Theoretische Physik E — Quantenmechanik II

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Universit¨at Karlsruhe (TH) WS 2006/07

Theoretische Physik E — Quantenmechanik II

V: Prof. Dr. D. Zeppenfeld, ¨U: Dr. S. Gieseke

Ubungsblatt 11 ¨

Abgabe: Fr, 02.02.’07, 9.45 Uhr, Erdgeschoss Physikhochhaus.

Aufgabe 38: Relativistische Korrekturen des Wasserstoffspektrums [5]

Der Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms kann als

H = H₀+H_LS+H_r+H_D

geschrieben werden. Darin ist H₀ =~p²/2m+V(r). Die restlichen Terme werden als St ¨orung zu H₀betrachtet und lauten

H_LS = ¹ 2m²c²

1 r

dV(r) dr ~_S·~_L_, H_r =− ¹

2mc² ~p²

2m 2

, H_D = ^¯^h

2

8m²c²~∇²V(r) , wobeiV(r) = −e²/(4πǫ₀r).

(a) Zeigen Sie, dass der Gesamtdrehimpuls~_J =~_L+~_Serhalten ist.

(b) Zeigen Sie, dass der Darwin–Term nur Korrekturen zus–Zust¨anden liefert.

(c) Bestimmen Sie die Korrektur zum reinen Coulomb–Energieniveau E⁽_n⁰⁾ =− ^e²

8πǫ₀a₀ 1

n² =−13.6eV 1 n² durch den Darwin–Term.

Aufgabe 39: Die Korrekturen durchH_LS und Hr [5]

(Fortsetzung von Aufgabe 38)

(a) Berechnen Sie die Energiekorrekturen durch die beiden verbleibenden St ¨orungenH_LSsowie H_r.

(b) Bestimmen Sie die Summe der drei St ¨orterme und zeigen Sie, dass die Energieniveaus des Wasserstoffatoms als

E⁽_{n j}¹⁾ =E⁽_n⁰⁾

1+α²

n (δ_LS+δ_r+δ_D)

=E⁽_n⁰⁾

"

1+α² n

1

j+¹₂ − ³ 4n

!#

geschrieben werden k önnen. Berechnen Sie die Beiträgeδ_LS_,δ_r_,δ_Dder verschiedenen St örun- gen und deren Summe f ürn≤3 explizit und skizzieren Sie das resultierende Termschema.

(b.w.)

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2 Theoretische Physik E Universit¨at Karlsruhe, WS 2006/07

Aufgabe 40: Chirale Darstellung [5]

Untersuchen Sie die Gamma–Matrizenγ^µ in der chiralen Darstellung γ^µ_χ =

0 1 1 0

,

0 −~σ

~ σ ₀

sowie in der Dirac–Darstellung γ^µ_D =

1 0 0 −1

,

0 ~σ

−~σ 0

.

(a) Zeigen Sie explizit, dass beide Darstellungen der Clifford–Algebra{γ^µ,γ^ν} =2g^µνgen ¨ugen.

(b) Beide Darstellungen stehen durch eine unit¨are TransformationUin Beziehung, also γ^µ_D =Uγ^µ_χU^† .

Bestimmen Sie die (nur bis auf eine Phase eindeutige) 4×4–MatrixUexplizit.

Aufgabe 41: Gamma–Algebra [5]

Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften der Gamma–Matrizen, γµγ^µ =4·1₄,

γ_µγ^αγ^µ =−2γ^α , γ_µγ^αγ^βγ^µ =4g^αβ·1₄,

trγ^αγ^β =4g^αβ mit Hilfe der Antikommutator–Relation{γ^µ,γ^ν} =2g^µν.

Hinweise zu den Aufgaben 38, 39:F ¨ur die Erwartungswertehr^ki, hr^ki =

Z ∞

0 r²dr r^k|R_nl(r)|²

bez ¨uglich Wasserstoffeigenzust¨anden|nlmigelten folgende Beziehungen:

1 r

= ¹ n²a₀ ,

1 r²

= ¹

n³a²₀(l+¹₂) sowie die Rekursionsformel f ¨urk>(2l+1)

k+1

n² hr^ki −(2k+1)a₀hr^k⁻¹i+^k

4[(2l+1)²−k²]a²₀hr^k⁻²i =0 .

Explizite Radialwellenfunktionen und die Definition der Laguerre–Polynome finden Sie in der Literatur, z.B. im Anhang des Sakurai.

http://www-itp.physik.uni-karlsruhe.de/˜gieseke/TheoE/