Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie 7. Übungsblatt
PD Dr. Dr. C. Schneider P. Fink, M.Sc.
Aufgabe 1
Beweisen Sie folgenden Satz aus der Vorlesung:
Satz 8.6. Sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Seien
X1 ∈ L1(Ω,A, P), X2 ∈ L1(Ω,A, P), . . . , Xn∈ L1(Ω,A, P) stochastisch unabhängige Zufallsvariablen. Dann ist
EP
" n Y
i=1
Xi
#
=
n
Y
i=1
EP
hXii (1)
und
Var
n
X
i=1
Xi
!
=
n
X
i=1
VarXi. (2)
Aufgabe 2
Für i ∈ {1, . . . , n} sei Pi ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (R,B) mit Lebesgue-Dichte fi. Dann ist
f : Rn → R, (x1, . . . , xn) 7→ f1(x1)·. . .·fn(xn) eine Lebesgue-Dichte von P1⊗ · · · ⊗Pn aufRn, das heißt
dP1⊗ · · · ⊗Pn = f dλn. Zeigen Sie die Gültigkeit dieser Aussage.
Aufgabe 3
Man betrachte die beiden Maßräume (Ω1,A1, µ1) und (Ω2,A2, µ2), wobei Ω1 = Ω2 =R, A1 = A2 = B, µ1 = λ und µ2 ein nicht σ-endliches Zählmaß auf B ist. In diesem Fall hier ist µ2 definiert als
µ2(A) 7−→
|A| falls A endlich,
∞ sonst.
Man zeige, dass für die Diagonale D = {(ω1, ω2)|ω1 = ω2} von R×R = Ω1 ×Ω2 die Gleichheit
Z
Ω1
Z
Ω2
ID(ω1, ω2)µ2(dω2)µ1(dω1) =
Z
Ω2
Z
Ω1
ID(ω1, ω2)µ1(dω1)µ2(dω2) nicht gilt.
Übung: Mo 16–18h –1– Bearbeitung: 30.11.2015
