Nächste Paare

(1)

Datenstrukturen und Algorithmen

Christian Sohler

(2)

Nächste Paare

Geometrisches Problem:

• Problem: Nächstes Paar

• Eingabe: n Punkte in der Ebene

• Ausgabe: Das Paar q,r mit geringstem Abstand

Beispiel:

(3)

Nächste Paare

Geometrisches Problem:

• Problem: Nächstes Paar

• Eingabe: n Punkte in der Ebene

• Ausgabe: Das Paar q,r mit geringstem Abstand

Beispiel:

(4)

Nächste Paare

Notation:

• d(q,r) bezeichnet Abstand zwischen q und r

(5)

Nächste Paare

Notation:

• d(q,r) bezeichnet Abstand zwischen q und r

q

r d(q,r)

(6)

Nächste Paare

Plan für 2D:

• Wie MergeSort nur im 2D

(7)

Nächste Paare

Plan:

• Sortiere Punktmenge nach x-Koordinate

(8)

Nächste Paare

Plan:

• Teile in der Mitte

Q R

(9)

Nächste Paare

Plan:

• Löse rekursiv

Q R

q*1 q*2

r*1 r*2

(10)

Nächste Paare

Plan:

• Löse rekursiv

• Füge zusammen

Q R

q*1 q*2

r*1 r*2

(11)

Nächste Paare

Plan:

• Löse rekursiv

• Füge zusammen

Wir wissen:

(q*,q*) ist nächstes Paar in Q.

1 2

Q

q*1 q*2

(12)

Nächste Paare

Plan:

• Löse rekursiv

• Füge zusammen

r* r*

1 2

R

Wir wissen:

(r*,r*) ist nächstes Paar in R.

1 2

(13)

Nächste Paare

Plan:

• Löse rekursiv

• Füge zusammen

q*1 q*2

r*1 r*2

Q R

Wir wissen nicht:

Gibt es Paare (q,r) mit q∈Q und r∈R, die nah beieinander

liegen?

?

(14)

Nächste Paare

Plan:

• Löse rekursiv

• Füge zusammen

q*1 q*2

r*1 r*2

Q R

liegen?

?

(15)

Nächste Paare

Plan:

• Löse rekursiv

• Füge zusammen

q*1 q*2

r*1 r*2

Q R

liegen?

?

(16)

Nächste Paare

Definition:

δ = min{d(q*, q* ), d(r*, r* )}

q*

r* r*

1

1 2

2

Q R

δ 2

1 1 2

(17)

Nächste Paare

Wichtige Beobachtung:

Sind q,r∈Q, dann gilt d(p,r)≥ δ.

Sind q,r∈R, dann gild d(p,r)≥ δ.

Q R

q*

1

2

r* r*

1 2 δ

(18)

Nächste Paare

Lemma 7

Gibt es q∈Q und r∈R mit d(q,r) < δ, dann sind sowohl q als auch r höchstens δ von L entfernt.

Q R

q*

1

2

r* r*

1 2 δ

(19)

Nächste Paare

Lemma 7

Gibt es q∈Q und r∈R mit d(q,r) < δ, dann sind sowohl q als auch r höchstens δ von L entfernt.

δ δ

Q R

q*

1

2

r* r*

1 2 δ

(20)

Nächste Paare

Was gewinnen wir?

• Alle Punkte können nahe an L liegen

δ δ

Q R

q*

1

2

r* r*

1 2 δ

(21)

Nächste Paare

Abhilfe:

• Wir wollen nur Paare (q,r) testen, wenn (a) q und r nah an L liegen und

(b) q und r kleinen Abstand in y-Richtung haben

Q R

q*

1

2

r* r*

1 2 δ

(22)

Nächste Paare

Idee:

• Sortiere nahe Punkte nach y-Koordinate

• Zeige: Liegen in dieser Sortierung mehr als c Punkte

zwischen q und r, dann kann (q,r) nicht nächstes Paar sein

q*

1

2

r* r*

1 2 δ

(23)

Nächste Paare

Idee:

r* r*

1 2 δ q

c Punkte dazwischen:

q*

1

2

(24)

Nächste Paare

Idee:

r* r*

1 2 δ q

c Punkte dazwischen:

Wir brauchen (q,r) nicht testen q*

q*

1

2

(25)

Nächste Paare

Lemma 8

Liegen in der Sortierung mindestens 15 Punkte zwischen q und r, dann ist d(q,r) >δ.

q*

1

2

r* r*

1 2 δ

(26)

Nächste Paare

Lemma 8

Beweis:

• Teile Nahbereich in Quadrate der Seitenlänge δ/2 auf

Beh.: In jedem Quadrat ist nur ein Punkt. _δ/2

δ/2

L

(27)

Nächste Paare

Lemma 8

Beweis:

Beh.: In jedem Quadrat ist nur ein Punkt.

Beweis:

• Annahme: Zwei Punkte q,r in

δ/2 δ/2

L

(28)

Nächste Paare

Lemma 8

Beweis:

δ/2 δ/2

L

(29)

Nächste Paare

Lemma 8

Beweis:

δ/2 δ/2

L

(30)

Nächste Paare

Lemma 8

Beweis:

• Seien mind. 15 Punkte zwischen q und r

δ/2 δ/2

L

(31)

Nächste Paare

Lemma 8

Beweis:

δ/2 δ/2

L

Zwischen den beiden roten Punkten liegen

15 andere Punkte

(32)

Nächste Paare

Lemma 8

Beweis:

• Dann sind mindestens 3 Reihen

Quadrate zwischen q,r, weil in jedem

Quadrat höchstens ein Punkt ist ^δ/2 _δ/2

L

(33)

Nächste Paare

Lemma 8

Beweis:

• Dann sind mindestens 3 Reihen

Quadrate zwischen q,r, weil in jedem Quadrat höchstens ein Punkt ist

• Dann muss d(q,r) mindestens

δ/2 δ/2

L

(34)

Nächste Paare

Der Algorithmus im Überblick:

• Teile Punktmenge an Linie L in Q und R auf

(35)

Nächste Paare

Der Algorithmus im Überblick:

Q L R

(36)

Nächste Paare

Der Algorithmus im Überblick:

• Löse Problem rekursiv auf Q und R

Q L R

(37)

Nächste Paare

Der Algorithmus im Überblick:

• Sortiere Punkte mit Abstand zu L höchstens δ nach y-Koord.

L δ δ

Q δ R

(38)

Nächste Paare

Der Algorithmus im Überblick:

• Teste alle Paare, deren Abstand in der Sortierung kleiner als 16 ist

Q δ L R

δ δ

(39)

Nächste Paare

Der Algorithmus im Überblick:

Q δ L R

δ δ

(40)

Nächste Paare

Der Algorithmus im Überblick:

Q δ L R

δ δ

(41)

Nächste Paare

Der Algorithmus im Überblick:

Q δ L R

δ δ

(42)

Nächste Paare

NächstesPaar(P)

1. MergeSort(P, a, length[P]) ¾ Sortiere nach x-Koordinate 2. return NächstesPaarRec(P,1,length[P])

(43)

Nächste Paare

NächstesPaar(P)

1. MergeSort(P, a, length[P]) Θ(n log n) 2. return NächstesPaarRec(P,1,length[P])

(44)

Nächste Paare

NächstesPaar(P)

1. MergeSort(P, a, length[P]) Θ(n log n) 2. return NächstesPaarRec(P,1,length[P]) T(n)+Θ(1)

n=length[P]

(45)

Nächste Paare

NächstesPaar(P)

1. MergeSort(P, a, length[P]) Θ(n log n) 2. return NächstesPaarRec(P,1,length[P]) T(n)+Θ(1)

T(n) + Θ(n log n)

(46)

Nächste Paare

NächstesPaarRec(P,a,c)

1. if b-a=1 then return (P[a],P[a+1])

2. if b-a=2 then return nächstes Paar aus

(P[a],P[a+1]), (P[a],P[a+2]), (P[a+1], P[a+2]) 4. b ←⎣(a+c)/2⎦

5. (q*, q*) ← NächstesPaar(P, a, b) 6. (r*, r*) ←NächstesPaar(P, b+1, c) 7. ¾ Zusammensetzen

(47)

Nächste Paare

Rekursionsabbruch bei 2 oder 3 Punkten

(48)

Nächste Paare

Berechnung des mittleren Elements

(Median)

(49)

Nächste Paare

Rekursiver Aufruf für linke Hälfte

(50)

Nächste Paare

Rekursiver Aufruf für rechte Hälfte

(51)

Nächste Paare

(52)

Nächste Paare

Θ(1)

(53)

Nächste Paare

5. (q*, q*) ← NächstesPaar(P, a, b) 6. (r*, r*) ←NächstesPaar(P, b+1, c)

7. ¾ Zusammensetzen

Θ(1) Θ(1)

(54)

Nächste Paare

5. (q*, q*) ← NächstesPaar(P, a, b) T(n/2) 6. (r*, r*) ←NächstesPaar(P, b+1, c) T(n/2)

7. ¾ Zusammensetzen

n=c-a

Θ(1) Θ(1)

(55)

Nächste Paare

7. ¾ Zusammensetzen Θ(n log n) Θ(1) Θ(1)

(56)

Nächste Paare

2 T(n/2) +Θ(n log n)

(57)

Nächste Paare

2 T(n/2) +Θ(n log n)

(58)

Nächste Paare

Zusammensetzen

1. k=0

2. for i←a to c do

3. if d(P[i],L) < min{d(q*,q*),d(r*,r*)} then 4. k←k+1; R[k]←P[a]

5. MergeSort(R,1,k) ¾ Sortiere nach y-Koordinate 6. (q,r)← (P[a], P[a+1])

7. for i←1 to k do

8. for j←1 to 15 do 9. if i+j ≤ k then

(59)

Nächste Paare

Zusammensetzen

1. k=0

Alle Punkte mit Abstand höchstens δ

zu L werden nach R kopiert

(60)

Nächste Paare

Zusammensetzen

1. k=0

R wird nach y-Koordinate sortiert

(61)

Nächste Paare

Zusammensetzen

1. k=0

(q,r) wird mit initialisiert (hier kann

man jedes beliebige Paar verwenden)

(62)

Nächste Paare

Zusammensetzen

1. k=0

Für alle Punkte aus R teste, ob sie zusammen

mit einem ihrer 15 Nachfolger ein besseres

Paar bilden als das bislang gemerkte

(63)

Nächste Paare

Zusammensetzen

1. k=0

Gib das beste gefundene Paar

zurück

(64)

Nächste Paare

Laufzeit:

• T(n) = 2 ⋅ T(n/2) + Θ(n log n)

• T(n) = O(n log²n) [Substitutionsmethode]

Satz 9

Das nächste Paar von n Punkten in der Ebene kann in O(n log²n) Zeit berechnet werden.

Hinweis:

(65)

Zusammenfassung

Teile & Herrsche:

• Problem in Teilprobleme aufteilen

• Teilprobleme rekursiv lösen

• Lösung aus Teillösungen zusammensetzen

Probleme:

• Wie setzt man zusammen?

[erfordert algorithmisches Geschick und Übung]

(66)

Zusammenfassung

Teile & Herrsche:

• Problem in Teilprobleme aufteilen

• Teilprobleme rekursiv lösen

• Lösung aus Teillösungen zusammensetzen

Algorithmen:

• MergeSort

• Binäre Suche