at Karlsruhe SS2004
Institut f
ur Theorie der Kondensierten Materie
Prof.Dr. Peter Wole, Dr.Jan Brinkmann 27.10.04
http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre janbritkm.uni-karlsruhe.de/ Physikhohh.Zi.10.13
Nahklausur zur Vorlesung Theorie F SS2004
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Bitte wenden: Aufgaben auf der R
ukseite =) =) =) =) =)
Aufgabe 1 2 3 4 5
Punkte
Ub. Shein
1 Einideales Bose-Gas aus N TeilhenmitDispersion E(k) = h 2
2m k
2
bendet sihin derEbene
ineinem 2-dimensionalen\Wurfel" mitV =L 2
.Die Dihte N=V seikonstant.
a) Berehnen Siedie Zustandsdihte N
2 (")=
Z
d 2
k
(2) 2
Æ(" E(k)),
und zeigen Sie, da N
2
dieForm N
2 (")=
~
N(") hat. [2P℄
b) Die mittlereDihte des Gases ist gegeben durh
hni = Z
1
1 d"N
2
(")g(" ) ; g =Bosefunktion:
Nehmen Siean, das Bose-Gas kondensiert beiT =T
0
. Welhen Wert hat j
T=T
0
? [1P℄
Gewinnen Sie aus der Bedingung N=V = hnij
T=T0
einen Ausdruk furT
0
, [2P℄
und begrunden Siedamit,da T
0
=0. [1P℄
2 Nun bendet sih ein ideales Fermi-Gas (ohne Spinfreiheitsgrad) aus N Teilhen in dem
\Wurfel" mitV =L 2
, N=V =onst.in der Ebene, mit E(k) = h 2
2m k
2
. Es giltalso
N
V
= Z
1
1 d"N
2
(")f(" ) ; U
V
= Z
1
1 d"N
2
(")"f(" ) ; f =Fermifunktion:
a) Es seiT =0. Man berehne dieFermienergie E
F
. [2P℄
b) Es sei kT E
F
(klassisher Grenzfall). Man berehne das hemishe Potential als
Funktion vonkT und E
F
. Es darf
kT
1 angenommenwerden. [3P℄
) Waserwarten Sieals Ergebnisfur U(T;N) fur kT E
F
? (mit Begrundung) [1P℄
Berehnen Sienun U fur kT E
F
und vergleihen Sie. [2P℄
(Das auftretende Integralkann elementar berehnet werden.)
3 In einem 1-dimensionalen Magneten auf der Ahse 0 x < 1 sei eine inhomogene Magneti-
sierungm(x) zugelassen.Fur T >T
lautetdanndas Landau-FunktionalfurdiefreieEnergie
F[T;m(x)℄= Z
1
0 dx
"
t
2 m(x)
2
+
2 (
m(x)
x )
2
#
; t=
T T
T
>0 ; =onst.>0
a) GewinnenSieeineGleihung furdenGleihgewihtswert m (x)~ aus demVershwindender
linearenVariationÆF =0,uber denAnsatz m(x)=m (x)+Æm(x)~ , Æm(0)=Æm(1)=0,
oder durh rihtiges Anwenden der Euler{Lagrange-Gleihung. [3P℄
b) Am Rand x = 0 wird durh ein kleines Magnetfeld eine Magnetisierung m (0)~ = m
0
induziert. Bestimmen Siem (x)~ fur dieRandbedingungen m(0)~ =m
0
, m(1)~ =0. [2P℄
4 EinSystem bende sih ineinem Zustand mitdem statistishen Operator
^
W = 1
2
1 1
1 1
!
.
a) Beshreibt
^
W einen gemishten oder einen reinen Zustand? [2P℄
b) Berehnen Siedie Entropie S= kTr[
^
Wln(
^
W)℄ ineiner geeigneten Basis. [2P℄
Entspriht das Ergebnis der Erwartung? (Begrundung!) [1P℄
5 Auf einer Oberahe benden sih N Quantendots (Potentialtopfe), die niht untereinander
wehselwirken. Das Energiespektrum eines Dotslautet E(n)=E
0 n;E
0
>0;n=1;2;3;:::.
a) Berehnen Siedie kanonishe Zustandssumme Z der Oberahe. [2P℄
b) ManberehnediemittlereZahlhN
ivonDots,diesihimZustand n = benden. [2P℄
Geben Sie hN ifurT !1 und fur T !0 an, und interpretieren Siedas Ergebnis. [2P℄
