Antrittsvorlesung von Horst Heck

Antrittsvorlesung

von Horst Heck

Gauß-Absch¨ atzungen f¨ ur parabolische Gleichungen oder:

Wie ein 10 DM-Schein bei der L¨ osung von partiellen

Differentialgleichungen helfen kann.

Einleitung

Einleitung

G_t(x) = 1

(4πt)^n/2e^−|x|

2 4t

G_t(x) = 1

(4πt)^n/2e^−|x|

2 4t

Ubersicht ¨

Einleitung

Die W¨armeleitungsgleichung

Halbgruppen und Gauß-Absch¨atzungen

Konsequenzen von Gauß-Absch¨atzungen

Wieso ist der Gauß-Kern n¨ utzlich?

Betrachte die W¨armeleitungsgleichung

ut−∆u = 0 in (0,∞)×Rⁿ u(0,x) = u₀(x) inRⁿ u₀ist Anfangstemperaturverteilung, ∆u(t,x) =Pn

i=1∂²_x

iu(t,x).

Nutze Fouriertransformation

I Ff(ξ) = (2π)^−n/2R

Rⁿe^−ixξf(x) dx f¨urf ∈L¹(Rⁿ)

I F:L²(Rⁿ)→L²(Rⁿ) ist unit¨arer Isomorphismus

I F∂kf(ξ) = iξkFf(ξ)

I F⁻¹(f ·g) = (F⁻¹f)∗(F⁻¹g), wobei (f ∗g)(x) =R

Rⁿf(x−y)g(y) dy TG(t)f :=Gt∗f sogar stetig aufL^p(Rⁿ), 1≤p<∞

T_G(t)u₀:=G_t∗u₀sogar stetig aufL^p(Rⁿ), 1≤p<∞

Wieso ist der Gauß-Kern n¨ utzlich?

Betrachte die W¨armeleitungsgleichung

F(

ut−∆u

)

= 0 in (0,∞)×Rⁿ

F

u(0,x) =

F

u₀(x) inRⁿ u₀ist Anfangstemperaturverteilung, ∆u(t,x) =Pn

i=1∂²_x

iu(t,x).

Nutze Fouriertransformation

I Ff(ξ) = (2π)^−n/2R

Rⁿe^−ixξf(x) dx f¨urf ∈L¹(Rⁿ)

I F:L²(Rⁿ)→L²(Rⁿ) ist unit¨arer Isomorphismus

I F∂kf(ξ) = iξkFf(ξ)

I F⁻¹(f ·g) = (F⁻¹f)∗(F⁻¹g), wobei (f ∗g)(x) =R

Rⁿf(x−y)g(y) dy

TG(t)f :=Gt∗f sogar stetig aufL^p(Rⁿ), 1≤p<∞ T_G(t)u₀:=G_t∗u₀sogar stetig aufL^p(Rⁿ), 1≤p<∞

Wieso ist der Gauß-Kern n¨ utzlich?

Betrachte die W¨armeleitungsgleichung

F(ut−∆u)= 0 in (0,∞)×Rⁿ Fu(0,ξ) =Fu₀(x) inRⁿ u₀ist Anfangstemperaturverteilung, ∆u(t,x) =Pn

i=1∂²_x

iu(t,x).

Nutze Fouriertransformation

I Ff(ξ) = (2π)^−n/2R

Rⁿe^−ixξf(x) dx f¨urf ∈L¹(Rⁿ)

I F:L²(Rⁿ)→L²(Rⁿ) ist unit¨arer Isomorphismus

I F∂kf(ξ) = iξkFf(ξ)

I F⁻¹(f ·g) = (F⁻¹f)∗(F⁻¹g), wobei (f ∗g)(x) =R

Rⁿf(x−y)g(y) dy

Wieso ist der Gauß-Kern n¨ utzlich?

Betrachte die W¨armeleitungsgleichung

F(

ˆ

ut+|ξ|²ˆu

)

= 0 in (0,∞)×Rⁿ

F

ˆ u(0,ξ) =

F

ˆ

u₀(ξ) inRⁿ u₀ist Anfangstemperaturverteilung, ∆u(t,x) =Pn

i=1∂²_x

iu(t,x).

Nutze Fouriertransformation

I Ff(ξ) = (2π)^−n/2R

Rⁿe^−ixξf(x) dx f¨urf ∈L¹(Rⁿ)

I F:L²(Rⁿ)→L²(Rⁿ) ist unit¨arer Isomorphismus

I F∂kf(ξ) = iξkFf(ξ)

I F⁻¹(f ·g) = (F⁻¹f)∗(F⁻¹g), wobei (f ∗g)(x) =R

Rⁿf(x−y)g(y) dy

TG(t)f :=Gt∗f sogar stetig aufL^p(Rⁿ), 1≤p<∞ T_G(t)u₀:=G_t∗u₀sogar stetig aufL^p(Rⁿ), 1≤p<∞

Wieso ist der Gauß-Kern n¨ utzlich?

Betrachte die W¨armeleitungsgleichung ˆ

ut+|ξ|²ˆu = 0 in (0,∞)×Rⁿ ˆ

u(0,ξ) = ˆu₀(ξ) inRⁿ u₀ist Anfangstemperaturverteilung, ∆u(t,x) =Pn

i=1∂²_x

iu(t,x).

L¨osung dieser gew. DGl f¨urξ∈Rⁿ ist ˆ

u(t,ξ) =

F⁻¹(

e^−|ξ|2tˆu₀(ξ)

= (F⁻¹(e^−|ξ|2t)∗u0)(x)

= 1

(4πt)^n/2e^−|x|2/4t∗u₀

(x) TG(t)u0:=Gt∗u0sogar stetig aufL^p(Rⁿ), 1≤p<∞

Wieso ist der Gauß-Kern n¨ utzlich?

Betrachte die W¨armeleitungsgleichung

F(

ˆ

ut+|ξ|²ˆu

)

= 0 in (0,∞)×Rⁿ

F

ˆ u(0,ξ) =

F

ˆ

u₀(ξ) inRⁿ u₀ist Anfangstemperaturverteilung, ∆u(t,x) =Pn

i=1∂²_x

iu(t,x).

Anwenden vonF⁻¹ liefert

u(t,x) =F⁻¹(e^−|ξ|2tuˆ₀)(x)

= (F⁻¹(e^−|ξ|2t)∗u0)(x)

= 1

(4πt)^n/2e^−|x|2/4t∗u₀

(x) TG(t)u0:=Gt∗u0sogar stetig aufL^p(Rⁿ), 1≤p<∞

Wieso ist der Gauß-Kern n¨ utzlich?

Betrachte die W¨armeleitungsgleichung ˆ

ut+|ξ|²ˆu = 0 in (0,∞)×Rⁿ ˆ

u(0,ξ) = ˆu₀(ξ) inRⁿ u₀ist Anfangstemperaturverteilung, ∆u(t,x) =Pn

i=1∂²_x

iu(t,x).

Anwenden vonF⁻¹ liefert

u(t,x) =F⁻¹(e^−|ξ|2tuˆ₀)(x)

= (F⁻¹(e^−|ξ|2t)∗u0)(x)

= 1

(4πt)^n/2e^−|x|2/4t∗u₀

(x) TG(t)u0:=Gt∗u0sogar stetig aufL^p(Rⁿ), 1≤p<∞

Wieso ist der Gauß-Kern n¨ utzlich?

Betrachte die W¨armeleitungsgleichung

F(

ˆ

ut+|ξ|²ˆu

)

= 0 in (0,∞)×Rⁿ

F

ˆ u(0,ξ) =

F

ˆ

u₀(ξ) inRⁿ u₀ist Anfangstemperaturverteilung, ∆u(t,x) =Pn

i=1∂²_x

iu(t,x).

Anwenden vonF⁻¹ liefert

u(t,x) =F⁻¹(e^−|ξ|2tuˆ₀)(x)

= (F⁻¹(e^−|ξ|2t)∗u0)(x)

= 1

(4πt)^n/2e^−|x|2/4t∗u₀

(x)

TG(t)u0:=Gt∗u0sogar stetig aufL^p(Rⁿ), 1≤p<∞

Wieso ist der Gauß-Kern n¨ utzlich?

Betrachte die W¨armeleitungsgleichung ˆ

ut+|ξ|²ˆu = 0 in (0,∞)×Rⁿ ˆ

u(0,ξ) = ˆu₀(ξ) inRⁿ u₀ist Anfangstemperaturverteilung, ∆u(t,x) =Pn

i=1∂²_x

iu(t,x).

Anwenden vonF⁻¹ liefert

u(t,x) =F⁻¹(e^−|ξ|2tuˆ₀)(x)

= (F⁻¹(e^−|ξ|2t)∗u0)(x)

= 1

(4πt)^n/2e^−|x|2/4t∗u₀

(x) TG(t)u0:=Gt∗u0sogar stetig aufL^p(Rⁿ), 1≤p<∞

Einleitung

Die W¨armeleitungsgleichung

Halbgruppen und Gauß-Absch¨atzungen

Konsequenzen von Gauß-Absch¨atzungen

Stark stetige Halbgruppen

Definition

(T(t))_t≥0⊂ L(X),X Banachraum, ist stark stetige Halbgruppe, falls 1. T(0) =Id

2. T(t+s) =T(t)T(s) f¨ur allet,s≥0 3. kT(t)f −fkX →0 (t →0) f¨ur allef ∈X

durch e^∆tu0=Gt∗u0 ”

Stark stetige Halbgruppen

Definition

(T(t))_t≥0⊂ L(X),X Banachraum, ist stark stetige Halbgruppe, falls 1. T(0) =Id

2. T(t+s) =T(t)T(s) f¨ur allet,s≥0 3. kT(t)f −fkX →0 (t →0) f¨ur allef ∈X

I Begriff verallgemeinert Exponentialfunktion e^At

I Halbgruppe l¨ostu⁰−Au= 0,u(0) =u₀inX

I GaußkernGt definiert die Halbgruppe

”e^∆t“ inL^p(Rⁿ), 1≤p<∞, durch e^∆tu0=Gt∗u0

Stark stetige Halbgruppen

Definition

(T(t))_t≥0⊂ L(X),X Banachraum, ist stark stetige Halbgruppe, falls 1. T(0) =Id

2. T(t+s) =T(t)T(s) f¨ur allet,s≥0 3. kT(t)f −fkX →0 (t →0) f¨ur allef ∈X

I Begriff verallgemeinert Exponentialfunktion e^At

I Halbgruppe l¨ostu⁰−Au= 0,u(0) =u₀inX

Stark stetige Halbgruppen

Definition

(T(t))_t≥0⊂ L(X),X Banachraum, ist stark stetige Halbgruppe, falls 1. T(0) =Id

2. T(t+s) =T(t)T(s) f¨ur allet,s≥0 3. kT(t)f −fkX →0 (t →0) f¨ur allef ∈X

I Begriff verallgemeinert Exponentialfunktion e^At

I Halbgruppe l¨ostu⁰−Au= 0,u(0) =u₀inX

I GaußkernGt definiert die Halbgruppe

”e^∆t“ inL^p(Rⁿ), 1≤p<∞,

Definition

Eine stark stetige HalbgruppeT aufX =L²(Ω), Ω⊂Rⁿoffen, hat Gauß-Absch¨atzungen, falls f¨urf ∈L²(Ω),t >0

|T(t)f| ≤Ce^ωtT_G(bt)|f| f¨ur KonstantenC,b>0,ω∈R.

Satz

T hat Gauß-Absch¨atzungen ⇐⇒Es gibt einen Kern Kt ∈L^∞(Ω×Ω)so dass

I T(t)f(x) = Z

Ω

Kt(x,y)f(y) dy f¨ur f ∈L¹(Ω)

I |Kt(x,y)| ≤Ce^ωtt^−n/2e^{−b|x−y|2/t}

Zwei einfache Beispiele

BetrachteAf :=f⁰⁰−f⁰ inX =L²(R),D(A) =H²(R).

Dann gilt: e^tA= e^t∆e^−t(d/dx) =TG(t)S(t) mit (S(t)f)(x) =f(x−t).

Kern ist damit gegeben durch

K_t(x,y) = (4πt)^−1/2exp(−(x−y−t)²/4t)

= (4πt)^−1/2exp(−(x−y)²/4t−t/4 + (x−y)/2).

Wegen 1

2(x−y) = 1

4·2 (x−y) 1

2t 1/2!

· 1

2t −1/2

≤ 1 4

(x−y)²1 2t + 2t

folgt

0≤K_t(x,y)≤e^t/4(4πt)^−1/2exp(−(x−y)²/8t).

BetrachteAf :=f⁰⁰−f⁰ inX =L²(R),D(A) =H²(R).

Dann gilt: e^tA= e^t∆e^−t(d/dx) =TG(t)S(t) mit (S(t)f)(x) =f(x−t).

Kern ist damit gegeben durch

K_t(x,y) = (4πt)^−1/2exp(−(x−y−t)²/4t)

= (4πt)^−1/2exp(−(x−y)²/4t−t/4 +(x−y)/2).

Wegen 1

2(x−y) = 1

4·2 (x−y) 1

2t 1/2!

· 1

2t −1/2

≤1 4

(x−y)²1 2t + 2t

folgt

0≤K_t(x,y)≤e^t/4(4πt)^−1/2exp(−(x−y)²/8t).

Zwei einfache Beispiele

Der Neumann-Laplace ist gegeben durch die Sesquilinearform a(u,v) =−

Z

Ω

∇u∇vdx mitD(a) =H¹(Ω), (∆Nu,v)_L2 =a(u,v) f¨uru∈D(∆N).

Nicht f¨ur jedes Ω hat e^∆Nt eine Gauß-Absch¨atzung: Betrachte Ω = (0, 1)\ {¹_n :n∈N}. Dann gilt

I Eigenwert 1 von e^∆Nt hat unendliche Vielfachheit, da e^∆Nt1₍ 1

n+1,¹_n)= 1₍ 1 n+1,¹_n) I e^∆Nt ist damit nicht kompakt

I H¨atte e^∆Nt Gauß-Absch¨atzung, so w¨are wegenK_t ∈L^∞(Ω×Ω) der Operator e^∆Nt Hilbert-Schmidt, also kompakt

Zwei einfache Beispiele

Der Neumann-Laplace ist gegeben durch die Sesquilinearform a(u,v) =−

Z

Ω

∇u∇vdx mitD(a) =H¹(Ω), (∆Nu,v)_L2 =a(u,v) f¨uru∈D(∆N).

Nicht f¨ur jedes Ω hat e^∆Nt eine Gauß-Absch¨atzung:

Betrachte Ω = (0, 1)\ {¹_n :n∈N}. Dann gilt

I Eigenwert 1 von e^∆Nt hat unendliche Vielfachheit, da e^∆Nt1₍ ¹

n+1,¹_n)= 1₍ ¹

n+1,¹_n)

Zwei einfache Beispiele

Der Neumann-Laplace ist gegeben durch die Sesquilinearform a(u,v) =−

Z

Ω

∇u∇vdx mitD(a) =H¹(Ω), (∆Nu,v)_L2 =a(u,v) f¨uru∈D(∆N).

Nicht f¨ur jedes Ω hat e^∆Nt eine Gauß-Absch¨atzung:

Betrachte Ω = (0, 1)\ {¹_n :n∈N}. Dann gilt

I Eigenwert 1 von e^∆Nt hat unendliche Vielfachheit, da e^∆Nt1₍ ¹

n+1,¹_n)= 1₍ ¹

n+1,¹_n) I e^∆Nt ist damit nicht kompakt

I H¨atte e^∆Nt Gauß-Absch¨atzung, so w¨are wegenKt ∈L^∞(Ω×Ω) der Operator e^∆Nt Hilbert-Schmidt, also kompakt

Der Neumann-Laplace ist gegeben durch die Sesquilinearform a(u,v) =−

Z

Ω

∇u∇vdx mitD(a) =H¹(Ω), (∆Nu,v)_L2 =a(u,v) f¨uru∈D(∆N).

Nicht f¨ur jedes Ω hat e^∆Nt eine Gauß-Absch¨atzung:

Betrachte Ω = (0, 1)\ {¹_n :n∈N}. Dann gilt

I Eigenwert 1 von e^∆Nt hat unendliche Vielfachheit, da e^∆Nt1₍ ¹

n+1,¹_n)= 1₍ ¹

n+1,¹_n) I e^∆Nt ist damit nicht kompakt

I H¨atte e^∆Nt Gauß-Absch¨atzung, so w¨are wegenKt ∈L^∞(Ω×Ω) der Operator e^∆Nt Hilbert-Schmidt, also kompakt

Wie kann man Gauß-Absch¨ atzungen zeigen — Davies’ Trick

Es seiW :={ψ∈C^∞(Rⁿ)∩L^∞(Rⁿ) :k∂iψk∞≤1,k∂i∂jψk∞≤1 f¨ur allei,j= 1, ... ,n}.

Dann definiert

d(x,y) := sup{|ψ(x)−ψ(y)|:ψ∈W} eine zu|x−y|¨aquivalente Metrik aufRⁿ.

IstT stark stetige Halbgruppe auf L²(Ω), so definiere f¨urρ∈Rundψ∈W T^ρ(t)f = e^−ρψT(t)(e^ρψf)

Davies’ Trick

Theorem (Davies’ Trick)

Es sind ¨aquivalent

1. Es gibt Konstanten C>0,ω∈Rmit

kT^ρ(t)k_L(L1(Ω),L^∞(Ω))≤Ce^ω(1+ρ2)tt^−n/2 f¨ur alle t >0,ψ∈W undρ∈R.

2. T hat eine Gauß-Absch¨atzung.

Davies’ Trick

Theorem (Davies’ Trick)

Es sind ¨aquivalent

1. Es gibt Konstanten C>0,ω∈Rmit

kT^ρ(t)k_L(L1(Ω),L^∞(Ω))≤Ce^ω(1+ρ2)tt^−n/2 f¨ur alle t >0,ψ∈W undρ∈R.

2. T hat eine Gauß-Absch¨atzung.

ZeigeL¹-L^∞ Absch¨atzungen via

I Beurling-Deny-Kriterium Nash Ungleichung

Es gelteaij,bj,cj,c0∈L^∞(Ω),µ >0 mit

n

X

i,j=1

aij(x)ξiξj≥µ|ξ|²f¨ur alleξ∈Rⁿ,x−f.s.

F¨urH₀¹(Ω)⊂V ⊂H¹(Ω),V abgeschlossen, definiere stetige, koerzive Sesquilinearform mitD(a) =V durch

a(u,v) =

n

X

i,j=1

Z

Ω

aijDiuDjv+

n

X

i=1

Z

Ω

bjDjuv +

n

X

i=1

Z

Ω

cjuDjv+c0uv

Es gibt einen abgeschlossenen OperatorA_V, so dassa(u,v) = (A_Vu,v)_L2, f¨ur u∈D(AV),v ∈V.

Anwendung: Operatoren in Divergenzform

Theorem (Elliptische Operatoren mit Dirichlet Randbedingung)

Es sei V =H₀¹(Ω), bj,cj∈W^1,∞(Ω). Dann hate^−tAV eine Gauß-Absch¨atzung, falls

1. aij∈W^1,∞(Ω) oder 2. bj,cj reellwertig

Resultat gilt auch f¨ur andere Randbedingungen (z.B. Neumann, Robin), falls∂Ω Lipschitz, alle Koeffizienten reellwertig undbj,cj ∈W^1,∞(Ω).

Halbgruppen und Gauß-Absch¨atzungen

Konsequenzen von Gauß-Absch¨atzungen

Einige Konsequenzen

T : [0,∞)→ L(L²(Ω)) stark stetige Halbgruppe mit Gauß-Absch¨atzungen.

Dann gilt

1. Es gibt stark stetige HalbgruppenTp : [0,∞)→L^p(Ω), so dass T(t)f =T_p(t)f f¨ur allef ∈L²(Ω)∩L^p(Ω), 1≤p<∞

2. Ω beschr¨ankt =⇒T(t) kompakt, insbesondereT sofort normstetig 3. T holomorph =⇒Tp holomorph inL^p(Ω) f¨ur 1≤p<∞

4. Das Cauchy Problemu⁰−Apu=f,u(0) = 0 hat maximaleL^q-Regularit¨at (Hieber/Pr¨uß)

5. Ap erzeugeTp=⇒σ(Ap) =σ(Aq) f¨ur alle 1<p,q<∞ (Arendt, Kunstmann)

Einige Konsequenzen

T : [0,∞)→ L(L²(Ω)) stark stetige Halbgruppe mit Gauß-Absch¨atzungen.

Dann gilt

1. Es gibt stark stetige HalbgruppenTp : [0,∞)→L^p(Ω), so dass T(t)f =T_p(t)f f¨ur allef ∈L²(Ω)∩L^p(Ω), 1≤p<∞

2. Ω beschr¨ankt =⇒T(t) kompakt, insbesondereT sofort normstetig

p p p q) f¨

(Arendt, Kunstmann)

Einige Konsequenzen

T : [0,∞)→ L(L²(Ω)) stark stetige Halbgruppe mit Gauß-Absch¨atzungen.

Dann gilt

1. Es gibt stark stetige HalbgruppenTp : [0,∞)→L^p(Ω), so dass T(t)f =T_p(t)f f¨ur allef ∈L²(Ω)∩L^p(Ω), 1≤p<∞

2. Ω beschr¨ankt =⇒T(t) kompakt, insbesondereT sofort normstetig 3. T holomorph =⇒Tp holomorph inL^p(Ω) f¨ur 1≤p<∞

4. Das Cauchy Problemu⁰−Apu=f,u(0) = 0 hat maximaleL^q-Regularit¨at (Hieber/Pr¨uß)

5. Ap erzeugeTp=⇒σ(Ap) =σ(Aq) f¨ur alle 1<p,q<∞ (Arendt, Kunstmann)

Einige Konsequenzen

T : [0,∞)→ L(L²(Ω)) stark stetige Halbgruppe mit Gauß-Absch¨atzungen.

Dann gilt

1. Es gibt stark stetige HalbgruppenTp : [0,∞)→L^p(Ω), so dass T(t)f =T_p(t)f f¨ur allef ∈L²(Ω)∩L^p(Ω), 1≤p<∞

2. Ω beschr¨ankt =⇒T(t) kompakt, insbesondereT sofort normstetig 3. T holomorph =⇒Tp holomorph inL^p(Ω) f¨ur 1≤p<∞

4. Das Cauchy Problemu⁰−Apu=f,u(0) = 0 hat maximaleL^q-Regularit¨at (Hieber/Pr¨uß)

Einige Konsequenzen

T : [0,∞)→ L(L²(Ω)) stark stetige Halbgruppe mit Gauß-Absch¨atzungen.

Dann gilt

1. Es gibt stark stetige HalbgruppenTp : [0,∞)→L^p(Ω), so dass T(t)f =T_p(t)f f¨ur allef ∈L²(Ω)∩L^p(Ω), 1≤p<∞

2. Ω beschr¨ankt =⇒T(t) kompakt, insbesondereT sofort normstetig 3. T holomorph =⇒Tp holomorph inL^p(Ω) f¨ur 1≤p<∞

4. Das Cauchy Problemu⁰−Apu=f,u(0) = 0 hat maximaleL^q-Regularit¨at (Hieber/Pr¨uß)

5. Ap erzeugeTp=⇒σ(Ap) =σ(Aq) f¨ur alle 1<p,q<∞ (Arendt, Kunstmann)

T : [0,∞)→ L(L²(Ω)) stark stetige Halbgruppe mit Gauß-Absch¨atzungen.

Dann gilt

1. Es gibt stark stetige HalbgruppenTp : [0,∞)→L^p(Ω), so dass T(t)f =T_p(t)f f¨ur allef ∈L²(Ω)∩L^p(Ω), 1≤p<∞

2. Ω beschr¨ankt =⇒T(t) kompakt, insbesondereT sofort normstetig 3. T holomorph =⇒Tp holomorph inL^p(Ω) f¨ur 1≤p<∞

4. Das Cauchy Problemu⁰−Apu=f,u(0) = 0 hat maximaleL^q-Regularit¨at (Hieber/Pr¨uß)

5. Ap erzeugeTp=⇒σ(Ap) =σ(Aq) f¨ur alle 1<p,q<∞ (Arendt, Kunstmann)

Unabh¨ angiges Spektrum, Beweisidee

Satz (Arendt)

Es seiλ∈ρ(Ap). Gibt es R∈ L(L^q(Ω))mit Rf =R(λ,Ap)f f¨ur f ∈L^p(Ω)∩L^q(Ω), dann gilt λ∈ρ(Aq)und R=R(λ,Aq).

T habe Kernk(t,x,y). Dann gilt f¨urλ∈ρ(Ap) R(λ,A_p) =

Z 1

0

e^−λte^Aptdt+ e^−λe^ApR(λ,A_p)

Satz (Arendt)

Es seiλ∈ρ(Ap). Gibt es R∈ L(L^q(Ω))mit Rf =R(λ,Ap)f f¨ur f ∈L^p(Ω)∩L^q(Ω), dann gilt λ∈ρ(Aq)und R=R(λ,Aq).

T habe Kernk(t,x,y). Dann gilt f¨urλ∈ρ(Ap) R(λ,A_p) =

Z 1

0

e^−λte^Aptdt

| {z }

∈L(L^q)

+ e^−λe^ApR(λ,A_p)

| {z }

∈L(L^q)?

Unabh¨ angiges Spektrum, Beweisidee

Betrachte HalbgruppenTε,p mit Kern w_ε(x)

wε(y)k(t,x,y)

wε so dasswε(x)/wε(y)≤e^{α(ε)|x−y|}mitα(ε)→0 (ε→0) Gauß-Absch¨atzung liefert:

I T_ε,pR(λ,A_p,ε) hat Kernk_εmit|kε| ≤C f¨ur alleε∈Rⁿ,|ε| ≤ε₁

I kε(x,y) = e^ε(x−y)k0(x,y) Also|k0(x,y)| ≤Ce^{−ε1|x−y|}

=⇒ e^ApR(λ,A )∈ L(L^q) =⇒ λ∈ρ(A )

Wahrlich es ist nicht das Wissen, sondern das Lernen, nicht das Besitzen, sondern das Erwerben, nicht das Da-Sein, sondern das Hinkommen, was den gr¨ oßten Genuss gew¨ ahrt.

C.F. Gauß