Theoretische Physik E — Quantenmechanik II

Universit¨at Karlsruhe (TH) WS 2006/07

Theoretische Physik E — Quantenmechanik II

V: Prof. Dr. D. Zeppenfeld, ¨U: Dr. S. Gieseke

Ubungsblatt 12 ¨

Abgabe: Fr, 09.02.’07, 9.45 Uhr, Erdgeschoss Physikhochhaus.

Aufgabe 42: Dirac–Teilchen im kugelsymmetrischen Potential [5]

Zeigen Sie, dass bei einem Dirac–Teilchen in einem kugelsymmetrischen skalaren Potential der Gesamtdrehimpuls~_J =~_L+~_Serhalten ist.

Aufgabe 43: Bilineare Kovarianten [5]

Untersuchen Sie die 16Γ–Matrizen, die zur Konstruktion bilinearer Kovarianten benutzt werden, Γ^S =1 , Γ^P =γ₅ =iγ⁰γ¹γ²γ³_, Γ_µ^V =γ_{µ ,} Γ_µ^A =γ_µγ_5, Γ_µν^T =σ_µν = ₂ⁱ[γ_µ,γ_ν]. (a) Zeigen Sie(Γⁿ)² =±1, f ¨ur beliebigesn.

(b) Finden Sie zu jedemΓⁿ 6=^ΓS ein antikommutierendesΓ^m. (c) Bestimmen Sie die Spur eines jedenΓⁿ.

(d) Zeigen Sie, dass es f ¨ur beliebigea,beinΓⁿ 6=Γ^S gibt, so dass gilt Γ^aΓ^b =φΓⁿ ,

mit einer Phaseφ.

(e) Das legt nahe, dass dieΓⁿ eine Basis bilden. Zeigen Sie die lineare Unabh¨angigkeit derΓⁿ.

Aufgabe 44: Kleinsches Paradoxon [5]

Untersuchen Sie ein Elektron in einem stufenf ¨ormigen (elektrostatischen) Potential

V(~r) =eϕ(~r) = V(z) =

(V₀ z≥0 0 z<0 .

(a) Finden Sie eine station¨are L ¨osung (E ≥mc²) der Dirac–Gleichung der Gestalt ψ(~r) = e^−iEt/¯h[ψ_i(z) +ψ_r(z) +ψ_t(z)],

(b.w.)

2 Theoretische Physik E Universit¨at Karlsruhe, WS 2006/07

darin lauten der einlaufende, reflektierte und transmittierte Anteil der Welle

ψ_i(z) = ae^ik1z

rE+mc² 2mc²







 1 0

¯ hck₁ E+mc²

0









, (z<0) ,

ψ_r(z) = e^−ik1z

∑

b_rw_r(−hk¯ ₁zˆ), (z <0),

ψ_t(z) = e^ik2z

∑

d_rw_r(¯hk₂zˆ), (z>0).

Wir setzenk₁ >0 und die Spinorenw_1,2(p)mitp= (E, 0, 0,p_z)lauten

w₁(p) =

rE+mc² 2mc²







 1

cp0z

E+mc²

0









, w₂(p) =

rE+mc² 2mc²







 0 1 0

−cpz

E+mc²







 .

(b) Berechnen Sie den Strom

~_j =cψ¯(~r,t)~γψ(~r,t)

und zerlegen ihn in die Beitr¨age ~_ji,~_jr,~_jt, also einen einfallenden, einen reflektierten und einen auslaufenden Strom. Dr ¨ucken Sie die Verh¨altnisse j_r/j_iund j_t/j_idurch

r= ^k2 k1

E+mc² E−_V0+mc² aus.

(c) Diskutieren Sie die L ¨osungen aus Teil (a) und (b) f ¨ur die verschiedenen SituationenV₀ <

E−mc²,E−mc²<V₀< E+mc²,V₀ >E+mc².

(d) Zeigen Sie, dass der Strom bei z = 0 erhalten ist. Was ist trotzdem eigenartig an Ihrem Ergebnis (Kleinsches Paradoxon)?

∑Blatt12=15

http://www-itp.physik.uni-karlsruhe.de/˜gieseke/TheoE/