Repetitorium QM1 - Tag 2
1. M¨arz 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeine ¨Uberlegungen
2 Der Potentialtopf
3 Streuung an einer Potentialbarriere
Allgemeine ¨ Uberlegungen
Angefangen bei der Schr¨odingergleichung, allgemeines V(x):
− ~2
2m2ϕ00(x) +V(x)ϕ(x) =Eϕ(x)
⇒ϕ00+k2ϕ(x) = 0 mitk2(x) = 2m
~2(E −V(x)) Normierbarkeit⇒ lim
x→±∞ϕ(x) = 0
Eigenschaften:
|V(x)|<∞ umx0 ⇒ϕ diff’bar inx0 V(x) lokal∞ (→δ-Funktion) ⇒Knick in ϕ V(x) auf Intervall∞ ⇒ϕ= 0 in diesem Intervall
Qualitatives Verhalten:
FallE >V(x) (also klassisch erlaubt):
ϕ00(x) undϕ(x) haben untersch. VZ⇒Oszillation FallE <V(x) (also klassisch verboten):
ϕ00(x) undϕ(x) haben gleiches VZ
Verhalten f¨ur verschiedene Potentiale:
Fall 1: V(x)→ ∞ f¨ur x→ ±∞
nur diskrete Energien,minV(x)<E <∞
Fall 2: V(x)→V0 <∞ auf einer Seite
minV(x)<E <V0 ⇒ gebundene Zust¨ande (→ diskrete Energien) V0 <E ⇒ϕE(x) oszilliert →Wellenpakete f¨ur Normierbarkeit
Fall 3: V(x)−−−−−→x→±∞ V±<∞
minV(x)<E <V± ⇒diskret
V+ <E <V− ⇒kontinuierlich, ϕE f¨allt auf einer Seite exponentiell ab
V± <E ⇒ϕE(x) oszilliert f¨ur x→ ±∞
Der Potentialtopf
V(x) =
0 |x|<a V0 sonst
Ansatz - Schr¨odingergleichung:
−2m~22ϕ00(x) +V(x)ϕ(x) =Eϕ(x)
Strategie:
Separate L¨osungen in Bereiche 1, 2 und 3 Stetigkeitsbedingung
Schr¨odingergl. f¨ur die Bereiche 1&3 und 2:
ϕ00−κ2ϕ(x) = 0 mit κ2 = 2m
~2(V0−E)
ϕ00+k2ϕ(x) = 0 mitk2 = 2m
~2E
Allgemeine L¨osung:
V(x) =
a1·e−κx+b1·eκx in 1 a2·e−ikx +b2·eikx in 2 a3·e−κx+b3·eκx in 3
Unendlicher Potentialtopf
V(x) =
0 0<x <a
∞ sonst
NunV0 → ∞ ⇒κ= q2m
~2(V0−E)→ ∞
⇒ϕE(x) = 0 im Rand (Bereich 1&3)
Innerer Bereich:
ϕ00+k2ϕ(x) = 0 mitk2 = 2m
~2E Randbedingungen:
ϕ(0) =ϕ(a) = 0
FallE ≤0: ϕ(x) = 0→ nicht normierbar
FallE >0: ϕ(x) =A·cos(kx) +B·sin(kx), k >0 Randbed. → A= 0 ∧k =kn = πna ,n∈N
⇒ϕ(x) =B·sin(knx) mit B =...=p 2/a
En= 2ma~2π22n2,n ∈N
Bemerkungen:
1 Allgemein: gebundene Zust¨ande → diskrete Energien
2 E1 nennt man Grundzustandsenergie
3 Die Eigenfunktionen ϕn:=ϕEn bilden ein vollst¨andiges Orthonormalsystem
4 Die allg. L¨osung der Schr¨odingergl. besteht aus Linearkombinationen:
ϕ(x) =P
nβnϕn(x) bzw.
ϕ(x,t) =P
nβnϕn(x)e−iEnt/~
Wieder zur¨uck zum endlichen Potentialtopf
Hier aufwendigere Randbedingungen:
ϕ1(−a) =ϕ2(−a) ϕ2(+a) =ϕ3(+a) ϕ01(−a) =ϕ02(−a) ϕ02(+a) =ϕ03(+a)
⇒lineares, homogenes Gleichungssystem in a2,a3,b1,b2
Alternative: Symmetrie des Problems ausnutzen Aufteilung in Parit¨aten:
ϕ+(x) =
b+·eκx in 1 a+·cos(kx) in 2 b+·e−κx in 3
ϕ−(x) =
b−·eκx in 1 a−·sin(kx) in 2
−b−·e−κx in 3 Randbedingungen f¨uhren zu
tan(ka) = κ
k resp.
cot(ka) = −κ k
Mithilfe von der Kreisgleichungk2+κ2 = 2m
~2V0 l¨asst sich der Bruch κk durch eine Funktion f(ka) ausdr¨ucken.
Plotte tan(ka) = f(ka):
Anzahl der geb. Zust¨ande ist endlich und mind. 1 Der Grundzustand hat positive Parit¨at
Im Rahmen der Parit¨atsunterscheidung f¨uhren die Anfangsbedingungen zu:
ϕ+(x) =a+·
cos(ka)·eκ(a+x) in1
cos(kx) in2
cos(ka)·eκ(a−x) in3
ϕ−(x) =a−·
−sin(ka)·eκ(a+x) in1
sin(kx) in2
sin(ka)·eκ(a−x) in3
Streuung an einer Potentialbarriere
V(x) =
V0 >0 |x|<a
0 sonst
Allgemeine L¨osung:
ϕ(x) =
a1·eikx +b1·e−ikx in 1 a2·e−κx +b2·eκx in 2 a3·eikx +b3·e−ikx in 3
mit k2 = 2m
~2E und κ2= 2m
~2(V0−E)
Die Randbedingungen liefern uns in Matrixform:
a1
b1
!
=C(−a) a2
b2
!
a3 b3
!
=C(+a) a2 b2
!
C ∈ Mat(2×2;C)
⇒ a1 b1
!
=C(−a)C−1(+a)
| {z }
:=D ∈ Mat(2×2;C)
a3 b3
!
Betrachte nun einen Streuvorgang:
⇒b3 = 0
ϕ(x) =
a1·eikx +b1·e−ikx in 1 a2·e−κx +b2·eκx in 2 a3·eikx in 3
Definiere den Transmissions- und Reflexionskoeffizienten:
R =|jrefl.
jeinl.|= Zahl der reflektierten Teilchen Zahl der einlaufenden Teilchen T =|jtrans.
jeinl.
|= Zahl der transmittierten Teilchen Zahl der einlaufenden Teilchen Mit der Wahrscheinlichkeitsstromdichte
j(x) = 2mi~ (ϕ∗ϕ0−ϕ(ϕ∗)0)
⇒R = |b|a1|
1| = 1
|D11|2, T = |a|a3|
1| = |D21|2
|D11|2
Endergebnis:
T(E) = 1
1 +14 κk +kκ2
·sinh2(2κa) R(E) =
1 4
κ k +kκ2
·sinh2(2κa) 1 +14 κk +kκ2
·sinh2(2κa) Beachte:
R(E)+T(E) = 1
T(E)>0 f¨ur E <V0 (→ Tunneleffekt) Grenzfall hoher/weiter Barrieren (κa1):
T(E)≈ 16
(κk+kκ)2 ·e−2κ2
Analoge Rechnung f¨ur E >V0. Dort ist ebenfallsR(E)>0.
