Quantenmechanik I, WS 2018/19
Prof. Dr. Michael Bonitz Abschlussklausur, 15. Februar 2019
I. Theoriefragen (20 Punkte)
1. Formulieren Sie die Gleichungen der station¨aren St¨orungstheorie f¨ur nichten- tartete Energie-Niveaus. Insbesondere
i. Formulieren Sie den St¨orungsansatz zur L¨osung der Schr¨odingergleichung und diskutieren Sie dessen G¨ultigkeitsbedingung (4 Punkte).
ii. Leiten Sie die Gleichungen f¨ur die erste und zweite St¨orungsordnung der Schr¨odingergleichung ab (3 Punkte).
iii. Leiten Sie die erste Energiekorrektur ab (5 Punkte).
iv. Leiten Sie die zweite Energiekorrektur ab (2 Punkte) und dr¨ucken Sie das Ergebnis durch die nullte Ordnung aus (6 Punkte).
Hinweis: bei iii. und iv: verwende man einen vollst¨andigen orthonormalen Funktionensatz.
II. Aufgaben (40 Punkte)
2. Ein atomares Wasserstoffgas wird im 3s-Zustand pr¨apariert, wobei bei je- dem Atom das Verh¨altnis der H¨aufigkeiten der Spinkomponenten des Elek- trons (sz = ±¯h/2) 1 : 3 betr¨agt. In einem Experiment werden die (radiale) Ortswahrscheinlichkeit W(r), sowie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der SpinkomponentenPx(sx), Py(sy) undPz(sz) gemessen, wobeiW und Pi jew- eils auf 1 normiert sind.
i. Man gebe die allgemeine Form der Wellenfunktion der Atome, ψ(r,s), und ihre Normierungsbedingung an (5 Punkte).
ii. Man berechne die Koeffizienten der Radialfunktion mit Hilfe der 1s- und 2s-Wellenfunktionen (man benutze die Orthogonalit¨ats-Relationen, 5 Punkte). Alternativ setze man die Rechnung mit unbestimmten Koef- fizienten fort.
iii. Man berechne W(r), finde die Nullstellen und stelle die Funktion gra- phisch dar. (5 Punkte)
iv. Man berechne Pz(sz) und stelle die Funktion graphisch dar. (2 Punkte) v. Man berechne Px(sx) und stelle die Funktion graphisch dar. (7 Punkte) vi. Man bestimme das Produkt der Unsch¨arfen (der Standardabweichungen)
der Operatoren ˆsx und ˆsz. (5 Punkte)
Die Spin-Bahn-Kopplung und die Kernbewegung sind zu vernachl¨assigen, vgl.
Formeln. (29 Punkte)
3. Ein Wasserstoff-Atom befindet sich im Eigenzustand des Hamiltonoperators
|nlmi. Es wird von einem energiereichen Ion mit der LadungZP gest¨ort, das mit hoher Geschwindigkeit am Atom vorbeifliegt. Die Trajektorie kann als Gerade RP(t) angenommen werden. Der minimale Abstand vom Atomkern betr¨agtb und wird zur Zeitt = 0 erreicht. Man formuliere mittels zeitabh¨an- giger St¨orungstheorie einen Zugang zur Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem Prozess das Atom ionisiert wird. Insbesondere:
i. Formulieren Sie einen Ausdruck f¨ur die zeitabh¨angige gest¨orte Wellen- funktion in erster Ordnung St¨orungstheorie und geben Sie das Matrix- element des St¨orpotentials an. (5 Punkte)
ii. Leiten Sie einen Ausdruck f¨ur die ¨UbergangswahrscheinlichkeitW(t) aus dem Zustand |nlmi in einen beliebigen Zustand |n0l0m0i ab. (2 Punkte) iii. Spezialisieren Sie diesen Ausdruck f¨ur den Fall, dass Ionisation auftritt.
(2 Punkte)
iv. Vereinfachen Sie das Resultat aus iii) f¨ur den Grenzfall sehr hoher Projek- til-Geschwindigkeit, bei dem die Wechselwirkung als instantan betrachtet werden kann. (2 Punkte)
Hinweis: Die Koordinatenintegration ist nicht auszuf¨uhren. (11 Punkte) III. Formeln
1. 1eV ≈1.6·10−19W s, ¯h≈10−34N ms.
2. Eigenschaften des harmonischen Oszillators:
Ausdehnung der Grundzustands-Wellenfunktion: x0 = q ¯h
mω, Matrixelemente des Ortsoperators:√
2
x0 xn,m ={√
n+ 1, m =n+ 1; √
n, m=n−1; 0, m6=n±1}
Leiteroperatoren: √
2 ˆa≡u+ dud, √
2 ˆa†≡u− dud
3. Wasserstoff¨ahnlicher Bindungszustand (Atom, Ion, Exziton etc.) eines Elek- trons (me) mit einem Z-fach positiv geladenen Kern der Massempim Coulomb- potential V(r) =−4πZe2
0rr; Quantenzahlen: n=nr+l+ 1;
1s–Wellenfunktion: ψ1,0,0(~r) =
1 πa30
1/2
e−ρ; ρ= ar
0
2s–Wellenfunktion: ψ2,0,0(~r) =
1 8πa30
1/2
1− ρ2 e−ρ/2, Hilfsintegral: R∞
0 dx xke−βx = βk+1k! ,
Energieeigenwerte: En=−n12ER, ER= 2¯hm2(4πrZ20e4r)2 = 4πZe2
0r2a0,
1 mr = m1
e +m1
p.
4. Pauli-Matrizen : σˆx= 0 1
1 0
, σˆy =
0 −i i 0
5. Zeitabh¨angige St¨orungstheorie, Iterationsgleichungen bei schwacher St¨orung:
i¯hdtdCm(l)(t) = P
kVmk(t)eiωmktCk(l−1)(t) ;
mit l = 1,2, . . ., ¯hωmk =Em−Ek und Vmk=hψm|Vˆ|ψki.