MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITAT MUNCHEN
Prof. Dr. Otto Forster
WS 2000/2001
Ellipti sche Funktionen und Ellipti sche Kurven,
Ubungen
Blatt 10
Es seik stets ein algebraisch abgeschlossener Korper.
Aufgabe 37
Es sei P5 ein normiertes Polynom vom Grade 5 aus k[X], char(k) 6= 2, und Y :=
pP5(X). Zeigen Sie:
a) Es gibt genau eine diskrete normalisierte Bewertung von k(X)[pP5(X)] uber k derart, dass fur :=jk(X) gilt:
1 X
> 0
b) Man zeige, dass XY2 eine Ortsuniformisierende fur diese Bewertung ist.
Aufgabe 38
Sei char(k)6= 2 undPm(X)2k[X] ein Polynom vom Grad m4, das paarweise ver- schiedene Nullstellen besitzt. Ferner sei C P2(k) die Kurve, deren aner Teil durch die Gleichung Y2=Pm(X) beschrieben wird.
Man zeige, dass
a) C im Anen singularitatenfrei ist;
b) C die unendlichferne Gerade in genau einem Punkt schneidet. Dieser ist ein sin- gularer Punkt der Kurve.
Aufgabe 39
Man beweise fur eine elliptische Kurve E uber k:
a) Sei g 2K(E), char(k) = 0 und dg = 0. Dann ist g konstant.
b) Fur den Fall char(k) = p 6= 0 gebe man eine nicht konstante rationale Funktion g 2K(E) mit dg = 0 an.
Aufgabe 40
Es seiE eine elliptische Kurve uber k, char(k) 6= 2;3.
Seig 2K(E) mit dg 6= 0. Man zeige, dass die Dierentialgleichung d'' = dg
keine Losung '2K(E) besitzt.
