obere Dreiecksmatrizen von Gleitpunktzahlen,b, c Vektoren von Gleitpunktzahlen

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 12.12.2016 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

8. ¨Ubungsblatt zur Numerik

Aufgabe 29: Seien y, z zwei Vektoren von Gleitpunktzahlen. Das Standardskalarprodukt l¨asst sich rekursiv durch hy, zi = znyn+hyⁿ⁻¹, zⁿ⁻¹i berechnen, wobei yⁿ⁻¹ := (y1,· · · , yn−1)^T, zⁿ⁻¹ analog. Zeigen Sie: Das in Gleitpunktrechnung erhaltene Ergebnis hy, zi_{f l} des Skalarproduktes ist gleich hˆy, zi f¨ur ein ˆy mit

|y−y| ≤ˆ n|y|eps +O(eps²).

Aufgabe 30: Seien L, R untere bzw. obere Dreiecksmatrizen von Gleitpunktzahlen,b, c Vektoren von Gleitpunktzahlen. Zeigen Sie: Die in Gleitpunktrechnung erhaltenen Ergebnisse ˆx, ˆyf¨ur die Glei- chungssystemeLy=b,Rx=csind die exakten L¨osungen von ˆLˆy=bmit|L−L| ≤ˆ n|L|eps+O(eps²) bzw. ˆRˆx=cmit|R−R| ≤ˆ n|R|eps +O(eps²).

Hinweis: Beachten Sie Aufgabe 29.

Aufgabe 31: F¨urA∈R^m×n,m≥n, ist die Konditionszahl definiert durch cond(A) = ^max_min^kxk=1kAxk

kyk=1kAyk. SeiA=QRdie QR-Zerlegung vonAmitR=

R˜ 0

. Zeigen Sie, dass f¨ur die zur euklidischen Norm geh¨orende Kondition cond₂ gilt:

(a) cond2(A) = cond2(R) = cond2( ˜R)≥ _min^{maxi=1,...,n|rii|}

k=1,...,n|r_kk|. (b) cond2(A^TA) = cond2(A)².

Aufgabe 32: Sei Q eine orthogonale (n×n)-Matrix,n >1. Zeigen Sie, dass Q als Produkt von h¨ochstensnHouseholder-Transformationen geschrieben werden kann (d.h., jede orthogonale Trans- formation desRⁿ ist eine Hintereinanderausf¨uhrung von h¨ochstensnReflexionen).

Besprechung in den ¨Ubungen am 20.12.2016 Ansprechpartnerin: Sarah Eberle,

eberle@na.uni-tuebingen.de, Sprechstunde: Donnerstag 9-10 Uhr