Parallelflächen und Centrafläche eines besonderen Ellipsoides und die Steinersche Fläche

Research Collection

Doctoral Thesis

Parallelflächen und Centrafläche eines besonderen Ellipsoides und die Steinersche Fläche

Author(s):

Merz, Karl

Publication Date:

1914

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https://doi.org/10.3929/ethz-a-000104562

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ETH Library

Parallelflächen und Centrafläche

eines besonderen Ellipsoïdes

und

die Steinersche Fläche.

Von der

Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich

zur Erlangung ^der

Würde eines Doktors der Mathematik

genehmigte

Promotionsarbeit

vorgelegt ^von Karl Merz

aus St.Gallen.

Referent: ^Herr Prof. Dr. C. F. Geiser 98. Korreferent: ^Herr Prof.^{Dr. M. Grossmann.}

Abdruck der Beilage ^zum Programm der Bündnerischen Kantonsschule für das Schuljahr 1913/14.

Chur 1914.

Buchdruckerei Manatschal Ebner & Cie.

Den 27. Oktober 1872 als Bürger ^{von St. Gallen} geboren, besuchte ich die technische Abteilung ^der St. Gallischen Kantonsschule und bestand im April 1891 die Maturitätsprüfung. ^{Nach Abschluss des}

Lehramtskurses war ich Lehrer ^an der Sekundär¬

schule in Frümsen und hierauf noch in Altstätten.

Im Oktober 1897 trat ich in die Abteilung ^{für Fach¬}

lehrer mathematischerRichtung ^am Eidgenössischen Polytechnikum ⁱⁿZürich und erwarb mir im August

1901 das Diplom als Fachlehrer. Seither wirke ich als Lehrer für Mathematik an der Bündnerischen Kantonsschule.

Chur, ^{im Mai 1914.}

K. Merz.

Seite

Aufgabe

¹

[. Die Parallelflächen 2

IL Die Gentrafläche 8

III. Raumkurven vierter

Ordnung

¹³

IV. Die

quadratische Abbildung

der Gesamtheit der

Parallelflächen 21

V. Die

Abbildung

^der Steinerschen Fläche auf die

Ebenen des Oktaeders 30

VI. Der Oktaederoktant ₃₄

VII.

Berührungskurven

^von

Tangentialkegeln

^{an die}

Steinersche Fläche 41

VIII. Die Punkte einer Steinerschen Fläche

bezogen

^auf

ein Strahlenbündel als ihre

Träger

47

Bild ₅₂

Literatur ₅₃

Erklärungen

^{zu den}

Figuren

⁵⁴

Figurentafeln ], II,

^III

feste

Punkte in den drei Ebenen eines

recldwinlcligen Koordinatensystems

verbleiben. Die Gerade bildet in allen ihren

Lagen

^das

Normalensystem

^zu

den

Parallelflächen desjenigen Ellipsoïdes,

^{welches der unendlich}

ferne

^Punld

der Geraden beschreibt*

Die

Stellung

^dieser

Aufgabe,

die ich samt

gütigen Weisungen

^Herrn

Prof.

^{Dr. C. F. Geiser}

verdanke, verlangt

^{vorerst die}

Bestimmung

^dieser

Parallelflächen,

^{sowie der ihnen}

gemeinsamen Centrafläche

^{durch eine}

Parameterdarstellung

^ihrer Punktkoordinaten. Eine

quadratische

^Trans¬

formation

führt dann von diesen Flächen über zu

Developpablen

^von

Raumkurven vierter

Ordnung,

^{und aus} der räumlichen

Abbildung

^der

GesamtheitderParallelflächen auf die ihnen

entsprechenden Developpablen ergeben

sich zwischen diesen Flächen und Kurven

Beziehungen,

^{die mit} der Steinerschen Fläche

zusammenhängen.

Die dabei entstehende

Abbildung

der Steinerschen Fläche auf die Ebenen eines Oktaeders führt im besonderen noch zu einer räumlichen

Veranschaulichung

^des Verlaufes dieser

Fläche,

^{indem die}

Anordnung

ihrer einzelnen Teile durch die

gegenseitige Lage

^{der ihnen}

entsprechenden Ebenengebiete dargestellt

^erscheint. Für einen besondern Fall kann das Modell dieser

Abbildung

^{aus einer} Ebene durch Einschnitte und durch

Aufklappung

der dadurch entstandenen Gebiete erhalten werden.

Die

Abbildung

der Steinerschen Fläche auf eine Ebene wird ferner unter

Anwendung

^der

quadratischen

Transformation zur

Bestimmung

der

Berührungskurven

^von

Tangentialkegeln

^verwendet.

Schliesslich

gibt

die erwähnte räumliche

Abbildung

^die

Anregung

zueiner weiteren

Parameterdarstellung

der Punktkoordinaten der Steiner¬

schen Fläche durch eine irrationale

Funktion,

wobei die Strahlen eines Bündels die

Träger

der Punkte der Fläche sind.

Auf die am Schlüsse

angegebene

Literatur ist in den einzelnen Abschnitten verwiesen.

* Darboux a. a. ü. Seite 23G u. Anmerkung ^{Seite 238.}

I. Die Parallelflächen.

Auf der

beweglichen

^{Geraden N seien}

2t, SS,

^{© die festen}

Punkte,

die

bezüglich

^{in den} Koordinatenebenen

TZ, ZX,

^{XT bleiben. Ein}

beliebiger

^{Punkt Gs}

(x,

y,

z)

auf N bestimmt die Strecken

®2I ⁼ a : @JB ⁼ ft ; @S ⁼ r.

Die

Gleichungen

^von N heissen damit:

Iß II z

'i⁼x ^—o; i| ^{=y =-o} ;

'Ç

^—g q ^:

(1)

a ^v

' ' u

b c

worin der veränderliche Parameter _ç den auf N von S aus bis zum

laufenden Punkte

ty (S,

v\,

'Q

gemessenen Abschnitt bedeutet.

Der Punkt @ beschreibt das

Ellipsoid

!P + ~W + 1?

^{= 1 •}

(2)

Der unendlich ferne Punkt von N bestimmt ein unendlich _grosses

Ellipsoid,

^zu welchem die von den Geraden

(N) gebildete Kongruenz

^die Normalen sind. Dieses unendlich grosse

Ellipsoid

^wirdnämlich durch den

folgenden Grenzübergang

^{erhalten. Für ein}

Ellipsoid (2)

endlicher Grösse wird z. ß. der durch die TZ und ZX Ebenen

herausgeschnittene

^Ab¬

schnitt 2tS auf der Normalen berechnet aus:

2133 ^-

,««-*; k- ^-f i

⁺

-4-J

Ersetzt man die Halbachsen _a,

b,

^{c durch}

a

-\-

^{co, b}

-\-

^{o), c}

⁺

^o:)

so wird für to ⁼ co das unendlich grosse

Ellipsoid

^{entstehen. Der Faktor}

in der zweiten Klammer lässt sich in der Grenze beurteilen aus der

Lagrangeschen

^Identität:

(,.» +

va

^{+ ^(i^ +}

l2

i

t_)_\^

+

Ê>^\*

^ ^-r- y 1- ^* J

l

a4 -1- j4 ^-r g*

j i

a21 ,;2 ⁺ f2

) (Ifi—c2)?/^ (c2-a*)z2x2 fff2-7;W

64c4

+

_c4a4

+

_a*&*

Für unendlich wachsendes ^to entsteht daraus

yl

(a + co)*

^'

(6 + co)4

^'

(r

+

o))«

^r2

+

?/2+?~2

Dieser Wert

liegt

immer zwischen 1:

(o -+- co)2

^u.1:

(c -\- cd)2

^wenna>b>c angenommen

wird,

^{und er} kann durch i:co2 ersetzt werden. Somit wird

SIS8⁼

(a

^—

ft) (a-f. 6+ £<»)—

in der Grenze 2193 ⁼ 5

(a

^—

&).

Das

Entsprechende gilt

^{auch von} den andern Abschnitten.

Damit ist die Konstanz der Abschnitte der Normalen desangenommenen unendlich grossen

Ellipsoïdes eriuiesen,

^{und die} Gesamtheit der oo2 Strahlen

(N)

^{kann als dessen}

Normalenkongruenz

betrachtet werden.

Damit die Gerade N

(1)

in einem ihrer Punkte

5ß (!,

n,

Ç)

^Normale

ist zu einer Fläche

n,

die dadurch

ParaUelfläche

^{wird zum vorhin an¬}

genommenen unendlich _grossen

Ellipsoid,

^{muss die}

folgende Bedingung

erfüllt sein:

—dt

+ -^-di\ ₊

^—

_dl

=0.

a b c

Daraus entsteht durch

(1)

^das

vollständige

Differential

dp_v = —dx^{-\- ~-dii}A—"—dz

a ^' b ^J c

und somit ist _q bestimmt bis auf eine

Konstante,

die wegen der

beliebigen Lage

^{von @}

weggelassen

werden kann:

^

⁼

^

₊

^

+

il.

(3)

abc ^J

Man erhält Punkte

$

^{der Fläche}

II,

^{indem man von Gs aus die}

Strecke _q

abträgt.

^{Oder man fällt vom}

Koordinatenursprung

^aus DQiA7 und halbiert ®£i in

5ß.*

Durch

Einsetzung

^{der Werte von} x, y, ^{z aus}

(1)

ⁱⁿ

(2)

^und

(3)

^ent¬

stehen für II die beiden

Gleichungen

l2

_,

i)2

,

'(?

-= 1 n

(U-Qf

^'

(b-pf^ (r-0)2

(a_ç)«-t-(6_e)a

^t-

(f. _0)9

- -0

(4)

* Mannheim a. a. 0. Seite 186.

Die Parallelfläche II wird dadurch für p als veränderlichen Parameter aus

quadratischen

Flächen durch Kurven vierter

Ordnung erzeugt.

Durch

Einführung

^eines weitern Parameters a =x2

-f- y2

^-f-

y2

^und

durch

Auflösung

^mit

(2)

^und

(3)

^nach

x2, y2,

^{z2 und}

Einsetzung

ⁱⁿ

(1)

entsteht die

verlangte Darstellung

^der

Parallelfläche:

n₁₀

rx|2

⁼

{

^a_

^0(7,

⁺

c)

o

+

^bc

} {a Q)2

a^—

3(r+~a)Q-\-ra}{b-Q}2 yt,2

⁼

{o

^—

2(a

⁺

b)Q + ab}{c-~Q}2

Zur

Abkürzung

^bedeuten a,

ß,

y die Konstanten

a ⁼

(a

^—

V) (a

^—

r)

;

ß

⁼

(b

^—

a)(b

^—

r)

; y ⁼

(c

^—

«) (<

^—

b)

(5)

(6)

während p und o die variablen Parameter sind.

Aus diesen

Gleichungen (5)

^können

umgekehrt

^{die der Normalen N}

in einem Punkte

5ß (Slf

i^,

Çx)

^{der Fläche} IT erhalten

werden,

^mittelst

des von

^ß

^aus gemessenen Abschnittes ^v auf N:

Daraus

entstehen,

^{indem man}

Sß

^{durch p und a}

bestimmt,

^die

folgenden Gleichungen:

a

%

^{2 =}

{

^a—2

(b -f- c)

^o

-\-

^bc

} {

^{a—p —v}

(N) ßTia

⁼

{a

^—

2(c -j-a)Q + ca}{b

^—P-v

Y

C2-={(T

^—

2(a f i)Q + «ö}{r

—g

—v}3

if

(7)

Für eine bestimmte Normale N sind p und a konstant. Für variable

p und a bilden

(7)

^die

Gleichungen

^der

Normalenkongrnenz (K)

^der Parallelfläche IT

(5).

Aus den

Gleichungen (5)

^sindnun

Eigenschaften

^der

Parallelfläche

^rm entwickeln. Die

Schnitttiguren

^{mit den}

Koordinatenebenen,

^die

Haupt- sclinitte,

^{entstehen aus}

(5)

^durch

Nullsetzung

^{eines der Faktoren in den}

Gleichungsprodukten.

^{Für p = c z.} B. entsteht der

doppelt

^{zu zählende}

Kegelschnitt

K2 (6—c) l2 + (a—c)

^{n2 = c}

(a—c)(b—c) (8)

der eine

Doppelkurve

^{der II}

ist,

^{in welcher sich zwei} Schalen der Fläche

durchdringen,

^{und für a = 2}

(a

-f-

V)

q

-f-

ab entsteht dazu die Kurve 6.

Ordnung Le,

ⁱⁿ welcher II die Koordinatenebene

rechtwinklig

^durch¬

setzt,

^{da nach}

(13)

^die

Tangentialebene

ⁱⁿ ihren Punkten zur ZT Ebene senkrecht ist.

(a-b)l?

⁼

(SQ-b){a-Q)*)

6

(h—à) if

⁼

(3q

^—

^o) (b

^-

q)2 \

^{l '}

Diese

L6

^{hat auf} den Koordinatenachsen

je

^zwei

Doppelpunkte

t?

^{= b}

(a

^—

b)

;

if

^{= a}

(b

^—a)

(9'J

durch welche

je

^die

K2 (8)

^derandern

Hauptebene gehen.

^Für

3q

⁼

a-\-l>

hat

L6

^vier

llückkehrpunkte

(3 «-6)8 (36-fl)»

' 57

(a —6)'

^'

57(6-o)

^l

Diese Schnittkurven

Z2

^und

i6

^der

Hauptebene

^{XYschneiden sich für}

5 q ^{= a}+ ^{b — r in} vier Punkten

n m

(«—c)fa—6

⁺

c)2 a_J(&~f)f6~a ^{+ c)}

^ai)

b

4(a—6)

^{' '}

4{b—a)

^{{ '}

und sie berühren _{sich für p} ⁼ c in vier Punkten

%

?=J (5c-6)(a-C)2

,

(gc_ffl)(fr_c)2

mit den

gemeinsamen Tangenten

l Vâc

^—b

+

il

Va

^{—2c = c}

Vä^b. (12')

Als vierte

Hauptebene

ist die unendlich ferne Ebene zu betrachten.

Durcli

Grenzübergang

^{zu unendlich} grossen Werten _{q und} a entstehen dort der absolute Kreis

ç2

+

ii2-)-'Ç2

^{= 0 als dreifach zu zählendeKurve}

und vier Gerade in den Ebenen

\Vb

^—c

+

t)

Vc

^—

a-\-t,Va—b

^{= 0.}

Zur

Beurteilung

^{der Kurven} auf der Parallelfläche dient auch ihre

Tangentialebene,

^{die aus}

(5)

für einen Punkt

Sß (£,

t),

t)

^als

Berührungs¬

punkt folgende Gleichung

^erhält:

^{^(E-ç)l/iT=T + £(t) —ii)l/ïï="c+C(j-9|/ïr=^}

⁼⁰

(13)

S⁼ 3

q2

^—3o

(a -f

^b+c)

+

^6c

-j-

^ca

+

^«6

+

^a 4s⁼o

—5(6 + c)e ⁺

^ftc

£2⁼ a^{_ o}

(c _j_ a)

Q

_j_

^Cffl C2 ⁼0^—

2(a-f 6)ç>

^+a6

Durch die

Bedingung

^{S= 0 wird diese}

Tangentialebene

^{vorerst unbe¬}

stimmt. Die

Ersetzung

^{von a durch} q ^aus S=0

ergibt

^{daher aus}

(5)

die

Gleichungen

einer Bückkelirlairve 16.

Ordnung:

a'f

⁼ (a-

-q)s(3q-

^-Ä-

-c)\

'16

ßi]2

⁼

:(b- -e)3(5e-

^{-r -}

-a)

-h)\

Y

?

⁼⁼

(c- -Q)3(5e-

^-a-

(14)

Diese Kurve ist der Schnitt zweier Flächen 4.

Ordnung

^{mit acht statio¬}

nären

Berührungspunkten,

^{was aus der}

spätem Abbildung (35)

^ersicht¬

lich ist.

Die Rückkehrkurve

iü'16

^{hat in}

jeder

Koordinatenebene viereinfache Punkte in den 2'

(10)

^{und vier} dreifache Punkte in den X

(12).

^{In der}

unendlich fernen Ebene besitzt

iü'16

^{y^er}

^Punkte,

^die

je

vierfach zählen in den

Richtungen

^SB

(26).

^Die

gesamten

X sind zwölf

Rückkehrpunkte

der

E\G.

^Ausser diesen bestehen noch acht weitere

Rückkehrpunkte SR'(17) ⁽¹

⁼

0)

^oder

(36) (34)

^für

4q

⁼

a-\-b +

c, weil für diesen Wert

von q die

Tangenten

^an

JS'16

^{unbestimmt werden in den}

folgenden Gleichungen

£^—

%

__ t)—'1 _ i^—

?

_ 2t

%'

~

V

~

V

³

Durch

Benutzung

^{von x als neuen} Parameter erhält man die

Developpable A24

^der

E'16:

a

£2 (3

q^—

b—c)

⁼

(a— q) {a(a+&+c—4q)

^t—

(a— q) (3 q—b—c)}2

¹

ßt)2(3Q-c—a)!

⁼

(6—e) { ß (a-r-ft+c—4 g)

^t—

(&

^—

ö)(5q—c-a)}2 (15) Yâ2(3(?-a— 6)

⁼

(c—9){Y(a+H«-40)t-(6-— o)(3q—a-b)f\

Diese

A24

^{hat in}

jeder

Koordinatenebene vier Gerade

(12')

^{und eine}

Doppel¬

kurve 10.

Ordnung,

^{was für}

B'1G

^{die Klasse 24}

ergibt.

Um noch eine

Doppelkurve

^der Parallelfläche zu

bestimmen,

^ver¬

wendet man die

Gleichungen (4),

^die für zwei verschiedene Werte _ql und q2

gleichzeitig

^{bestehenmüssen. Aus diesen}

Gleichungen Ax

⁼

1, A2

⁼

1, Bx

⁼2 q1;

B2

⁼2 q2entstehtdurch die

Verbindungen At

⁺

^A%

^und

Bx

⁺

B2

das

Gleichungssystem:

r2-H2

, *2+?2

..2 , ia

+

^Â2

(ra_xa)a

^{= .}

(s2_^)2

^{i i}

(f

^—

}?j (r2_X2)2

^*

"t"(s2_A2)2

^'r

^{t2

^—

)?)

r2

+

^P a" I S2

+

^À2 St.» '--

+ À-

S«Ç T/„2 12\2^" 'I

(r2

—À2)2 s

^(s2—À2)2 ' '

(/2—A2)2 (r2_À2)2

^«"

⁺ (s2_}2)2 ^{H* +} (i2_À2)2

•Ç2

^{= ^ I}

'Ç2

^{= 6* JJ}

c?2

⁼ _Pl

+

Ö2 Zff

cç2

^{=i IV.}

In diesen

Gleichungen

^wurden

eingesetzt

2r ⁼ 2a ^— qx^—p2.

|

2s ⁼ 2b Qx^—

Q2\

^{2 l = Q2—(>!}

⁽¹⁶⁾

3 t Oi ^— C>2

Aus II und IV können nach einer

Transformation,

^{durch welche die}

Gleichungskonstante

^{in IV} verschwindet.

%2, if, 'Q2

berechnet werden unter

Einführung

eines Faktors _[i. Man erhält ^z. ß.

£2 :

(r2

^—)?)2\2

\i(b-—c)

^—

{a-\- b-\-c— Sa)

;

ri3...; I2--.

r

'

2(a2-\-b2-\-c2-bc

^—ca—ah)'

Durch

Einsetzung

dieser Ausdrücke in III undIentstehen die festen Werte:

a-\-b-\-c

<?i

+

62 ⁼ $ und

(16')

a8

+

^&8

+ c3—^(6 + cKc + q)(a + &)

^—g«6c

2{b

^—

c)(c

^—

a)(a

^—

b)

während 21⁼ _q2^—_p, als veränderlicher Parameter bleibt. Damit erhält

man als

Doppelkurve

acht Gerade

8D,

^{die zu den} Koordinatenebenen

symmetrisch liegen.

SD:

£

j/a

⁼

|

^a

>lK(T=(&-

a

+

^b+⁽ 4

a

+ b-\-<

1 a-\-b-\-<

\

^{1? 1}

}?

(17)

Je zwei dieser acht

Doppelgeraden

schneiden sich in U

(11).

^Sie

treffen

iü'16

^{in den acht}

Rückkehrpunkten

^9T deren Koordinaten aus

(17)

entstehen für 1 ⁼ 0. Die unendlich fernen Punkte der 8D

liegen

ⁱⁿ den

Richtungen

^a

\2

⁼

ß

ⁿ²⁼y

'Q2 (26)

^{auf dem absoluten}

Kreis,

^{wo sich}

je

^zwei

parallele

^{der 8D treffen. Die}

quadratische Fläche,

auf welcher die 8D

liegen,

^{ist aus}

(37) (34)

ersichtlich:

H2. (IT)

Die

Parallelfläche

^{wird in} Ebenenkoordinaten erhalten durch Ein¬

setzung ihrer Werte

u ^{= —}

ao

v ⁼ JL

bQ

^IV

— —

CQ

in die

Gleichungen

^des

Ellipsoïdes (2)

^und des Abschnittes _p

(3):

Die Parallelfläche ist also

reciprok

^{zu einer affinen der} Fresnelschen Elasticitätsfläche.*

Die

Berechnungen

^dieses Abschnittes haben

folgendes Ergebnis

erzielt:

Die

Parallelfläclie**

des angenommenen unendlich grossen

EUipsoides

ist 10.

Ordnung

^{und 4. Klasse.} Sie besitzt eine Rüchhehrkurve 16.

Ordnung

,'M. Klasse und acht

imaginäre Doppelgerade.

^{In den drei}

Hauptebenen

^im Bndlichen enthält die Fläche

je

^einen

Doppellcegelschnitt,

^{und in derunend¬}

lich

fernen

Ebene ist der absolute Kreis MiichJcehrJairve.

II. Die Centraflache.

Die

Centrafläche***

^{V der} Parallelfläche IT ist der Ort der

Haupl- krümmungsmittelpunkte

^{von n oder der}

Schnittpunkt

benachbarter Normalen

iV(l).

^{Für einen Punkt S}

(£,

i],

Ç)

^{von Y}

gelten

^{daher die}

folgenden Bedingungen

^:

^"X~1T*

11 ⁼V^—

-y

^Q

I

^{= Z} -Q

%

^=x

-\-dx

^—

(p +

^d

p)

v ⁼

y-\-dy—^-(Q-\-dQ)-

dx

dy

Ç

^=z

-f-

^{dz- —}

((? -f-

^d

q)

y-dz

dx⁼

dy

⁼

xdQ

a^—p

ijcIq

dz ⁼ b^— q

zdQ

C—Q Mit

Anwendung

^{auf die}

Gleichung

^des

Elipsoides (2)

^{und auf deren}

Ableitung

^{ist T}

dargestellt

durch die beiden

Gleichungen:

?

+

^{^Y}

(a

^—

pj8 ^(b

^—

q)

⁺

O-e)2 (c-Q)s

=

1\

=-6»

(18)

Aus diesen wird die Centrafläche durch Kurven 4.

Ordnung erzeugt

^oder sie ist die

Enveloppe

^{der durch die 1.}

Gleichung dargestellten quadrati-

* Salmon-Fiedler II. Art. 275.

** — — — I. Art. 218 u. II. Art. 284.

(Die Parallelfläche zur allgemeinen ^{Fläche 2.} Ordnung ^{ist 12.}Ordng. ^4.Klasse, ihro Kückkehrkurve ist 24. Ordg. Es finden sich 16Doppelgerade. Die Parallelfläche des Paraboloides ist 10. Ordg.)

*** Salmon-Fiedler I. Art. 208 u.f.

sehen Flächen für _p als Parameter. Diese

Gleichungen (18)

^{können auch}

durch

Grenzübergang

^{aus denen der} Centrafläche eines

Ellipsoïdes*

^end¬

licher Grösse erhalten werden.

Ausser q sei noch a als weiterer Parameter

eingeführt

^{durch die}

Bedingung:

~^

+ r^ _{1 a-b-c+*Q +}

o⁼0

a Q I) Q ^C p

Durch

Auflösung

^nach

l2, t|2,

^{t;2 aus dieser und aus}

(18)

entstehen für die

Centrafläche

^die

Gleichungen:**

a

'|2

⁼

(a

^—

q)3 (a

^—

a) T12 ßT)2

⁼

(6-e)8(6-a) yî*

⁼

(c-Q)*(c-o)

a⁼

(a

^—

b)(a— c)

ß

⁼

(6 —o)(6 —c) (19)

y ^—

(c

^—

^a)

(c^—

b)

Die

Schnittfiguren

^{mit den} Koordinatenebenen oder die

Hauptsclmitte

bestehen

je

^{aus einem}

Kegelschnitt B2,

^{der dreifach zu} zählen ist und

aus einer Astroide

A6.

^{Für q =c entsteht z. B. der}

EückJcelirkegelschnitt B2 ^(b

^-

cf |2 -f (a

^—

cf

^{n2 =}

(a

^—

c)2 (6

^—

c)2 (20)

und für 0 ⁼ c entsteht die

Astroide,

ⁱⁿ welcher nach

(28)

^{die Fläche die} Koordinatenebene

rechwinklig

durchsetzt:

A6 (a

^-

b) \2

⁼

(a

^—

g)3

^:

(&

^-

r) if

^{= (b-}

Qf. (21)

oder ç3+i]ï ⁼

(a

^—

ö)

^f

{52

⁺

if

^—

(a

^—

&)2 }3 +

²⁷¹²ⁿ²

(a

^-

bf

^{= 0.}

Diese

J6

^{hat auf}

jeder

Koordinatenachse zwei

Rückkehrpunkte

|2

⁼

(a

^—

&)2

^.

^a

⁼

(ft

^_

a)2 ^(21')

durch welche die

Rückkehrkegelschnitte i?2

^{von -^ UI,d ^}

gehen.

Ferner hat

A6

^{noch zwei}

Rückkehrpunkte

^{in den} absoluten Kreis¬

punkten

^{ihrer Ebene XY. Die vier}

Doppelpunkte

^{2t der}

A6 folgen

^aus den Bedingungen^:

* Salmon-Fiedler II. Art. 267 u.f.

** Caxfley^{a. a.} 0. in seiner eingehenden Behandlung der Centrafläche des allgemeinen Ellipsoïdes gibt ^{Art. 11 die} Gleichungen (s. ^auch Salmon-Fiedler II. Art. 268):

—$Y a!c2⁼(a2-f- p;3^f«2+3>l worin ß^=c2—a2, y^=<i2—is

Statt der Halbachsen in(19) treten liier ihre Quadrateauf u:id zudem besteht die affine Umformung ^von £,rhÇ in a£, ^J7j, ^cÇ.

(a^—

qJ3

⁼

(«

^-

£>2)3

^;

(ft

^—

oj

⁼

(ft

^—

p2)3

aus diesen wird _{;> Q} ⁼

a-{-l>-\-(a

^—

h)i V3

^und

(22)

81:

'§2

^{= —}

(a

^—

ft)2

;

if

^{= - (ft—}

af. (23)

Diese beiden Schnittkurven

A6

^und

£2

^{berühren sich für} q ^{= <} in den vier Punkten

SB ?⁼

J(«Z^;n»

⁼

4^! ₍₂₄₎

a^—ft ft^—a

mit der

gemeinsamen Tangente

^t

\rß

^-f- n.

j/u

⁼

|/ra ^fi,

^{und sie schneiden}

sich ausserdem in vier Punkten 35 für den Parameterwert

<2-\-Sab

^—2ac—2hc

Q=-

a-\-b

^—2c

SR ^«=

(«-f)8(«-^ft + 03

. o

_

(ft-r)3(ft-^q + 03

,„., 15

{u

^—

h){a~+b-3i),x (b

^—

a){b-\-a

^—

âc)'

^{[- '}

Als vierte

Hauptschnittebene

^{ist die unendlieli}

ferne

Ebene in Betracht

zu ziehen. Durch

Übergang

^von p und a in cd entstehen

1S + ^ + Ç»

^{=« und}

(1)V(|)V ^{(1)^0}

also der absolute

Kreis,

^dreifach zählend als Rückkehrkurve und eine einfache Schnittkurve 6.

Ordnung.

Diese beiden Kurven in der unend¬

lich fernen Ebene berühren sich ⁱⁿ den vier

Richtungen

23^

^:

«ç2

⁼

H2

⁼

Y'C2 (26)

und sie schneiden sich in den vier

Richtungen

ol2

^:

(i n2

^:

y'Q2

⁼

{b +

^<-2

a)3

^:

(r +

^a—

:>b)3

^:[a-\- ^b—

2<f. (27)

Die

Tangentialebene

^{an die} Centrailäche V in einem ihrer Punkte ß

Ci.

''li

£)

^{erhält aus}

(19)

^die

^Gleichung

r=(a-e)vf=4|E55ES

v

(a—a)(t»—a)(c—a)

Ausser für die

Rückkehrkegelschnitte B2 (20)

für q ⁼

a,b,c

^wird diese

Tangentialebene

^{durch den} Faktor T auch

unbestimmt,

^{wenn o=}q

gesetzt

^{wird. Dadurch}

ergibt

^{sich aus}

(19)

die weitere Rückkelirlcurve:

8B2 ßr]2

⁼

(b

^—

Qy, (29)

YÇ2

⁼

(c_ç)V

Diese

<9i22

^{besteht aus den acht}

Kegelschnitten,

^{die von}

je

^zwei der Ebenen 80 aus

je einem,

^{durch die}

gleiche

Vorzeichenwahl be¬

stimmtem, Kegel

^der

4K2 herausgeschnitten

^werden:

80

-w+^T+ir

^{= 1}

⁽³⁰⁾

4K* ^A ⁺ ^ ⁺ -6^

^{= °}

⁽³¹⁾

Die

SjB2 (29)

berühren die Koordinatenebeneninden für sie vierfach

geltenden

^{Punkten 3GB}

(24),

^{wo sie noch}

je

einen der drei

Rückkehrkegel¬

schnitte

B2 (20)

^{zu zweien berühren. Den 12.}

Rückkehrkegelschnitt

^stellt

der absolute Kreis dar. Er wird in den vier

Richtungen SB^ (26)

^von

je

^{zweien der}

8B2,

^{die in}

parallelen

^Ebenen

liegen,

^{berührt. Die}

8B2

sind

imaginäre Parabeln, je

^{einem der Dreiecke}

eingeschrieben,

^{das die}

Koordinatenebenen aus den 80 herausschneiden. Diese acht Ebenen 80

(30),

^die

imaginär sind,

^da a,

ß,

y nicht alle

zugleich positiv

^sein

können,

^stellen Minimalebenen dar mit einem absoluten Punkt.^aus SB

(26).

Um noch die

Doppelkurve

der Gentrafläche zu

bestimmen, geht

^man

von den

Gleichungen (18)

aus, die für zwei Werte q± und _q2

gleichzeitig

bestehen müssen. Aus den entstehenden vier

Gleichungen Ax

⁼

1, A2

⁼

1, Bx

⁼ o,

B2

^{= o bildet man durch die}

Verbindungen Äx

⁺

A2, Bx

⁺

B2

^{das neue}

Gleichungssystem

^{mit den}

Rezeichnungen:

2a^—Q1^—ç2 ⁼ 2r)

2b—Qx

^—Q2⁼

2s\

_{q2— q-l} ⁼

_{2\i (32)}

2C^—Q±^—Q2 ⁼2 t)

Die Koordinaten der Punkte der

Doppelkurve

^{sind damit aus dem fol¬}

genden System

^{zu berechnen:}

r

(r' +

³

y?)

c2 g

(s2 +

³

u2)

^<

(*2+ ,i>V)

..., rj

(r2— n*)»

^Ç "•"

(s2

^—

n*)s

^{' ^}

(<* —|is)8 (r2—|i2)3

^{" '}

(«* —n2)» (^-^2):

Aus II und III ^gelangtÖ<- man zur

Bedingung

rf2 <in2 t'C2

L3 t!> ^• ^3 ^—(<2_m (fl ..2-1 ^{.UZ „2\}

(r2_ ^2)3

^•

(S2

^_

^2)3

^•

(J2

^_

^3

~^ ) V * ) K* k)

Unter

Verwendung

^des

Proportionalitätsfaktors rst:Q

^{entstehenfür}

l2, i]2, 'Ç2

dann die Ausdrücke:

al2

⁼

st(s2

^—

t2)(r2—ii2)3 cn\*=tr(fl

^—

r2)(ê

^—

y?f oC3=rs(»Jä—s2)^—n2)3

und durch

Einsetzung

dieser in I und IV erhält man die Werte:

v?

⁼

3rst:(r-\-s+t) (32')

a=(s—f)(t

^—

r) (

^r—

s) {(r +

^s

-f- £)

^{u4—r st}

(st +

tr-\-

rs)}.

Die Parameter in r,^s, t können durch X⁼

1,)'2 ^(32")

ersetzt

werden,

^{und damit wird die}

Doppcllmrve* D2i

^der

Centraßiclie

mittelst der Konstanten _a,

ß,

y

(6)

^{durch die}

^folgenden Gleichungen dargestellt:

al2N= {b+c—3l){a—hf {3hc—a(a+b+c)

^—

2{fl+b+c—3a)%Y

$ifN={c+a—3\}{b—lf {3ca—b(a+b-tc)—2(a+b-yc—3b)lY (33)

Y

'ç2iV= {a-yb—2l}{c—If {3àb—<-{a+b+c)

^—

S{a-)-l)+c-8<i) If N={9abc

^—

(a

^+b+

c)(bc+ca

⁺

ab)-2(bc

⁺

ca+ab-a2-b2-(2)l}{a+b+c-3lf

* Cayley ^{a. a. 0. erhalt die} Gleichungen ^dieser Doppelkurve ^{für das} allgemeine Ellipsoid ^{aus einem sehr} complicierten^{Verfahren in} unsymmetrischer ^Form:

-ßV«^2iN⁼

{(T-^)3

⁺

c}{(-(-c<)a-^}2{(ß--()3+T}3|N

⁼(<>3 + Ta)(53-^

—y^abhf^N=(3^—1)³²

{

^{(y—a)33+3ay}

}

^{s il=c2—ßY=}ß2—Y a=f—</ß

—

C<ßc3ZJN={(Y

^—<7)3—

Y}{(|-a)3

+

2(/}2{(c—

^ß)3

C/}3J

^{7 .-£2—C2}

ß^=C2—«2

Auch hier gilt ^die Anmerkung ^zu (19). Y⁼a2^—*2

(s. ^auch Salmon-Fiedler IL Seite 344).

Diese Kurve 24.

Ordnung durchdringt

^dieKoordinatenebenen einfach in den St

(23).

^{in einem}

Doppelpunkt

^{in den 335}

(24)

^{und in dreifach zu}

zählenden

Rückkehrpunkten

^{in den 93}

(25).

^{Für À= co} entstehen drei¬

fache Punkte in den vier

Richtungen

²⁸

(26)

^{und für N = 0}

je

^vier

einfache und zweifache Punkte in der unendlich fernen Ebene. Aus einer

spätem Betrachtung

^werden sich noch 32

Rückkehrpunkte (52) ^ergeben,

welche

Z>24

^{ausser den}

Hauptebenen

^{auf den}

8B2 (29)

^besitzt.

(33')

Dieser Abschnitt hat zu

folgendem Ergebnis geführt:

Die

Centraßäclie

des angenommenen unendlich _grossen

Ellipsoïdes

^ist

eine Fläche 12.

Ordnung

^{mil einer}

Doppelkurve

^24.

Ordnung.

^{Die Jßück-}

kehrlcurven bestellen ausdrei

Kegelschnitten

im Endlichen in den drei

Haupt-

ebenen und dem absoluten Kreis im

Unendlichen,

^{sowieaus acht}

imaginären Parabeln,

^{die in acht} Minimalebenen

liegen.

Diese bilden durch ihre _sym¬

metrische

Lage

^ein

Oktaeder,

^{in dessen}

Seitenflächen jene

Parabeln derart

eingeschrieben sind,

^dass sie die drei Kanten

berühren,

^{sowie die unendlich}

ferne

Gerade dieser Ebene in ihrem aisoluten Punkte.

Diese Centrafläche ist affin* ^zu

derjenigen

^eines

Ellipsoïdes

^endlicher

Grösse. Sie ist 4. Klasse, da ihre

reciproke

^{Fläche 4.}

Ordnung

^ist.**

III. Raurnkurven vierter Ordnung.

Als

Vorbereitung

^{zu der}

später

noch weiter zu verwendenden

quadra¬

tischen Transformation

£2⁼ x ;

i]2

⁼?y ; 'C2 ⁼ £ (34)

werde zunächst der

Übergang

^{von einer}Parallelflächeund von der Centra- Hache*** zu

Developpablen dargelegt.

^{Diese Flächen werden am besten}

durch ihre

bezüglichen

Kantenkurven

gekennzeichnet,

^ausderen

Tangenten

sie

gebildet

^werden.

A. Die Raumkurve 4.

Ordnung

^{1.Art mit}

Rückkehrpunkt****

erscheint als die

quadratische Abbildung

^der Rückkehrkurve

E'1G

^der

Parallelfläche und ist nach

(14)

^{durch die}

folgenden Gleichungen

^dar¬

gestellt:

* Anmerkung ^zu (19).

>*

Salmon-Fiedler I. Art.213

~"~ Stahl a. a.0. Aus derTançententi.icheder Raumkurve4. Ordg.^{2.Art. werden die}

Eigenschaften

^derCentrathiche insynthetischerDarstellungentwickelt. Seite73u.f.

**** Wcyr ^{a. a.} 0. Seite 400.

ax=

(a

^—

q)3 (3q

^—b—

c)

R\ Py

⁼

(b-~Q)*(3Q-c-a) | (35)

Y^{z =}(c^—qI3

(3

q^—a—

b) I

Ihr

Büclikehrpunlä

^{9Î' entsteht für}

4q

^{= a}

-f-

⁶

+

^c

(3a-6-c)V (36-c-q)*

. _

(3c-a-bf

UX- 256 ^' ' V 256 ^,1Z~ 256 (db)

Die Koordinatenebenen sind

Schmiegungsebenen

^an

B\

^{in den drei¬}

fach zu zählenden Punkten %

(12),

und sie schneiden

iü'4

noch einfach in 2'

(10),

wobei auf die früher bestimmten Koordinatenwerte

(34)

^an¬

zuwenden ist. Die unendlich ferne Ebene ist die Wendeebene der

B\

im Punkte S3

(40),

der dort vierfach zählt.

Die Parallelfläche IT

(5) geht

^durch

(34)

^{über in die}

Developpable A5

der

B\.

^Zu

jedem

Parameterwerte _q

gehört

ein Punkt der

B\

^{und damit}

als dessen

Tangente

^{eine Gerade in}

A5 (5) (34).

^{Die Werte} g sind den Punkten dieser Geraden

zugeordnet.

^Diesen Geraden der

A5 entsprechen

auf n die Kurven 4.

Ordnung

^{1. Art aus}

(4).

^Die

Developpable A5

^wird

von

jeder

Koordinatenebene

längs

einer Geraden K

(8) berührt,

^{die also}

doppelt zählt,

und sie wird ausserdem noch in einer Kurve 3.

Ordnung L3 (9) geschnitten,

^{die in 2'}

(10)

^einen

Rückkehrpunkt

^hat.

Ls

^berührt

K in %

(12)

^und schneidet diese Gerade noch in XL

(11).

^In der unendlich fernenEbene besitzt

A5

^{die dortdreifachzu}zählende Geradein

x-\-y-\-z

⁼⁰

und eine

quadratische

^Kurve.

Die

Doppelgeraden

^8D

(17)

werden durch

(34)

^zum

Doppelkegelschnitt D2

^der

Developpablen A5;

seine Ebene H hat die

Gleichung:

(M-c—a)x-\-[c-\-a—b)y-\-{a-\-b -c)z

⁼

\{b-\-c—a)(a+b-c){c-{-a—b) (37)

Dieser Ebene H

entspricht

^{im Räume}

Qri'Q

^die

quadratische

^Fläche

H2 (17'),

^{auf welcher die 8D}

(17) liegen. D2 geht

durch den Rückkehr¬

punkt

^9î'

(36),

dessen Koordinaten für 1=0 aus

(17) (34)

^entstehen.

In

jedem

^{zu einem} Parameterwerte l

gehörenden

^{Punkte des}

Doppel¬

kegelschnittes D2

treffen sich zwei

Tangenten

^der

B\.

^Die

Berührungs¬

punkte IR-l

^und

%}

^auf

iü4

zweier solcher

Tangenten

^{sind durch} qx und _q2 bestimmt nach den aus

(16)

^und

(16') folgenden Bedingungen

Qa-Q1⁼SX

g2+Qi

⁼

a+] ⁺

^r

⁽³⁸⁾

So schneiden sich z.B. in dem für 41⁼3c^—a^—b entstehenden Punkte tl

(11),

^{in welchem}

D.2

^{die XTEbene}

berührt, diejenigen

beiden Tan-

genten

^der

R'A,

^{die zu}

£e!

^=a

+

^&+^{ß und}q2^=c

gehören.

^{Die zweite}

dieser

Tangenten

^{ist K}

(8),

^die

doppelt

^{zählt und daher in U}

(11)

^die

zwei zum

Berührungspunkt vereinigten

^{Punkte des}

Doppelkegelschnittes Z>2

^{liefert. Für den}

Rückkehrpunkt

^9T

(36)

^wird q1 ⁼ q2.

Ergebnis:

^{Durch die}

angetvandte quadratische Eaumabbüdung

^wird

eine

ParallelfläcJie

^{verwandelt in die}

Developpable

^S.

Ordnung

^{der Raum-}

kurve 4.

Ordnung

^{1. Art mit}

Rückkehrpunlä.

^Die

Doppelgeraden

^{derParallel¬}

fläcJie werden dabei zum

Doppelkegelsclinitt

^der

Developpablen,

^{der eine}

Parabel

ist,

welche die Koordinatenebenen berührt.

B. Die Raumkurve 4.

Ordnung

^{2. Art*}

erscheint durch

(34)

^als

Abbildung

^{der acht}

Rückkehrkegelschnittc

^der

Centrafläche und ist ^nach

(29)

^{durch die}

Gleichungen dargestellt

a x ⁼

(a

^—

q)4 _]

^ ß2/=(&-9)4 ⁽³⁹⁾

y^g

=.(,; —q)4 J

Die Koordinatenebenen sind drei Wendeebenen ^an

R±

^{in den vier¬}

fach in ihnen zu zählenden Punkten SB

(24).

^Durch

(34)

^{kommt an Stelle}

von den 4 SSeiner Koordinatenebene

je

^{ein PunktSB.} Die vierte Wende¬

ebene ist die unendlich ferne Ebene mit dem

Berührungspunkt SBqo

(26) (34)

^{in der}

Richtung

^ax=

ßy

⁼yz.

(40)

Die Centrafläche T

(19)

wird durch die

quadratische

Transformation

(34)

^zur

Developpablen A6

^der

R±.

^In

jeder

Koordinatenebenehat

A6

^eine

dreifach zu zählende

Tangente

^B

(20)

^{und eine Kurve 3.}

Ordnung A3 (21)

die in 31

(23)

^einen

Doppelpunkt

^{hat und} die Koordinatenachsen zu

Wendetangenten

ⁱⁿ

(21')

^{besitzt. Durch die}

Wendepunkte

^der

A3

^{z. B.}

x⁼y⁼(a^—

b)2 gehen

^{die B der beiden} andern Koordinatenebenen.

A.6

^{wird von B in SB}

(24)

berührt und in SS

(25) geschnitten.

Aus

D2i (33)

^{wird durch}

(34)

^die

Doppelkurve** D6

^der

Developpablen A6.

^{In den} Koordinatenebenen hat

DG

^{einen einfachen}

Durchstosspunkt

in SH

(23),

^eine

zweipunktige Berührung

^inSB

(24)

^{und eine}

dreipunktige

:;: Rohn a. a.0. Die Rt ^{ist auf ein Tetraeder} bezogen, ^{bestimmt durch die drei} Hauptsehnen ^{und die} Hauptebene, ^{welche die Sehnen} bezüglich ^ihres gemein¬

samen Schnittpunktes harmonisch teilt (VI):

.*!⁼Ä-,4^—k,'

x2⁼-(l+ 3a)k1 k2(k*+k*)

x3= (l^—3a)A-, Ar,(k*^—k*) x*= kS +tiakfkf {-k2*

** Hohn a. a. 0. Seite 237.

in 93

(25),

^{wo die} Koordinatenebenen, also die Wendeebenen der

Ü!4, zugleich Schmiegungsebenen

^an

D6

^sind.

Die

Bedingung (32')

^{wird zu einer solchen zwischen den Parametern}

q1 und q2 zweier Punkte

8^

^und

ïïî2

^der

i?4,

^deren

Tangenten

sich treffen und damit einen Punkt von

DB ergehen

^:

à>

Qi2 Q2+3

Qi

Q22- (a+b+c) (qj2 +Q22+4q1q2)

⁺³

(ab+ac+br) (p^Qa)

^{-6 ab}

(—0(41)

Die

Tangente irgend

eines Punktes

3ît

^der

Bé

^{wird also von zwei Tan¬}

genten

^der

Ri geschnitten,

^{die von}

3i2'

^und

9Î2"

^aus

gehen.

Zu qx ^{= <}

wird z. B. aus

(41):

, r2

-\-3ab

^{—2ac—2 br}

und

a^—b-

Dazu

gehören

^nach

(32")

^{durch 2X =}

^q1-\-

q2 die Werte

c(a-\-b-\~c)

^—3ab und X"

2{k b) ⁽⁴²⁾

Diese Werte

zeigen,

^{dass die}

Tangente

^B

(20)

^{von zwei andern in SB}

(24)

bezw. 93

(25) getroffen

^{wird. In 9B fallen von drei} aufeinanderfallenden

Tangenten

^der

_ß4

^zwei

Schnittpunkte

^{zusammen. In 93}

^vereinigen

^sich

drei

Punkte,

da die dreifach zu zählende

Tangente

^B

geschnitten

^wird

von

derjenigen

^aus

IR2"

^{für den Wert}

ç>2".

Durch die

Bedingung (41)

^sind

jedem

^{Punkte der}

BA

^{zwei auf} dessen

Tangente liegende

^{Punkte der}

D6 zugeordnet.

^Um

umgekehrt

^zu

bestimmen,

welche Punkte der

B±

^{zu einem}

gegebenen

^{Punkte der}

DG zugehören,

^{dienen die}

Doppeltangentialebenen

^der

^R±.

Damit eine Ebene

Rt

ⁱⁿ zwei Punkten

berührt,

^{muss ihre}

Gleichung ux-\- vy-\-

^ivz—1

nach

Einsetzung

der Ausdrücke für x,y, ^{z aus}

(39)

^ein

Polynom

^von

der Form

(o2— ^{2pa-\-q)2 ergehen. (43)}

Die Elimination der _{u, v,} w aus den vier entstehenden Koeffizienten¬

gleichungen ergibt

^die Determinante:

1 1 1 1

a b c P

a? IP r2

\(2p2 + q)

a3 IP (.3 pq

Aus dieser entsteht die

Bedingung

^zwischen den Parameterwerten p und _q für die

Berührungspunkte

^einer

Doppeltangentialebene:

{3p—a—h

^—

()

q ⁼/?

(a -f

^b

+ r)p2

^{-- 3}

(br +

^m

-\- ab)p -f

^3abc

(44)