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Klasse:
Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung
AHS Juni 2015
Mathematik
Kompensationsprüfung 14
Angabe für Kandidatinnen/Kandidaten
Sehr geehrte Kandidatin, sehr geehrter Kandidat!
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ müssen Sie die jewei- lige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ sollen Sie Ihre Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön- nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“ 4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“ 5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.
Aufgabe 1
Berechnungen im rechtwinkeligen Dreieck
Gegeben ist folgende Abbildung eines rechtwinkeligen Dreiecks:
x
y
z
B A
C
Aufgabenstellung:
Stellen Sie die angegebenen Winkelfunktionen in Abhängigkeit von den gegebenen Seitenlängen dar!
sin(α) =
cos(β) = Leitfrage:
Zeichnen Sie in obiger Darstellung die Höhe h auf die Seite x ein!
In einem Schulheft fi ndet sich folgende Berechnung:
sin(α) = hy ⇒ h = y · sin(α) r2 + h2 = y2
r2 + (y · sin(α))2 = y2 ⇒ r =
√
y2 – (y · sin(α))2Geben Sie an, wo sich im gegebenen Dreieck die hier berechnete Streckenlänge befi ndet!
Geben Sie einen weiteren möglichen Term zur Ermittlung von r an!
Lineare Funktion
Die Gleichung 2 ∙ x + 3 ∙ y = 5 beschreibt eine Gerade, die auch als lineare Funktion f in der Form f(x) = k ∙ x + d angegeben werden kann.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen dieser linearen Funktion f in das vorgegebene Koordinatensystem ein und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!
Bestimmen Sie die Parameter k und d und stellen Sie diese in Ihrer Zeichnung dar!
f(x)
x
0 1 2 3 4 5
–1 –2
–3
0 3 2 1
–1 –2 4
Leitfrage:
Um die Lagebeziehung des Punktes P = (–2,5|3,5) zum Funktionsgraphen zu untersuchen, zeichnet eine Schülerin / ein Schüler diesen Punkt im Koordinatensystem ein.
Erklären Sie, warum diese Vorgehensweise noch keinen eindeutigen Schluss über die Lagebezie- hung zulässt und welche Möglichkeit es gibt, exakt zu überprüfen, ob dieser Punkt P auf dem Graphen der Funktion liegt!
Führen Sie diese Überprüfung für den gegebenen Punkt P durch!
Aufgabe 3
Nullstellen und Extremstellen der Sinusfunktion
Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) = a · sin(b · x) mit den Parametern a ∈ℝ+, b ∈ℕ und b ≠ 0.
Aufgabenstellung:
Erklären Sie den Einfluss der Parameter a und b auf den Verlauf des Graphen der Funktion f und geben Sie an, welche Auswirkungen eine Verdoppelung des Parameters a im Hinblick auf die An- zahl und die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen der Funktion f im halboffenen Intervall [0; 2π) hat!
Leitfrage:
Erklären Sie den Einfluss der Parameter a und b auf die Anzahl der Nullstellen der Funktion f im Intervall [0; 2π) und beschreiben Sie die Periodizität der Funktion f in Abhängigkeit von den Para- metern!
Graph einer Stammfunktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades dargestellt.
x f(x)
f
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie in der gegebenen Abbildung den Graphen einer Stammfunkton F der Funktion f und erklären Sie Ihre Vorgehensweise!
Leitfrage:
Eine andere Funktion g dritten Grades besitzt an der Stelle x = 0 eine Wendestelle mit g′(0) = 0, verläuft durch den Punkt (0|0) und ist im gesamten Verlauf monoton steigend.
Geben Sie an, wie sich der Monotonieverlauf des Graphen einer Stammfunktion G der Funktion g von jenem des skizzierten Graphen F unterscheidet!
Aufgabe 5
Anzahl der Kinder
In einem Betrieb wird die jeweilige Anzahl an Kindern je Mitarbeiter/in erhoben. Die Ergebnisse werden mithilfe einer Tabelle dargestellt, wobei k die Anzahl der Kinder und h die jeweils dazuge- hörige relative Häufigkeit beschreibt.
k 0 1 2 3 4 5 6 > 6
h 0,3 a 0,18 0,1 0,07 0,03 0,02 0
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Wert von a an!
Eine Mitarbeiterin/ein Mitarbeiter des Betriebes wird zufällig ausgewählt.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person höchstens ein Kind hat!
Leitfrage:
In einem anderen Betrieb gibt es ausschließlich Mitarbeiter/innen, die höchstens vier Kinder ha- ben, und es ergibt sich folgende Verteilung:
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
0,6
0,1
0,04 0,06
0,2
0 1 2 3 4
k
Anzahl der Kinder
relative Häufigkeit h
Ermitteln Sie das arithmetische Mittel, den Median und den Modus der Anzahl der Kinder in die- sem Betrieb!
Überprüfen Sie die beiden nachstehenden Aussagen auf ihre Richtigkeit und begründen Sie Ihre Entscheidung!
• Die meisten Mitarbeiter/innen haben mindestens ein Kind.
