Aufgabe 10.1 (4 Punkte)

(1)

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2018

Lineare Algebra II – Blatt 10

Abgabe der L¨ osungen bis zum 18.06.2018, 10:15 Uhr in den daf¨ ur vorgesehenen K¨ asten Bitte beachten Sie die allgemeinen Hinweise zur Bearbeitung und Abgabe auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/LAII_SS18/.

Aufgabe 10.1 (4 Punkte)

Seien p ∈ P eine Primzahl und K ein K¨ orper der Charakteristik p.

(1) Beweisen Sie folgende Aussage f¨ ur Binomialkoeffizienten: (

^p_k

) ≡

p

0 f¨ ur 1 ≤ k ≤ p − 1.

(2) Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕ ∶ K → K, x ↦ x

^p

ein Ringhomomorphismus ist.

(3) Sei zus¨ atzlich K endlich. Zeigen Sie, dass ϕ ∶ K → K, x ↦ x

^p

einen Isomorphismus des K¨ orpers K auf sich selbst darstellt.

(4) Zeigen Sie: Der Primk¨ orper P von K besteht gerade aus den Nullstellen des Poly- noms X

^p

− X in K, d. h. P = { x ∈ K ∣ x

^p

= x } .

Aufgabe 10.2 (4 Punkte)

Sei R ein kommutativer Ring mit 1, und seien I, J Ideale von R.

(1) Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen jeweils wieder Ideale von R sind:

I ∩ J, I + J = { a + b ∣ a ∈ I, b ∈ J } , IJ = { ∑

^Nn=1

a

_n

b

_n

∣ N ∈ N und a

_n

∈ I, b

_n

∈ J } . (2) Belegen Sie durch ein konkretes Beispiel, dass I ∪ J im Allgemeinen kein Ideal von

R ist.

(3) Sei nun R = Z[ X ] . Beweisen Sie, dass 5R + XR = { 5f + Xg ∣ f, g ∈ Z[ X ]} kein Hauptideal von Z[ X ] ist.

Aufgabe 10.3 (4 Punkte)

(1) Sei K = Z/ 7 Z der K¨ orper mit 7 Elementen. Zeigen Sie: f = X

²

+ 1 ∈ K [ X ] ist irreduzibel. Folgern Sie, dass L = K [ X ]/ f K [ X ] ein K¨ orper mit 49 Elementen ist, und bestimmen Sie f¨ ur jedes a ∈ K eine Quadratwurzel √

a von a in L.

(2) Sei R = R[ X ]/ I mit I = ( X

²

− 1 )R[ X ] . Zeigen Sie: Die Abbildung ϕ ∶ R → R × R , f + I ↦ ( f ( 1 ) , f (− 1 ))

ist wohldefiniert und liefert einen Ringisomorphismus von R auf R × R , wobei die Addition und Multiplikation in R × R koordinatenweise definiert seien. Folgern Sie insbesondere: R ist kein K¨ orper.

Bitte wenden!

S. 1/2

(2)

Lineare Algebra II – Blatt 10 S. 2/2

Aufgabe 10.4 (4 Punkte)

Es bezeichne F

2

= { 0, 1 } den K¨ orper mit zwei Elementen. Weiter sei f = X

⁴

+ X

³

+ 1 ∈ F

2

[ X ] .

(1) Zeigen Sie, daß f irreduzibel in F

²

[ X ] ist und folgern Sie, daß K = F

²

[ X ]/ f F

²

[ X ] ein K¨ orper ist. (Hinweis: Fertigen Sie zun¨ achst eine vollst¨ andige Liste der irredu- ziblen Polynome ¨ uber F

2

von Grad 1 und 2 an).

Setze nun α = X + f F

2

[ X ] ∈ K. Jedes Element von K ist dann von der Form ∑

³i=0

d

_i

α

ⁱ

mit d

_i

∈ { 0, 1 } f¨ ur i ∈ { 0, 1, 2, 3 } und wir bezeichnen dieses Element kurz mit [ d

₃

d

₂

d

₁

d

₀

Aufgabe 10.1 (4 Punkte)

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2018

Lineare Algebra II – Blatt 10

Abgabe der L¨ osungen bis zum 18.06.2018, 10:15 Uhr in den daf¨ ur vorgesehenen K¨ asten Bitte beachten Sie die allgemeinen Hinweise zur Bearbeitung und Abgabe auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/LAII_SS18/.

Aufgabe 10.1 (4 Punkte)

Seien p ∈ P eine Primzahl und K ein K¨ orper der Charakteristik p.

(1) Beweisen Sie folgende Aussage f¨ ur Binomialkoeffizienten: (

) ≡

0 f¨ ur 1 ≤ k ≤ p − 1.

(2) Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕ ∶ K → K, x ↦ x

ein Ringhomomorphismus ist.

(3) Sei zus¨ atzlich K endlich. Zeigen Sie, dass ϕ ∶ K → K, x ↦ x

einen Isomorphismus des K¨ orpers K auf sich selbst darstellt.

(4) Zeigen Sie: Der Primk¨ orper P von K besteht gerade aus den Nullstellen des Poly- noms X

− X in K, d. h. P = { x ∈ K ∣ x

= x } .

Aufgabe 10.2 (4 Punkte)

Sei R ein kommutativer Ring mit 1, und seien I, J Ideale von R.

(1) Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen jeweils wieder Ideale von R sind:

I ∩ J, I + J = { a + b ∣ a ∈ I, b ∈ J } , IJ = { ∑

a

b

∣ N ∈ N und a

∈ I, b

∈ J } . (2) Belegen Sie durch ein konkretes Beispiel, dass I ∪ J im Allgemeinen kein Ideal von

R ist.

(3) Sei nun R = Z[ X ] . Beweisen Sie, dass 5R + XR = { 5f + Xg ∣ f, g ∈ Z[ X ]} kein Hauptideal von Z[ X ] ist.

Aufgabe 10.3 (4 Punkte)

(1) Sei K = Z/ 7 Z der K¨ orper mit 7 Elementen. Zeigen Sie: f = X

+ 1 ∈ K [ X ] ist irreduzibel. Folgern Sie, dass L = K [ X ]/ f K [ X ] ein K¨ orper mit 49 Elementen ist, und bestimmen Sie f¨ ur jedes a ∈ K eine Quadratwurzel √

a von a in L.

(2) Sei R = R[ X ]/ I mit I = ( X

− 1 )R[ X ] . Zeigen Sie: Die Abbildung ϕ ∶ R → R × R , f + I ↦ ( f ( 1 ) , f (− 1 ))

ist wohldefiniert und liefert einen Ringisomorphismus von R auf R × R , wobei die Addition und Multiplikation in R × R koordinatenweise definiert seien. Folgern Sie insbesondere: R ist kein K¨ orper.

Bitte wenden!

S. 1/2

Lineare Algebra II – Blatt 10 S. 2/2

Aufgabe 10.4 (4 Punkte)

Es bezeichne F

= { 0, 1 } den K¨ orper mit zwei Elementen. Weiter sei f = X

+ X

+ 1 ∈ F

[ X ] .

(1) Zeigen Sie, daß f irreduzibel in F

[ X ] ist und folgern Sie, daß K = F

[ X ]/ f F

[ X ] ein K¨ orper ist. (Hinweis: Fertigen Sie zun¨ achst eine vollst¨ andige Liste der irredu- ziblen Polynome ¨ uber F

von Grad 1 und 2 an).

Setze nun α = X + f F

[ X ] ∈ K. Jedes Element von K ist dann von der Form ∑

d

α

mit d

∈ { 0, 1 } f¨ ur i ∈ { 0, 1, 2, 3 } und wir bezeichnen dieses Element kurz mit [ d

d

d

d

] .

(2) Berechnen Sie unter Verwendung dieser Schreibweise in K die folgenden Elemente:

(i) [ 1110 ] + [ 0011 ] , (ii) [ 0110 ] − [ 1101 ] , (iii) [ 1001 ] ⋅ [ 0111 ] , (iv) [ 1000 ]/[ 1111 ] .