Zentral¨ubung 11.07.2019: Unentscheidbarkeit von Grammatik-Problemen

(1)

Formale Sprachen und Komplexit¨at

Sommersemester 2019

Zentral¨ ubung 11.07.2019:

Unentscheidbarkeit von Grammatik-Problemen

Prof. Dr. David Sabel

LFE Theoretische Informatik

(2)

Wiederholung: Unentscheidbarkeit mittels Reduktion zeigen

Definition (Reduktion (einer Sprache auf eine andere)) SeiL₁ ⊆Σ^∗₁ undL₂⊆Σ^∗₂ Sprachen.

Dann sagen wirL1 ist aufL2 reduzierbar(geschrieben L1 ≤L2), falls es einetotale und berechenbareFunktion f : Σ^∗₁ →Σ^∗₂ gibt, sodass f¨ur alle w∈Σ^∗₁ gilt: w∈L₁ ⇐⇒ f(w)∈L₂

Lemma

SeiL₁ ≤L₂ und L₁ ist unentscheidbar.

Dann ist auchL2 unentscheidbar.

(3)

Ziel und Vorgehen

Unentscheidbarkeit einiger Probleme f¨ur kontextfreie Grammatiken nachweisen

Meistens reduzieren wir 01-PCP auf das Problem

(4)

Wiederholung: Postschen Korrespondenzproblem

Definition (Postsches Korrespondenzproblem)

Gegeben sei ein AlphabetΣ und eine Folge von Wortpaaren K={(x₁, y₁), . . . ,(x_k, y_k)} mitx_i, y_i ∈Σ⁺. Das Postsche

Korrespondenzproblem (PCP) ist die Frage, ob es f¨ur die gegebene FolgeK eine Folge von Indizesi1, . . . , im mit ij ∈ {1, . . . , k}gibt, sodassx_i₁· · ·x_i_m=y_i₁· · ·y_i_m gilt.

01-PCP =Σ ist bin¨ar, z.B.Σ ={a, b}

Jetzt

Vor¨uberlegung: Funktion F, die K in F(K) = (G₁, G₂) mit G₁, G₂, CFGs ¨ubersetzt.

(5)

Wiederholung: Postschen Korrespondenzproblem

Definition (Postsches Korrespondenzproblem)

Gegeben sei ein AlphabetΣ und eine Folge von Wortpaaren K={(x₁, y₁), . . . ,(x_k, y_k)} mitx_i, y_i ∈Σ⁺. Das Postsche

Korrespondenzproblem (PCP) ist die Frage, ob es f¨ur die gegebene FolgeK eine Folge von Indizesi1, . . . , im mit ij ∈ {1, . . . , k}gibt, sodassx_i₁· · ·x_i_m=y_i₁· · ·y_i_m gilt.

01-PCP =Σ ist bin¨ar, z.B.Σ ={a, b}

Jetzt

Vor¨uberlegung: Funktion F, die K in F(K) = (G₁, G₂) mit G₁, G₂, CFGs ¨ubersetzt.

(6)

” F : 01-PCP → (G

1

, G

2

)“

G₁ = ({S, A, B},Σ∪{$,· 1, . . . , k}, P₁, S)wobei P₁ sind:

S→A$B

A→1Ax1 | . . . kAxk

A→1x₁ | . . . kx_k B→y₁B1| . . . y_kBk B→y11 | . . . ykk

wobeiy_i das Worty_i in umgedrehter Form ist.

L(G1) enth¨alt daher genau die Worte

in· · ·i1xi · · ·xi $yj · · ·yj j1· · ·jm,

(7)

” F : 01-PCP → (G

1

, G

2

)“ (2)

Die GrammatikG2 istG2 = ({S, T},Σ∪{$,· 1, . . . , k}, P₂, S), sodassP₂ aus den folgenden Produktionen besteht:

S →1S1| . . . |kSk |T T →a1T a1 | . . . anT an |$

L(G₂) enth¨alt daher genau die Worte i1· · ·inu$uin· · ·i1

mitu∈Σ^∗,ij ∈ {1, . . . , k},n≥0.

(8)

Worte im Schnitt L(G

1

) ∩ L(G

2

)

L(G1) enth¨alt genau die Worte

i_n· · ·i₁x_i₁· · ·x_i_n$y_j_m· · ·y_j₁j₁· · ·j_m, wobei n, m≥1 undi_r, j_s∈ {1, . . . , k}.

i1· · ·inu$uin· · ·i1

mit u∈Σ^∗,i_j ∈ {1, . . . , k},n≥0.

Worte in L(G₁)∩L(G₂):

i · · ·i x · · ·x $y · · ·y i · · ·i

(9)

Worte im Schnitt L(G

1

) ∩ L(G

2

)

i1· · ·inu$uin· · ·i1

mit u∈Σ^∗,i_j ∈ {1, . . . , k},n≥0.

in· · ·i1xi1· · ·xin$yin· · ·yi1i1· · ·in

mit n≥1 und xi1· · ·xin =yi1· · ·yin.

Daher i1, . . . , in ist L¨osung vonK gdw. Wort im Schnitt.

(10)

Worte im Schnitt L(G

1

) ∩ L(G

2

)

i1· · ·inu$uin· · ·i1

mit u∈Σ^∗,i_j ∈ {1, . . . , k},n≥0.

i · · ·i x · · ·x $y · · ·y i · · ·i

(11)

Worte im Schnitt L(G

1

) ∩ L(G

2

)

i1· · ·inu$uin· · ·i1

mit u∈Σ^∗,i_j ∈ {1, . . . , k},n≥0.

in· · ·i1xi1· · ·xin$yin· · ·yi1i1· · ·in

mit n≥1 und xi1· · ·xin =yi1· · ·yin.

Daher i1, . . . , in ist L¨osung vonK gdw. Wort im Schnitt.

(12)

Schnittproblem f¨ ur CFGs

Aufgabe

Zeige: Das Schnittproblem f¨ur kontextfreie Grammatiken (also die Frage, obL(G₁)∩L(G₂) =∅ f¨ur GrammatikenG₁, G₂ gilt), ist unentscheidbar.

Beweis: Obige FunktionF zeigt, dass 01-PCP auf das

Schnittproblem reduzierbar ist. Die Unentscheidbarkeit von 01-PCP impliziert daher die Unentscheidbarkeit des Schnittproblems.

(13)

Schnittproblem f¨ ur CFGs

Aufgabe

Zeige: Das Schnittproblem f¨ur kontextfreie Grammatiken (also die Frage, obL(G₁)∩L(G₂) =∅ f¨ur GrammatikenG₁, G₂ gilt), ist unentscheidbar.

Beweis: Obige FunktionF zeigt, dass 01-PCP auf das

Schnittproblem reduzierbar ist. Die Unentscheidbarkeit von 01-PCP impliziert daher die Unentscheidbarkeit des Schnittproblems.

(14)

Schnitt endlich-Problem

Aufgabe

Zeige: Das Problem, ob f¨ur kontextfreie GrammatikenG1, G2 gilt, L(G₁)∩L(G₂) =∞, ist unentscheidbar.

Beweis:

Wenn L(G1)∩L(G2)6=∅, dann giltL(G1)∩L(G2) =∞, da man die 01-PCP-L¨osungsfolge beliebig oft wiederholen kann.

Daher K hat 01-PCP-L¨osung g.d.w. L(G1)∩L(G2) =∞ Daher liefert F(K) = (G1, G2) auch eine Reduktion von 01-PCP in das Schnitt endlich-Problem.

(15)

Schnitt endlich-Problem

Aufgabe

Beweis:

(16)

Schnitt endlich-Problem

Aufgabe

Beweis:

(17)

Schnitt L(G

1

) ∩ L(G

2

) nicht kontextfrei

Man kann zeigen, dass der SchnittL(G1)∩L(G2) wenn er nicht leer ist, nicht kontextfrei ist.

Wesentliches Argument im Pumping-Lemma-Beweis:

F¨ur Wort

(in· · ·i1)ô(xi1· · ·xin)ô$(yin· · ·yi1)ô(i1· · ·in)ô

mit Mindestlängeo, kann die Zerlegung inuvwxy, das Teilwortvwxnur in maximal zwei der vier(· · ·)ô-Teilworte legen. Dann kann man stets aus der Sprache herauspumpen, da alle 4 (· · ·)ô-Teile über i1, . . . , in miteinander verbunden sind.

(18)

Kontextfreier Schnitt-Problem

Aufgabe

Zeige: Das Problem, ob der Schnitt zwei kontextfreier Sprachen kontextfrei ist, ist unentscheidbar.

Beweis:

01-PCP-Instanz K unl¨osbar g.d.w. f¨urF(K) = (G1, G2), L(G₁)∩L(G₂) kontextfrei.

Daher haben wir das Komplement von 01-PCP auf das Schnittproblem reduziert.

Da 01-PCP unentscheidbar, ist auch das Komplement

(19)

Kontextfreier Schnitt-Problem

Aufgabe

Beweis:

Da 01-PCP unentscheidbar, ist auch das Komplement unentscheidbar und damit folgt der Satz.

(20)

Kontextfreier Schnitt-Problem

Aufgabe

Beweis:

Da 01-PCP unentscheidbar, ist auch das Komplement

(21)

Komplemente

L(G1) und L(G2) mitF(K) = (G1, G2) sind sogar deterministisch-kontextfrei.

Begr¨undung: DPDA konstruierbar Daher:

Komplemente vonL(G1), L(G2) sind auch deterministisch kontextfrei

Grammatiken daf¨ur sind berechenbar (ohne Beweis, siehe Literatur)

F¨uri= 1,2 sei G⁰_i die Grammatik mit L(Gi) =L(G⁰_i) und sei F_i(G_i) =G⁰_i.

(22)

Komplemente

F¨uri= 1,2 sei G⁰_i die Grammatik mit L(Gi) =L(G⁰_i) und sei

(23)

Komplemente

F¨uri= 1,2 sei G⁰_i die Grammatik mit L(Gi) =L(G⁰_i) und sei F_i(G_i) =G⁰_i.

(24)

Inklusionsproblem

Aufgabe

Zeige: Das Problem, ob f¨ur zwei gegebene kontextfreie

GrammatikenG_A, G_B gilt: L(G_A)⊆L(G_B) ist unentscheidbar.

Beweis:

Sei K Instanz des 01-PCP.

Sei F⁰⁰(K) = (G₁, G⁰₂)(wobei F(K) = (G₁, G₂) und G⁰₂ =Fi(G2).

Dann ist K genau dann unl¨osbar, wennL(G1)⊆L(G⁰₂) gilt, denn: L(G₁)∩L(G₂) =∅g.d.w. L(G₁)⊆L(G₂)).

Daher ist das Komplement von 01-PCP auf das Inklusionsproblem reduzierbar.

(25)

Inklusionsproblem

Aufgabe

Beweis:

Da 01-PCP unentscheidbar ist, auch das Komplement von 01-PCP unentscheidbar, und damit isit auch das

Inklusionsproblem unentscheidbar.

(26)

Inklusionsproblem

Aufgabe

Beweis:

(27)

Inklusionsproblem

Aufgabe

Beweis:

Da 01-PCP unentscheidbar ist, auch das Komplement von 01-PCP unentscheidbar, und damit isit auch das

Inklusionsproblem unentscheidbar.

(28)

Inklusionsproblem

Aufgabe

Beweis:

(29)

Aquivalenzproblem ¨

Aufgabe

GrammatikenG_A, G_B gilt: L(G_A) =L(G_B) ist unentscheidbar.

Beweis:

Sei F⁰(K) = (G₃, G⁰₂) (wobei F(K) = (G₁, G₂) und G⁰₂ =Fi(G2) und L(G3) =L(G1)∪L(G⁰₂)

Dann ist K genau dann unl¨osbar, wennL(G3) =L(G⁰₂) gilt, denn: L(G₁)∩L(G₂) =∅g.d.w. L(G₁)⊆L(G₂) g.d.w.

L(G1)∪L(G2) =L(G2).

Daher ist das Komplement von 01-PCP auf das Aquivalenzproblem reduzierbar.¨

Da das Komplement von 01-PCP unentscheidbar, ist auch das Aquivalenzproblem unentscheidbar.¨

(30)

Aquivalenzproblem ¨

Aufgabe

Beweis:

L(G1)∪L(G2) =L(G2).

Daher ist das Komplement von 01-PCP auf das

(31)

Aquivalenzproblem ¨

Aufgabe

Beweis:

L(G1)∪L(G2) =L(G2).

(32)

Aquivalenzproblem ¨

Aufgabe

Beweis:

L(G1)∪L(G2) =L(G2).

Daher ist das Komplement von 01-PCP auf das

(33)

Aquivalenzproblem ¨

Aufgabe

Beweis:

L(G1)∪L(G2) =L(G2).

(34)

Mehrdeutigkeitsproblem

Aufgabe

Zeige: Das Problem, ob eine kontextfreie GrammatikGmehrdeutig ist, ist unentscheidbar.

Beweis:

Sei F3(K) =G4 (wobeiF(K) = (G1, G2) und L(G₄) =L(G₁)∪L(G₂)

Dann ist K genau dann l¨osbar, wennG4 mehrdeutig ist.

Das gilt, da bei Lösbarkeit, Worte im Schnitt von L(G1) und L(G₂) existieren, die mit 2 verschiedenen Syntaxbäumen hergeleitet werden können.

(35)

Mehrdeutigkeitsproblem

Aufgabe

Beweis:

Daher ist 01-PCP auf das Mehrdeutigkeitsproblem reduzierbar.

Da 01-PCP unentscheidbar ist auch das Mehrdeutigkeitsproblem unentscheidbar.

(36)

Mehrdeutigkeitsproblem

Aufgabe

Beweis:

(37)

Mehrdeutigkeitsproblem

Aufgabe

Beweis:

(38)

Mehrdeutigkeitsproblem

Aufgabe

Beweis:

(39)

Mehrdeutigkeitsproblem

Aufgabe

Beweis:

(40)

Regularit¨ atsproblem

Aufgabe

Zeige: Das Problem, ob f¨ur CFGG,L(G) regul¨ar ist, ist unentscheidbar.

Beweis:

Sei F₄(K) =G₅ wobeiF(K) = (G₁, G₂) und L(G5) =L(G1)∪L(G2)

Wenn K unl¨osbar, dann L(G₁)∩L(G₂) =∅=L(G₁)∪L(G₂) und daherL(G5) =Σ^∗ und daher L(G5)regul¨ar.

Wenn K l¨osbar, dann L(G1)∩L(G2) nicht kontextfrei (und daher auch nicht regul¨ar) undL(G1)∪L(G2) =L(G5) nicht kontextfrei

(41)

Regularit¨ atsproblem

Aufgabe

Beweis:

Wenn K lösbar, dann L(G1)∩L(G2) nicht kontextfrei (und daher auch nicht regulär) undL(G1)∪L(G2) =L(G5) nicht kontextfrei (und daher nicht regulär). Da reguläre Sprachen abgeschlossen unter Komplementbildung,kann L(G5) auch nicht regulär sein.

Damit haben wir das Komplement von 01-PCP auf das Regularit¨atsproblem reduziert.

(42)

Regularit¨ atsproblem

Aufgabe

Beweis:

(43)

Regularit¨ atsproblem

Aufgabe

Beweis:

Wenn K lösbar, dann L(G1)∩L(G2) nicht kontextfrei (und daher auch nicht regulär) undL(G1)∪L(G2) =L(G5) nicht kontextfrei (und daher nicht regulär). Da reguläre Sprachen abgeschlossen unter Komplementbildung,kann L(G5) auch nicht regulär sein.

Damit haben wir das Komplement von 01-PCP auf das Regularit¨atsproblem reduziert.

(44)

Regularit¨ atsproblem

Aufgabe

Beweis: