Unisex-Prämien in der

Unisex-Prämien in der Lebensversicherung

Das vorliegende Buch gibt einen Einblick, wie unter Anwendung der Unisex-Richt- linie Prämien in der Lebensversicherung kalkuliert werden. Neben Herleitung der Rechnungsgrundlagen stehen Beispiele aus der Praxis im Mittelpunkt.

Das Buch wendet sich einerseits an Studierende an Universitäten und Fachhoch- schulen, die sowohl eine praktische (mit vielen Beispielen untermauerte) als auch eine theoretische Einführung in die Thematik suchen. Andererseits ist es auch für Personen in Versicherungsunternehmen als Nachschlagewerk oder im einen oder anderen Punkt zur Vertiefung und Wiederholung gedacht. Das Buch ist so aufgebaut, dass es ohne einschlägige Vorkenntnisse verstanden werden kann, es genügt ein mathematisches Grundverständnis.

Dr. Martin Predota, CRM

ist anerkannter Aktuar der AVÖ. Beruflich ist er derzeit bei der Raiffeisen Bank International AG beschäftigt. Er ist außerdem Lehrbeauftragter an den Technischen Uni- versitäten Wien und Graz sowie an der Fachhochschule Joanneum Graz, weiters Vortragender und Fachbuchautor.

ISBN 978-3-7089-2178-5

MAR TIN PREDOT A Unisex-Prämien in der Lebensversicherung

facultas.at

MARTIN PREDOTA

Unisex-Prämien in der

Lebensversicherung

Einführung in die Kalkulation

mit Beispielen aus der Praxis

Bibliografische  Information  Der  Deutschen  Nationalbibliothek  

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 1.  Auflage  2021  

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Satz  und  Druck:  Facultas  Verlags-­  und  Buchhandels  AG   Printed  in  Austria  

ISBN  978-­3-­7089-­2178-­5  

Vorwort

Eine der wichtigsten Aufgaben in einer Lebensversicherung ist die Kalkulati- on der Prämien und der Deckungsrückstellung. Das dafür benötigte versiche- rungsmathematische Know-How wird im vorliegenden Buch anhand einer elementaren Einführung dargestellt. Es wird dabei stets darauf geachtet, dass die dargestellten Methoden für die Praxis in einem Versicherungsunterneh- men anwendbar sind. Die angeführten versicherungsmathematischen Metho- den werden derzeit vor allem in Deutschland, in Österreich, in der Schweiz und in Liechtenstein in dieser Form verwendet, für die gerechneten Beispiele werden die österreichischen Rechnungsgrundlagen eingesetzt. Die Beispiele sind aber auch in den anderen angeführten Ländern analog zu lösen.

In den letzten Jahren hat in der Lebensversicherungsmathematik vor allem die Einführung von Unisex-Tarifen große Veränderungen bewirkt, darauf wird speziell eingegangen. Weiters befinden wir uns in einer historischen Niedrig- zinsphase, der aktuelle Rechungszins in Österreich beträgt0,5%.

Das Buch, das großteils auf der Lehrveranstaltung Prämienkalkulation in der Versicherung (Lebensversicherung) an der FH Joanneum Graz basiert und eine kompakte Aktualisierung meines 2010 erschienenen Buchs darstellt, wendet sich einerseits an Studierende an Universitäten und Fachhochschulen, die so- wohl eine praktische (insbesondere mit vielen Beispielen untermauerte) als auch eine theoretische Einführung in die Thematik suchen, andererseits an Personen in Versicherungsunternehmen als Nachschlagewerk oder im einen oder anderen Punkt zur Vertiefung und Wiederholung. Das Buch ist so auf- gebaut, dass es ohne einschlägige Vorkenntnisse verstanden werden kann, es genügt ein einfaches mathematisches Grundverständnis.

Am Ende der Lektüre dieses Buchs sollte der Leser ein Verständnis für die Tarifkalkulation von Lebensversicherungsunternehmen entwickelt haben, so- dass die Differenzierung bspw. nach Alter ebenso nachvollziehbar ist wie die korrekte Zuordnung von Rechnungsgrundlagen zu einem Tarif und die Not- wendigkeit der Verrechnung von Kosten und Sicherheitszuschlägen bei Ver- sicherungsprämien. Weiters ist es ein Ziel des Buches, die Kalkulation der Deckungsrückstellung und der Gewinnbeteiligung zu vermitteln.

iii

iv Vorwort

Das Buch gliedert sich in drei große Abschnitte, eine Einführung, die Prämi- enberechnung sowie die Berechnung der Deckungsrückstellung und Gewinn- beteiligung.

Im Einführungsteil werden die benötigten Grundlagen aus der Zins- und Wahrscheinlichkeitsrechnung ausführlich und mit Beispielen untermauert dar- gestellt.

Im Abschnitt Prämienberechnung werden nach einem kurzen historischen Ab- riss zunächst die Rechnungsgrundlagen (Rechnungszins, Sterbe- und Renten- tafel, Kosten) ausführlich erläutert. Insbesondere wird in diesem Abschnitt auf die Unterschiede von Sterbe- und Rententafeln eingegangen. Es folgt die ei- gentliche Prämienberechnung, zunächst die Nettoeinmalprämien, danach die Nettojahresprämien und schließlich die Bruttoprämien. Die Berechnungen er- folgen alle auf ein Leben, es wird bewusst auf einen Abschnitt über Versi- cherungen auf mehrere Leben verzichtet, da dies in der Praxis viel seltener anzutreffen ist.

Nach dieser ausführlichen Betrachtung der Prämienkalkulation behandelt der nächste Abschnitt die Berechnung der Deckungsrückstellung, zunächst die Nettodeckungsrückstellung und danach die Bruttodeckungsrückstellung. Es folgt ein Kapitel, in dem die Spar- und Risikoprämie hergeleitet werden. Ab- schließend werden die zwei wichtigsten Vertragsänderungen, der Rückkauf und die Prämienfreistellung sowie die Gewinnbeteiligung behandelt.

Damit den Lesern eine Kontrolle des Erlernten ermöglicht wird, befinden sich am Ende der meisten Kapitel Übungsaufgaben in unterschiedlichen Schwie- rigkeitsgraden. Das letzte Kapitel bietet Lösungen für ausgewählte Beispie- le. Im Anhang finden sich einige österreichische Rechnungsgrundlagen und Kommutationszahlen.

Besonderer Dank gilt meiner Frau Gudrun sowie meinen Kindern Jonas und Simon für die Unterstützung und ihre Geduld bei der Erstellung des Buches sowie Mithilfe bei der Gestaltung des Covers und dem einen oder anderen Beispiel.

Tulln, Oktober2021 Martin Predota

Inhaltsverzeichnis

I Grundlagen 1

1 zinsrechnung 3 1.1 EINLEITUNG 3

1.2 BARWERT UNDENDWERT 5 1.3 RENTENRECHNUNG 7 1.4 ÜBUNGSAUFGABEN 15

2 wahrscheinlichkeitsrechnung 19 2.1 EINLEITUNG 19

2.2 ZUFALLSVARIABLE 19 2.3 ZUFALLSEXPERIMENTE 21 2.4 ÜBUNGSAUFGABEN 25

3 versicherungstarife der lebensversicherung 29 3.1 EINLEITUNG 29

3.2 KLASSISCHELEBENSVERSICHERUNG 31

3.3 FONDS-UND INDEXGEBUNDENELEBENSVERSICHERUNG 33 3.4 UNISEX-RICHTLINIE 34

II Prämien 35

4 historisches zur lebensversicherung 37 5 rechnungsgrundlagen 39

5.1 EINLEITUNG 39 5.2 STERBETAFELN 40 5.3 RENTENTAFELN 55 5.4 RECHNUNGSZINS 57 5.5 KOSTEN 58

5.6 KOMMUTATIONSZAHLEN 60 5.7 ÜBUNGSAUFGABEN 63 6 nettoeinmalprämien 65

6.1 EINJÄHRIGEABLEBENSVERSICHERUNG 67 6.2 REINEERLEBENSVERSICHERUNG 71 6.3 TERME FIXE-VERSICHERUNG 74 6.4 TODESFALLVERSICHERUNG 74

v

vi Inhaltsverzeichnis

6.5 ER-UNDABLEBENSVERSICHERUNG 83 6.6 RENTENVERSICHERUNG 85

6.7 ZUSAMMENHÄNGE 97 6.8 ÜBUNGSAUFGABEN 98 7 laufende nettoprämien 105

7.1 EINLEITUNG 105

7.2 TERME FIXE-VERSICHERUNG 106 7.3 ERLEBENSVERSICHERUNG 107 7.4 TODESFALLVERSICHERUNG 109 7.5 ER-UNDABLEBENSVERSICHERUNG 112 7.6 RENTENVERSICHERUNG 113

7.7 UNTERJÄHRIGEPRÄMIENZAHLUNG 115 7.8 ÜBUNGSAUFGABEN 115

8 bruttoprämien 119 8.1 EINLEITUNG 119

8.2 TODESFALLVERSICHERUNG 121 8.3 ERLEBENSVERSICHERUNG 124

8.4 ER-UNDABLEBENSVERSICHERUNG 124 8.5 RENTENVERSICHERUNG 125

8.6 VERSICHERUNGSPRÄMIEN UNDRISIKOPRÜFUNG 127 8.7 ÜBUNGSAUFGABEN 130

III Deckungsrückstellung und Gewinnbeteiligung 133

9 nettodeckungsrückstellung 135 9.1 EINLEITUNG 135

9.2 TERME FIXE-VERSICHERUNG 138 9.3 ERLEBENSVERSICHERUNG 138 9.4 TODESFALLVERSICHERUNG 140 9.5 ER-UNDABLEBENSVERSICHERUNG 142 9.6 RENTENVERSICHERUNG 144

9.7 ÜBUNGSAUFGABEN 148

10 bruttodeckungsrückstellung 151 10.1 EINLEITUNG 151

10.2 BERECHNUNG DERBRUTTODECKUNGSRÜCKSTELLUNG 152 10.3 MAXIMALERZILLMERSATZ 157

10.4 ÜBUNGSAUFGABEN 160 11 spar- und risikoprämie 161

11.1 EINLEITUNG 161

11.2 SPAR-UNDRISIKOPRÄMIE 161 11.3 ÜBUNGSAUFGABEN 164

Inhaltsverzeichnis vii

12 rückkauf und prämienfreistellung 167 12.1 EINLEITUNG 167

12.2 RÜCKKAUF 167

12.3 PRÄMIENFREISTELLUNG 169 12.4 ÜBUNGSAUFGABEN 170 13 gewinnbeteiligung 171

13.1 EINLEITUNG 171 13.2 GEWINNSYSTEME 173

13.2.1 VERZINSLICHEANSAMMLUNG 173 13.2.2 DASBONUSSYSTEM 175

13.2.3 FONDSORIENTIERTEGEWINNBETEILIGUNG 176 13.2.4 DIEBONUSRENTE 177

13.2.5 DIEVORWEGGEWINNBETEILIGUNG 178

13.2.6 WEITEREFORMEN DERGEWINNVERWENDUNG 179 13.3 ÜBUNGSAUFGABEN 179

14 gelöste beispiele 183 14.1 NETTOPRÄMIEN 183

14.2 NETTODECKUNGSRÜCKSTELLUNG 196 14.3 GEWINNBETEILIGUNG 202

14.4 BRUTTOPRÄMIEN 207

Anhang 213

a die modifizierte österreichische sterbetafel 2010/2012 unisex 213 b kommutationszahlen zur öst. sterbetafel 2010/2012 unisex mod. 217 c kommutationszahlen zur öst. rententafel avö 2005r unisex 221 d altersverschiebung zur öst. rententafel avö 2005r unisex 225

Literaturverzeichnis 227

Tabellenverzeichnis 231

Abbildungsverzeichnis 233

Symbolverzeichnis 235

Index 239

1 | Zinsrechnung

1.1 einleitung

Der Zins spielt in der Versicherungsmathematik eine große Rolle, daher wer- den wir zunächst einige Grundlagen zur Zins- und Rentenrechnung betrach- ten. Das WortZinsstammt vom Lateinischencensusund bedeutetAbgabe. Un- ter Zins verstehen wir im Folgenden das Entgelt, das für die Überlassung von Geld zu bezahlen ist. In diesem Buch gehen wir, sofern nicht etwas anderes angeführt ist, von einer flachen Zinskurve aus, d.h. die Zinsen sind von der Laufzeit unabhängig und jeweils gleich hoch. Falls die Zinsen für höhere Lauf- zeiten höher sind als jene für niedrige Laufzeiten, spricht man von einer nor- malen, im umgekehrten Fall von einer inversen Zinskurve (siehe Abbildung 1).

6

-

Zeitt Zinsi

flach normal

invers

Abbildung 1:Normale, flache und inverse Zinskurve

In der Zinsrechnung unterscheidet man zwischen diskreter Verzinsung, falls die Zinsen zu bestimmten festgelegten (diskreten) Zeitpunkten fällig sind, und stetiger (kontinuierlicher) Verzinsung, falls die Zinsperioden durch Grenz- wertbestimmung unendlich klein werden. Wir befassen uns, wie in der Ver- sicherungspraxis üblich, ausschließlich mit diskreter Verzinsung. Für eine Ein- führung in stetige Verzinsung sei bspw. auf Albrecher et al. [4] verwiesen.

3

4 Teil I Grundlagen

In diesem Zusammenhang verwenden wir folgende Bezeichnungen:

• DerZinssatz(Zinsrate)isind jene Zinsen, die in einem Jahr auf ein Kapi- tal1gezahlt werden, wobei sich die Kapitaländerung auf das Anfangska- pital bezieht.

• Mitr=1+ibezeichnen wir denAufzinsungsfaktor.

• Daraus ergibt sich mit v = ¹_r der Abzinsungs- bzw. Diskontierungsfaktor und mit d=1−vdieDiskontrate, also die Kapitalveränderung pro Jahr bezogen auf das Endkapital.

• Schließlich sei nochK_tdasKapitalzum Zeitpunktt, wobei der Zeitpunkt t(in Jahren) durcht=n+_m^k mit dem ganzzahligen Anteilngegeben ist.

Dabei betrachten wir folgende Perioden pro Jahr:m=1(jährlich),m=2 (halbjährlich), m= 4(vierteljährlich),m =12 (monatlich) undm =360 (täglich).

• Weiters bezeichnetkdie Anzahl der unterjährigen Perioden.¹

• Für das Ausborgen des KapitalsK0für ein Jahr fallen somit Zinsen in der Höhe voni·K0an.

Gegeben sei ein Zinssatz i = 0,05. Dann resultieren daraus ein Aufzin- sungsfaktor von

r=1+0,05=1,05, ein Abzinsungsfaktor von

v= 1 1,05

≈0,9523 und eine Diskontrate von

d≈1−0,9523≈0,0476. Beispiel 1.1

1 Fürm=1giltk=0.

Kapitel 1 zinsrechnung 5 Nun können wir einige Zusammenhänge zwischen den oben getroffenen De- finitionen herleiten:

v=1 r= 1

1+i (1)

d=1−v=1− 1

1+i =1+i 1+i− 1

1+i =1+i−1 1+i = i

1+i (2) d= i

1+i =i· 1

1+i =i·v (3)

dr= i

1+i·(1+i) =i·(1+i)

(1+i)=i (4) v

1−v= 1 1+i· 1

1−₁¹_+i = 1

1+i−1=1

i (5)

1.2 barwert und endwert

Wenn wir Zahlungen betrachten, so können diese zeitlich in die Zukunft oder in die Vergangenheit transformiert werden. Bei einer Transformation in die Zukunft sprechen wir von Aufzinsung, andernfalls von Abzinsung.

Mithilfe der Auf- bzw. Abzinsung können wir Zahlungen, die zu verschiede- nen Terminen fällig sind, miteinander vergleichen. Zwei Zahlungen heißen äquivalent, wenn sie auf einen Zeitpunkt auf- bzw. abgezinst denselben Wert ergeben. Betrachten wir dazu ein Beispiel.

Bei einem Marktzinssatz von5% p.a. sinde100,00zum Zeitpunkt t =0 unde105,00zum Zeitpunktt=1äquivalent, da

100·1,05=105 gilt.

Beispiel 1.2

Je nach Vereinbarung sind Zinszahlungen am Anfang oder am Ende einer Zahlungsperiode fällig. Im ersten Fall spricht man von vorschüssiger und im zweiten Fall vonnachschüssigerVerzinsung.

6 Teil I Grundlagen

Betrachten wir das Startkapital K0, dann ergeben sich daraus wie bereits er- wähnt die Zinsen für eine Periode in der Höhe voni·K0. Für das Endkapital EW1am Ende der Periode resultiert somit

EW1=K0+i·K0= (1+i)·K0=r·K0.

Umgekehrt kann man den Wert der Zahlungen zu Beginn der Periode, den BarwertBW, bestimmen:

BW=K0=1

r·EW1= 1

1+i·EW1=v·EW1

Im Folgenden bezeichnen wir mitBarwertfaktorden Barwert einer Zahlung der Höhe1. Um auf den Barwert einer Zahlung der HöheKzu kommen, ist dann der Barwertfaktor mitKzu multiplizieren, d.h.

Barwert=K·Barwertfaktor.

Bisher sind wir von einer Periodenlänge von einem Jahr ausgegangen. Betrach- ten wir den Endwert nach n ganzen Jahren, so erhalten wir die Leibnizsche Zinseszinsformel

EW_n= (1+i)· · ·(1+i)

| {z }

n−mal

·K0= (1+i)ⁿ·K0.

Ist also ein Endzeitpunkt festgelegt, so ist der Endwert die Summe aller auf diesen Endzeitpunkt aufgezinsten Zahlungen.

Ein Kapital vone100.000,00wird bei einem Zinsfuß von5% nachschüssig verzinst. Wir erhalten durch Einsetzen für den Endwert nach4Jahren

EW4=100.000·1,05⁴=121.550,63.

Analog lässt sich der Endwert berechnen, wenn die Periode unterjährig ist.

Für eine Laufzeit von4,5Jahren resultiert für den Endwert EW4,5=100.000·1,05^4,5=124.552,33. Beispiel 1.3

Nun wollen wir den Fall betrachten, dass es während der Laufzeit zu Zuzah- lungen kommt. Zum Zeitpunkt t=0werde das KapitalK0 angelegt, zu den

Kapitel 1 zinsrechnung 7 Zeitpunktenk = 1, . . . ,n werde jeweils der Betragc_k zugezahlt. Dann resul- tiert für den Endwert nachnJahren

EW_n= (1+i)ⁿ·K0+ Xn

k=1

(1+i)^n−k·c_k. Der Barwert ist gegeben durch

BW=K0+ Xn

k=1

v^k·c_k=K0+ Xn

k=1

1 (1+i)^k·c_k.

Der Barwert ist also die Summe aller auf den Vertragsbeginn abgezinsten Zah- lungen.

Ein Kapital von e100.000,00wird zum Zeitpunkt t=0angelegt, zu den Zeitpunkten t = 1 und t = 2 werden jeweilse 50.000,00 zugezahlt. Der Zinsfuß beträgt4%. Für den Endwert zut=2erhalten wir

EW2=100.000·1,04²+50.000·1,04¹+50.000=210.160,00. Der Barwert errechnet sich als

BW=100.000+50.000· 1

1,04¹+50.000· 1

1,04² =194.304,73. Beispiel 1.4

1.3 rentenrechnung

Bisher haben wir uns mit einmaligen Zahlungen beschäftigt, nun wenden wir unser Interesse periodischen Zahlungen zu, die ausschließlich vom Zinssatz und der Laufzeit abhängen, so genannten Renten. Eine Rente ist eine in re- gelmäßigen Zeitabständen, der Rentenperiode, wiederkehrende Zahlung, die einzelnen Zahlungen der HöheRwerden alsRatenbezeichnet.

Renten kann man nach verschiedenen Kriterien unterscheiden, nach der Lauf- zeit, nach dem Zeitpunkt der Ratenfälligkeit oder nach dem Beginn der ersten Rentenperiode.

8 Teil I Grundlagen

Fälligkeit Rentenhöhe Barwert Barwertfaktor

1. Zahlung 0 R R 1

2. Zahlung 1 R v·R v

... ... ... ... ...

n-te Zahlung n−1 R vⁿ⁻¹·R vⁿ⁻¹ Tabelle 1:Zahlungsströme einer temporären, vorschüssigen Zeitrente

Fälligkeit Rentenhöhe Barwert Barwertfaktor

1. Zahlung 1 R v·R v

2. Zahlung 2 R v²·R v²

... ... ... ... ...

n-te Zahlung n R vⁿ·R vⁿ

Tabelle 2:Zahlungsströme einer temporären, nachschüssigen Zeitrente

Eine Kategorisierung nach der Laufzeit ergibt dieZeitrente, dieLeibrenteund die ewige Rente. Eine Zeitrente ist charakterisiert durch eine zu Beginn fest- gelegte Zahlungsdauer und Zahlungshöhe. Im Unterschied dazu hängt die Laufzeit einer Leibrente vom Leben einer oder mehrerer Personen ab. Eine ewige Rente ist eine Spezialform einer Zeitrente und weist eine unendliche Laufzeit auf.

Unterscheidet man nach dem Zeitpunkt der Ratenfälligkeit, so kommen wir aufvor-undnachschüssige Renten. Bei der vorschüssigen Rente sind die Raten jeweils am Beginn einer Periode fällig, bei der nachschüssigen am Ende der Periode.²

Wenn man den Beginn der ersten Rentenperiode betrachtet, so kann man zwi- schen einersofort beginnenden Rente und einer aufgeschobenen (also erst zu ei- nem späteren Zeitpunkt fällig werdenden)Renteunterscheiden.

Nun berechnen wir den Barwert von Zeitrenten. Hilfreich dazu ist ein Blick auf die Tabellen1und2, in denen die Barwerte und die Barwertfaktoren der einzelnen Raten dargestellt sind. Addieren wir diese einzelnen Barwertfak- toren der Zahlungsströme, dann resultieren die Barwertfaktoren der Renten.

Wenden wir dann noch die Summenformel für die geometrische Reihe³

n−1

X

k=0

q^k =1−qⁿ

1−q (6)

2 Es ist zu beachten, dass vorschüssige bzw. nachschüssige Zinsen und vorschüssige bzw.

nachschüssige Renten nicht miteinander zu verwechseln sind.

3 siehe bspw. Luh & Stadtmüller [24]

Kapitel 1 zinsrechnung 9 für ein beliebigesq an, dann resultieren für den Barwertfaktor der sofort be- ginnenden, vorschüssigen Zeitrente

¨

a_n=1+v+v²+. . .+vⁿ⁻¹=1−vⁿ

1−v =1−vⁿ d

und für den Barwertfaktor der um m Jahre aufgeschobenen, vorschüssigen Zeitrente

m|a¨_n =v^m+v^m+1+v^m+2+. . .+v^n+m−1=v^m·(1+. . .+vⁿ⁻¹) =v^m·a¨_n. Weiters ergibt sich für den Barwertfaktor der sofort beginnenden, nachschüs- sigen Zeitrente unter Verwendung von (5)

a_n=v+v²+v³. . .+vⁿ=v·(1+v+. . .+vⁿ⁻¹) =v·1−vⁿ

1−v =1−vⁿ i

und für den Barwertfaktor der ummJahre aufgeschobenen, nachschüssigen Zeitrente

m|a_n =v^m+1+v^m+2+. . .+v^n+m=v^m·a_n=v^m+1·(1+. . .+vⁿ⁻¹) =v^m+1·a¨_n. Betrachten wir nun eine sofort beginnende, vorschüssige Zeitrente mit einer Ratenzahlung der HöheR, dann erhalten wir

BW=R+R·v+. . .+R·vⁿ⁻¹=R·(1+v+. . .+vⁿ⁻¹) =R·a¨_n.

Der RentenbarwertBW ergibt sich also durch Multiplikation des Rentenbar- wertfaktors mit der Rate R (also der Rentenhöhe). Dies gilt analog auch für die weiteren bisher betrachteten Zeitrenten:

• mJahre aufgeschobene, vorschüssige Zeitrente BW=R·_m|a¨_n

• sofort beginnende, nachschüssige Zeitrente BW=R·a_n

• mJahre aufgeschobene, nachschüssige Zeitrente BW=R·_m|a_n

10 Teil I Grundlagen

Zeitt Vorgang

t=0 1. Ratenzahlung: Reduktion um1.000,00. 2.985,10−1.000=1.985,10 0< t <1 1. Zinsperiode: Verzinsung mit0,5%.

1.985,10·1,005=1.995,02

t=1 2. Ratenzahlung: Reduktion um1.000,00. 1.995,02−1.000=995,02

1< t <2 2. Zinsperiode: Verzinsung mit0,5%.

995,02·1,005=1.000

t=2 3. Ratenzahlung: Reduktion um1.000,00. 1.000−1.000=0

Tabelle 3:Aufzehrung des Geldbetrages einer sofort beginnenden,3-jährigen, vorschüssigen Zeitrente (Ratenhöhe:e1.000,00, Zinssatz:0,5%, Barwert:e2.985,10)

Eine Zeitrente hat die jährliche Auszahlung von e 1.000,00, der Zinsfuß beträgt4%. Damit ergibt sich ein Abzinsungsfaktor von

v= 1

1,04 ≈0,9615.

Für den Barwert der sofort beginnenden,10-jährigen, vorschüssigen Rente erhalten wir

1.000·a¨10=1.000·1−0,9615¹⁰ 1−0,9615

=8.435,33.

Der Barwert der sofort beginnenden,10-jährigen, nachschüssigen Rente ist gegeben durch

1.000·a10=1.000·1−0,9615¹⁰

0,04 =8.110,90.

Für den Barwert einer um5Jahre aufgeschobenen,10-jährigen, vorschüs- sigen Rente erhalten wir

1.000·5|a¨10 =0,9615⁵·8.435,33=6.933,23.

Der Barwert einer um 5 Jahre aufgeschobenen,10-jährigen, nachschüssi- gen Rente ist gegeben durch

1.000·5|a10 =0,9615⁵·8.110,90=6.666,57. Beispiel 1.5