, C¹ :={f ∈V_R|f ist stetig differenzierbar},

I :={f ∈V_R|f ist integrierbar}.