Physikalisches Institut Blatt 11

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Physikalisches Institut Blatt 11

Universit¨ at Bonn 27 Juni 2014

Theoretische Physik SS 2014

Ubungen zur Quantenmechanik und ¨ statistischen Physik

Priv.-Doz. Dr. Stefan F¨ orste

http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/forste/exercises/la tp2/

–Hausaufgaben– Abgabe: 04.07.2014

H 11.1 Ensemble quantenmechanischer harmonischer Ozsillatoren (15 points) Wir betrachten ein System von N unterscheidbaren, wechselwirkungsfreien, quantenmech- anischen, harmonischen Oszillatoren mit gleicher Winkelfrequenz ω. Die Zust¨ ande des Gesamtsystems sind dann gegeben durch Tensorprodukte der Einzelzust¨ ande.

|n

₁

, n

₂

, ..., n

_N

i = |n

₁

i ⊗ |n

₂

i ⊗ · · · ⊗ |n

_N

i. (1) Wir schreiben abk¨ urzend

a

i

≡ 1

^⊗(i−1)

⊗ a ⊗ 1

^⊗(N−i)

= 1 ⊗ · · · ⊗ 1 ⊗ a

iteStelle

|{z}

⊗ 1 ⊗ · · · ⊗ 1 (2)

f¨ ur den Absteigeoperator des iten Teilchens . F¨ ur a

^†_j

, N

_j

, H

_j

gelten analoge Definitionen.

Der Hamiltonoperator des Gesamtsystems sei gegeben durch H =

N

X

j=1

~ ω

a

^†_j

a

_j

+ 1 2

. (3)

Betrachte zuerst den Fall N = 3. Das Ensemble soll aus allen Zust¨ anden der Gesamtenergie E =

⁹₂

~ ω bestehen.

(a) Durch wieviele Zust¨ ande l¨ asst sich dieser Wert der Energie realisieren? (1 point ) (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit p() findet man einen ausgew¨ ahlten Oszillator mit der

Energie ? (2 point s )

Wir wollen nun die Anzahl der Zust¨ ande bei einem festen Wert der Energie E bei einer großen Anzahl von Oszillatoren N 1 bestimmen. Sie sei gegeben durch

Ω(E) = Z

d ˜ Eδ

E − E ˜

. (4)

(c) Gib Ω(E) f¨ ur das betrachtete System an. (3 point s )

1

(2)

(d) Zeige, dass

Ω(E) = Z dk

2π e

^ikE

_−ik~ω/2

1 −

^−ik^~^ω

^N

(5) und weiter, dass

Ω(E) = Z dk

2π e

N(ik(E/N)−log(2isin(k~ω/2)))

. (6) Hinweis: Nutze die Integraldarstellung der δ Distribution. (4 point s ) (e) Dieses Integral kann mit der Sattelpunktmethode berechnet werden. Zeige, dass Ω(E)

durch

Ω(E) = exp (

N

"

_E

N

+

¹₂

~ ω

~ ω log

E

N

+

¹₂

~ ω

~ ω −

E

N

−

¹₂

~ ω

~ ω log

E

N

−

¹₂

~ ω

#)

(7)

gegeben ist. (5 point s )

H 11.2 Permutationsoperator (5 points)

Sei der Zustand eines N -Teilchen Systems gegeben durch

|ψ

1

, ψ

2

, ..., ψ

N

i =: |ψ

1

i ⊗ |ψ

2

i ⊗ · · · ⊗ |ψ

N

i. (8) Dann definieren wir den Permutationsoperator ˆ P

_π

durch

P ˆ

_π

|ψ

₁

, ψ

₂

, ..., ψ

_N

i = |ψ

_π(1)

, ψ

_π(2)

, ..., ψ

_π(N)

i, (9) wobei π die Reihenfolge der Zahlen (1,2,...,N) ver¨ andert. Jede Permutation π kann durch eine Verkettung von Transpositionen ˆ P

_ij

dargestellt werden, wobei eine Transposition durch P ˆ

ij

|ψ

1

, ..., ψ

i

, ...ψ

j

, ..., ψ

N

i = |ψ

1

, ..., ψ

j

, ...ψ

i

, ..., ψ

N

i, (10) beschrieben werden kann. Die Eigenwertgleichung

P ˆ

₁₂

|Ψi = α

₁₂

|Ψi (11)

besitzt die L¨ osungen α

₁₂

= ±1, wie man leicht an dem 2-Teilchen System ¨ uberpr¨ ufen kann.

(a) Zeige, dass ˆ P

_ij

durch ˆ P

_1i

P ˆ

_2j

P ˆ

₁₂

P ˆ

_2j

P ˆ

_1i

beschrieben werden kann und schließe daraus, dass f¨ ur alle α

ij

entweder α

ij

= +1 oder α

ij

= −1 gilt. D.h. es gilt f¨ ur Eigenzust¨ ande

|Ψi des Permutationsoperators entweder

P ˆ

_π

|Ψi = |Ψi oder P ˆ

_π

|Ψi = (−1)

^|π|

|Ψi, (12) wobei |π| die Anzahl an Vertauschungen ist. (2,5 point s) (b) Bilde den total symmetrischen und total antisymmetrischen Zustand f¨ ur ein 3-Teilchen

System. (2,5 point s)

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