Mathematik I f¨ ur Physiker:

LMU M¨unchen PD Dr. Heribert Zenk

Mathematisches Institut M. Feistl, K. Matzke

WiSe 2019/20

Mathematik I f¨ ur Physiker:

Tutoriumsblatt 3

Aufgabe T3.1

Behauptung: Alle Physikstudenten haben am gleichen Tag Geburtstag.

Beweis. Wir zeigen durch vollst¨andige Induktion ¨uber n ∈ N, dass in einer Gruppe von n Studenten alle am gleichen Tag Geburtstag haben.

Induktionsanfang (n=1): In einer Gruppe, die aus einem Studenten besteht, haben alle am gleichen Tag Geburtstag.

Induktionsschritt: Angenommen, in jeder Gruppe von n Studenten haben alle am gleichen Tag Geburtstag. Sei{x₁, . . . , xn+1} eine Gruppe vonn+ 1 Studenten. Nach Induktionsvor- aussetzung haben x₂, . . . , x_n+1 am gleichen Tag Geburtstag. Es haben aber auch x₁, . . . , x_n am gleichen Tag Geburtstag. Also hatx1 am gleichen Tag Geburstag wiex2, . . . , xn+1. Damit haben x1, . . . , xn+1 am gleichen Tag Geburtstag und die Behauptung ist f¨ur n+ 1 bewie- sen.

Offenbar ist die Behauptung falsch. Wo liegt das Problem in diesem Beweis?

Aufgabe T3.2

(a) Zeige mittels vollst¨andiger Induktion,dass

n

Y

i=1

1 +2

i

=

n+1

X

i=1

i

f¨ur alle n∈Nerf¨ullt ist.

(b) Bestimme allen∈N, f¨ur die gilt, dass

7n+ 3≤2ⁿ.

Aufgabe T3.3 SeiA⊂R und es existiere inf(A). Wir definieren

−A:={−a:a∈A}.

Beweise, dass

−inf(A) = sup(−A).

Aufgabe T3.4 Die Fibonacci-Folge ist definiert als f1 := 1 =: f2 sowie fn = fn−1+fn−2

f¨ur n∈Nmitn≥3. Zeige, dass

f_n= Φⁿ−Ψⁿ

√5 , wobei Φ = 1 +√ 5

2 und Ψ = 1−√ 5 2 .

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