Antwort zur Frage 014:
Herleitung der quadratischen Erg¨anzung f¨ur die allgemeine Parabelgleichung
f(x) =ax2+bx+csoll in die Form f(x) =a(x−d)2+egebracht werden.
Zuerst wirda ausgeklammert
und in der Klammer etwas Platz gelassen:
f(x) =a(x2+x·
b
a ) +c
Der Vergleich mit der 1. binomischen Formel (p+q)2=p2+2pq+q2(hier mitpundqformuliert, daa undbbereits belegt sind) ergibt:
2pqentsprichtxba, also2qentsprichtbaund damit q=2ab
Die quadratische Erg¨anzungq2 ist dann 4ab22
Dieser Wert kommt jetzt auf den in der Klammer freigewordenen Platz. Damit die Gleichung aber im- mer noch stimmt, muss derselbe Wert wieder abge- zogen werden:
f(x) =a(x2+xba+4ab22−
b2 4a2) +c
Der wieder abgezogene Teil wird nun mit dem vor der Klammer stehendenaausmultipliziert:
f(x) =a(x2+xba+4ab22)−a4ab22 +c f(x) =a(x2+xba+4ab22)−
b2
4a +c
Auf den Klammerausdruck wird jetzt noch die 1. bi- nomische Formel angewendet:
f(x) =a(x+2ab)2−
b2
4a +c
Durch Vergleich mitf(x) =a(x−d)2+eergibt sich:
d=−
b
2a unde=−
b2
4a +c
