Abiturprüfung Berufliche Oberschule 2016
Mathematik 13 Technik - A II - Lösung
Teilaufgabe 1
Gegeben ist die Funktion f mit f x ( ) ( x 1 ) 2 x 1
( ) ( x 3 )
= mit der Definitionsmenge Df = IR \ { 1 ; 3 }.
Teilaufgabe 1.1 (4 BE)
Geben Sie die Nullstelle von f an und zeigen Sie, dass der Graph von f symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung x = 1 ist.
Nullstelle: x0 1 = zweifach
Koordinatentransformation: x = u 1 y = v
v u ( ) ( u 1 1 ) 2 u 1 1
( ) ( u 1 3 )
= u 2
u 2
( ) ( u 2 )
= u 2
u 2 4
=
v ( u ) ( u ) 2
u ( ) 2 4
= u 2
u 2 4
= = v u ( ) ⇒ Achsensymmetrie
Teilaufgabe 1.2 (6 BE)
Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) an den Rändern der Definitionsmenge und geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen von f an.
4 4
↑ ↑
3 x
x 1
( ) 2
x 1
( ) ( x 3 )
lim ∞
3 x
x 1
( ) 2
x 1
( ) ( x 3 )
lim ∞ senkrechte
Asymptote
↓ ↓
x = 3 0
-0
+mithilfe der Symmetrie:
senkrechte Asymptote
1 x
x 1
( ) 2
x 1
( ) ( x 3 )
lim ∞
1 x
x 1
( ) 2
x 1
( ) ( x 3 )
lim ∞
x = 1
Zählergrad = Nennergrad:
waagrechte Asymptote
∞x
x 1
( ) 2
x 1
( ) ( x 3 ) lim
1
x
∞x 1
( ) 2
x 1
( ) ( x 3 ) lim
1
Teilaufgabe 1.3 (5 BE)
Ermitteln Sie das Monotonieverhalten des Graphen von f.
[ Mögliches Teilergebnis: f' x ( ) 8 ( x 1 ) x 1
( ) ( x 3 )
[ ] 2
= ]
f x ( ) ( x 1 ) 2 x 1
( ) ( x 3 )
= ( x 1 ) 2
x 2 2 x 3
=
f' x ( ) 2 x ( 1 ) x 2 2 x 3 ( x 1 ) 2 ( 2 x 2 ) x 1
( ) 2 ( x 3 ) 2
= 2 x ( 1 ) x 2 2 x 3 x 2 2 x 1
x 1
( ) 2 ( x 3 ) 2
=
f' x ( ) 2 x ( 1 ) ( 4 ) x 1
( ) 2 ( x 3 ) 2
= 8 ( x 1 )
x 1
( ) 2 ( x 3 ) 2
=
x 1 x = 1 x 3
Zähler pos pos neg neg
Nenner pos pos pos pos f '(x) pos pos neg neg G
fsms sms smf smf
HP
G
fist streng monoton steigend in x ∈ ] ∞ ; 1 [ und in x ∈ ] 1 ; 1 ] .
G
fist streng monoton fallend in x ∈ [ 1 ; 3 [ und in x ∈ ] 3 ; ∞ ] .
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1 1 2 3 4 5 6
x-Achse
y-Achse
Teilaufgabe 1.4 (4 BE)
Zeichnen Sie den Graphen von f für 6 x 6 unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse.
Tragen Sie auch alle Asymptoten ein. (1 LE = 1 cm).
x1 6 2 x2 0.5 0 2.5 x3 3.5 4 6
x1 -6 -5 -4 -3 -2
f x1
1.09 1.13 1.19 1.33 1.8
x2
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
f x2
-1.3 -0.3 -0.1 0 -0.1 -0.3 -1.3
x3
3.5 4 4.5 5 5.5 6
f x3
2.8 1.8 1.5 1.3 1.2 1.2
Teilaufgabe 1.5 (6 BE)
Der Graph von f schließt mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x = 4 und x = 6 eine Fläche ein. Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieser Fläche. Runden Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen.
A 4
6
x 1 x
( ) 2
x 1
( ) ( x 3 )
d
=
Nebenrechnungen:
x 1
( ) 2
x 1
( ) ( x 3 )
x 2 2 x 1 x 2 2 x 3
=
x 2 2 x 1
÷ x 2 2 x 3 1 4
x 1
( ) ( x 3 )
=
x 2 2 x 3
_____________
4
4 x 1
( ) ( x 3 ) A x 1
B x 3
= A x ( 3 ) B x ( 1 ) x 1
( ) ( x 3 )
= ( A B ) x ( B 3 A ) x 1
( ) ( x 3 )
=
Koeffizientenvergleich:
1
( ) A B = 0 Aus (1) A = B
2
( ) B 3 A = 4 In (2) 4 B = 4 ⇒ B = 1 in (1) A = 1
F x ( ) ( x 1 ) 2 x x 1
( ) ( x 3 )
d
= 1 1 x
x 3
1
x 1
d
= = x ln x 3 ln x 1
A = F 6 ( ) F 4 ( ) = 6 ln 3 ( ) ln 7 ( ) 4 ln 1 ( ) ln 5 ( ) 2 ln 15 7
= = 2.762
Teilaufgabe 1.6 (7 BE)
Begründen Sie, dass die Funktion g mit g x ( ) = f x ( ) und Dg = ] 3 ; ∞ [ umkehrbar ist.
Bestimmen Sie den Term der Umkehrfunktion g 1 , deren Definitionsmenge sowie die Steigung des Graphen von g 1 an der Stelle x 4
= 3 .
G
fist streng monoton fallend für x > 3, also auch G
g, deshalb umkehrbar.
y x 2 2 x 1 x 2 2 x 3
= x y 2 2 y 1
y 2 2 y 3
= D
g= ] 3 ; ∞ [ W
g= ] 1 ; ∞ [
x y 2 2 x y 3 x = y 2 2 y 1 ⇔ ( x 1 ) y 2 ( 2 2 x ) y 3 x 1 = 0
x 1
( ) y 2 ( 2 2 x ) y 3 x 1 = 0
auflösen y
vereinfachen
2 x 2 x x 1 1
1 2 x 2 x x 1
y1 1 2 x 2 x x 1
= 1 2 x
x 1
= W g 1 = ] 3 ; ∞ [ D
g
1= ] 1 ; ∞ [
y2 1 2 x 2 x x 1
= 1 2 x
x 1
= Lösung g 1 ( ) x 1 2 x
x 1
=
g x ( ) 4
= 3 ⇔ x 2 2 x 1 x 2 2 x 3
4
= 3 ⇔ x 2 2 x 1 4
3 x 2 8 3 x
4
=
x 2 2 x 1 4
3 x 2 8 3 x
4
= ⇔ 1
3 x 2 2 3 x
5 = 0 auflösen x 3 5
Lösung
Steigung der Umkehrfunktion:
m g
11 g' 5 ( )
= ( 5 1 ) 2 ( 5 3 ) 2
8 ( 5 1 )
= 9
= 2
Teilaufgabe 2
Gegeben ist weiter die Funktion k mit k x ( ) = arctan f x ( ( ) ) mit der Funktion f aus Aufgabe 1 und Dk Df = .
k x ( ) arctan ( x 1 ) 2 x 1
( ) ( x 3 )
= arctan x 2 2 x 1
x 2 2 x 3
=
Teilaufgabe 2.1 (4 BE)
Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte k x ( ) für x → ± ∞ und x → 3 sowie die Gleichung der Asymptote des Graphen von k.
∞x
arctan x 2 2 x 1 x 2 2 x 3
lim
arctan 1 ( )
= π
= 4
Waagrechte Asymptote: y π
= 4 x
∞arctan x 2 2 x 1 x 2 2 x 3
lim
arctan 1 ( )
= π
= 4
3 x
arctan x 2 2 x 1 x 2 2 x 3
lim = arctan ( ∞ ) π
2
=
3 x
arctan x 2 2 x 1 x 2 2 x 3
lim = arctan ( ∞ ) π
= 2
Teilaufgabe 2.2 (3 BE)
Bestimmen Sie für den Graphen von k das Monotonieverhalten.
k' x ( ) 1 1 ( f x ( ) ) 2
f' x ( )
= k' x ( ) und f' x ( ) haben dasselbe Vorzeichen
G
kist streng monoton steigend in x ∈ ] ∞ ; 1 [ und in x ∈ ] 1 ; 1 ] .
G
kist streng monoton fallend in x ∈ [ 1 ; 3 [ und in x ∈ ] 3 ; ∞ ] .
Teilaufgabe 3
Gegeben ist nun die Funktion h mit h x ( ) 5 x e 2 x mit Dh = ] ∞ ; 0 ].
Teilaufgabe 3.1 (7 BE)
Bestimmen Sie die Art und die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von h. Zeichnen Sie den Graphen von h für 3 x 0 (1 LE = 2 cm).
h' x ( ) = 5 e 2 x 10 x e 2 x = 5 e 2 x ( 1 2 x )
h' x ( ) = 0 ⇔ 1 2 x = 0 xe 1
= 2 h' x ( ) 0 für x 1
2 G
h
ist streng monoton fallend in x ∈ ] ∞ ; 1 2 ]
h' x ( ) 0 für x 1
2 G
h
ist streng monoton fallend in x ∈ [ 1 2 ; ∞ [
h 1 2
5 e 1
2
0.92 rel. Tiefpunkt: TP( 1
2 / 5 e 1
2 )
h 0 ( ) 0 Randhochpunkt: HP( 0 / 0 )
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1
1
0.5 0.5
1
x-Achse
y-Achse
