Ubungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie ¨
Sommersemester 2004
1. Es seien drei K¨astchen mit je zwei Schubladen gegeben. Im ersten K¨astchen liegt in jeder Schublade eine Goldm¨unze, im zweiten K¨astchen in der ersten Schublade eine Goldm¨unze und in der zweiten eine Silberm¨unze, im dritten K¨astchen liegt in jeder Schublade eine Silberm¨unze. Nun wird zuf¨allig eine der sechs Schubladen ge¨offnet, in dieser liegt eine Goldm¨unze. Wie groß ist die Wahrschein- lichkeit, dass in der anderen Schublade eine Silberm¨unze liegt?
2. Es seif eine durch
f(x) = αx2(1−x) 0≤x≤1
0 sonst
gegebene Funktion. Man bestimme α so, dassf Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen X ist und ermittle die Verteilungsfunktion FX sowie den ErwartungswertE[X].
3. Man berechne approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass bei 12000 unabh¨angigen W¨urfen mit einem fairen W¨urfel die Anzahl der 6er im Intervall [1900, 2150] liegt.
4. Es sei bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit in Mathematik eine 5 zu bekommen, gleichP(M = 5) = 0.5 ist. Andererseits liegt die Wahrscheinlichkeit in Latein eine 5 zu erhalten beiP(L= 5) = 0.4.
Die Wahrscheinlichkeit, in beiden F¨achern negativ zu sein, ist P(M = 5, L = 5) = 0.1.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in Mathematik eine 5 zu bekommen, wenn man in Latein schon eine 5 erhalten hat? Und umgekehrt?
5. F¨ur welches kdefiniert die Funktion P(X =i) = Nk f¨uri= 1,2, . . . , N eine Dichte einer diskreten Zufallsvariablen X? Geben Sie den Erwartungswert vonX an.
6. Eine stetige ZufallsvariableX habe die Verteilungsfunktion
FX(x) = 8>
>>
<
>>
>:
0 x <0
2
3x3 0≤x≤1 x−13 1≤x < c
1 c≤x
(a) Wie groß musscsein?
(b) Berechnen Sie den ErwartungswertE[X].
(c) Geben Sie die WahrscheinlichkeitPX(14 < X≤ 54) undPX(X = 1) an.
7. Nach dem Picknick vermisst die Familie ihren Hund. Es gibt drei M¨oglichkeiten:
• A: Er ist heimgelaufen und erwartet die Familie vor der Haust¨ur.
• B: Er bearbeitet noch den großen Knochen auf dem Picknickplatz.
• C: Er streunt im Wald.
Aufgrund der Gewohnheiten des Hundes kennt man die Wahrscheinlichkeiten f¨ur das Eintreten der Ereignisse A, B und C:
P(A) =1
4, P(B) = 1
2, P(C) = 1 4.
Je ein Kind wird zur¨uck zum Picknickplatz und an den Waldrand geschickt. Wenn der Hund an der ersten Stelle ist, findet man ihn mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit, streunt er aber im Wald, so betr¨agt die Wahrscheinlichkeit nur noch 50%.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eines der beiden Kinder den Hund finden?
(b) Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit daf¨ur, ihn bei der R¨uckkehr vor der Haust¨ur anzutreffen, falls die Kinder den Hund nicht finden?
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8. Eine telegraphische Nachricht im Morse-Alphabet besteht aus den Signalen “Punkt” und “Strich”.
Es ist bekannt, dass “Punkt” und “Strich” im Verh¨altnis 5:3 auftreten. Durch eine St¨orung k¨onnen einzelne Signale nicht verstanden werden, wobei die statistischen Eigenschaften dieser St¨orung sol- cher Art sind, dass im Mittel 2/5 der “Punkt” - und 1/3 der “Strich”-Signale gest¨ort sind. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein ¨ubertragenes Signal verstanden werden kann, und die Wahrscheinlichkeiten, dass ein nicht verstandenes Signal “Punkt” bzw. “Strich” war.
9. Zwei Spieler A und B, ziehen (unabh¨angig voneinander) aus einem gut durchmischten Skatspiel (32 verschiedene Karten, eine davon ein Herz-As, eine zweite ein Karo-As) abwechselnd eine Karte ohne Zur¨ucklegen. Spieler A beginnt. Wer zuerst das Herz-As oder das Karo-As zieht, hat gewonnen. Ist nach dem Ziehen der 5. Karte noch kein Sieger ermittelt, so wird das Spiel abgebrochen.
(a) Die ZufallsvariableX beschreibe die Anzahl der in einem Spiel gezogenen Karten. Man be- stimme die Verteilung der ZufallsvariablenX und ihre Verteilungsfunktion.
(b) Wie groß ist die WahrscheinlichkeitpA bzw.pB, dass Spieler A bzw. Spieler B gewinnt?
10. Ein Flugzeugbauer interessiert sich f¨ur die Zuverl¨assigkeit seiner beiden Flugzeugtypen. Die im folgenden angegebenen Wahrscheinlichkeiten beziehen sich dabei auf einen bestimmten Flug. Be- stimmen sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Flugzeug den Zielort nicht erreicht.
(a) Die 3-motorige Maschine f¨allt aus, wenn der Hauptmotor in der Mitte oder die beiden Seiten- motoren ausfallen. Die Motoren fallen dabei unabh¨angig voneinander mit Wahrscheinlichkeit p= 0.0006 aus.
(b) Die 2-motorige Maschine f¨allt aus, wenn beide Motoren ausfallen. Die Ausfallswahrschein- lichkeit betr¨agt p = 0.0006. Wenn einer der Motoren ausgefallen ist, dann erh¨oht sich die Wahrscheinlichkeit des Ausfalls auch des anderen (wegen erh¨ohter Belastung) aufp= 0.006.
11. Eine blinde Oma schenkt ihrem Enkel Franz zu Weihnachten zwei Geldscheine. In ihrer Brieftasche befinden sich drei 5 Euro-Scheine, drei 10 Euro-Scheine und ein alter Einkaufszettel. Zuf¨allig zieht die Oma zwei von diesen sieben Scheinen aus ihrer Brieftasche und gibt sie Franz. Es bezeichneW den Wert der Geldscheine, die Franz bekommen hat.
(a) Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz vonW.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Franz mindestens 10 Euro bekommt? Berechnen Sie weiters die Wahrscheinlichkeit, dass Franz weniger als den Erwartungswert E(W) bekommt.
(c) Das kleine Geschwisterchen von Franz bekommt nur einen Geldschein von Oma. Die Oma zieht zuerst einen 5 Euro-Schein aus ihrer Brieftasche und l¨asst nun Franz entscheiden, ob er diesen Schein behalten will, oder ob ihn sein Geschwisterchen bekommen soll. Wie soll er sich entscheiden? (Hinweis: Wie ¨andert sich der Erwartungswert?)
12. Beim H¨utchenspiel wird unter einem von drei H¨utchen eine Erbse versteckt. Danach werden die H¨utchen gemischt, und ein Spieler kann auf ein H¨utchen setzen. Der Spieler gewinnt, wenn er jenes H¨utchen err¨at, unter dem sich die Erbse befindet. Um dem Spieler zu helfen wird ihm zuf¨allig ein H¨utchen genannt, auf das er nicht gesetzt hat und in dem sich die Erbse nicht befindet. Nun kann der Spieler seinen Einsatz verschieben. Wie soll sich der Spieler verhalten, um m¨oglichst oft zu gewinnen?
13. Es soll die Verteilung von Geburtstagen innerhalb einer Gruppe untersucht werden. Einfachheits- halber wird angenommen, dass es keine Schaltjahre gibt.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Gruppe von 15 Personen mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben?
(b) Wieviele Personen m¨ussen in einer Gruppe sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%
oder mehr mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben?
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14. In einem ¨Olhafen ist die Zahl der pro Tag einlaufenden Tanker Poisson-verteilt mit Erwartungswert 2. Es k¨onnen pro Tag 3 Tanker abgefertigt werden.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Tag Tanker abgewiesen werden m¨ussen?
(b) In welchem Ausmaß muss die Kapazit¨at erweitert werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% alle einlaufenden Tanker abfertigen zu k¨onnen?
15. Ein Student sitzt nach bestandener Mathematik-Pr¨ufung in einer Bar und trinkt Tequilla. Aus Erfahrung weiß er, dass er mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% in einem Glas einen Wurm bekommt.
(a) Es bezeichne nunW die Anzahl der W¨urmer, die in zehn Tequilla vorkommen. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz vonW. Berechnen SieP(W = 1) undP(W ≥1).
(b) Der Student trifft vier Freunde, und alle trinken sie nun jeweils sechs Tequilla. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dann zwei oder mehr von ihnen mindestens einen Wurm bekom- men? Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei W¨urmer konsumiert werden.
16. Ein medizinischer Test f¨ur eine Krankheit, die mit WahrscheinlichkeitP(K) = 100001 auftritt, ergibt bei einem Kranken immer ein richtiges Ergebnis, bei einem Gesunden ergibt der Test aber bei 1%
der F¨alle aber ein positives Ergebnis.
Wenn eine Person nun positiv getestet wird, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person tats¨achlich krank ist?
17. Zwei J¨ager schießen auf zwei Enten und treffen ihr Ziel jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%.
(a) Sie sprechen sich ab, wer auf welche Ente schießt. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Ente getroffen wird?
(b) Was passiert, wenn den J¨agern keine Zeit mehr bleibt, um sich abzusprechen, und sie un- abh¨angig und zuf¨allig auf die Enten schießen?
18. Die F¨ullung von 50 kg - Zements¨acken erfolgt maschinell. Die Maschine hat die Einstellungenµ= 50 kg und σ= 1.5 kg.
(a) Wieviel Prozent Ausschuss ist zu erwarten, wenn ein Sack i. mehr als 49 kg wiegen muss?
ii. h¨ochstens 52 kg wiegen darf?
iii. um max. 1.2 kg vom Sollgewicht abweichen darf?
(b) Wie muss man die Toleranzgrenzen w¨ahlen (50±4µ), um nicht mehr als 5% Ausschuss zu erhalten?
(c) Wie ¨andern sich in Aufgabe 18a jeweils die Ausschuss-Anteile, wenn eine bessere Anlage mit σ= 0.8 kg eingesetzt wurde? s
19. Der Nikotingehalt einer Zigarettensorte wird periodisch ¨uberpr¨uft. Dem Verpackungstext zufolge soll eine Zigarette einen Nikotingehalt im Rauch von 0.6mg aufweisen. Bei einer Stichprobe von 30 Zigaretten wurden die Messwerte ¯x= 0.63 und s = 0.065 ermittelt. Man bestimme ein zwei- seitges Konfindenzintervall, in dem der wahre Mittelwert der Stichprobe mit 99% liegt. Welche Voraussetzungen m¨ussen Sie daf¨ur machen?
20. Ein aufwendiges, teures chemisches Verfahren testet eine grosse Zahl von Wasserproben auf Verun- reinigungen mit einem speziellen Giftstoff. Um die Kosten zu minimieren werden jeweilsM Proben zusammengemischt und dieses Gemisch auf Verunreinigungen getestet. Verl¨auft der Test positiv, muss jede einzelne derM Proben getestet werden um herauszufinden, welche der Proben verunrei- nigt sind.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Probe verunreinigt ist, betr¨agt p, und ein Test kostet eine Geld- einheit. Wie muss M gew¨ahlt werden, damit die Kosten pro Probe minimal werden?
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