Von der Modellgläubigkeit zur Modellkompetenz

Von der Modellgläubigkeit zur Modellkompetenz

Zum Verständnis und der Beurteilung von Modellen

mit Übungen

- 7. bis 9. Schuljahr -

(Zyklus 3)

André Desaules

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Juli 2020

2 Der Autor:

André Desaules (1950) Geograf und Bodenkundler im Ruhestand hatte an der Universität Bern zudem Geologie und Biologie studiert. Nach seiner Dissertation hat er mit einer Arbeitsgruppe die Nationale Bodenbeobachtung (NABO) der Schweiz im Auftrag des Bundesamtes für Umwelt (BAFU) an verschiedenen eidgenössischen landwirtschaftlichen Forschungsanstalten während 25 Jahre aufgebaut und weiterentwickelt. Nebenbei hat er Unterrichtserfahrungen in Bodenkunde, Bodenschutz und Biodiversität auf allen Stufen vom Kindergarten bis zur Hochschule gesammelt und im Internet unter www.zebis.ch kostenlos auch einige Unterrichtsmodule zugänglich gemacht.

Bezug als PDF-Dokument: www.zebis.ch, Suchbegriffe: Modelle, Modellierung

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«Alle Modelle sind falsch,

aber einige sind nützlich»

George Box

Inhalt und Lernziele

Einführung und Gebrauchshinweise

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1. Zur Vielfalt und Komplexität von Modellen

- Bewusstsein für die Vielfalt und Ordnungsmöglichkeiten von Modellen wecken.

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2. Objektmodelle bauen und beurteilen

- Bewusstsein für Beurteilungskriterien und Qualität von Objektmodellen schärfen.

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3. Radmodelle beurteilen

- Modelle sind mit geeigneten Kriterien zu beurteilen.

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4. Landschaftsmodelle - Eigenschaften und Eignung

- Jeder Zweck braucht ein geeignetes Modell.

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5. Modelle zur Erdgestalt und Weltkarten

- Modelle ändern sich mit dem Kenntnisstand.

- Die Reduktion von 3-D auf 2-D Modelle erzeugt Informationsverluste.

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6. Planetenmodelle und Atommodelle im Vergleich

- Treibende Kraft für Modellverbesserungen sind Unstimmigkeiten zwischen Beobachtung und Modell.

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7. Mathematische Modellierung

- Ablauf mathematischer Modellierung kennen lernen.

- Anwendung und experimentelle Überprüfung mathematischer Modelle üben.

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8. Umweltmodellierung – Bodenverschmutzung

- Modelle sollen so einfach wie möglich sein, aber nicht einfacher. - Umgang mit Datenunsicherheiten.

- Grenzen der Modellierung erkennen.

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9. Das Wirtschaftsmodell von Angebot und Nachfrage

- Vordergründig einfache Modelle, können aufgrund zahlreicher Einflussfaktoren sehr komplex sein.

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10. Prognosemodell – Weltbevölkerung

- Prognosen sind unsicher, besonders wenn sie langfristig sind.

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Einführung und Gebrauchshinweise

«Das Modell zeigt, dass, …» dieser oder ähnlich lautende Satzanfänge bedeuten für viele Menschen, dass jetzt die Wahrheit kommt. Der Begriff «Modell» ist heutzutage von grosser Suggestivkraft und steht oft für Wissenschaftlichkeit und damit Wirklichkeit und Wahrheit. Menschen, die das glauben, sind «modellgläubig».

Menschen dagegen, welche sich fragen, ob die Modellergebnisse wahrscheinlich oder plausibel, das heisst glaubhaft sein können und nach entsprechenden Beurteilungskriterien suchen, sind «modellkompetent». Dazu gehören Fragen zum (1) Sinn und Unsinn von Modellannahmen, (2) dem Bau der Modelle, (3) mit welchen Daten die Modelle gefüttert werden und (4) wie Modellergebnisse überprüft werden. Der Unterschied liegt also in der Beurteilung der Modelle. Dazu muss man aber zuerst wissen, was Modelle überhaupt sind:

«Modelle sind vereinfachte Abbilder der Wirklichkeit»

Modelle dienen der Veranschaulichung sowohl der statischen Struktur wie auch der dynamischen Funktionsweise der komplexen Wirklichkeit.

Das beste Modell einer Katze wäre eine wirkliche Katze. Da aber Modelle Vereinfachungen der Wirklichkeit sind, kann etwas zugespitzt gesagt werden, dass alle Modelle falsch sind, aber einige nützlich bzw. geeignet sind. Somit wird klar, dass es also mehr oder weniger «gute», das heisst zutreffende oder nützliche Modelle der Wirklichkeit geben muss. Modelle und Wirklichkeit zu verwechseln, ist so wenig empfehlenswert, wie die Speisekarte zu essen. Die Speisekarte ist ein gutes Modell für die Beschreibung der Speisen aber ein schlechtes Modell für die Ernährung.

«Gute» und «schlechte» Modelle unterscheiden zu können, das ist der Zweck dieses Unterrichtsmoduls.

Dazu wird zuerst auf die Vielfalt und Komplexität von Modellen eingegangen. Danach werden verschiedene Modelle vorgestellt und Kriterien herausgearbeitet, mit welchen sie beurteilt werden können. Ihre Reihenfolge folgt in etwa der Komplexität der Modelle.

Ein anderes mögliches didaktisches Vorgehen sich der Modellkompetenz zu nähern, ist von den Lernzielen auszugehen, die dem Inhaltsverzeichnis beigefügt sind.

Um das Modellverständnis zu prüfen, sind Übungen eingestreut. Das benötigte Material ist bei den jeweiligen Übungen aufgeführt. Die Lösungen zu den Übungen finden sich am Schluss.

Die fachlichen Voraussetzungen sind möglichst tief gehalten und beschränken sich auf die Beherrschung der vier Grundoperationen, dem Quadrieren und Ziehen der Quadratwurzel mit dem Taschenrechner, wobei sämtliche Rechnungsanleitungen (Formeln) angegeben sind. Hinzu kommt, das Lesen und Erstellen einfacher Diagramme.

Heutzutage ist das Modellieren in vielen Wissenschaften hoch im Kurs und gilt als die Krönungsdisziplin. Dabei sollte jedoch nicht vergessen werden, dass dazu oft Zahlen verwendet werden und Messungen gemacht werden müssen. Wie es sich damit verhält, ist Inhalt der nachfolgend aufgeführten Unterrichtsmodule:

- Von der Zahlengläubigkeit zur Zahlenkompetenz (www.zebis.ch, Suchbegriffe:

Zahlenkompetenz, Statistik)

- Messexperimente für den Schulunterricht (www.zebis.ch, Suchbegriff: Messexperimente)

Konstruktive Kritik, Anregungen und Verbesserungsvorschläge an den Autor (andre.desaules@bluewin.ch) sind willkommen.

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1. Zur Vielfalt und Komplexität von Modellen

Es gibt viele Arten von Modellen, wie die folgende Auswahl zeigen soll: - Abbildungen

- Anatomische Modelle - Architekturmodelle - Astronomische Modelle - Atom- oder Teilchenmodelle - Biologische Modelle

- Chemische Modelle - Eisenbahnmodelle - Erdmodelle

- Fotos

- Graphiken und Diagramme - Historische Modelle - Landschaftsmodelle - Mathematische Modelle - Objektmodelle - Physikalische Modelle - Planetenmodelle

- Prognose- oder Zukunftsmodelle - Psychologische Modelle

- Wetter- und Klimamodelle - Wirtschaftsmodelle

Modelle können grundsätzlich in zwei Gruppen unterteilt werden:

Statische Modelle oder Strukturmodelle veranschaulichen den Zustand und dynamische Modelle oder Funktionsmodelle geben Einblicke in die Funktionsweise und sind daher komplexer. Von grösster Komplexität sind Modelle, bei denen das menschliche Verhalten eine Rolle spielt. Modelle können auch versuchen, die Vergangenheit oder die ungewisse Zukunft abzubilden.

Übung 1-1: Gliederung von Modellen

a) Unterteile die obenstehenden Modelle in folgende drei Gruppen: A statische Modelle

B dynamische Modelle C sowohl als auch

b) Welche drei der oben aufgezählten Modelle sind am komplexesten? ________________ _______________________________________________________________________ c) Welche Modelle haben die grösste Ungewissheit? ______________________________ Lernziel:

- Bewusstsein für die Vielfalt und Ordnungsmöglichkeiten von Modellen wecken.

Weitere Informationen:

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2. Objektmodelle bauen und beurteilen

Objektmodelle sind statische Modelle von winzigen bis riesigen Gegenständen.

Übung 2-1: Objektmodelle bauen und beurteilen

a) Ein ausgewählter Gegenstand (z.B. Würfel, Auto, Statue usw.) soll mit Modellierton kleiner oder grösser nachgebildet werden.

Material: Modellierton, Modellierwerkzeuge (spitzes Messer), Arbeitsunterlage. b) Welches sind wichtige Kriterien zur Beurteilung der Qualität der Modelle? Ankreuzen:

Form Farbe Geruch

Massstab (Grössenverhältnis) Ähnlichkeit mit dem Original Proportionen

c) Es kann versucht werden, die gebauten Objektmodelle in der Reihenfolge ihrer Qualität aufzustellen und das Ergebnis zu diskutieren.

Lernziel:

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3. Radmodelle beurteilen

(Quelle: © Plonk & Replonk Editeurs / Archives A. et G. Zimmermann, Genève; réf. D-271: Reproduktionserlaubnis, 21.6.2020)

Spass beiseite, ein geeignetes Rad sollte kreisrund sein und im Zentrum eine Radnabe aufweisen.

Übung 3-1: Radmodelle beurteilen

a) Die folgenden Abbildungen von Radmodellen sollen in der Reihenfolge von schlecht bis gut aufgeführte werden.

Gib die Reihenfolge der Radmodelle von schlecht bis gut an: _______________________

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b) Welches untenstehende Kriterium ist das Beste für die Beurteilung von Radmodellen? _________________________; Warum? ________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ a Kipphöhe, Höhe die man das Radmodell anheben muss, bis es kippt (Kh)

b Kreisdistanz, Distanz von Innenkreis und Aussenkreis (Kd) c Exzentrizität, Zentrierung der Nabe (E)

d Radumfang (U) e Radius (r)

f Laufruhe, erschütterungsfreie Bewegung (Lr)

c) Welches Radmodell gleicher Grösse ist aufgrund der Kriterien Kh und Kd besser, Sechseck oder Ellipse? _______________________

d) Wie gross sind bei einem perfekten Radmodell die Beurteilungsgrössen: Kipphöhe, Kreisdistanz und Exzentrizität? _______________

Ausblick: Die Kreiszahl 𝜋 – geometrische Herleitung durch Archimedes

Die erste wirkliche schriftliche Herleitung für Pi geht auf den griechischen Mathematiker und Physiker Archimedes (287–212 v. Chr.) zurück. Ihm und seinen Arbeiten zu Ehren wird Pi auch als “Archimedes-Konstante” bezeichnet. Archimedes wählte zur näherungsweisen Berechnung von Pi einen geometrischen Ansatz.

Er hatte einen Einheitskreis (Kreis mit Radius 1) innen und aussen mit regelmässigen Vielecken eingefasst. Angefangen hat er mit einem regelmäßigen Sechseck. Über das

Kipphöhe (Kh) Kreisdistanz (Kd) Exzentrizität (E)

E Kh Kh Kh Kd Kd Kd

Statt eine geometrische Figur mit Innen- und Aussenkreis einzufassen wie bei der Kreisdistanz, hat

Archimedes umgekehrt einen Kreis mit zwei jeweils gleichen Vielecken immer enger eingefasst.

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12-, 24- und 48-Eck gelangte er schlussendlich zum 96-Eck. Auf diese Weise erhielt er eine untere und eine obere Grenze für den Kreisumfang und damit auch für die Zahl Pi.

Damit war Pi schon einmal auf 2 Stellen nach dem Komma genau bestimmt (𝜋 = 3,1415926…∞).

Lernziel:

- Modelle sind mit geeigneten Kriterien zu beurteilen.

Video:

- Pi verstehen – Ein bisschen zumindest (4:58):

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4. Landschaftsmodelle – Eigenschaften und Eignung

Nachstehend sind drei Landschaftsmodelle derselben Region abgebildet:

Sosto (2221 m) nördlich von Olivone im Bleniotal TI, auch «Matterhorn» des Bleniotal genannt.

1) Landkarte

Quelle: http://s.geo.admin.ch/883ca7464d (25.3.2020) 2) Reliefmodell

13 3) Landschaftsfoto

Foto: Sosto, S-Flanke (Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Sosto)

Die drei Landschaftsmodelle sind für verschiedene Zwecke besonders geeignet. Übung 4-1: Eigenschaften und Eignung von Landschaftsmodellen

a) Sind die abgebildeten Landschaftsmodelle statisch oder dynamisch? ______________ b) Wie viel dimensional sind die drei obenstehenden Modelle? 2-D ________; 3-D ________ c) Welches Modell veranschaulicht Landschaftsformen am besten? ____________

d) Mit welchem Modell kann man sich am besten im Gelände orientieren? __________ e) Welches Modell macht die aktuellsten Angaben zu Infrastruktur und Vegetation? ______ Übung 4-2: Reliefmodell bauen

Mit genügend Zeit (mindestens 4 Std.) und Geduld, können nach folgender Anleitung Reliefmodelle gebaut werden und gemäss der Kriterien in Kapitel 2 (Übung 2-1b) beurteilt werden.

Anleitung zum Bau eines einfachen Reliefmodells aus Karton

Zuerst muss auf der aktuellen Landkarte 1:25'000 ein geeigneter, gut erreichbarer Landschaftsausschnitt ausgewählt werden, damit das Reliefmodell später im Gelände überprüft werden kann. Empfohlen wird für den Anfang ein Ausschnitt von rund 1 km2 _mit

einem Hügel mit relativ einfachen Geländeformen. Benötigtes Material:

- Vergrösserte Kopie (1:12'500) des ausgewählten Kartenausschnitts

- Karton geeigneter Dicke (0.8 mm = 10 m Distanz der Höhenlinien / Äquidistanz) - Kugelschreiber

- Kohlenpapier - Japanmesser - Schneideunterlage

- Leim (Weissleim, Leimstift)

14 Vorgehen:

1) Kohlenpapier und vergrösserte Kopie auf Karton legen. Umriss der tiefsten Höhenlinie mit Kugelschreiber auf Karton durchpausen. Durch Verschieben der Kartenkopie nacheinander die Umrisse jeder höherliegenden Höhenlinie auf Karton durchpausen. Dadurch entstehen auf dem Karton eine Serie von Höhenschichten, die sich nicht überschneiden dürfen.

2) Alle Flächen der Höhenschichten mit Japanmesser auf Schneideunterlage sorgfältig ausschneiden.

3) Grundplatte aus Karton schneiden, die etwas grösser als die grösste Höhenschicht sein soll.

4) Nacheinander alle Höhenschichten von unten nach oben auf Grundplatte kleben, indem stets die Abstände der Höhenlinien auf der Kartenkopie genau respektiert werden. Entstanden ist ein Rohrelief mit sichtbaren Höhenstufen.

5) Relief mit Leim überstreichen, um die Höhenstufen zu dämpfen. 6) Relief mit weisser Farbe grundieren.

7) Ungenauigkeiten des Reliefs (unscharfe Gräte, unregelmässige Täler usw.) mit Messer korrigieren (schnitzen).

8) Zweites Grundieren mit Farbe, die am meisten vorkommt. 9) Relief bemalen (Wälder, Felsen, Strassen, Gebäude usw.) Lernziel:

- Jeder Zweck braucht ein geeignetes Modell.

Weitere Informationen:

- Anleitung zum Reliefbau: http://www.reliefs.ch/reliefs/herstellung/herstellung.htm

- Reliefbau aus Leidenschaft (Video: 8:26) ( https://www.srf.ch/play/tv/schweiz- aktuell/video/reliefbau-aus-leidenschaft?id=79885f3b-0b4b-4b35-8e19-b80862239ba3&station=69e8ac16-4327-4af4-b873-fd5cd6e895a7)

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5. Modelle zur Erdgestalt und Landkarten

Modelle sind auch Vorstellungen der Wirklichkeit und diese sind abhängig vom Wissensstand. Dies kann sehr anschaulich an der Geschichte der Vorstellungen zur Erdgestalt demonstriert werden.

1) Die Erde ist eine Scheibe

Im Altertum herrschte die Vorstellung vor, die Erde sei eine Scheibe, umgeben vom Ozean. Die Vorstellung die Erde sei eine Scheibe mit Bergen, Tälern, Seen und Meer entspricht der allgemeinen menschlichen Wahrnehmung ohne weitere Kenntnisse.

Weltkarte des Hekataios von Milet, 6. Jh. v. Chr. Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Flache_Erde

2) Die Erde ist eine Kugel – Globusmodell

Doch bereits im Altertum gab es griechische Gelehrte, wie Pythagoras (6. Jh. v. Chr.), die überzeugt waren, die Erdgestalt sei eine Kugel. Sie leiteten diese Vorstellung aus

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- Verschwinden oder Auftauchen von Schiffen am Meereshorizont.

- Die Form des Erdschattens bei Mondfinsternis. (Der Mond durchquert den Schatten der Erde, die von der Sonne beleuchtet wird.)

- Der Polarstern steht höher am Horizont, je weiter man sich nach Norden bewegt. Dasselbe gilt für das Kreuz des Südens auf der Südhalbkugel.

Dem griechischen Gelehrten Eratosthenes gelang bereits 240. v.Chr. eine bemerkenswert genaue Berechnung des Erdumfangs. Er verglich die Winkelhöhen des

Sonnen-höchststandes in Ägypten zwischen Alexandria und dem 787 km entfernten Assuan, der um 7.2 Grad verschieden war. Wenn also 7.2 Grad 787 km entsprechen, dann entsprechen 360 Grad (Kreis) 50-mal mehr = 39’350 km (Erdumfang am Äquator = 40'074 km).

Obwohl die Erde im Mittelalter in Europa in Kunstwerken oft als Scheibe dargestellt wurde (z.B. Der Garten der Lüste von Hieronymus Bosch um 1500), war ihre Kugelgestalt auch in europäischen Gelehrtenkreisen anerkannt.

Allerdings ging die Berechnung des Erdumfangs von Eratosthenes verloren. Kolumbus glaubte auf seiner Entdeckungsfahrt nach Amerika 1492, dass der Erdumfang nur 28'350 km betrage.

Globus mit Relief (3-dimensional) Quelle: Duoroma Leuchtglobus OID

Satellitenbild der Erde (2-dimensional) Quelle: Apollo 17

3) Die Erde ist ein Rotationsellipsoid

Durch die Erddrehung und damit verbundenen Fliehkraft, die am Äquator am grössten ist, wird die Erde an den Polen um 0,3 Prozent abgeplattet, das sind 21 km. Die Darstellung ist stark übertrieben. Eine Folge der Abplattung ist, dass der Erdumfang am Äquator und über die Pole nicht gleich lang ist.

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Abgeplattetes Rotationsellipsoid Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsellipsoid

4) Hat die Erde die Form einer Kartoffel?

Das behaupteten Medien, als sie die folgende Abbildung veröffentlichten. Dargestellt ist ein sogenanntes Geoid oder die 1000-fach überhöhte Oberfläche gleicher

Gravitations-beschleunigung der Erde (Zunahme der Gravitationskraftfelder von blau über rot zu gelb). Demnach stellt das Geoid nicht die Erdgestalt dar, sondern zeigt die stark übertriebenen Unterschiede des Erdgravitationsfeldes.

Geoid (Quelle: ESA)

Für das menschliche Auge ist und bleibt die Erde kugelförmig, wie das obenstehende Satellitenbild zeigt.

Übung 5-1: Vorstellungen zur Erdgestalt

a) Warum können sich Menschen, die glauben die Erde sei eine Scheibe nicht vorstellen auf einer Erdkugel zu leben? ______________________________

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b) Welche Kontinente fehlen auf der Weltkarte von Hekataios und weshalb?

__________________________________________________________________ c) Welcher Teil eines Segelschiffes taucht zuerst am Meereshorizont auf?

___________________________________________________________________ d) Welche Form hat der Erdschatten bei Mondfinsternis? ______________________ e) Kolumbus glaubte, als er Amerika entdeckte, er sei wie geplant in Indien (Indianer).

Hätte er das auch geglaubt, wenn er die Distanz richtig berechnet und den wirklichen Erdumfang gekannt hätte? ______________________________

f) Welches ist der offensichtliche Beweis für die kugelähnliche Gestalt der Erde? A Berechnung des Erdumfangs durch Eratosthenes;

B Erste Erdumsegelung durch Magellan (1519 - 1522); C Satellitenbilder der Erde

g) Welcher Erdumfang ist auf dem Rotationsellipsoid länger: A Äquatorumfang oder B Polumfang? _____________________________

h) Welches der dargestellten Erdmodelle kommt unserer heutigen Vorstellung am nächsten? ____________________________

i) Welchen Massstab hat ein Globus mit einem Durchmesser von 40 cm (mittlerer Erddurchmesser = 12'742 km)? 1 : ______________________ und wie hoch wäre darauf der Mt. Everest (8'848 m) massstabstreu? ________________

5) Vom Globus zur Karte

Obwohl der Globus für die Orientierung auf der Welt das beste Modell ist, ist es nicht praktisch, daher rührt das Bedürfnis nach Landkarten. Das grosse Problem dabei ist, wie eine dreidimensionale Kugel auf eine zweidimensionale Fläche übertragen (projiziert) werden soll. Dazu gibt es zahlreiche Lösungen, aber keine erfüllt alle Eigenschaften eines Globus, der sowohl winkeltreu, flächentreu und längentreu ist. Das ist der Preis der Reduktion von der dreidimensionalen Kugelgestalt auf die zweidimensionale Fläche. Nachstehend werden zwei Kartenprojektionen vorgestellt.

Die Mercator-Projektion (Gerhard Mercator 1569) liefert Weltkarten, die uns ausser in der Nähe der Pole vertraut sind. Dazu wird ein Papierzylinder um den Globus gelegt, der diesen am Äquator berührt und dann sämtliche Punkte vom Globus auf die Zylinderfläche projiziert.

19 Weltkarte Mercatorprojektion

Quelle: https://modifiedmercator.wordpress.com/2012/12/27/the-implications-of-mapmaking-mercator-vs-peters/

Die Mercator-Karten sind winkeltreu, was für die Navigation mit Kompass unverzichtbar ist. aber die Weltkarten sind nur in Äquatornähe flächentreu. Gegen die Pole wird die Verzerrung immer grösser wie z.B. der Flächenvergleich zwischen Afrika (30'370'000 km2_{) und Grönland}

(2'166'000 km2_{) zeigt.}

Für kleinere Länder wie die Schweiz sind die Verzerrungen der Mercatorprojektion gering, wenn die Zylinderfläche das Land berührt, wie folgende Abbildung zeigt:

Schiefachsige, winkeltreue Zylinderprojektion, die der Landeskarte der Schweiz zugrunde liegt (Quelle: Voellmy / Logarithmentafel)

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Die Weltkarte der Peters-Projektion (Arno Peters 1974), ist im Gegensatz zur Mercator-Karte flächentreu aber nicht winkeltreu. Sie hat sich jedoch nicht wirklich durchgesetzt, weil sich die Formen der Kontinente wie sie auf dem Globus abgebildet sind, erheblich unterscheiden. Das fällt besonders bei der langgestreckten Form von Afrika auf.

Weltkarte Peters-Projektion

Quelle: https://modifiedmercator.wordpress.com/2012/12/27/the-implications-of-mapmaking-mercator-vs-peters/

Übung 5-2: Vom Globus zur Karte

a) Welche Eigenschaften haben Globus und Karten? (+, +-, -) Eigenschaften winkeltreu flächentreu linientreu

A Globus

B Mercator-Karte C Peters-Karte

b) Welche Karte eignet sich am besten für politische Zwecke, A Mercator-Karte; B Peters-Karte? ____________________________________

c) Welche Linienform hat die kürzeste Strecke zwischen zwei Punkten auf der

Nord-Halbkugel? ________________________________________________________________ (Test mit einer Schnur auf einem Globus oder einem Ball)

Lernziele:

- Modelle ändern sich mit dem Kenntnisstand.

- Die Reduktion von 3-D auf 2-D Modelle erzeugt Informationsverluste.

Video:

- Ist unsere Weltkarte ein grosser Fake? (3:52):

21 Weitere Informationen:

- Flache Erde: https://de.wikipedia.org/wiki/Flache_Erde

- Zur Erdgestalt: https://www.virtual-maxim.de/die-erde-hat-keine-kartoffelform/

- Kartenprojektionen: https://de.wikipedia.org/wiki/Kartennetzentwurf

- Mercator-Projektion: https://de.wikipedia.org/wiki/Mercator-Projektion

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6. Planetenmodelle und Atommodelle im Vergleich

Dieses Kapitel handelt von der Entwicklungsgeschichte von Modellen und darüber wie sich Modelle grösster und kleinster Dimensionen ähnlich sein können.

6.1 Planetenmodelle

Die Vorstellung, dass die Erde der Mittelpunkt des Universums sei und sich alle Planeten und die Sonne (Stern) kreisförmig um die Erde drehen (Geozentrisches Weltbild oder Ptolemäisches Weltbild), entspricht unserer unmittelbaren Beobachtung von der Erde aus gesehen. Deshalb sagen wir noch heute, dass Sonne und Mond auf- und untergehen. Bereits Aristoteles (3. Jh. v. Chr.) hatte diese Vorstellung, bekannter wurde sie jedoch erst durch Ptolemäus (1. Jh. n.Chr.). Die Beobachtung, dass sich die Planeten auf der Kreisbahn nicht gleichförmig bewegen, korrigierte Ptolemäus, indem er auf den Kreisbahnen kleine Rückwärtsschleifen (Epizykeltheorie) einbaute.

Das Universum nach Ptolemäus Quelle:

https://de.wikipedia.org/wiki/Claudius_Ptolem%C3%A4us

Schleifenbahn eines Planeten nach der Epizykeltheorie. Die Erde steht im Zentrum, der Planet beschreibt, wie beobachtet, eine teils rückläufige Bahn.

Quelle:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geozentrisches_Weltbild

Im heliozentrischen Weltbild (Helios = Sonne) dagegen kreisen die Planeten um die Sonne statt um die Erde. Es wird nach Kopernikus (16. Jh.) auch Kopernikanisches Weltbild genannt.

23 Heliozentrisches Weltbild nach Kopernikus

Quelle: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/geografie/artikel/entstehung-eines-neuen-weltbildes

Trotzdem war Ptolemäische Weltbild in der Genauigkeit seiner Bahnvorhersage vorerst dem heliozentrischen Weltbild überlegen.

Dann aber kam Johannes Kepler und verbesserte 1615 mit seinen keplerschen Gesetzen das heliozentrische Modell mit ellipsenförmigen statt kreisförmigen Planetenbahnen um die Sonne. Die ungleichförmigen Umlaufgeschwindigkeiten der Planeten um die Sonne liessen sich so ohne den Kunstgriff der Epizykeltheorie von Ptolemäus erklären und genauer berechnen.

Heliozentrisches Weltbild nach Kepler. Planetenbahnen der innersten 3 Planeten. (Quelle: © (Oberstufenzentrum Banken, Immobilien und Versicherungen, Berlin-Mitte [OSZBV], 2014)

Es war dann Isaac Newton, der 1687 mit dem Gravitationsgesetz die physikalische Erklärung für die mathematischen, keplerschen Gesetze lieferte. Die Gravitation – auch Schwerkraft oder Massenanziehung genannt – ist die Kraft, die zwei oder mehrere (Himmels-) Körper aufgrund ihrer Masse und Distanz aufeinander ausüben. Newton

erkannte, dass Keplers Ellipsen auch nur Näherungen an die wirklichen Planetenbahnen sind. Sie stimmen nur dann exakt, wenn man die Anziehungskräfte der Planeten

untereinander vernachlässigt. Diese verursachen kleine Abweichungen, die Bahnstörungen genannt werden.

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Die Gravitationskraft ist auch die Erklärung für die ewige Bewegung der Himmelskörper auf ihren ellipsenförmigen Umlaufbahnen, denn im Gegensatz zur Erde, weist das Weltall keine Reibung auf. Die Bewegungen der Himmelskörper im Universum sind ein ewiges, höchst komplexes Zusammenspiel der Gravitationskräfte aller Himmelskörper.

Dass die Planetenbahnen in allen obenstehenden Modellen auf einer Ebene liegen, ist tatsächlich so und ist ein Ergebnis von Gravitations- und Fliehkraft. Ursprünglich entstanden die Planeten aus Gasen und Trümmerstücken die scheibenförmig um die Sonne kreisten (Akkretionsscheiben).

Die treibende Kraft für die Weiterentwicklung der Planetenmodelle des Sonnensystems waren stets Unstimmigkeiten zwischen Beobachtungen und Modell.

Übung 6-1: Fragen zu Planetenmodellen

a) Welches sind die Grundannahmen der folgenden Planetenmodelle?

- Geozentrisches Weltbild nach Ptolemäus: ___________________________________ ______________________________________________________________________ - Heliozentrische Weltbild nach Kopernikus: ___________________________________ ______________________________________________________________________ - Heliozentrisches Weltbild nach Kepler: ______________________________________ ______________________________________________________________________ b) Wer lieferte die physikalische Begründung für die ellipsenförmigen Umlaufbahnen?

___________________________________

c) Welche physikalischen Kräfte sorgen dafür, dass die Planeten ellipsenförmig auf einer Ebene (Scheibe) um die Sonne kreisen? _____________________________________ Videos:

- Die Geschichte, wie sich unser Weltbild verändert hat (7:14):

https://www.youtube.com/watch?v=B09XLZE2B2w

- Keplersche Gesetze – Umlaufbahnen von Planeten (5:46):

https://www.youtube.com/watch?v=UdxJl8G-ExQ

- Das Sonnensystem [Modell mit Planeten und Planetenbahnen] (5:20):

https://www.youtube.com/watch?v=N7ezarEYKxk

- Isaac Newton und die Gravitation (7:35):

https://www.youtube.com/watch?v=ExK2bj70eCA

- Masse und Schwerkraft (4:33):

https://www.youtube.com/watch?v=uXEc14l-xfA

Weitere Informationen:

- Geozentrisches Weltbild: https://de.wikipedia.org/wiki/Geozentrisches_Weltbild

- Claudius Ptolemäus: https://de.wikipedia.org/wiki/Claudius_Ptolem%C3%A4us

- Heliozentrisches Weltbild: https://de.wikipedia.org/wiki/Heliozentrisches_Weltbild

- Das Sonnensystem: https://de.wikipedia.org/wiki/Sonnensystem

- Newtonsches Gravitationsgesetz:

25 6.2 Atommodelle

Im Gegensatz zu den Planeten ist die direkte vollständige Beobachtung von Atomen nicht möglich. Wie es im alten Griebenland zur Vorstellung kam, Materie sei aus kleinsten, unteilbaren Teilchen, den kugelförmigen Atomen aufgebaut ist unklar. Modellvorstellungen zum Aufbau von Atomen dagegen haben auf den ersten Blick eine unübersehbare

Ähnlichkeit mit Planetenmodellen, wie die nachstehenden Abbildungen zeigen.

1) Das Atommodell nach Thomson (1904) oder «Rosinenkuchenmodell»: Atome als positiv geladene Kugeln, in die Elektronen eingelagert sind.

Quelle: https://www.grund-wissen.de/physik/atomphysik/atommodelle.html

2) Das Atommodell nach Rutherford (1911): Atom als positiv geladener Atomkern mit einer negativ geladenen Elektronenhülle.

Quelle: https://www.grund-wissen.de/physik/atomphysik/atommodelle.html

3) Das Schalen-Atommodell für Wasserstoff nach Bohr (1913): Jedes Elektron umkreist den Atomkern auf einer Kreisbahn. Beim Übergang eines Elektrons von einer äußeren

Elektronenbahn in eine innere Elektronenbahn wird Licht (Photon) ausgesendet.

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4) Das Kugelwolkenmodell nimmt eine Wolke (Kugel) um den Atomkern an und darum herum allenfalls weitere Wolken, in denen sich ein bis zwei negativ geladene Elektronen wild bewegen. Die Anzahl der Elektronenwolken ist abhängig vom chemischen Element bzw. seiner Anzahl Elektronen. Die räumliche Anordnung der Wolken wird durch die gegenseitige Abstossung der negativen Elektronen bestimmt. Deshalb hat Kohlenstoff mit vier äusseren Elektronenwolken, die Form eines Tetraeders.

Das Kohlenstoffatom als Schalenmodell (links) und als Kugelwolkenmodell (rechts) Quelle: http://www.u-helmich.de/che/0809/05-molek/mol01.html

Trotz der scheinbar grossen Ähnlichkeit von Atommodellen mit Planetenmodellen sind grundsätzliche Unterschiede festzuhalten:

- Am offensichtlichsten ist der gigantische Grössenunterschied der Untersuchungsobjekte.

- Während die treibende Kraft bei Planetenmodellen die Schwerkraft ist, sind es bei den neueren Atommodellen elektrostatische Kräfte (Coulomb-Gesetz).

- Im Gegensatz zu den Planeten können Atome bislang (noch) nicht vollständig direkt beobachtet werden. Deshalb empfahl der Physiker Heisenberg (1901-1976), sich am besten gar keine räumliche Vorstellung von Atomen zu machen.

Übung 6-2: Fragen zu Atommodellen

a) Welche Erkenntnisfortschritte liegen zwischen:

- Thomson- und Rutherfordmodell? _________________________________________ ______________________________________________________________________ - Rutherford- und Schalenmodell? __________________________________________ ______________________________________________________________________ - Schalen- und Kugelwolkenmodel? _________________________________________ ______________________________________________________________________ b) Welches Planetenmodell und welches Atommodell sind am ähnlichsten? ____________ ______________________________________________________________________ c) Welche Kraft treiben (1) Planetenmodelle an und welche (2) Atommodelle? __________ ______________________________________________________________________ d) Kannst du dich von der Vorstellung lösen, dass Atome etwas mit Kugeln und kreisenden Bewegungen zu tun haben, wie es Heisenberg empfahl? ________________________ e) Welches ist die treibende Kraft zur Weiterentwicklung von Modellen? _______________

27 Lernziel:

- Treibende Kraft für Modellverbesserungen sind Unstimmigkeiten zwischen Beobachtung und Modell.

Videos:

- Die Entwicklung von Atommodellen (3:5):

https://www.youtube.com/watch?v=ZD2HWNkA6WI

Rutherfords Streuversuch (3:58): https://www.youtube.com/watch?v=81kI-gmTSrA

- Bohrs Schalen-Atommodell (6:09): https://www.youtube.com/watch?v=aaCrbQcHsDM

- Das Kugelwolkenmodell (6:57): https://www.youtube.com/watch?v=cFBT2UrYrm0

Weitere Informationen:

- Atom: https://de.wikipedia.org/wiki/Atom

- Atommodelle: https://www.grund-wissen.de/physik/atomphysik/atommodelle.html - Liste der Atommodelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Atommodelle

- Schalenmodell: https://de.wikipedia.org/wiki/Schalenmodell_(Atomphysik) - Kugelwolkenmodell: https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelwolkenmodell

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7. Mathematische Modellierung

Mathematisches Modellieren kennen wir bereits durch das Lösen von Textaufgaben. Da werden reale Sachverhalte als Textaufgaben formuliert (reales Modell), die in einem ersten Schritt in die abstrakte Sprache der Mathematik übersetzt werden (mathematisches Modell), in einem zweiten Schritt berechnet (mathematisch gelöst) werden und in einem dritten Schritt in einem Antwortsatz zurückübersetzt (interpretiert) werden (reale Lösung). Im

nachstehenden Kreislauf der mathematischen Modellierung kommt als vierter Schritt noch die Bewertung der realen Lösung dazu.

Der Kreislauf der mathematischen Modellierung

Quelle: https://www.mathe-lerntipps.de/mathematisches-modellieren/

Mathematische Modellierung bedeutet also reale Fragestellungen in der Sprache der Mathematik auszudrücken und mit Hilfe mathematischer Werkzeuge zu lösen. In verschiedenen Wissenschaften sind mathematische Modellierungen schon lange zu unverzichtbaren Methoden geworden, die zunehmend komplexer werden.

Für den Ablauf der mathematischen Modellierung sind folgende 11 Leitsätze zu beachten: 1) Die Fragestellung möglichst präzise und einfach, aber doch vollständig formulieren

(reales Modell).

2) Die Kenngrössen (Variablen, Parameter) bestimmen, die in das mathematische Modell einfliessen sollen, nicht zu viele aber auch nicht zu wenige.

3) Nach bereits zutreffenden oder ähnlichen mathematischen Modellen (Formeln) suchen (Internetsuche).

4) Die Fragestellung (reales Modell) in mathematische Formel fassen (mathematisches Modell).

5) Die notwendigen Daten (Zahlenwerte) für das mathematische Modell beschaffen. 6) Prüfen, ob das Modell mathematisch lösbar ist.

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8) Das mathematische Modell berechnen, wenn möglich unter Berücksichtigung der Datenunsicherheit.

9) Das mathematische Modellergebnis darstellen, wenn möglich grafisch.

10) Das mathematische Modellergebnis durch ein Experiment in der Realität überprüfen (validieren).

11) Das Ergebnis interpretieren und bewerten (Antwort).

Entsprechend der Vielfalt mathematischer Modelle, gibt es auch zahlreiche

Klassifikationsmöglichkeiten. Wir beschränken uns jedoch auf die einfache Gruppierung in Kapitel 1 und unterscheiden grundsätzlich statische mathematische Modelle und

dynamische mathematische Modelle. Das sollen auch die folgenden Übungen veranschaulichen.

Übung 7-1: Mathematische Modellierung statischer Figuren

Das Parallelogramm:

a) Berechne die Fläche eines Parallelogramms (schiefes Rechteck), dessen längere Seiten (a) 8 cm messen und die Distanz/Höhe (h) der parallelen Seiten 5 cm beträgt. Überprüfe das Ergebnis experimentell.

Material: mm-Papier, Schreibstift, Massstab

Formel und Berechnung: PGF = a · h = ______________________________________

Experimentelle Überprüfung: Zeichne das Parallelogramm massstabsgetreu und zähle alle Quadrate von 1 cm2 _{im entsprechenden Rechteck.}

Antwort: ________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ b) Berechne den Umfang des Parallelogramms.

Formel und Berechnung: PGU = 2a + 2x = _____________________________________

Welche Leitsätze sind nicht erfüllt? ___________________________________________ Experimentelle Lösung: Miss die Länge von x in der bei a) gezeichneten Grafik und berechne den Umfang des Parallelogramms: ___________________________________ _______________________________________________________________________ Antwort: ________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

Der Kreis:

c) Berechne die Fläche eines Kreises mit einem Radius von 5 cm und überprüfe das Ergebnis experimentell.

Formel und Berechnung: KF = π·r2 = 3.14 · ___________________________________

Experimentelle Überprüfung: Umschreibe alle Quadrate von 1 cm2_{, die vollständig}

innerhalb des Kreises liegen und zähle sie. Zähle alle angeschnittenen Quadrate von 1 cm2 _{und dividiere deren Anzahl durch 2. Addiere beide Teilergebnisse.}

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Antwort: ________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Wie könnte die experimentelle Überprüfung verbessert werden? ___________________ _______________________________________________________________________ (Alternative experimentelle Methode: https://www.youtube.com/watch?v=WiVFQ8JmVEM) d) Berechne den Umfang eines Kreises und überprüfe das Ergebnis experimentell.

Material: Wie für c) plus Schnur ca. 40 cm, Stecknadeln, Kartonunterlage.

Formel und Berechnung: KU = π · 2r = 3.14 ·___________________________________

Experimentelle Überprüfung: Stecke 16 Stecknadeln in den gezeichneten Kreis auf der Kartonunterlage, lege das Schnurstück darum und miss dessen Länge.

Der experimentell gemessen Kreisumfang beträgt: _________________________ Antwort: ________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

e) Welche Berechnungen sind genauer, jene zum Parallelogramm oder zum Kreis?

_______________________________________________________________________ Warum? _______________________________________________________________

Übung 7-2: Mathematische Modellierung dynamischer Vorgänge

Der freie Fall:

Der freie Fall ist die Bewegung eines Körpers, bei der ausser der Schwerkraft keine weiteren Kräfte wirken.

a) Welches sind notwendige Kenngrössen (Variablen) für die mathematische Modellierung des freien Falls? Zutreffendes ankreuzen:

Kenngrössen notwendig

h Fallhöhe t Fallzeit

m Masse des Fallkörpers

g Erdbeschleunigung (Anziehungskraft) = 9.81 m/sec2

lw Luftwiderstand Experiment:

1) Eine Kugel oder ein runder Stein und ein Blatt Papier werden aus ca. 1.50 m gleichzeitig fallen gelassen.

2) Wiederholung des Experiments indem das Blatt Papier kugelähnlich zerknüllt wird. Welche beiden Kenngrössen sind also vernachlässigbar? ________________________

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Hinweis: Gilt in der Atmosphäre nur für kurze Fallhöhen aerodynamischer Körper, oder ohne Einschränkungen im luftleeren Raum (Vakuum).

b) Gruppenübung: Messt die Fallhöhen und Fallzeiten einer Kugel oder eines runden Steins aus mindestens drei verschiedenen Höhenstufen (Stockwerken, Aussichtsturm) und tragt sie in untenstehende Tabelle ein. Dann berechnet ihr die Fallzeiten der Höhenstufen mit der untenstehenden Formel.

Experiment – Vorgehen und Material:

Es wird empfohlen, die Zeitmessung fallender Körper in einem Vorversuch zu üben. 1) Eine Person steigt mit Kugel oder rundem Stein und Messband auf die erste Höhenstufe. Zuerst wird die Fallhöhe (zentimetergenau) gemessen und in die

nachstehende Tabelle eingetragen. Dann sagt die Person oben deutlich „eins, zwei, drei“ und lässt auf „los“, die Kugel aus der festgelegten Höhe senkrecht fallen. Drei Personen unten stoppen die Fallzeit mit dem Handy (auf 1/100 sec genau) bis zum Aufschlagen der Kugel auf den Boden. Die Fallzeiten werden ebenfalls in die Tabelle eingetragen. 2) Wiederholung des Experiments auf jeder weiteren Höhenstufe.

Vorsicht: Die fallende Kugel soll weder Personen verletzen, noch den Boden beschädigen.

Berechnung der Fallzeit:

𝐭 = √𝟐𝐡 ∶ 𝐠

Gemessene Fallzeiten (sec, 1/100) 1) 2) 3) Berechnete Fallzeiten (sec, 1/100)

Zeichnet ein Diagramm auf kariertes Papier mit allen Ergebnissen der obenstehenden Tabelle gemäss folgender Anleitung:

- Waagrechte x-Achse: Fallzeiten (sec) von 0-2 sec (ca.10 cm); Skaleneinteilung: 5 Kästchen für 0.5 sec.

- Senkrechte y-Achse: Fallhöhe (m) von 0-20 m (ca. 18 cm); Skaleneinteilung: 2 Kästchen für 1 m.

- Berechnete Fallzeiten für alle Höhenstufen in Diagramm als blaue Quadrate eintragen und mit Linie verbinden.

- Gemessene Fallzeiten: Alle Werte (Minima, Zentralwerte, Maxima) für alle Höhenstufen als rote senkrechte Striche eintragen, auf jeder Höhenstufe mit horizontaler Linie verbinden und schliesslich Zentralwerte mit Linie verbinden.

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Welche Messungen sind zuverlässiger, jene der Fallhöhe oder der Fallzeit? __________ Sind die berechneten oder die gemessenen Fallzeiten zuverlässiger? _______________

Hinweis: Falls die Fallhöhe berechnet werden soll, lautet die Formel: h = g · t2 _{: 2}

Welche Gründe kommen für Unstimmigkeiten von gemessenen und berechneten Fallzeiten infrage? Zutreffendes ankreuzen:

Messfehler der Zeitmessungen Rechnungsfehler

Zuwenig berücksichtigte Kommastellen

Zu grosse Vereinfachung des mathematischen Modells Ungeeignete Versuchsanordnung

Die Masse des Fallkörpers Windeinfluss

Der Luftwiderstand der Fallkörpers

c) Berechne die Fallgeschwindigkeiten für die verschiedenen Fallhöhen von b) mit den berechneten Fallzeiten nach der untenstehenden Formel:

Formel Fallgeschwindigkeit: v = g · t

v Fallgeschwindigkeit (m/sec) g Erdbeschleunigung (9.81 m/sec2₎

t Fallzeit (sec)

Berechnungen der Fallgeschwindigkeiten für verschiedene Fallhöhen: h1 = _____ m // v1 = 9.81 m/sec2· _____ sec = ______ m/sec

h2 = _____ m // v2 = 9.81 m/sec2·_____ sec = ______ m/sec

h3 = _____ m // v3 = 9.81 m/sec2·_____ sec = ______ m/sec

h4 = _____ m // v4 = 9.81 m/sec2·_____ sec = ______ m/sec

Wie verläuft die Fallgeschwindigkeit mit zunehmender Fallhöhe? _____________________ Hinweis: Weil es schwierig ist, Fallzeiten genau zu messen, hat Galileo Galilei (1564 - 1642), der die Fallgesetze entdeckt hatte, in seiner Versuchsanordnung Kugeln eine schräge

Rampe hinunterrollen lassen, um so die Fallzeiten zu verlangsamen. Dabei hat er festgestellt, dass sich die Kugeln pro Zeiteinheit stets um zwei Längeneinheiten mehr weiterbewegen (1 + 3 + 5 + usw.). Das bedeutet eine gleichmässige (konstante) Beschleunigung.

(Video (4:24) https://www.youtube.com/watch?v=CEqcOsRXusg)

Das Trägheitsprinzip:

Die Kraft, die gegen die Trägheit aufgewendet werden muss, haben wir alle schon am eigenen Leib erfahren – nicht beim „Chillen“ wie man meinen könnte – sondern auf einer rasanten Autofahrt, wenn unser Körper bei der Beschleunigung nach hinten in den Sitz gepresst, oder bei einer scharfen Kurve nach aussen getragen und schliesslich beim Bremsen (Entschleunigung) nach vorne in die Sicherheitsgurten gedrückt wird.

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Trägheit im physikalischen Sinn ist die Eigenschaft von Körpern, ohne Krafteinwirkung ihren Bewegungszustand beizubehalten, das heisst in gleichförmiger geradliniger Bewegung oder in Ruhe zu bleiben.

Der Widerstand (Kraft) der Trägheit, wirkt der äusseren Krafteinwirkung entgegengesetzt.

d) Welches sind notwendige Kenngrössen (Variablen) für die mathematische Modellierung des Trägheitsprinzips? Zutreffendes ankreuzen:

die Geschwindigkeit die Masse des Körpers die Beschleunigung die zurückgelegte Strecke die Entschleunigung die Richtungsänderung

e) Berechnet die Kräfte, die auf einen Körper von 50 kg bei einer rasanten Autofahrt wirken, wenn (1) das Auto in 3 Sekunden gleichmässig von 0 auf 30 km/h beschleunigt, (2) das Auto mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h (8.33 m/sec) eine Kurve von 90o _{mit einem}

Radius von 30 m fährt und (3) mit 30 km/h ungebremst in eine Mauer prallt. Material: Schreibzeug und Taschenrechner (Handy).

Hinweis: Die Geschwindigkeit oder ihre Differenz ist in den Formeln m/sec einzusetzen. 1) Gleichmässige Beschleunigung (F1):

Formel: F1 = m · a

F1 Beschleunigungskraft (N)

m Masse des Körpers (kg) a Beschleunigung (m/sec2₎

Formel: a = vd : t

vd Geschwindigkeitsdifferenz (m/sec)

t Zeit (sec)

Hinweis: Masse (kg) ist ortsunabhängig, Newton (N) auch Gewichtskraft genannt dagegen ist ortsabhängig. 1 kg auf der Erdoberfläche entspricht etwa 9.81 N (mittlere Erdbeschleunigung). 1 N ist etwa der Kraftaufwand um 102 g hochzuheben.

Berechnung: a = ___________________________________________________________________ F1 = ___________________________________________________________________ 2) Fliehkraft in Kurve (F2): Formel: F2 = m · v2 _{: r} F2 Fliehkraft (N)

m Masse des Körpers (kg) v Geschwindigkeit (m/sec) r Radius der Kurve (m)

34 3) Ungebremster Aufprall (F3):

Formel: F3 = m · v : t F3 Aufprallkraft (N)

m Masse des Körpers (kg) v Geschwindigkeit (m/sec)

t Knautschzeitdauer (sec) = 0.5 sec (Annahme)

Berechnung: F3 = ________________________________________________________

Hinweis: Anstelle der angenommenen Knautschzeitdauer (t in sec) kann die gemessene Verformung (Verkürzung) des Fahrzeugs (s in m) nach dem Aufprall eingesetzt werden. f) Die Überprüfung der berechneten Modellergebnisse ist aufwändig und teuer. Eine

mögliche Versuchsanordnung wäre ein Körper auf einer reibungsarmen Fläche in einem Fahrzeug, der mit einer Federwaage am Fahrzeug befestigt ist. Der Versuch kann auch reduziert mit einem Körper von 5 kg und einem Kurvenradius von 3 m durchgeführt werden.

Zeichne in die drei untenstehenden Versuchspläne folgendes ein: Befestigung der Federwaage

Richtung der äusseren Kraft (Beschleunigung, Fliehkraft, Aufprall) Richtung der Trägheitskraft

1) Gleichmässige Beschleunigung (F1):

2) Fliehkraft in Kurve (F2):

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g) Was verursacht bei der experimentellen Überprüfung der berechneten Ergebnisse grössere Probleme? Zutreffendes ankreuzen:

Der Körper von 50 kg Der Aufprall

Die Kraftmessungen Die Reibung des Körpers

Die angenommene Knautschzeit Die gleichförmige Beschleunigung Lernziele:

- Ablauf mathematischer Modellierung kennen lernen.

- Anwendung und experimentelle Überprüfung mathematischer Modelle üben.

Videos:

- Textaufgaben verstehen [und lösen] (7:40)

https://www.youtube.com/watch?v=_wnGH7uVcN0:

- Mathematisches Modellieren (5:28): https://www.youtube.com/watch?v=TZbhltwvBL0

- Ein unlösbares Matherätsel?! (3.50)

https://www.youtube.com/watch?v=Ip6C5Q0GtVU&t=55s

- Freier Fall (1:30) https://www.youtube.com/watch?v=8hWaV_gka6M

- Freier Fall im Vakuum (2:20) https://www.youtube.com/watch?v=uvJga 9RW8e0

- Was ist das Trägheitsprinzip? Einfach und anschaulich erklärt (2:07)

https://www.youtube.com/watch?v=ysfqYKnw0u8

Weitere Informationen:

- Was ist mathematische Modellierung? https://www.math.uni-hamburg.de/home/struckmeier/modsim10/Kap1.pdf

- Mathematik und Modellbildung: https://slideplayer.org/slide/1278250/

- Freier Fall: https://de.wikipedia.org/wiki/Freier_Fall

- Trägheit: https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheit

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8. Umweltmodellierung – Bodenverschmutzung

Der Hauptzweck der Umweltmodellierung ist es, den menschlichen Einfluss auf die natürliche Umwelt (Ökosysteme) zu erfassen und zu beurteilen.

(Quelle: http://www.oekosystem-erde.de/html/system-erde.html)

Das obenstehende Modell des Ökosystems der Erde zeigt, dass seine Teilsysteme durch Stoffkreisläufe und Energieflüsse miteinander verbunden sind. Die wichtigsten

Einflussfaktoren sind dabei die natürliche Sonnenstrahlung sowie menschliche Tätigkeiten. Durch das Bevölkerungswachstum, aber noch viel mehr durch vielfältige und tiefgreifende technische Eingriffe beeinflusst der Mensch die natürlichen Ökosysteme zunehmend auch auf schädliche Weise und ist auf dem Weg, so seine eigene Lebensgrundlage zu gefährden. Beispiele dazu sind, übermässiger Land- und Wasserverbrauch, Verlust biologischer Vielfalt, Klimaerwärmung, Luft-, Wasser- und Bodenverschmutzung.

Als Beispiel wird die Bodenverschmutzung herausgegriffen. Bodenverschmutzung bedeutet, die Belastung der Böden durch Schadstoffe aufgrund menschlicher Tätigkeiten. Schadstoffe sind Stoffe, die für Lebewesen schädlich sein können, wenn sie gewisse Konzentrationen (Schwellenwerte) übersteigen. Dazu gehören auch die Schwermetalle, wie etwa Blei, Cadmium, Zink oder Kupfer, die alle auch natürlich als Spurengehalte im Gestein und durch deren Verwitterung im Boden vorkommen.

Um die Bodenverschmutzung sinnvoll modellieren zu können, braucht man zuerst eine realitätsnahe Vorstellung, wie Böden mit Schadstoffen belastet werden. Letztendlich landen alle Stoffe über verschiedene Eintragspfade im Boden oder im Meer und reichern sich dort an, falls sie nicht wieder ausgetragen oder abgebaut werden. Man kann sich also Böden als Gefässe vorstellen, die bereits natürlich Schadstoffe wie Schwermetalle enthalten und über verschiedene Eintragspfade zusätzlich angereichert werden. Dabei gilt es aber auch allfällige Austragspfade von Schadstoffen zu berücksichtigen.

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Schadstoffe werden gewöhnlich nicht absichtlich eingetragen, sondern gelangen über Luft- und Wasserverschmutzungen sowie verunreinigte Dünge- und Pflanzenschutzmittel in den Boden. Eine Ausnahme ist das Schwermetall Kupfer, das als Pflanzenschutzmittel sogar im Biolandbau eingesetzt wird. Austragspfade von Schadstoffen sind das Erntegut von

Pflanzen, die auch Schadstoffe aus dem Boden aufnehmen, sowie die Auswaschung ins Grundwasser.

Nachdem die Modellstruktur beschrieben ist, muss diese in mathematische Modelle übersetzt werden. Die einfachsten mathematischen Modelle für die Erfassung der

Bodenbelastung mit Schadstoffen sind Vergleiche mit bestehenden Schwellenwerten, oder der Vergleich von Schadstoffgehalten im Oberboden mit jenen im Unterboden. Eine weitere Methode ist die Erstellung von Schadstoffbilanzen, wobei Schadstoffeinträge addiert und Schadstoffausträge subtrahiert werden.

Die Beurteilung der Bodenbelastung mit Schwellenwerten ist sehr allgemein und

entsprechend unzuverlässig, weil sie die besonderen Bodenverhältnisse am Standort nicht berücksichtigt. Der tiefste Schwellenwert heisst Richtwert und bedeutet, dass unter diesem Wert, die Bodenfruchtbarkeit durch den betreffenden Schadstoff nicht beeinträchtigt ist. Aber auch Vergleiche von Schadstoffgehalten im Ober- und Unterboden sind nur grobe Schätzungen, denn dabei wird der lockere, mineralisch-organische Oberboden mit dem dichten, mineralischen Unterboden verglichen.

Mathematische Modelle müssen mit brauchbaren, das heisst genügend zuverlässigen Daten gefüttert werden. Umweltdaten sind aber allgemein recht unsicher, weil sie meistens nur an einzelnen Standorten direkt erhoben oder gemessen werden und dann auf andere Standorte oder Flächen übertragen werden und so zu unsicheren Schätzungen werden. Deshalb weisen Umweltdaten grosse Streuungen (Unsicherheiten) auf. Umweltmodelle ohne Berücksichtigung der realistischen Datenunsicherheiten sind deshalb irreführend.

Je nach Schadstoff, Standort und Landnutzung ist die Bodenbelastung sehr verschieden. Bei deren Erfassung gilt es zu berücksichtigen, dass die Schadstoffeinträge auf die

Bodenoberfläche gelangen (Gewicht pro Fläche pro Zeitdauer) und erst dann in den Boden eingetragen werden und entsprechend für eine bestimmte Bodentiefe (oft 20 cm)

umgerechnet werden müssen (z.B. in mg Kupfer pro kg trockener Boden pro Jahr). Modelle sollen so einfach wie möglich sein, aber nicht zu einfach. Es wird zwischen Black Box-, Grey Box- und White Boxmodellen unterschieden:

- Black Boxmodelle (Bilanzmodelle) erfassen nur den Input und Output, sie modellieren nicht, was in der Box, hier dem Boden, geschieht (Übungen 8-2 und 8-3).

- Grey Boxmodelle modellieren teilweise was in der Box geschieht, zum Beispiel die Tiefenverteilung der Schadstoffgehalte im Boden (Übungen 8-1b und 8-4).

- White Boxmodelle schliesslich modellieren alle notwendigen Prozesse, um Messergebnisse zuverlässig voraussagen zu können.

Übung 8-1: Erfassung der Bodenbelastung durch Kupfer (Cu) an einem Standort

An einem Ackerbaustandort wurden im Oberboden (0-20 cm) 33 mg Cu/kg Boden gemessen und im Unterboden 11 mg Cu/kg Boden. Der Richtwert für Kupfer beträgt 40 mg/kg.

a) Wieviel liegt der Cu-Gehalt im Oberboden 0–20 cm unter dem Richtwert? ____ mg/kg b) Wie hoch ist die Cu-Belastung beim Vergleich von Oberboden mit dem Unterboden?

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Übung 8-2: Bilanzierung der Kupferbelastung an einem Standort

a) Benenne die verschiedenen Eintrags- und Austragspfade in der nachstehenden Modellstruktur.

A Auswaschung

D Düngemittel (Mineraldünger, Kompost, Hofdünger) E Ernteaustrag

G Gewässerverschmutzung (Bewässerung) L Luftverschmutzung (Deposition)

P Pflanzenschutzmittel

b) Übersetze die obenstehende Modellstruktur in eine Boden-Schadstoffbilanz. Schadstoffbilanz = _____________________________________________

c) Erstelle die Bilanzgleichung für die Ein- und Austräge und berechne die Bodenbelastung durch Kupfer (Cu) pro Jahr mit den nachstehenden Daten.

Ein- und Austräge Daten-unsicherheit

Mittelwert Minimum Maximum

L Deposition ±90 % 12 1.2 22.8 g/ha Jahr D Düngemittel ±70 % 18 5.4 30.6

P Pflanzenschutzmittel ±50 % 120 60 180 E Ernteaustrag ±60 % 53 21.2 84.8 A Auswaschung ? extrem gering (keine Daten)

Bo Bodengehalt (0–20 cm) ±5 % 33 31.35 34.65 mg /kg1 1_{mg Cu pro kg trockener Boden für eine Bodentiefe von 20 cm}

BilanzgleichungCu = _______________

Bilanzrechnungen (in g/ha Jahr und in mg/kg Jahr)1_:

- Minimalwerte: _________________________________________________________ - Mittelwerte: ___________________________________________________________ - Maximalwerte: _________________________________________________________

1_{Umrechnung für eine Bodentiefe von 20 cm: X g/ha Jahr : 2400 = Y mg/kg Jahr}

d) Wie viele Jahre dauert es bei gleichbleibenden jährlichen Cu-Belastungen und den Bodengehalten von c), bis der Cu-Richtwert von 40 mg/kg überschritten ist? Hinweis: Am schnellsten geht es mit den Maximalwerten.

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Berechnung: Dauer (Jahre) = Richtwert − Bodengehalt : Cu-Belastung (mg/kg Jahr) - Mindestdauer: _____ Jahre

- Mittlere Dauer: _____ Jahre - Maximaldauer: _____ Jahre - Unsicherheitsdauer: _____ Jahre

Welche Gründe sind für die grosse Unsicherheit der Bilanzrechnung (Unsicherheitsdauer) verantwortlich? Zutreffendes ankreuzen: geringe Einträge

Unsicherheiten der Eintrags- und Austragspfade, die sich addieren Prognosedauer (Jahre) bei gleichbleibender Cu-Belastung

Ist es wahrscheinlich, dass die jährlichen Cu-Belastungen über so viele Jahre unverändert bleiben? ________

Übung 8-3: Überprüfung des Cu-Bilanzmodells (Black Boxmodell)

Im Oberboden (0-20 cm) wurde ursprünglich ein Cu-Gehalt von 33±1.65 mg/kg gemessen. Nach 20 Jahre wurde die Bodenmessung wiederholt und ergab zweifelsfrei einen Cu-Gehalt von nur noch 28±1.4 mg/kg. In der untenstehenden Grafik sind ebenfalls die langjährigen Ergebnisse des Bilanzmodells dargestellt.

Bestätigen die Bodenmessungen das Cu-Bilanzmodell? ________________ Übung 8-4: Vom Black Box- zum White Boxmodell

Wenn wir davon ausgehen, dass die obenstehenden Bilanzergebnisse grundsätzlich korrekt sind, das heisst mehr Einträge als Austräge stattfinden, so müssen wir die «Black Box», das heisst den Boden näher untersuchen. Die nachstehende Darstellung der Tiefenverteilung der Cu-Gehalte der ersten Bodenmessung (Cu1), zeigt eine Abnahme in die Tiefe und die zweite Messung nach 20 Jahren (Cu2) eine zeitliche Abnahme im Oberboden.

Richtwert Jahre mg Cu /k g B od e n

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- Was geschieht bei der Bodendurchmischung durch Pflügen oder Grabtätigkeit der

Regenwürmer mit den Cu-Gehalten im Oberboden? _____________________________ - Kann die Abnahme der Cu-Gehalte im Oberboden mit einem einfachen mathematischen

Modell berechnet werden? _________________________________________________ - Können zeitliche Veränderungen von Schadstoffgehalten im Boden mit mathematischen

Modellen zuverlässig vorausgesagt werden? ___________________________________ - Wie weit ist Modellierung von Bodenbelastungen durch Schadstoffe bisher

fortgeschritten? Zutreffendes ankreuzen: Black Boxmodell

Grey Boxmodell White Boxmodell

- Welches sind wichtige Probleme bei der Modellierung von zeitlichen Veränderungen der Schadstoffbelastung im Boden? Zutreffendes ankreuzen:

Mangel an geeigneten Daten Datenunsicherheit der Bilanzierung Modellunsicherheit

Bodenmessungen

Lernziele:

- Modelle sollen so einfach wie möglich sein, aber nicht einfacher. - Umgang mit Datenunsicherheiten.

- Grenzen der Modellierung erkennen.

Video:

- Schadstoffe im Boden – Bodenbelastung (1:57):

https://www.youtube.com/watch?v=8xRku-sf-1U

Weitere Informationen:

- Ökosystem Erde: http://www.oekosystem-erde.de/html/okosystem_erde.html - Bodenkontamination: https://de.wikipedia.org/wiki/Bodenkontamination Tiefe (cm) Cu1 (mg/kg) Cu2 (mg/kg) 0 35 28 20 31 28 40 22 22 60 14 80 11 100 11

Boden-

Durchmischung

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9. Das Wirtschaftsmodell von Angebot und Nachfrage

Die Modellvorstellung von Angebot und Nachfrage ist auf den ersten Blick einfach: Auf dem Markt werden nur Waren und Dienstleistungen angeboten, wenn eine Nachfrage dafür besteht und der Preis ist abhängig von der angebotenen und der nachgefragten Menge. Wo sich Angebots- und Nachfragekurve schneiden, liegt der Gleichgewichtspreis, wie

nachstehende Grafik zeigt. Wenn sich Nachfrage oder Angebot verändern, verschiebt sich der Gleichgewichtspreis nach oben oder nach unten.

Auswirkungen einer steigenden Nachfrage Auswirkungen eines steigenden Angebots

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Übung 9-1: Der Preis im Spannungsfeld von Angebot und Nachfrage Was geschieht mit dem Preis, wenn nur das Angebot steigt?

__________________________________________________________________________ Was geschieht mit dem Preis, wenn nur die Nachfrage steigt?

__________________________________________________________________________ Was geschieht mit dem Preis, wenn nur das Angebot sinkt?

__________________________________________________________________________ Was geschieht mit dem Preis, wenn nur die Nachfrage sinkt?

__________________________________________________________________________ Mit der Frage, welche Einflussfaktoren denn Angebot und Nachfrage beeinflussen, wird die Modellvorstellung von Angebot und Nachfrage dann doch viel komplexer, denn die

zahlreichen Einflussfaktoren sind oft unberechenbar und nicht voraussehbar, wie aus der folgenden, unvollständigen Aufzählung ersichtlich ist:

Einflussfaktoren, welche das Angebot verändern:

A1 Naturereignisse (z.B. Überschwemmungen, Epidemien) A2 Import- oder Exportstopp

A3 Produktivitätssteigerung

A4 Veränderungen der Produktionskosten

A5 Veränderungen von Kundenwünschen und -erwartungen

A6 usw.

Einflussfaktoren, welche die Nachfrage verändern:

N1 Veränderung der Kundenbedürfnisse (Modeströmungen) N2 Veränderungen der Kundeneinkommen

N3 Preisänderungen anderer Produkte oder Dienstleistungen N4 Neue Konkurrenzprodukte oder -dienstleistungen

N5 Veränderungen von Preis-Leistungsverhältnis

N6 usw.

Die in der Wirklichkeit hohe Komplexität der Wirtschaftsmodelle von Angebot und Nachfrage ist ein Hauptgrund, weshalb Wirtschaftsprognosen so oft falsch liegen. Ein derart komplexes System, das sich laufend verändert, kann nicht zuverlässig modelliert werden.

Übung 9-2: Einflussfaktoren von Angebot und Nachfrage a) Kannst du weitere Einflussfaktoren aufzählen?

Angebot: A6_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Nachfrage: N6___________________________________________________________ _______________________________________________________________________

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b) Gib je ein konkretes Beispiel für die Veränderung von Angebot und Nachfrage:

Das Angebot für ___________________________ steigt, wenn____________________ ____________________________________________________________________ Die Nachfrage für __________________________ sinkt, wenn ____________________ ____________________________________________________________________ c) Welche oben aufgeführten Einflussfaktoren sind unberechenbar und unvorhersehbar? Bedingt berechenbare und vorhersehbare Einflussfaktoren in Klammern setzen:

Beim Angebot: __________________________________________________ Bei der Nachfrage: _______________________________________________ d) Sind Wirtschaftsmodelle von Angebot und Nachfrage zuverlässig, ja oder nein? _____

Warum? _______________________________________________________________ Lernziel:

- Vordergründig einfache Modelle, können aufgrund zahlreicher Einflussfaktoren sehr komplex sein.

Videos:

- Angebot und Nachfrage – einfach erklärt (2:57):

https://www.youtube.com/watch?v=QqwGFtV2e0s - Gleichgewichtspreis einfach erklärt (2:35):

https://www.youtube.com/watch?v=aZrkZ0-sreI

- Einflussfaktoren auf Veränderung von Nachfrage (6:47)

https://www.youtube.com/watch?v=i_BRw4HyBzc

Weitere Informationen:

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10. Prognosemodell

Weltbevölkerung

Mit statischen oder dynamischen Modellen will man besser verstehen, wie etwas ist oder funktioniert. Mit Zukunftsmodellen will man voraussehen, wie etwas sein oder funktionieren

könnte. Das scheint vermessen, denn das einzige was wir über die Zukunft sicher wissen, ist

ihre Ungewissheit. Trotzdem ist die Nachfrage nach Prognosen enorm, weil wir uns auf die – mehr oder weniger ungewisse – Zukunft vorbereiten wollen. Davon zeugen etwa Wetter- und Klimaprognosen, Wirtschafts- oder Bevölkerungsprognosen.

Prognose- oder Zukunftsmodelle unterscheiden sich von der Wahrsagerei, indem sie die Modellannahmen aufdecken, dadurch werden sie nachvollziehbar, egal ob die Prognosen dann zutreffen oder nicht. Die Nachvollziehbarkeit der Zukunftsmodelle ist die

Voraussetzung, dass diese angepasst und verbessert werden können.

Weil die Zukunft unsicher ist, behilft man sich mit Modellszenarien. Ein Szenario ist eine mögliche zukünftige Entwicklung aufgrund von einer oder verschiedenen Modellannahmen, die zeitlich gleichförmig verlaufen oder sich zeitlich verändern. Zur Beurteilung der

Modellszenarien werden diese auf ihre Wahrscheinlichkeit und Plausibilität hinterfragt. Das einfachste und wohl auch häufigste Modellszenario ist, dass die Entwicklung in Zukunft gleich verläuft wie bisher. Das mag kurzfristig oft zutreffen, aber langfristig wohl kaum. Denn sobald sich eine Modellannahme anders verhält als vorgesehen, oder ein neuer

Einflussfaktor auftritt, trifft das Szenario nicht mehr zu.

Die Weltbevölkerung nimmt zu, wenn im gleichen Zeitraum (z.B. ein Jahr) mehr Menschen geboren werden als sterben. Bei regionalen Bevölkerungsmodellen muss zusätzlich die Zuwanderung und Abwanderung berücksichtigt werden.

Einflussfaktoren auf die Bevölkerungsentwicklung sind Armut und Reichtum, welche Auswirkungen auf die Ernährungssituation, medizinische Versorgung und

Lebensgewohnheiten (Religiosität, Rauchen, Alkoholkonsum usw.) haben, sowie die

Umweltsituation und Politik. Die komplizierten Verflechtungen, gegenseitige Abhängigkeiten und vor allem zeitliche Veränderungen der Einflussfaktoren, machen Prognosen so schwierig und unsicher.

Übung 10-1: Entwicklung und Prognosen der Weltbevölkerung

C B A

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a) Welche Prognosekurve passt für welches Szenario? Kurve Szenario

Die Armut der Ärmsten nimmt ab.

Die Erde wird durch Umweltverschmutzung und Klimawandel zunehmend lebensfeindlicher.

Die Armen werden immer mehr und die Reichen immer reicher aber weniger. b) Welche der drei Prognosen ist aus heutiger Sicht am wahrscheinlichsten? ________ Übung 10-2: Fehlprognosen und Verbesserung von Prognosemodellen

a) Welche Faktoren sind Ursachen von Fehlprognosen? Zutreffendes ankreuzen: Die bisherige Entwicklung

Falsche Annahmen Langfristigkeit

Zeitliche Veränderungen von Modellannahmen Neue Einflussfaktoren

b) Welche Faktoren helfen Prognosemodelle zu verbessern? Zutreffendes ankreuzen: Nachvollziehbarkeit der Modellannahmen

Mehr Geld

Kurzfristigere Prognosen

Genauere Kenntnisse der Einflussfaktoren Nachträgliche Fehleranalysen

Lernziel:

Prognosen sind unsicher, besonders wenn sie langfristig sind.

Videos:

- Die Entwicklung der Weltbevölkerung (11:27)

https://www.youtube.com/watch?v=ubmFD5yDZrE

- Überbevölkerung – Die Bevölkerungsexplosion erklärt (6:44)

https://www.youtube.com/watch?v=1Q76na-m8s0 - Kann die Erde 9 Milliarden Menschen ernähren? (2:34)

https://www.youtube.com/watch?v=lDd6zU511EA

- Die Entwicklung der Weltbevölkerung in den letzten 170 Jahren (10:52)

https://www.youtube.com/watch?v=YywGQO8qkuk

Weitere Informationen:

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Lösungen zu den Übungen

Übung 1-1: Gruppierung und Komplexität von Modellen a) Gruppierung von Modellen

A

statische Modelle

B

dynamische Modelle

C sowohl als auch - Abbildungen - Anatomische Modelle - Architekturmodelle - Fotos - Objektmodelle - Historische Modelle - Prognose-/Zukunftsmodelle - Psychologische Modelle - Wetter-/Klimamodelle - Wirtschaftsmodelle - Astronomische Modelle - Atom-/Teilchenmodelle - Biologische Modelle - Chemische Modelle - Eisenbahnmodelle - Erdmodelle

- Graphiken und Diagramme - Landschaftsmodelle - Mathematische Modelle - Physikalische Modelle - Planetenmodelle b) Modelle grösster Komplexität: Prognose-/Zukunftsmodelle, Psychologische Modelle, Wetter-/Klimamodelle, Wirtschaftsmodelle,

c) Welche Modelle haben die grösste Ungewissheit? Prognose-/Zukunftsmodelle Übung 2-1: Objektmodell bauen und beurteilen

a) Objektmodelle aus Modellierton

b) Welches sind wichtige Kriterien zur Beurteilung der Qualität der Modelle? Ankreuzen: x Form

Farbe Geruch

x Massstab (Grössenverhältnis) x Ähnlichkeit mit dem Original

x Proportionen

c) Qualitätsreihenfolge der Objektmodelle mit Begründungen. Übung 3-1: Radmodelle beurteilen

a) C, B, A?, E?, D

b) Kreisdistanz (Kd), weil die Kd ein Mass ist, wie kreisrund ein Radmodell ist und die Kreiszentren zudem ein Mass für dessen Exzentrizität sind.

c) Sechseck

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Übung 4-1: Eigenschaften und Eignung von Landschaftsmodellen a) statisch

b) (1) und (3) sind 2-D; (2) ist 3-D c) Reliefmodell

d) Landkarte e) Landschaftsfoto

Übung 4-2: Reliefmodell bauen

Die Lösung ist das selber gebaute Modell. Übung 5-1: Vorstellungen zur Erdgestalt a) Dass sie von der Erde herunterfallen.

b) Nordamerika, Südamerika, Australien, Antarktis (Libyen steht für Afrika), weil sie noch nicht entdeckt waren.

c) Die Mastspitze oder das Segel d) rund

e) wahrscheinlich nicht

f) C (A war damals unbewiesene Kreishypothese; B Erde hätte auch ein Zylinder sein können)

g) A Äquatorumfang (A = 40’074 km; B Polumfang = 40’008 km h) Globus mit Relief

i) Massstab 1 : 31'855'000; Mt. Everest 0,28 mm hoch Übung 5-2: Vom Globus zur Karte

a) Eigenschaften (+, +-, -)

Eigenschaften winkeltreu flächentreu linientreu

A Globus + + +

B Mercator-Karte + +- +-

C Peters-Karte - + -

b) A Peters-Karte (z.B. Gössenvergleiche von Landflächen) c) Gekrümmt, gegen den Nordpol (Teilstrecke eines Grosskreises) Übung 6-1: Fragen zu Planetenmodellen

a) Welches sind die Grundannahmen der folgenden Planetenmodelle?

- Geozentrisches Weltbild nach Ptolemäus: Planeten umkreisen die Erde kreisförmig. - Heliozentrische Weltbild nach Kopernikus: Die Sonne ist im Mittelpunkt und die Planeten kreisen kreisförmig darum herum.