P2. Gauss’sches Wellenpaket

Theoretische Physik III: Quantenmechanik

Prof. F.Wegner, Universit¨at Heidelberg, SS04

3. ¨ Ubungsblatt, Pr¨asenz¨ ubung 7.05.04, Hausaufgaben Abgabetermin: 10.05.04

P2. Gauss’sches Wellenpaket

Eine allgemeine L¨osung eines 1–dim.

Hamilton Operators H(ˆ p, x) zu beliebi- gen Anfangsbedingung ψ

l¨aßt sich mit Hilfe des Propagators K(x, x

, t) wie folgt ausdr¨ ucken:

P2. Gaussian wave packet

A general solution of a 1–d Hamiltonian H(ˆ p, x) for an arbitrary initial condition ψ

can be expressed in terms of the prop- agator K (x, x

, t) as follows

ψ(x, t) =

Z

dx

K(x, x

, t)ψ

(x

) . i) Zeigen Sie daß der Propagator folgende

Eigenschaften erf¨ ullen muß

i) Show that the propagator has to meet with the following conditions

i¯ h d

dt − H(ˆ p, x)

!

K(x − x

, t) = 0 , t ≥ 0 K(x − x

, 0) = δ(x − x

) . ii) Finden Sie den Propagator eines freien

Teilchens, benutzen Sie dabei die L¨osung von H2.

ii) Find the propagator of a free particle.

Use the solution of H2.

ψ(x, t) =

s σ

∆ √

2π exp

− 1

4∆ (x

− x + 2iσ

p

/¯ h)

− σ

p

/¯ h

+ ix

p

/¯ h

∆ = σ

+ i ¯ ht 2m

und ver¨andern Sie die Anfangsbedingung entsprechend. Benutzen Sie die Darstel- lung der δ– Distribution

and modify the initial condition appropri- ately. Use the representation of the δ–

distribution δ(x) = lim

t→0

√ 1

2πt exp − x

2t

!

.

H6. Wahrscheinlichkeitsstromdichte Berechnen Sie die Stromdichte f¨ ur die 1–d Wellenfunktion

H6. Probability current density Calculate the current density for the 1–d wave function

ψ(x) = c

exp(ikx) + c

exp( − ikx) , c

, c

complex . (2P)

H7. Virialsatz und Ehrenfest’sches Theorem

Gegeben sei der Hamiltonoperator

H7. Virial theorem and Ehrenfest theorem

Consider the Hamilton operator H = p ˆ

2m + V (x) i) Beweisen Sie f¨ ur einem station¨aren Zu- stand | ψ i den Virialsatz

i) prove for a stationary state | ψ i the virial theorem

h ψ | p ˆ

| ψ i = m h ψ | x · ∇ V (x) | ψ i . (2P) ii) Beweisen Sie f¨ ur den Drehimpuls L =

r × p das zweite Ehrenfest’sche Theorem

ii) Prove for the angular momentum L = r × p the second theorem of Ehrenfest d

dt h L i = −h r × ∇ V i . (2P) H8. Kumulanten

Die charakteristische Funktion

H8. Cumulants The generating function χ(τ ) =

Z

dx exp( − iτ x)w(x) einer Wahrscheinlichkeitsverteilung w(x)

erzeugt das n–te Moment h x

i der Verteilung durch die Vorschrift

of a probability distribution w(x) gener- ates the n–th moment of the distribution through the rule

h x

i = i

d

dτ

χ(τ)

τ=0

. Eine andere n¨ utzliche Gr¨oße sind die Ku-

mulanten C

, die sich aus dem Loga- rithmus der charakteristischen Funktion ableiten lassen

Another useful quantity are the cumulants C

, which are generated by the logarithm of the generating function

C

= i

d

dτ

ln χ(τ )

τ=0

. i) Dr¨ ucken Sie C

, C

, C

durch die Mo-

mente aus. (3 P)

ii) Bestimmen Sie alle Kumulanten C

. . . C

der Gaußverteilung

i) Express C

, C

, C

in terms of the mo- ments. (3 P)

ii) Derive all cumulants C

. . . C

of the Gaussian distribution

w(x) = 1 σ √

2π exp − (x − x

)

2σ

!