Abiturprüfung Berufliche Oberschule 2017
Mathematik 13 Nichttechnik - B II - Lösung
Teilaufgabe 1.0
Im IR3 sind die Punkte A( 2 | 2 | 2), P( 2 | 3 | 5) und die Ebene E: x
2
2 2
r
2 0 0
s
2 1 0
=
mit a, μ ∈ IR gegeben.
Teilaufgabe 1.1 (5 BE)
Zeigen Sie, dass die beiden Richtungsvektoren u
und v
der Ebene E zusammen mit dem Vektor AP
eine Basis des IR3 bilden.
Begründen Sie, dass der Punkt P nicht Element der Ebene E ist.
AP
OP
OA
=
2
3 5
2 2 2
=
0
5 3
=
zu zeigen:
λ1 2 0 0
λ2 2 1 0
λ3
0
5 3
0 0 0
=
1
( ) 2λ12λ2=0 2
( ) λ2 5λ3=0 3
( ) 3λ3=0
Aus (3) λ3=0
Aus (2) λ2=0 Also sind die drei Vektoren linear unahängig, also eine Basis des IR3. Aus (1) λ1=0
OP
in die Ebenengleichung einsetzen:
2=2 2 r 2 s 2
3 5
2 2 2
r
2 0 0
s
2 1 0
= ⇔ 3=2 s
5=2 Widerspruch
Das heißt: P ∉ E.
Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E und geben Sie die besondere Lage von E im Koordinatensystem an.
x1 x2 x3
2 2 2
r
2 0 0
s
2 1 0
=
2 0 0
2 1 0
x1 2 x2 2 x3 2
⇒ x3 2 =0 ⇔ x3 2= E ist echt parallel zur x1-x2-Ebene
Teilaufgabe 1.3 (3 BE)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s der Ebenen E und F: x1 x3 =0.
1 0
0 0
1 1
0 2
Wähle: x2=τ
1. Zeile: x1 2 =0 ⇒ x1=2 Schnittgerade s:
x
2 τ 2
=
2 0 2
τ
0 1 0
= mit τ ∈ IR.
Teilaufgabe 1.4 (4 BE)
Zeigen Sie, dass A ∉ s gilt. Entscheiden Sie ohne weitere Rechnung, wie die Schnittgerade s zur Geraden AP liegt. Fertigen Sie hierzu eine aussagekräftige Skizze an.
OA
in die Geradengleichung einsetzen:
2 2 2
2 0 2
τ
0 1 0
=
1. Zeile: 2=2 Widerspruch
Es gilt: A ∈ E, P ∉ E, s⊂ E
Die Geraden sind windschief zueinander.
Teilaufgabe 1.5 (4 BE)
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geradenschar ga: x
2 a 2 a
μ
1 2
2a
= mit a, μ ∈ IR
und der Ebene E in Abhängigkeit von a.
g in E: a μ(2a)=2
⇔ 2aμ=2 a (*)
⇔ μ 2a
2a
= fallsa 0
1. Fall: a=0 (*) 0=2 Widerspruch, keine Lösung, g und E echt parallel.
2. Fall: a 0 (*) genau eine Lösung, g schneidet E.
Teilaufgabe 2.0
Drei konventionelle landwirtschaftliche Betriebe B, R und S sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief-Modell verflochten. Das Diagramm stellt die momentane Verflechtung der Betriebe in Mengeneinheiten ME dar mit a, b, y1 ∈ IR+.
Bestimmen Sie a, b, y1 und geben Sie deren Bedeutung im Sachzusammenhang an.
Berechnen Sie die Inputmatrix A.
x1 x11 x12= x13 y1
400=16060 60 y1
y1 400 160 6060 y1 120 Lieferung von B an den Markt.
x2 x21 x22= x23 y2
300=a 12020 120
a 300 120 20 120 a 40 Lieferung von R nach B.
x3 x31 x32= x33 y3 200=0 60b0
b 200 60 b140 Eigenbedarf von S.
Warenflussmatrix:
Verflechtung B R S
B 160
40 0
R 60 120
60 S 60 20 140
Markt 120 120 0
Produktion 400 300 200
Inputmatrix:
A
160 400 40 400
0 60 300 120 300 60 300
60 200
20 200 140 200
A
0.4 0.1 0
0.2 0.4 0.2
0.3 0.1 0.7
Teilaufgabe 2.2 (7 BE)
In der nächsten Produktionsperiode wird erwartet, dass die Nachfrage von Produkten der Betriebe B auf 82 ME und R auf 84 ME sinkt. Betrieb S soll 10 ME an den Markt liefern.
Berechnen Sie den zugehörigen Produktionsvektor. Nennen Sie die Ursache dafür, dass trotz des Absinkens der Produktion in allen drei Bereichen die Marktabgabe in einem Betrieb steigt.
y
E A
( ) x
=
E 1 0 0
0 1 0
0 0 1
EA
0.6
0.1 0
0.2 0.6
0.2
0.3
0.1 0.3
y
82 84 10
=
Gleichungssystem aufstellen:
0.6
0.1 0
0.2 0.6
0.2
0.3
0.1 0.3
x1 x2 x3
82 84 10
=
Lösung des Gleichungssystems:
0.6 II( ) 0.1 I( ) 0.6
0.1 0
0.2 0.6
0.2
0.3
0.1 0.3
82 84 10
--->
0.6 0 0
0.2 0.34
0.2
0.3
0.09 0.3
82 58.6
10
0.34 III( )0.2 II( ) 0.6 0 0
0.2 0.34
0
0.3
0.09 0.084
82 58.6 15.12
--->
3. Zeile: x3 15.12
0.084 180
2. Zeile: x2 1
0.34(58.60.09 180 )
x2 220
1. Zeile: x1 1
0.6(82 0.2 220 0.3 180 )
x1 300
Produktionsvektor: x
300
220 180
= Da die Betriebe B und R weniger produzieren, benötigen diese weniger ME des Betriebs S, der daher an den Markt liefern kann
Die Betriebe entschließen sich mittelfristig auf biologische Betriebsführung umzustellen.
Für die Umstellung egibt sich die neue Inputmatrix Aneu 0.4 0.1 0
20.004 t 0.4 0.02 t( 8)
0.3 0.1 0.7
= .
Dabei ist t ∈ [ 16 ; 22 ] ein technologieabhängiger Parameter.
Berechnen Sie, für welchen Wert von t die Summe der Marktabgaben aller drei Betriebe am größten
ist, wenn der Produktionsvektor x
40 t 10 t 12 t
= geplant ist.
Hinweis: Es kann davon ausgegangen werden, dass die Marktabgaben der drei Betriebe für t ∈ [ 16 ; 22 ] nicht negativ sind.
y
E Aneu
x=
Aneu t( ) 0.4 0.1 0
2 0.004 t 0.4 0.02 t( 8)
0.3 0.1 0.7
EAneu t( )
0.6
0.1 0
0.004 t 2 0.6
0.02t0.16
0.3
0.1 0.3
y1 y2 y3
0.6
0.1 0
0.004 t 2 0.6
0.02t 0.16
0.3
0.1 0.3
40 t 10 t 12 t
=
0.04 t20.4 t 0.8 t 5.2 t 0.2 t2
=
Summe der Marktabgaben:
s t( )
0.04 t2 0.4 t
0.8 t
5.2 t 0.2 t2
s t( ) 6.4 t 0.16 t2
s' t( ) t
s t( ) d d
0.32t 6.4
s' t( ) =0 ⇔ 0.32t6.4=0 ⇔ t0 6.4
0.32 t0 20 Graph von s ist eine nach unten geöffnete Parabel:
Maximale Marktabgabe: smax s t0
