Universit¨at Karlsruhe Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie
Ubungen zur Theoretischen Physik C¨ WS 05/06
Prof. M. Vojta Blatt 4
Dr. M. Greiter Besprechung 29.11.05
1. Diracsche Deltafunktion: Ladungs- und Stromverteilungen (3 Punkte) Geben Sie die Ladungsdichteρ(~x, t) und die Stromdichte~j(~x, t) mit Hilfe der Diracschen Deltafunktion f¨ur folgende Situationen an:
(a) Ein System von zwei unbeweglichen Punktladungen q1,q2 an den Orten ~x1, ~x2. (b) Eine Punktladung q, die sich auf der Bahnkurve ~y(t) bewegt.
(c) Ein unendlich d¨unner, insgesamt elektrisch neutraler Drahtring, der von einem homogenen, station¨aren Strom der St¨arke I durchflossen wird. Der Drahtring ist kreisf¨ormig, liegt in der xy-Ebene und hat einen Durchmesser von einem Meter.
Der Kreismittelpunkt liegt im Koordinatenursprung.
2. Spiegelladungen I (5 Punkte)
Eine Punktladung befindet sich im Abstand a bzw. b von zwei aufeinander senkrecht stehenden geerdeten Metallebenen.
(a) Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der Spiegelladungen das elektrostatische Potenti- al. Welche Kraft erf¨ahrt die Punktladung?
(2 Punkt)
(b) Berechnen Sie das erste nichtverschwindende Multipolmoment.
(1 Punkt)
(c) Geben Sie das elektrostatische Potential sowie das elektrische Feld f¨ur Abst¨ande|r| a, ban.
In welche Richtung zeigt das elektrische Feld an den Metallebenen?
(2 Punkt)
a
b Q
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3. Dirichletsche Greensche Funktion (4 Punkte) Die Dirichletsche Greensche FunktionGD(~x, ~x0) der Poissongleichung f¨ur das Raumge- biet V ist definiert durch
∆0GD(~x, ~x0) =−1 0
δ(~x−~x0) ; GD(~x, ~x0) = 0, falls ~x0 ∈∂V . Hierbei ist ∆0 = ∂x∂202
1 +∂x∂202 2 + ∂x∂202
3 .
(a) Wir betrachten das folgende Dirichlet-Problem: Vorgegeben seien eine Ladungsdich- te ρ(~x) im Raumgebiet V sowie ein Potential φ0(~x) auf dem Rand ∂V. Zeigen Sie unter Verwendung der zweiten Greenschen Identit¨at, daß das Potential
φ(~x) :=
Z
V
d3~x0GD(~x, ~x0)ρ(~x0)−0
Z
∂V
φ0(~x0)∇0GD(~x, ~x0)·dS~ die Poissongleichung l¨ost und auf ∂V mit φ0(~x) ¨ubereinstimmt.
(3 Punkte)
(b) Die L¨osung ˜φ~a(~x) des Dirichletschen Randwertproblems
∆ ˜φ~a(~x) =−1 0
ρ~a(~x) f¨ur ~x∈V , φ˜~a(~x) = 0 f¨ur~x∈∂V
sei f¨ur die spezielle Ladungsdichte ρ~a(~x) = q δ(~x−~a) f¨ur beliebige Punkte ~a ∈ V bekannt. Bestimmen Sie die Dirichletsche Greensche FunktionGD.
(1 Punkt) Hinweis:
Die zweite Greensche Identit¨at lautet:
Z
V
d3~x(φ∆ψ−ψ∆φ) = Z
∂V
φ∂ψ
∂n −ψ∂φ
∂n
dS .
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