Hap far

Def

^{.: o Eine Familie}

ft

, EH

}

^{mit nicht}

wotwendiyerweise

abzirhlbwer

- DEA

lndlxmenge ^{A heipt}

orthonormal

, wenn

Hap

^c-A:

^Eta

^,

Xp

^{> =}

Sap

^.

• Eine orthonormal

Basis (

^ONB

)

von 71 ist eine orthonormale Familie

f ^ta

^C-

713µA

,

far

^die

gilt

^:

(

^{FatAi -}

^tats

^--

₀₁₌₇ ⁴⁼⁰

^.

° Die Dimension eines Llilbwtraums ^ist die Kardinal^-tout einer

(

and dam^it

jedv ⁾

ONB^.

• Ein Hilbvtraum

kept separate

^{wenn eine}

^abzirhlbwe

^{ONB existivt.}

88

Bem^{.: •} Mit

Hilfe

^{von "Zorn's} Lemma^" Kann

jedeorthonormale

^{Familie zu liner ONB}

vjanztwudln

^.

(

^{d. h.} insbesondue

, class imnnveiue ONB eeistivt

)

• Zwei Hilbvtroiume ^{sind "}

isomorph

^"

⁽

^d.h.es

gibt

^{line linear}

bijektive ^Isometric

zw. ihueu

) _genan

^{dauu wenu} die

Dimension

^en

inbereinstrmmen

.

Bsp

^{.: °}

Ed

und L21N) sind

separable

Hilbertraume . Als ONB Kohnen wir waihlen:

µ,

: : (7.o.O,^...)_, 4,:-. (0,1.0

,

...)

, --.

° L2(IR^") ist ebeu

falls sepwabel

^{. Zur} koustrnktion einer ONB belrachte

, ,

Gauplsche Welhnpakete

^"

Gnu

^{):= e-"''"}

'tikx

, k.ca^" .

Mikels Gram^{. Schmidt}

leapt

^{sick dwans line} orthonormale Families

{ Exe

^MR")

}×←µ

konstrnieren .

Sci nun

FEIHR

^{") unit e}

Ex ,f

^{>:O Kx . Dann}

gilt

^{anch 0:efr,}

^,f

^>.-

F( gf

^)lk)

V.KEQ^" _,wobei

gc

^{×):-. (}

^2Ij÷

^e-"

×"²

.

Wegeu

^g.

^ftl

^{' ist}

gf

^{EL' und damit R}

"

kt^'

Flgl

^)(k)

stekg

^.

^{Dies impliziert}

F (

gf

^{)Lk) :O KKER".}

Mit

Hglllz

^±

Hgllaollfll

^,

gilt

^anch

gfet

^{und da F}

bijekliv anf

^L' ist, muss demnach

gf

^{:O also}

^f

^{:O sein.}

Dies bedentrt cinch

, dass dim ( LYIR^")

)

⁼ dim

(

^14N)

)

, d.h. die beiden Raiume Sind

isomorph

^.

•

Bsp

^.

fir

^{eineu nicht-}

sepwablen

^{Hilbwtraum ist du Raum AP' der "}

fast period

^'schen

Funklionen^". Der ^Raum _span

( ^t

^{×'→ e}

:t×]×

.,p

) ^EGR

^{billet unit dem}

Skalwprodnkt

<

t.fi/ctTgLtIdteineuPrihilbwtraum.dessenVeruokstandiguugAP2ist

^Da

fig

^>

f

^{.'xts= himT→}

either

^a

orthonormale

^{line Famine ist}, Kann dim(AP^') ^nicht abzaihlbwsein. ^.

89

Satz

: Sei

I

^:

: { ^ti

^{,. . .,}

^{ten }}

^line

orthonormale

Famine von Elementen lines

Hilbertraums 71 und ^Si: span

(E)

^.

Danngilt ^fir

^alle

^feH

^:

lit

Bf

^:

÷h

,

<t;

,l

^>t;

Li :)

11111

^{' '.}

¥

^.,

let

:

,f

^>

1

^"

"

Bessel

's

chewing

^."

Beweis

: li) Mit

f

^'::

§

,,

it_;

,l

^>

Y

; es

gilt ^{Kt ;}

^E

^I

^:

<

ts

, f- 9^{' >= <t}_,

,f

^>.

§

.,

et_;

.pt#s..0

^{. Also}

^{f- f}

^{' c.}

^St

^.

=

Sij

Damit ist

f

^:

f

^'+

(

f^-f^'

)

eine

orthogonal Zerlegung ^bzgl

^{. 71=5 0st.}

Da diese

eindenkg

^ist,

gilt ^f

^'.

^Bf

^.

Li:)

Folyt

^ours

Pythagoras

^:

¹¹⁹¹¹²

^:

^{11 Psfh 't}

¹¹

^{B- 9112}

^?

^HBFH

'

.

I]

Satz: Se^: 71 ein Hilbertraum und

I

^:-.

4

then

}aea

^{unit AEN} arthonormal.

Dann sind

folgende Aussageu ^Equivalent

^:

l:)

I

^ist ONB

1ⁱⁱ)

It

^:

to }

(ⁱⁱⁱ) H ^.. spanI ^- wobei die rechte Seit in Norm

(iv) ^V.

fe

^71:

f

^:

fatty

^,y>

^ya

^,

^kouvvgiwt

^{, uuabh. von du}

-

Sumnakousreihenfolge

^.

(

^v

) FFEH

^:

111112=12

c.A

^{lelita 't}

^.,

^Pwseval

^-

^ldenditat

^"

Beweis

^{: Wir nehmen an},

dass

^A=N.

nli :) s (i) : Sei

fe Itlto ^}

^{. Dann were < Ya}

^,f

^{> =0}

^V.

^{x und}

weyeu ftO

,

I

^keine ONB^.

(

Titsachlich ist l it# lii) per Definition liner ONB

)

GO lii ) ^Ciii) ^: span(

I I )

^:

( Itf

^'"

^to }t

^: 71

(ⁱⁱⁱ) ^(iv)^: Sei Sm^{: .} _span

TK

^....Ym

}

_,

Pm

^:=

Bm

^{. Nach Annahme}

gilt

^.

class

fur

^alle

FEH

^eine

Folge (

fuespanle ^Hfn

^-

⁹¹¹

^{→ 0 . )}

^)neµ

^{existiert, unit}

Sei

( mine

^N

)n ⇐ w

^{line mouoton wachsende}

Folge

^{, so class}

^fut Smn

^.

Dann gilt

^{: 0 ±}

^Ill

^-

Pmuf ^{He 119}

^-

^full

^{→ 0 .}

Da 11 f

^.

Pufll

^{unit wachsendem n mouton abnimmt T}

gilt

^{: 0 ±}

^Ill

^.

§

,

it:,l^> t_;

H

^:

11 f- Pnfll

^{→ 0 .}

)

i ^{f- Put 11}

^:

¹¹¹

^-

^{Pnnpnf H}

Pn+,

fist

^naichstes

^{in Hfpnnlll}

Element

zuf

ⁱⁿ

^Pn+

^,H.

(iv) Iv) ^{: For}

fu

^:=

÷2

,

< t_;

,f

^> t:

gilt

^{: 11}

^full

'

:

÷2

,

left

^:>

12

.

Da

nach Annahme

fn→f

,

gilt

^anch 1911^':

tiny

.

11h11^''

IL

,

kliti^'

1

^'.

sci) 7(v) ^: 1st

fe Itlto }

, dann

gilt ftp.t

^;>

¹²

^{- o t}

¹¹¹¹¹²

^.

II

Ben

^{. :}

Dieser

^Satz

gilt analog

^anch

^far

^nicht-

^separable

tlilbertraume.

korollw

^: 1st Tt;

}

;ew line ONB ^cines Hilbertraums

, dann

gilt for

^alle

f. TEH

^:

if

,

T

^{> =}

¥µ

^''

^f.

^ti'et;

^if

^{> . "}

^Pwsevalgi

^."

Stekgkeit^{des <.,.>}

Bewiis

^{: <}

f. f

^{> = i}

Fetal ^f

^{>t; .}

^{gets ,f .}

^>

^tss it §

^{< y:>it,}

^,T

^>

^rites

=S. II

④

Bsp.io

^Far

^{I (}

^totes

⁾

^ist

^{I f}

^{x t' e"×}

}ne±

^{eine ONB .}

Demnach

gilt ^fir jedesfc-LCIoii.is ⁾

^unit

cn^.

-=

¥7

^e-''"

^fu

^)de , dass

E.

,

ein

^' →

f for

^N-so.

Die

kouvvgenz

^{ist in}

^I

^-Norm.

Punktweisekonrergenz

^Oder

konrvgeuz bzgl

^.

another Morwen

gilt

^{i.a. nicht.}

° Far

I (

top ^{x to},'T]

) ^bitten

^die

kugelfloichenfnnktionen Yi

^{wit Lerro},

met

^-I_,^{. ..}_, ^L

}

^{eine ONB}

Bein Vgl

^{. zw. Pwseral d Plaucherel}

^{fir f.} TEE

^(R"

⁾

^:

Planchet

^e

^f

^,

I

^{> =}

I ^FCI

^{FIT)lk) dk}

unit F(f)^{Ik ) = Go})^- e-^it."

fee

^{, ok}

IR^"

Parserali

^e

^{f. T}

^{> =}

I

^sets,

^T

^>

unit eta.gs ^--

tax ^f

^{le) dx}

D.h.

"ebeue Wellen^" x to (

2*57 eik

^-× hehmen

fir ^Planchette

^die

^Rolle

der

ONB

^ein.

Alluding

^{sind diese nicht in}

^{I ?}