Aufgabe 1 Funktion a) Definitionsbereich: ID = IR Grenzwertverhalten: Merke: Entscheidend für das Grenzwertverhalten ist bei diesem Polynom der Ausdruck –x

Aufgabe 1 Funktion a)

Definitionsbereich: ID = IR

Grenzwertverhalten:  





 f(x)

xlim Merke:

Entscheidend für das Grenzwertverhalten ist bei diesem Polynom der Ausdruck –x⁴. Wegen des geraden Exponenten ist der Grenzwert für positive und negative x-Werte, die betraglich gegen unendlich streben, gleich. Wegen des negativen Koeffizienten a₄ = -1 ist dieser Grenzwert jeweils -.

Symmetrie:

Es gilt f(x) = f(-x), die Funktion ist also achsensymmetrisch zur y-Achse!

-x⁴ + 6x² - 5 = -(-x)⁴ + 6(-x)² - 5 -x⁴ + 6x² - 5 = -x⁴ + 6x² - 5 q. e. d.

Nullstellen:

Die Nullstellen findet man durch Substitution, es gilt: x1/2 = 1 und x2/3 = 5 y-Achsenabschnitt: y_A = f(0) = -5

Funktion b)

Definitionsbereich: ID = IR \ {  2 } Grenzwertverhalten: lim f(x) 0





 x

Merke:

Der Grad des Polynoms im Nenner ist größer als der Grad des Polynoms im Zähler!

Symmetrie:

Es gilt f(x) = -f(-x), die Funktion ist also punktsymmetrisch zum Ursprung!

d.

e.

4 q.

x x 4

x x 4

(-x) x - 4

x x

2 2

2

2  

 









 

 

Nullstellen:

x = 0 (Zähler gleich null setzen)

y-Achsenabschnitt: y_A = f(0) = 0

Aufgabe 2

a) x1 = -8 und x2 = 4 Rechnung:

8 x 4x

1 ₂





 = 0  x² + 4x – 32 = 0  x1/2 = -2  6

b) x₁ = 1, x₂ = -2 und x₃ = 4

Rechnung: Man führt eine Polynomdivision durch, x₁ = 1 kann erraten werden!

(x³ - 3x² - 6x + 8) : (x – 1) = x² – 2x - 8 -(x³ - x²)

-2x² - 6x + 8 -(-2x² + 2x) -8x + 8

-(-8x + 8) 0 x² – 2x – 8 = 0  x_2/3 = 1  3

c) x1 = 0 und x2/3 = 2 Rechnung:

3 5 4x

x  = 0  x³  (x² - 4) = 0  Fallunterscheidung liefert dann die drei Lösungen!

Aufgabe 3 a) x = 1/6 Rechnung:

)2

1 (2x x 4 ) 2 4x (

x     

 | TU

-4x² + 2x = 4x – (4x² - 4x + 1) | TU -4x² + 2x = 4x – 4x² + 4x - 1 | +4x² - 8x -6x = - 1 | : (-6)

x = 1 b) x₁ = 0 und x₂ = 2 Rechnung:

1 x

3 1

x 2

2 

  = 1  2(x1)  3  x²  1  2x – 1 = x² - 1  x(x – 2) = 0

Fallunterscheidung liefert dann das Ergebnis! Hauptnenner ist x² – 1 = (x + 1)(x – 1)!

Aufgabe 4

a) ID = IR und \W = { x  IR | x  8 } b) ID = [ 0,5 ;  ] und \W = [ 2 ;  ]

c) ID = IR \ { 0 } = ] 0 ;  ] = R⁺ und \W = ID

Aufgabe 5

a) p(x) = (x-8) 6 4

1 ₂ 

 = x 4x -10

4 1 ₂ 

 b) g(x) = x

2 1

c) p(9) – g(9) = 5,75 – 4,5 = 1,25

d) d(x) = p(x) – g(x) = x 3,5x -10

4 x 1 2 - 1 10 - 4x 4x

1 _{2 2}











Anmerkung:

Die Parabel liegt in dem betrachteten Intervall oberhalb der Geraden, deshalb subtrahiert man die Geradengleichung von der quadratischen Funktion. Anschließend bringt man die Differenzfunktion, die nun für alle x den Abstand zwischen g und p berechnet, auf Schei- telpunktsform.

 

 





^

^

4 -1

40 x 14 4 x

-1 10 - x 5 , 3 4x

d(x) 1

2 2

2 2

























Das Maximum wird bei x = 7 mit 2,25 LE angenommen.