Theoretische Physik E — Quantenmechanik II

Universit¨at Karlsruhe (TH) WS 2006/07

Theoretische Physik E — Quantenmechanik II

V: Prof. Dr. D. Zeppenfeld, ¨U: Dr. S. Gieseke

Ubungsblatt 2 ¨

Abgabe: Fr, 10.11.’06, 9.45 Uhr, Erdgeschoss Physikhochhaus.

Aufgabe 5: Gaußsche Wellenpakete [4]

Betrachten Sie das folgende Gaußsche Wellenpaket im Ortsraum ψ(x) = h^x|ψi = √ ¹

d√⁴ π ^exp

ikx− ^x2 2d²

.

(a) Berechnen Sieh^xi^,h^pi^,h^x2i^,h^p2i^,(∆x)²,(∆p)²in der Ortsdarstellung.

(b) Bestimmen Sie die Impulsdarstellung ψ(p) = h^p|ψi des Gaußschen Wellenpaketes und berechnen Sie noch einmalh^pi^undh^p2i, diesmal in der Impulsdarstellung.

(c) Wie lautet die Unsch¨arferelation f ¨ur diesen Zustand? Skizzieren Sie|ψ|² im Orts– und Im- pulsraum f ¨ur verschiedened. Was passiert in den Grenzf¨allend→^{0 bzw. d}→^∞?

Aufgabe 6: Translationsoperator [4]

Untersuchen Sie den Translationsoperator T(~ℓ) = exp

−ⁱ

¯

h~_p·~ℓ _.

(a) Zeigen Sie f ¨ur beliebige Funktionen Fund G, die durch eine Potenzreihe darstellbar sind, aufgrund der fundamentalen Vertauschungsrelation zwischen Ort und Impuls die beiden Relationen

[x_i,G(~_p) ] =i¯h∂G(~_p)

∂p_i , [p_i,F(~_x) ] = −^i¯h∂F(~_x)

∂x_i . (b) Bestimmen Sie damit den Kommutator[x_i,T(~ℓ) ].

(c) Wie ¨andert sich der Erwartungswerth~_xibez ¨uglich eines Zustandes|ψimit einer Transla- tion|ψ^′i =T(~ℓ)|ψi^?

(b.w.)

2 Theoretische Physik E Universit¨at Karlsruhe, WS 2006/07

Aufgabe 7: Baker–Hausdorff Theorem [5]

Gegeben seien zwei OperatorenA,Bmit den Eigenschaften[A,[A,B] ] = [B,[A,B] ] =0.

(a) Zeigen Sie, dass

[e^−B,A] = [A,B]e^−B .

Hinweis:Untersuchen Sie die Funktion f(x) = e^−xBAe^xB. Nach Differenzieren und Integrie- ren derselben bekommen Sie eine Identit¨at, die Sie schließlich zur Behauptung f ¨uhrt.

(b) Zeigen Sie mit Hilfe von (a) dasBaker–Hausdorff–Theorem e^Ae^B =e^A+Be^12[A,B].

Hinweis:gehen Sie wieder vor wie in (a), diesmal jedoch mit einer Funktion g(x) =e^x(A+B)e^−xAe^−xB.

Aufgabe 8: Koh¨arente Zust¨ande [7]

Ein koh¨arenter Zustand des eindimensionalen harmonischen Oszillators ist als Eigenzustand des Vernichtungsoperatorsadefiniert:

a|φi =φ|φi ^.

(a) Konstruieren Sie einen normierten koh¨arenten Zustand|φiexplizit in der Energiedarstel- lung indem Sie ihn aus dem Grundzustand|⁰iaufbauen. Der Eigenwertφbleibt zun¨achst unbestimmt. Gelingt diese Konstruktion auch f ¨ur a^†?

(b) Wie lautet die Unsch¨arferelation in diesem Zustand?

(c) |φiist eine koh¨arente ¨Uberlagerung von Energieeigenzust¨anden|ⁿi. Zeigen Sie, dass die BesetzungszahlnPOISSON–verteilt ist. Berechnen Sie den Erwartungswertµund f ¨ur grosse µ auch den wahrscheinlichsten Wert der Besetzungszahl (und damit auch der Energie) des koh¨arenten Zustandes.

(d) Zeigen Sie, dass der Translationsoperator aus Aufgabe 6 aus dem Grundzustand einen koh¨arenten Zustand erzeugt. Welche Rolle spielt nun der Eigenwertφ?

∑Blatt2=²⁰

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