Wasserwirtschaftliche Planungsmethoden
o.Univ.Prof. Dipl.Ing. Dr. H.P. Nachtnebel
Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau
6. Optimierungsverfahren
Optimierungsverfahren
Grundsätzlich zwischen Optimierungsverfahren mit - einer oder
- mehreren Variablen unterschieden
Weiters kann optimierende Funktion - linear
- nicht – linear
sein
Lineare Optimierung
die Zielfunktion und die Restriktionen sind linear
Zielfunktion x1,2…Entscheidungsvariable Restriktionen
(Beispiele)
2
max
1
+ ⋅ ⇒
⋅ +
= a b x c x Z
1 ≥ 0 x
1 ≥ 0 x
f x e x
d ⋅ 1 + ⋅ 2 ≤
Lineare Optimierung
Beispiel
3 Verfahren, um ein Produkt herzustellen, wobei verschiedene Ressourcen benötigt werden
Ziel
Restriktionen Energieverbrauch Wasserverbrauch
Um eindeutige Lösung zu finden muss Entscheidungsbereich konvex sein Verfahren 1 Verfahren 2 Verfahren 3 Verfügbare
Elektroenergie 2 3 4 115
Wasser 5 2 3 150
∑ x
i⇒ max
115 4
3
2 ⋅ x1 + ⋅ x2 + ⋅ x3 ≤
150 3
2
5⋅ x1 + ⋅ x2 + ⋅ x3 ≤
≥ 0 xi
Nicht lineare Optimierung
Quadratische Optimierung
Zielfunktion
Z = ( x
1− 4 )
2+ ( x
2− 5 )
2⇒ min
Abb.:quadratische Optimierung graphisch
Nicht lineare Optimierung
Wenn keine Restriktionen
Æ Optimum dort wo erste Ableitung 0 ist
Probleme mit Restriktionen in Probleme ohne Restriktionen
Zielfunktion F(x)
Restriktion g(x) < 0
neue Zielfunktion F'(x) = F(x)+λg(x) Æ neue Variable (λ)
= 0 dx dF
Beispiel
Hochwasserschutz für eine Gemeinde
Gesucht: wirtschaftlich optimale Hochwasserschutz Bemessungszeit: 25 Jahre
Entscheidungsvariable: Höhe des Dammes
gegeben Funktionen für Beziehung des Abflusses (Q) und
Beispiel
Zielfunktion: maximaler Schutz bei minimalen Kosten jährlicher Schaden ohne Schutz:
Schaden in 25 Jahren:
Schaden in 25 Jahren mit HW-Schutz:
(ohne Baukosten)
Æ Minumum
- nicht lineare Optimierung ohne Restriktionen
- jedoch nicht differenzierbar
∞
∫
⋅
⋅
0
) ( )
(Q f Q dQ S
) ] 1 ( ... 1 )
1 (
1 )
1 ( [ 1 )
( )
( 2 25
0 S Q f Q dQ i i i
+ + + +
+ +
⋅
⋅
∫
⋅∞
∫
∞⋅
⋅
⋅
Qa
dQ Q
f Q S
c ( ) ( )
⎪⎭ ⇒
⎪ ⎬
⎫
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ⋅ ⋅ ⋅ +
= ∫
∞QA
Q
ABK dQ
Q f Q S c
Z ( ) ( ) ( )
Beispiel: Wasseraufteilung
Optimierung mit Restriktionen
Die verfügbare Wassermenge Q ist auf drei Nutzer (Nutzungen) aufzuteilen, wobei ein möglichst
hoher Gewinn zu erzielen ist. Der Netto-Nutzen ist aber für jede Nutzung unterschiedlich.
Es gilt:
NBj =aj(1-exp(-bjxj))
Die Mengen xj sind zu ermitteln, wobei gilt:
x1+x2+x3 =Q
Beispiel: Wasseraufteilung
{ }
{ } ∑ ∑
∑
∑
∑
−
−
−
−
=
=
−
=
−
−
=
j j j
j j
j j
j
j j
j j j
j
Q x
x b a
X L Maximiere
Q x
Multiplier Lagrange
Methode Die
Q x
wobei
x b a
X NB Maximiere
) (
)) exp(
1 ( )
, ( :
0
: _
__
_ :
)) exp(
1 ( )
( :
λ λ
λ
Beispiel: Wasseraufteilung
1 ) 1 ( 1
1 1
3 2
1
3 2
)
1( (
) 1 ln(
_
0 ,
0 ,
0 ,
0
b b b b
j j Q
j j j
j
b
ja e
b a x b
Lösung Die
L x
L x
L x
L
+
− +
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⎡ Π
=
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
= ⎡
∂ =
= ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
∂
λ
λ
λ
Dynamische Optimierung
Vorgangsweise für mehrstufige Entscheidungsprozesse Vorteil liegt darin, dass
- hochkomplexe Probleme mit - großen Anzahl an Variablen
- in eine Reihe von Untersystemen transferiert
und diese Untersysteme rekursiv gelöst werden können
Dynamische Optimierung
Bewirtschaftung eines Speichers
Æ typisches dynamisches Optimierungsproblem Entscheidungsvariable ist Abgabemenge Q
Man unterscheidet zw.
¾ deterministische dynamische Optimierung
- eine gegebene Zuflussganglinie verwendet
- und eine Zielfunktion
¾ stochastische dynamische Optimierung
- Erwartungswert und sein Schwankungsbereich statt der fixen Zufallsgröße
¾ multiobjektive dynamische Optimierung
- mehrere Ziele (mit gegenläufigen Eigenschaften)
- Zielgrößen sind ökonomische, ökologische und soziale Aspekte
Dynamische Optimierung
Probleme oft auf mehrere Weisen formuliert
Æ Teil der dynam. Optimierung dir effizienteste Lösung zu finden Haupteigenschaft Æ fortschreitendes Netzwerk für Lösung
von jeder Stufe
- wird abschließende Stufe
- mit vorgegebenen Anzahl von Stufen erreicht
Dynamische Optimierung
Wenn Erträge unabhängig und additiv sind, ist
eine typische wiederkehrende Beziehung
wobei
x Zustandsgröße
d Entscheidungsvariable r Ertragsfunktion
n eine Stufe
xn-1 Formel zur Transformation von Stufe zu Stufe f0(x0) für alle abschließenden Stufen gegeben
[ ( , ) ( ) ]
max )
( =
n n n+
n−1 n−1n d
n
x r x d f x
f
n
Bellman Kriterium
Die rekursive Formulierung beruht auf dem Prinzip, dass man, - egal in welchem Zustand von welcher Stufe man sich befindet, - von diesem Zustand und dieser Stufe
- in einer optimalen Art und Weise fortfahren muss Mathematisch ausgedrückt
( ) {
j( )
j j(
j j) }
s j x
j
s NB x Z s x
Z
j j
− +
=
+≤
≤ 1
0
max
Bellman Kriterium
Beispiel:
3 Nutzer haben Zugang zu einer Menge Q
Jeder hat andere Nutzen- und Kostenstrukturen
Æ Wie ist die Ressource aufzuteilen?
Beispiel
Angenommen, dass nur diskrete Mengen 0, 1, 2, 3, 4, 5 möglich Q=5 ist gegeben
a, b, c, d gegeben
Nutzen:
Kosten:
Restriktionen:
Zielfunktion:
)) exp(
1
(
j jj
j
a b x
NB = − −
dj
j j
j
c x
K =
∑
xj = Qx
j> 0
( )
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ⎟
⎠⎞
⎜⎝
⎛ +
+
= max≤ ≤ ( ) ≤max≤ − ( ) ≤ max≤ − − ( ) )
( 3 3
2 0 0 2
1
0 1 NB1 x 2 1 NB x 3 1 2 NB x
Q
Z x Q x Q x x Q x x
Beispiel
( ) ( )
{ j j j j j }
s j x
j s NB x Z s x
Z
j j
− +
= +
≤
≤ 1
0 max )
(
für
Q-x1=s2 Q-x1-x2=s3
Æ allgemeine Darstellung (Ballmann Formulierung):
Beispiel
Fall x1=0 Æ welche Optionen für x2 und x2 =0 Æ welche Optionen fürx3
Beispiel
Nutzenmatrix für einzelne Nutzer x
jNB
1(x
j) NB
2(x
j) NB
3(x
j)
0 0 0 0
1 -0,5 6,5 -6,9
2 3 10,1 0
3 6,6 10,9 6,3
4 10 9,6 11,5
5 13,1 7 15,6
daraus
¾Zuerst optimale Menge für den Benutzer 3
¾dann in Abhängigkeit davon die Mengen für die Benutzer 2 und 1
Beispiel
s3 x3 0 1 2 3 4 5 f3(s3) x3*
0 0 0 0
1 0 -6,9 0 0
2 0 -6,9 0 0 0;2
3 0 -6,9 0 6,3 6,3 3
4 0 -6,9 0 6,3 11,5 11,5 4
5 0 -6,9 0 6,3 11,5 15,6 15,6 5
NB3(x3)
s2 x2 0 1 2 3 4 5 f2(s2) x2*
0 0 0 0
1 0 6,5 6,5 1
2 0 6,5 10,1 10,1 2
3 6,3 6,5 10,1 10,9 10,9 3
4 11,5 12,8 10,1 10,9 9,6 12,8 1
5 15,6 18 16,4 10,9 9,6 7 18 1
NB2(x2+Z3(s3))
Q x1 0 1 2 3 4 5 f1(Q) x1*
5 18 12,3 13,9 16,7 16,5 13,1 18 0
NB2(x2+Z3(s3))
fj(xj) jeweils maximaler Wert
xj* gibt optimale Entscheidung an
größten Nutzen bei Kombination x1=0
x2=1 x3=4
∑
NBj =18,0Dynamische Optimierung
Fallbeispiel
Dynamische Programmierung bei der
Bewirtschaftung von einem Wasserreservoir
in Thailand
Bewirtschaftung von einem Wasserreservoir
Pasak Damm
¾ Mehrzweckdamm in der Lopbuir Provinz in Zentral Thailand
¾ Einzugsgebiet ist 12.929 km²
¾ für Bewässerung, Hochwasserschutz und Schifffahrt verwendet
Zielfunktion
Æ Verluste durch Wassermangel und Überflutungen zu minimieren
Rt … Abfluss aus dem Speicher
Entscheidungsvariablen
- Speicherinhalt zum Zeitpunkt t+1 (St+1) oder
- Abfluss zum Zeitpunkt t (Rt) sein
( ) { ( )
t}
t d
Loss R
d f
t
= min
Bewirtschaftung von einem Wasserreservoir
Zustandsvariablen von Art der Programmierung abhängig - bei der deterministischen dynamischen Programmierung
ÆSpeicherinhalt zum Zeitpunkt t
- bei der stochastischen dynamischen Programmierung ÆSpeicherinhalt St und der Zufluss It
Eingangsdaten
¾ der monatliche oder mittlere monatliche Zufluss
¾ die mittlere monatliche potentielle Verdunstung
¾ monatliche oder mittlere monatliche Wasserbedarf
Bewirtschaftung von einem Wasserreservoir
Ergebnisse des Modells sind
¾ das Wasserdefizit an jeder Bewässerungsstelle
¾ die Verluste durch Wassermangel und Überflutungen
¾ die optimale Bewirtschaftung
Um dynamische Programmierungsproblem zu lösen
- Speicherinhalt diskretisiert und
- Verlustfunktionen für Überschwemmungen und Wassermangel müssen aufgestellt werden
Deterministische dynamische Programmierung (DDP)
Annahme Æ Zufluss ist bekannt (Unsicherheiten ignoriert) rekursive Gleichung für das Speicherziel
( ) { ( ) ( )
t}
n t S t
t n
t S Loss R f S
f
t
1 1
1
min + ++
=
+
0 2 4 6 8 10 12
April
Juni
August
Oktobe r
Dezem ber
Febr uar
Speicherinhalt
Ergebnis
¾während Monsunzeit wird Wasser gespeichert
¾in Trockenperiode Wasserabgabe Æ sinnvolles Ergebnis
Falls Schadensfunktion auch eine Funktion der Dauer der Trockenheit ist Ædeterministische dynamische Programmierung nicht geeignet
Stochastische dynamische Programmierung (SDP)
probabilistische Verteilung beim Zufluss wird berücksichtigt Zufluss in Klassen eingeteilt
- gleiche Klassengröße
- Klassen gleicher Wahrscheinlichkeiten rekursive Funktion
anfängliches Speichervolumen und Zufluss sind Variablen mit bedingter Wahrscheinlichkeit
( ) ( ) ( )
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ + ⋅
=
∑
+−j
n t t ij kilt
R kilt n
t k i Loss R P f l j
f
t
, min
, 11
Stochastische dynamische Programmierung (SDP)
unter der Annahme
- Speicher am Beginn des Jahres voll und - Zufluss jeden Monat in der höchsten Klasse
Æ Ergebnis obere Regelkurve unter der Annahme
- Zu Beginn des Jahres ist Inhalt minimal
- Zufluss jeden Monat in der niedrigsten Klasse Æ Ergebnis untere Regelkurve
¾ Reservoir wird nie mit mehr oder weniger Inhalt als der beiden Regelkurven bewirtschaftet
¾ bei Verwendung eines Vorhersagemodell für Zufluss Æ sehr nützliches Modell
Multi-objektive stochastische dynamische Programmierung (MOSDP)
Studie beachtet zwei unterschiedliche Ziele
- Verluste durch Wassermangel und Überschwemmungen zu minimieren
- Fehlerrisiko zu minimieren Bewirtschaftung abhängig von - der Schadensfunktion
- einem zusätzlich hypothetischen Nachteil
Variation des Nachteiles Æ verschiedene Bewirtschaftungspolitiken hypothetische Nachteil wurde von 0 bis 10.000 variiert
Æ Kombinationen mit Zufluss, Speicherinhalt zu Beginn berechnet
Multi-objektive stochastische dynamische Programmierung (MOSDP)
¾ Wenn der Zufluss und der Speicherinhalt hoch sind Æ mehr Wasser zu Beginn des Monsuns ablassen.
Speicherinhalt erreicht Maximum in Perioden mit Spitzenzufluss
¾ Wenn der Speicherinhalt hoch ist, der Zufluss aber gering Æ weniger Wasser zu Beginn der Auffüllperioden ablassen, aber mehr während Perioden mit Spitzenzufluss
¾ Wenn der Speicherinhalt gering ist, aber der Zufluss hoch Æ weniger Wasser ablassen um das Reservoir früher aufzufüllen
¾ Wenn sowohl der Speicherinhalt als auch der Zufluss niedrig Æ Ergebnis nicht signifikant von dem mit SDP erhaltenen verschieden
