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Mathematik und
Informatik
Dissertation
Kartenbasierte Lokalisierung von
Personen innerhalb von Gebäuden
Personen innerhalb von Gebäuden
Der Fakultät Mathematik und Informatik der FernUniversität in Hagen
zur Erlangung des akademischen Grades eines Dr.-Ing.
eingereichte Dissertation von
Julian Lategahn, M.Sc.
aus Dortmund
In der vorliegenden Arbeit wird ein neuartiges Lokalisierungssystem entwickelt, das mit Hilfe von Karteninformationen Personen das Auffinden von Räumen innerhalb eines Gebäudes erleichtert. Ein solches System kann zum Beispiel in Hochschulen, Einkaufszentren, auf Messegeländen oder auch in Krankenhäusern zum Einsatz kommen. Prinzipiell ist der Aufbau einer solchen Anwendung bislang mit einem hohen Aufwand in der Implementierung, Installation und Wartung verbunden, da keine Standardlösungen, wie die Nutzung eines GNSS im Außenbereich, verfügbar sind.
Um die Anforderungen einer solchen Anwendung zu erfüllen, werden daher Blue- tooth Low Energy, ein Pedestrian Dead Reckoning-System, bestehend aus einer Schritterkennung, Schrittweitenschätzung und Schätzung der Orientierung, sowie Karteninformationen genutzt. Insbesondere die Einbindung von Gebäudeplänen in die Filteralgorithmen ist dabei durch aktuelle Forschungsarbeiten wenig untersucht und bedarf einer systematischen Betrachtung.
Dazu werden sowohl metrische als auch topologische Gebäudekarten herangezogen und in probabilistische Algorithmen integriert. Dies sind jeweils je Kartentyp ein Monte Carlo Partikel-Filter, die dem aktuellen Stand der Technik entsprechen, und verschiedene im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Kalman-Filter.
Die Evaluation der erstellten Algorithmen findet im Rahmen einer exemplarischen Navigationsanwendung für Studierende in der Hochschule statt. Dazu wird zu- nächst eine Charakterisierung der einzelnen Teilsysteme vorgenommen, um diese in die Fusionsalgorithmen integrieren zu können. Die wiederum in einer Messkam- pagne mit einer großen Variation der äußeren Bedingungen evaluiert werden. Dazu werden verschiedene Gebäude, Personen und Smartphones innerhalb der Tests herangezogen.
Insgesamt konnte gezeigt werden, dass über die Nutzung von Karteninformationen eine für die angestrebten Anwendungsbereiche ausreichende Genauigkeit erreicht wird. Insbesondere die Nutzung der Gebäudetopologie bietet darüber hinaus eine schnelle Erstellung der benötigten Karte.
Within the present doctoral thesis an innovative localization system based on buil- ding maps is developed, which enables individuals to locate rooms inside a building more easily. Such a system could be applied at universities, malls, exhibition grounds and hospitals as well. Generally building an application, which utilizes an indoor localization, has always required a huge effort considering implementation, instal- lation and maintenance because there are no default solutions available like GNSS outdoors.
To fulfill the requirements of such applications Bluetooth Low Energy, a pedestrian dead reckoning system and building maps are used. Especially the integration of maps into the filter algorithms are insufficiently researched and have to be investiga- ted in-depth.
For this purpose metric as well as topological maps are used and integrated into probabilistic algorithms. There are two state of the art particle filters implemented, which distinguish in the used map. Furthermore several novel Kalman filter based algorithms are developed.
The evaluation of the implemented algorithms is done within an exemplary navi- gation application for students. For this purpose a characterization of the single components of the system is made. The algorithms which fuse the single information are examined in a test campaign, which has a high variation of external conditions.
These conditions are mainly the building, the used smartphone and the pedestrian himself.
It has been shown that a map based localization reaches the accuracy, which is desired for such applications. Especially the usage of topological maps allows an easy integration of such information.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Problemstellung . . . 3
1.2 Vorgehensweise und eigener Beitrag . . . 4
1.3 Aufbau der Arbeit . . . 7
2 Zustandsschätzung 9 2.1 Bayes-Filter . . . 10
2.2 Kalman-Filter . . . 10
2.2.1 Erweiterter Kalman-Filter . . . 14
2.2.2 Unscented Kalman-Filter . . . 15
2.2.3 Kalman-Filter mit Nebenbedingungen . . . 18
2.3 Sequenzielle Monte-Carlo-Methode . . . 23
3 Kartografierung von Gebäuden 27 3.1 Koordinatensysteme . . . 28
3.1.1 Kartesisches Koordinatensystem . . . 28
3.1.2 Geographische Koordinatensysteme . . . 28
3.1.3 UTM-Koordinatensystem . . . 29
3.2 Geometrische Gebäudedarstellung . . . 30
3.3 Topologische Gebäudedarstellung . . . 31
3.4 Semantische Gebäudedarstellung . . . 33
3.5 Hybride Gebäudedarstellungen . . . 33
3.5.1 OSM Indoor-Modelle . . . 34
3.5.2 IndoorGML . . . 35
3.5.3 Fazit . . . 36
4 Lokalisierung 39 4.1 Koordinatensysteme . . . 40
4.2 Relative Lokalisierung für Fußgänger . . . 41
4.2.1 Sensorik . . . 43
4.2.2 Schritterkennung . . . 46
4.2.3 Schrittweitenschätzung . . . 48
4.2.4 Orientierungsbestimmung . . . 50
4.3 Funk-Lokalisierung . . . 51
4.3.1 Messmethoden . . . 52
4.3.2 Positionsbestimmung . . . 58
4.4 Höhenbestimmung . . . 62
4.5 Aktuelle Forschungsarbeiten in der Indoor Lokalisierung . . . 63
4.5.1 Absolute Indoor Lokalisierung . . . 64
4.5.2 Fusion verschiedener Techniken der absoluten Lokalisierung 65 4.5.3 Einbindung von kartesischen Karten in die Lokalisierung . . 65
4.5.4 Einbindung von topologischen Karten in die Lokalisierung . 67 4.6 Bewertung der bestehenden Techniken und Forschungsarbeiten . . . 68
4.7 Fazit . . . 71
5 Entwurf des Pedestrian Dead Reckoning 73 5.1 Schritterkennung . . . 74
5.2 Schrittweitenschätzung . . . 74
5.3 Detektion von schnellen Orientierungsänderungen . . . 79
5.4 Evaluation der Algorithmen und Sensordaten . . . 80
5.4.1 Schritterkennung . . . 81
5.4.2 Schrittweite . . . 83
5.4.3 Orientierung . . . 87
5.4.4 Luftdruck . . . 93
6 Analyse der Signalstärke-Daten 97 6.1 Outdoortest . . . 97
6.2 Indoortest Gebäude 1 . . . 104
6.3 Indoortest Gebäude 2 . . . 109
7 Entwurf der Fusionsalgorithmen 113 7.1 Lokalisierung auf kartesischen Karten . . . 115
7.1.1 Systembeschreibung . . . 115
7.1.2 Monte Carlo Partikel-Filter . . . 118
7.1.3 Multihypothesen Kalman-Filter mit Nebenbedingungen . . . 122
7.1.4 Begrenzte Dichtefunktion . . . 130
7.2 Lokalisierung auf einer topologischen Karte . . . 131
7.2.1 Systemmodellierung . . . 132
7.2.2 Bestimmung der initialen Position . . . 135
7.2.3 Partikelfilter . . . 136
7.2.4 Kalman-Filter mit Signalstärkewerten . . . 138
7.2.5 Kalman-Filter mit Signalstärkewerten, Schritten, Orientierung und Luftdruck . . . 141
7.2.6 Hybrider Kalman-Filter . . . 143
8 Experimentelle Ergebnisse 145 8.1 Testkriterien . . . 146
8.2 Testumgebungen . . . 147
8.2.1 Otto-Hahn-Str. 23 . . . 148
8.2.2 Emil-Figge-Str. 42 . . . 150
8.3 Konfigurationsparameter . . . 153
8.4 Lokalisierung auf kartesischen Karten . . . 155
8.4.1 Monte Carlo Partikel-Filter . . . 155
8.4.2 Vergleich der EKF Varianten . . . 158
8.4.3 Vergleich der Algorithmen für kartesische Karten . . . 161
8.5 Lokalisierung auf topologischen Karten . . . 165
8.5.1 Monte Carlo Partikel-Filter . . . 165
8.5.2 Erweiterter Kalman-Filter . . . 168
8.5.3 Evaluation der Nützlichkeit der Luftdruckmessung . . . 172
8.5.4 Vergleich der topologischen Algorithmen . . . 173
8.6 Diskussion der Ergebnisse . . . 176
9 Fazit 179 9.1 Bewertung der Ergebnisse . . . 180
9.1.1 Genauigkeit . . . 180
9.1.2 Echtzeit . . . 181
9.1.3 Skalierbarkeit . . . 182
9.1.4 Robustheit gegenüber Veränderungen der Infrastruktur . . . 182
9.1.5 Installationskosten und Installationsdauer . . . 182
9.1.6 Betriebskosten . . . 183
9.1.7 Einfacher Systemzugriff . . . 183
9.1.8 Abschließende Beurteilung . . . 184
9.2 Exemplarische Umsetzung . . . 185
Abbildungsverzeichnis 189
Tabellenverzeichnis 193
Abkürzungsverzeichnis 194
Literatur 197
Eigene Veröffentlichungen 215
Betreute studentische Arbeiten 219
1 Einleitung
Die Navigation zu einem unter Umständen auch weit entfernten Zielpunkt spielte schon in frühen Kulturen der Menschheit eine wichtige Rolle. So wurde in den Anfängen der Schifffahrt die Navigation üblicherweise über Orientierungspunkte in Küstennähe durchgeführt und konnte so nur in einem begrenzten Umfeld stattfin- den. Mit dem Fortschritt der Technik zur Lokalisierung konnten die vorhandenen Restriktionen sukzessive beseitigt werden.
Mit dem Aufkommen von Globalen Navigationssatellitensystemen (GNSS), wie dem Global Positioning System (GPS) oder dem europäischen Galileo, und der ste- tig wachsenden Verbreitung von Smartphones erreichten Anwendungen, in denen die Ortsbestimmung von Bedeutung ist, eine breitere Bevölkerungsschicht. Diese sogenannten standortbezogenen Anwendungen und Dienste (location-based ser- vices (LBS)) stellen einem Nutzer Informationen zur Verfügung, die abhängig von seiner eigenen Position zusammengestellt werden. Im Außenbereich geschieht die Bestimmung der Position häufig über ein GNSS. Die Anwendungen reichen hier von der Autonavigation über Restaurantfinder bis hin zu Spielen, bei denen bei- spielsweise ortsabhängige Aufgaben erledigt werden sollen.
Innerhalb von Gebäuden kann kein GNSS herangezogen werden, da aufgrund von Abschirmung und Abschattung in der Regel keine, oder nur über Umwege, GNSS- Signale den Nutzer erreichen können und somit auch die Bestimmung der Position sehr fehlerbehaftet ist. Um diese Anwendungen auf den Innenbereich von Gebäuden erweitern zu können, sind demnach andere Techniken nötig. Zur Verfügung stehen hier eine Vielzahl an Möglichkeiten, die von der Lokalisierung über die Kamera eines Smartphones, mit der Landmarken in der Umgebung detektiert werden, bis hin zur Nutzung des Erdmagnetfeldes reichen. Eine andere weit verbreitete Variante liegt in der Nutzung von Funktechniken, die eine Lokalisierung im Innenbereich ermöglichen. Ein Beispiel für eine Anwendung in diesem Bereich ist die Navigation von Besuchern oder Kunden in großen Gebäuden wie Krankenhäusern, Einkaufs- zentren oder Messen. Abbildung 1 zeigt beispielhaft einen Museumsnavigator, der
den Weg zu einem gewünschten Exponat leitet und dort Informationen zu diesem anzeigt. Es können aber auch angepasste Touren bereit gestellt werden, die gezielt die Interessen des jeweiligen Nutzers mit einbeziehen. Auf Seite des Museumsbetrei- bers kann außerdem eine Auswertung des Nutzungsverhaltens stattfinden. So kann zum Beispiel festgestellt werden, welche Ausstellungsstücke oder Touren besonders beliebt sind.
Abb. 1:Museumsnavigator (Foto: Indoo.rs)
Darüber hinaus ist auch eine Anwendung im logistischen Umfeld denkbar, bei der die Einlagerung und Kommissionierung durch Mitarbeiter in einem Lager über die unmittelbare Hinterlegung des Standortes der Waren in einer Datenbank durch ein Lokalisierungssystem unterstützt wird. Abbildung 2 zeigt eine Anwendung aus diesem Bereich, bei der über eine Augmented-Reality-Brille Informationen über den aktuellen Auftrag und der Weg zu den Waren im direkten Sichtfeld des Mitarbeiters angezeigt wird. Auf der anderen Seite wäre es auch denkbar, sicherheitsrelevante Informationen anzuzeigen. So kann beispielsweise bei einer gleichzeitigen Nutzung von Staplern am Arbeitsplatz angezeigt werden, ob sich ein solcher aus einem nicht einsehbaren Bereich nähert und eine Kollision somit verhindert werden.
Abb. 2:Durch Lokalisierung unterstütze Kommissionierung (Foto: Ubimax)
1.1 Problemstellung
Wie bereits beschrieben ist die Implementierung eines Indoor-Lokalisierungssystems mit einem erheblichen Aufwand verbunden, da nicht wie bei einem Outdoor-System auf vorhandene Hardware, in Form eines GNSS, sowie Algorithmen zurückgegriffen werden kann. Daher werden üblicherweise in Gebäuden geeignete Funksysteme genutzt. Dies ist jedoch problematisch, da in Gebäuden häufig keine Sichtverbin- dung zwischen den Funkstationen der Infrastruktur und der zu lokalisierenden mobilen Einheit besteht und somit die Positionierung starken Störeinflüssen unter- legen ist. Dies hat zur Folge, dass weitere Techniken, wie einem Pedestrian Dead Reckoning (PDR)-System oder Karteninformationen, genutzt werden müssen, um solche Anwendungen zu ermöglichen. Dabei bieten die für Lokalisierungsanwen- dungen gebräuchlichen Filteralgorithmen im Normalfall keine direkte Möglichkeit die Karteninformationen der Gebäude unmittelbar zu berücksichtigen. Diese müs- sen dementsprechend aufsetzend integriert werden.
Die Bewertung eines solchen Lokalisierungssystems wird häufig über die Genau- igkeit, Echtzeitfähigkeit sowie die Skalierbarkeit vorgenommen. Darüber hinaus spielen der Installations- sowie Wartungsaufwand, der Zugang zum System und die Kosten eine Rolle.
Aktuell werden viele Arbeiten durchgeführt, die sich mit der Lösung oder Teillösung dieser Kriterien beschäftigen. Häufig werden jedoch bei Verbesserungen in einem Bereich Nachteile in einem Anderen in Kauf genommen. So wird bei einer hohen Genauigkeit häufig spezielle Hardware genutzt, die hohe Kosten verursacht. Konkret
wird bei bestehenden kartenbasierten Algorithmen die Einbindung der Karte häufig nur durch eine hohe Bearbeitungsdauer ermöglicht. Auch ist bei vielen Arbeiten der Aufwand, mit der die nötigen Karteninformationen erzeugt werden, als hoch anzusehen.
Abschließend ist zu sagen, dass aktuell kein kartenbasiertes Lokalisierungssystem existiert, dass die genannten Kriterien vollumfänglich erfüllt.
1.2 Vorgehensweise und eigener Beitrag
Das Ziel dieser Arbeit liegt in der Entwicklung eines Lösungsansatzes, der die zuvor aufgestellten Kriterien umsetzt. Dies soll durch eine Kombination von verschiede- nen Techniken und Methoden erreicht werden, die über einen probabilistischen Algorithmus fusioniert werden. Dies sind einerseits Bluetooth Low Energy (BLE) sowie ein PDR-System, die es erlauben, eine direkte Lokalisierung durchzufüh- ren. Andererseits werden Karteninformationen zur Verbesserung der Genauigkeit genutzt.
Die absolute Positionierung der Nutzer in der Umgebung wird über BLE vorgenom- men. Dazu werden sogenannte Beacons, die periodisch ein Funksignal aussenden, im Gebäude verteilt. Ein Nutzer kann nun über entsprechende Hardware, wie einem Smartphone, die Signalstärke des ankommenden Signals ermitteln und daraus die Distanz zum Beacon ableiten. Ein Vorteil besteht darin, dass diese batteriebetrieben sind und die Anbringung somit an keine infrastrukturellen Maßnahmen gebunden ist. Außerdem kann so die Skalierbarkeit des Lokalisierungssystem sichergestellt werden, da die von den Beacons ausgesandten Signale von einer beliebigen Nut- zeranzahl mit dem eigenen Smartphone verwertet werden können.
Um die Eignung von BLE zu evaluieren, werden dazu mehrere Testreihen durchge- führt. Diese sollen vor allem den Einfluss von unterschiedlichen Gebäuden sowie verschiedener Smartphones untersuchen.
Ein weiterer wichtiger Bestandteil liegt in der Nutzung eines PDR-Systems, das aus einer Schritterkennung, einer Schrittweitenschätzung und der Bestimmung der Orientierung besteht. Mit diesem ist es möglich, ausgehend von einer Startposition, die Bewegung des Nutzers zu verfolgen. Der Vorteil in der PDR-Einbindung liegt darin, dass in Bereichen mit schlechter Beacon Abdeckung trotzdem eine Neuberech- nung der Position möglich ist. Zusätzlich können die drei genannten Bestandteile
über die üblicherweise verbauten Sensoren eines Smartphones bezogen werden.
Zunächst wird hierzu der aktuelle Stand der Technik betrachtet und aufbauend auf einer eigenen Testreihe evaluiert, um die geeignetste Methode zu implementieren.
Darüber hinaus werden zwei unterschiedliche Kartenrepräsentationen eines Ge- bäudes in die Lokalisierung eingebunden. Auf der einen Seite sind dies metrische Gebäudekarten, die eine getreue Abbildung der Räume darstellen. Auf der anderen Seite wird lediglich die Topologie der Gebäudestruktur genutzt. Dies hat eine Redu- zierung der Komplexität der Karte zur Folge und somit einen geringeren Aufwand bei der Kartenerstellung.
Die Fusion der drei genannten Einzelbausteine wird über verschiedene probabilisti- sche Algorithmen durchgeführt. Gemäß des aktuellen Standes der Forschung wird hier vorwiegend der Monte Carlo Partikel-Filter (MCPF) genutzt. Mit dieser ist es mit geringem Aufwand möglich die Kartendaten in den Filter einzubinden. Der Nachteil in diesem Vorgehen liegt darin, dass dies auf mobilen Geräten mit eher langsamen Prozessoren nicht in Echtzeit möglich ist.
Daher werden in dieser Arbeit unterschiedliche Varianten des Kalman-Filters, die die Kartendaten einerseits über Nebenbedingungen (metrische Karten) und anderer- seits über eine Reduzierung des Zustandsraumes (topologische Karten) dem Filter zugänglich machen, entwickelt und implementiert. Um die Robustheit der Filter zu erhöhen, wird darüber hinaus ein Ansatz der Multihypothesen-Lokalisierung imple- mentiert. Hierbei werden verschiedene mögliche Trajektorien parallel vorgehalten und bewertet.
Anhand von zwei verschiedenen Testszenarien werden die erstellten Filter evaluiert und mit dem aktuellen Stand der Technik verglichen.
Der eigene Beitrag liegt darin, ein neuartiges Konzept zu erarbeiten, das die Echt- zeitlokalisierung in Personen-Navigationsanwendungen innerhalb von Gebäuden ermöglicht.
In vielen Arbeiten dieses Themengebietes wird die Lokalisierung, die häufig aus einer Funklokalisierung und einem PDR-System besteht, über die Einbindung von Karteninformationen erweitert, um die gewünschte Positionsgenauigkeit zu errei- chen. Aktuell bestehende Lösungsansätze, die dem Stand der Technik entsprechen, nutzen dabei vor allem einen MCPF der metrisches Kartenmaterial in den Filter einbindet. Heutige mobile Geräte sind jedoch nicht in der Lage dies in Echtzeit zu verarbeiten.
Um eine echtzeitfähige Lokalisierung zu ermöglichen, wird daher ein auf diesem Gebiet erstmalig eingesetzter Kalman-Filter genutzt, der die metrischen Gebäudein- formationen als Nebenbedingungen in den Filter integriert. Darüber hinaus wurde im Rahmen dieser Arbeit ein neuartiger Ansatz untersucht, der die Robustheit der Lokalisierung über die Einbindung verschiedener Hypothesen der Nutzerposition erhöht. Diese werden anhand festgelegter Kriterien bewertet. Die Hypothese mit der besten Bewertung wird als aktuelle Nutzerposition angenommen.
Nur wenige Arbeiten beschäftigen sich damit die benötigten Karteninformationen an das Szenario der Indoor-Lokalisierung anzupassen. In Gebäuden, die eine klare Struktur besitzen, ist es zum Beispiel nicht nötig, den vollen Gebäudeplan zweidi- mensional zu modellieren. Vielmehr kann eine topologische Gebäudebeschreibung erstellt und genutzt werden. In dieser Arbeit wird, auf topologischen Karten auf- bauend, eine neuartige Multihypothesen-Lokalisierung vorgestellt, die ähnlich der metrischen Variante über eine parallele Verarbeitung von Kalman-Filter Instanzen mehrere mögliche Hypothesen einer Nutzerposition mitführt.
Ein weiterer Beitrag liegt in der systematischen Evaluierung der Algorithmen zur Schrittweitenschätzung. Bisherige Arbeiten in diesem Bereich betrachten die dort entwickelten Schätzverfahren häufig isoliert von anderen Entwicklungen. Daher wird in dieser Arbeit eine Testreihe durchgeführt, die über die Auswertung von verschiedenen Personen die generelle Anwendbarkeit der Algorithmen evaluiert und vergleicht.
Die eigens entwickelten Filter und die des aktuellen Standes der Technik werden darüber hinaus anhand einer großen experimentellen Basis evaluiert. Dabei wer- den vor allem die Filter in den Bewertungskriterien der Positionsgenauigkeit und der Bearbeitungsdauer in Relation zum Stand der Technik bewertet. Um möglichst allgemeine Aussagen treffen zu können, findet die Evaluation in verschiedenen Umgebungen statt. Vor allem bei der Arbeit mit Funktechnologien kann die Um- gebung das Ergebnis beeinflussen. Darüber hinaus werden in den ausgewählten Testumgebungen verschiedene Personen sowie unterschiedliche Hardware getestet, um den Einfluss dieser beiden Variationen zu untersuchen.
1.3 Aufbau der Arbeit
Kapitel 1 gibt eine Motivation und beschreibt das Themenfeld in das diese Arbeit eingegliedert ist. Darüber hinaus wird die Problemstellung beschrieben, der Lö- sungsansatz dargelegt und der eigene Betrag herausgearbeitet. In den Kapiteln 2, 3 und 4 werden die theoretischen Grundlagen beschrieben. Dies sind in Kapitel 2 die Zustandsschätzung und insbesondere der Kalman-Filter und der MCPF. Kapitel 3 beschreibt hingegen die Grundlagen verschiedener Kartendarstellungen, wäh- rend in Kapitel 4 die der Lokalisierung dargelegt werden. Diese bestehen aus der relativen Lokalisierung für Fußgänger, dem sogenannten Pedestrian Dead Recko- ning, sowie der absoluten Lokalisierung über Funktechniken. In den Kapiteln 3 und 4 wird außerdem der aktuelle Stand der Technik beschrieben und anschließend diskutiert.
In Kapitel 5 erfolgt die Auswahl und Entwicklung der Komponenten, die für das PDR-System nötig sind. Dabei wird zunächst eine Auswahl getroffen, welche Metho- den der Schritterkennung implementiert werden und diese anschließend erläutert.
Anknüpfend werden die im Stand der Forschung identifizierten Methoden zur Schätzung der Schrittweite erläutert. Die Beschreibung der Detektion von Orien- tierungsänderungen, die ebenfalls benötigt wird, findet im Anschluss statt. Zum Abschluss des Kapitels werden die einzelnen Implementierungen und Entwicklun- gen anhand von experimentellen Daten evaluiert.
Ein zentraler Punkt des Lokalisierungssystems liegt in der Nutzung von BLE zur Bestimmung der absoluten Position in der Umgebung. Daher wird in Kapitel 6 eine experimentelle Charakterisierung von BLE vorgenommen. Zunächst werden Messungen aus dem Außenbereich dargestellt, bei der versucht wurde Störeinflüsse zu reduzieren, um das generelle Verhalten zwischen Smartphone und BLE Beacon zu untersuchen. Um möglichst allgemeingültige Aussagen treffen zu können wurden verschiedene Smartphones getestet. Außerdem wird der Einfluss von verschiedenen Gebäuden auf die Messungen betrachtet und über entsprechende Messszenarien evaluiert.
Die Fusion der Teilkomponenten wird in Kapitel 7 beschrieben. Dabei werden zunächst die Filter, die mit metrischen Karten arbeiten, betrachtet. Dies sind zu- nächst der MCPF gefolgt von den Kalman-Filter Varianten. Anschließend werden
in gleicher Reihenfolge die Filter erläutert, die eine Lokalisierung mit Hilfe einer topologischen Karte vornehmen.
In Kapitel 8 werden die implementierten Filter anhand von Experimenten gegenüber gestellt. Dazu werden zunächst die beiden Umgebungen vorgestellt in denen die Testläufe durchgeführt wurden. Anschließend werden die Ergebnisse präsentiert und erläutert.
In Kapitel 9 wird eine Zusammenfassung der Arbeit gegeben bevor die Ergebnisse nochmals in der Gesamtheit diskutiert und in Bezug auf den Stand der Technik erörtert werden. Abschließend wird ein Ausblick auf mögliche Verbesserungen und Erweiterungen des Lokalisierungssystems vorgenommen.
2 Zustandsschätzung
In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Zustandsschätzung beschrieben. In Lokalisierungssystemen stellen diese Methoden den aktuellen Stand der Technik dar, um aus verrauschten Messdaten eine stabile Positionsbestimmung zu ermöglichen.
Als Grundlage für die Zustandsschätzung müssen technische Systeme in der Zu- standsraumdarstellung beschrieben werden. Dazu ist es nötig den Zustand des System über die Zustands- und die Ausgangsgleichung zu beschrieben [Lun16, S.444]:
xk = Axk−1+Buk−1, (2.1)
zk =Cxk. (2.2)
Dabei beschriebtuk−1 den Eingang und zk den Ausgang des Systems. Diese Ab- bildung über die beiden Gleichungen ist nur für lineare Systeme anwendbar. Für nichtlineare Systeme werden die beiden Gleichungen wie folgt angegeben:
xk = f(xk−1,uk−1), (2.3)
zk =h(xk). (2.4)
In der Regel lässt sich lediglich der Ausgang des Systems zk über einen Sensor messtechnisch erfassen, während der Zustandxkunbekannt ist. Unabhängig von der Art des Sensors unterliegen diese einem Rauschen, das unter anderem durch Abnutzung des Sensors oder Toleranzen in der Herstellung entstehen kann. Dies bedeutet, dass die Unsicherheit der Messung und äquivalent daraus gezogenen Rückschlüsse auf den Zustand zu einer Unsicherheit führen. Zusätzlich kann das System selbst normalerweise nicht vollständig beschrieben werden, da nicht alle Einflüsse auf das System bekannt sind oder modelliert werden können. Daher werden häufig statistische Verfahren, sogenannte Zustandsschätzer, herangezogen,
die dieses Sensorrauschen berücksichtigen und eine Schätzung des realen Zustandes vornehmen. [Lun16, S.371ff]
2.1 Bayes-Filter
Die verschiedenen Umsetzungen eines Bayes-Filters stellen solche Schätzer dar, die mit Hilfe einer statistischen Betrachtungsweise dieses Problem lösen. Dazu wird das Bayes-Theorem genutzt, um die bedingte Wahrscheinlichkeit einer Messung bei einem aktuellen Zustand zu beschreiben. Weiterhin wird das System durch einen Markov-Prozess erster Ordnung beschrieben. Dies bedeutet, dass die Vergangenheit des Zustands in der aktuellen Ausprägung enthalten ist.
Der allgemeine Ablauf eines Bayes-Filters besteht aus zwei Schritten, der Prädikation sowie der anschließenden Korrektur. Im ersten Schritt wird die a-priori Verteilung des Zustandsxk bestimmt [TBF05, S.26ff]:
p(xk|z1:k−1,u1:k) = Z
p(xk|uk,xk−1)p(xk−1|z1:k−1,u1:k−1)dxk−1
. (2.5) Hier wird der alte Zustand xk−1über die Eingangsgrößeuk−1in den neuen Zustand xk überführt.
Über die Bayes-Regel wird anschließend die Korrektur durch die Hinzunahme der aktuellen Messungzkdurchgeführt und die a-posteriori Verteilung des Zustands bestimmt:
p(xk|z1:k,u1:k) = p(zk|xk,z1:k−1,u1:k)p(xk|z1:k−1,u1:k)
p(zk|z1:k−1,u1:k) . (2.6)
2.2 Kalman-Filter
Der Kalman-Filter wurde erstmals 1960 von Rudolf-Emil Kalman für lineare zeit- kontinuierliche Systeme im Zustandsraum vorgestellt [Kal60]. Dieser stellt für den Fall eines linearen Systems und normalverteilten Prozess- sowie Messrauschens eine optimale Umsetzung des Bayes-Filter dar. Durch seine rekursive Struktur ist der Kalman-Filter sehr gut in Echtzeitsystemen einsetzbar. Ein namhaftes Beispiel für eine solche Anwendung ist das Apollo-Programm der NASA zur Landung auf dem
Mond. Dort wurde im Navigations- und Leitsystem ein Kalman-Filter genutzt. Ein weiterer Anwendungsfall ist das generelle Lokalisieren von Objekten oder Personen, zum Beispiel mit dem GPS oder über Radarsensoren [May79].
In vielen realen Systemen entspricht die zugrundeliegende Dynamik einem nicht- linearen Verhalten. Daher wurden verschiedene Erweiterungen entwickelt, wie dem Erweiterten Kalman-Filter (EKF) oder Unscented Kalman-Filter (UKF), um mit derartigen Systemen umzugehen.
System
Kalman-Filter
B
k+
wk
z
−1H
k+
vk
A
kuk xk+1 xk zk
B
k+ z
−1H
kA
k+ K
kˆ
+
x−k+1 xˆ−k
xˆk
zˆk −
• • •
•
•
Abb. 3:Blockdiagramm des Kalman-Filters (vgl. [Wen11, S. 136])
Abbildung 3 stellt die Struktur des zeitdiskreten und linearen Filters als Block- diagramm dar. Das Bild zeigt, dass die zurückgeführte Differenz aus dem aktuell vorliegendenzkund dem aufgrund des aktuellen Zustandes erwartetem Messvektor zˆk, diese wird in der Literatur häufig als Innovation bezeichnet, die Anpassung der Zustandsschätzung bestimmt. Falls keine Differenz vorliegt, wird an der Schätzung keine Änderung vorgenommen, da diese als korrekt angenommen wird.
Abbildung 4 zeigt die lineare Transformation einer Normalverteilung, wie sie beim Kalman-Filter Anwendung findet. Die Ausgangsverteilungp(x)ist auf der rechten unteren Seite zu sehen, die durch die darüber dargestellte lineare Funktion transfor-
miert wird. Die Zielverteilung p(y)auf der linken Seite ist ebenfalls normalverteilt.
p(y)
y
p(y)
x
y=g(x)
x
p(x)
Mittelwert Mittelwert
y = a x + b
p(x) Mittelwert
Abb. 4:Transformation einer Normalverteilung über eine lineare Funktion (Vgl. [TBF05, S. 55])
Der wesentliche Algorithmus des Kalman-Filters besteht entsprechend dem des Bayes-Filters aus zwei Schritten. Dies ist einerseits der Vorhersage- oder auch Prädi- kationsschritt und auf der anderen Seite der Korrekturschritt. Die Prädikation ergibt sich über das Systemmodell aus Gleichung 2.1, das um eine stochastische Störung erweitert wird:
xk = Akxk−1+Bkuk−1+wk−1. (2.7) Dabei wird der vorherige Zustand xk−1 des Systems anhand der Zustandsüber- gangsmatrix Ak in den aktuellen Zustand xk überführt. Optional kann auch eine Eingangsgrößeuk−1definiert werden, die über die SteuermatrixBk in das System eingebunden wird. Zusätzlich liegt auf dem Systemmodell ein Prozessrauschenwk. Dieses wird, wie bereits erwähnt, normalverteilt mit dem Erwartungswert0und der ProzessrauschenkovarianzQk angenommen:
p(w)˜N(0,Qk). (2.8)
Im zweiten Schritt des Algorithmus, der Korrektur, wird anhand einer Sensormes- sung eine Aktualisierung des in der Prädikation ermittelten a-priori Zustandsxk durchgeführt. Die Sensormessungzkwird dabei über die ebenfalls um eine stocha- stische Störung erweiterte Ausgangsgleichung beschrieben:
zk =Hxk+vk. (2.9)
Die MessmatrixH beschreibt den linearen Zusammenhang zwischen der Messung zk und dem Zustand xk. Die Messung wird jedoch durch einen Rauschterm vk beeinflusst. Dieses sogenannte Messrauschen ist ebenfalls normalverteilt und hat den Erwartungswert0und die Messrauschenkovarianz Rk:
p(v)˜N(0,Rk). (2.10) Aufgrund dieser zweistufigen Struktur muss bei der konkreten Beschreibung des Algorithmus zwischen der a-priori (Prädikation) und a-posteriori Schätzung (Korrek- tur) unterschieden werden. Der a-priori Zustandxˆ−k wird durch ein hochgestelltes Minus gekennzeichnet, während der a-posteriori Zustand als Ergebnis der Korrektur keine weitere Kennzeichnung besitzt. Die Aktualisierung des a-priori Zustandsxˆ−k und der zugehörigen KovarianzPk−wird über die beiden folgenden Gleichungen (2.11) und (2.12) beschrieben:
xˆ−k = Akxˆk−1+Bkuk−1, (2.11)
Pk− = AkPk−1ATk +Qk. (2.12) Der Korrekturschritt wird durch die drei folgenden Gleichungen (2.13 - 2.15) be- schrieben. Dabei wird zunächst der sogenannte Kalman-GainKkderart berechnet, dass die Kovarianz der Schätzung minimiert wird. Dieser stellt einen Gewichtungs- faktor zwischen der a-priori Zustandsschätzung xˆ−k und der bereits beschrieben Innovationzk−zˆkdar.
Kk =Pk−HkT(HkPk−HkT +Rk)−1, (2.13)
xˆk =xˆ−k +Kk(zk−Hxˆ−k ), (2.14)
Pk = (I−KkHk)Pk−. (2.15) Die Prädiktion und Korrektur müssen dabei nicht zwingend synchron durchgeführt werden. So kann es beispielsweise vorkommen, dass die Eingangsgrößeuk häufiger aktualisiert wird als die Messung des Sensorszk. In diesem Fall kann die Prädiktion ohne eine anschließende Korrektur vorgenommen werden.
2.2.1 Erweiterter Kalman-Filter
Viele Probleme im Bereich der Lokalisierung können nur über nichtlineare Zusam- menhänge beschrieben werden. Die Anwendung einer nichtlinearen Funktion auf eine Normalverteilung führt jedoch dazu, dass das Ergebnis keiner Normalvertei- lung entspricht. Ein derartiges System kann somit über den bereits vorgestellten Kalman-Filter nicht gelöst werden.
Der EKF ist eine Lösung um mit dem Kalman-Filter Nichtlinearitäten abzubilden.
Das grundlegende Prinzip hinter dem EKF liegt in einer Linearisierung des Prozess- und Messmodells um den aktuellen Arbeitspunkt über eine Taylorreihenentwick- lung der ersten Ordnung. Dabei bleibt das Prinzip des EKFs dem des diskreten Filters gleich [Jaz70].
Abbildung 5 zeigt das bereits bekannte Beispiel aus dem vorherigen Abschnitt.
Hier wird jedoch zur Demonstration des EKF die Transformation über eine nicht- lineare Funktion vorgenommen, die gemäß der Taylorreihenentwicklung erster Ordnung um den Arbeitspunkt linearisiert wird. Die linke Seite der Grafik stellt die tatsächliche Zielverteilung in grau dar. Darüber hinaus ist die daraus approximierte Normalverteilung und die über die Linearisierung propagierte Normalverteilung dargestellt.
Der neue Zustandxkwird nun nicht mehr über eine lineare Matrix gebildet, sondern über eine nichtlineare Funktion f(·), die abhängig ist vom vorherigen Zustandxk−1, der Stellgrößeuk−1und dem Prozessrauschenwk−1:
xk = f(xk−1,uk−1,wk−1). (2.16) Der Zusammenhang des Zustands xkmit der Messung zkgeschieht auch hier über eine nichtlineare Funktionh(·). Allerdings wirkt auch hier wieder das Messrauschen
p(y)
y
x
y=g(x)
x
p(x)
p(x) Mittelwert g(µ)
g(x) Mittelwert Taylor-Approx.
p(y)
p(y) Normalverteilung Mittelwert
EKF Normalverteilung EKF Mittelwert
Abb. 5: Transformation einer Normalverteilung über eine nach Taylor linearisierte Funktion (Vgl. [TBF05, S. 57])
vkauf die Messung:
zk =h(xk,vk). (2.17) Der EKF stellt im Gegensatz zur linearen Variante keinen optimalen Bayes-Filter dar, da die zugrundeliegende Linearisierung fehlerbehaftet ist und dieser Fehler in die Schätzung einfließt. Der Fehler kann gerade bei einer großen Nichtlineari- tät der Modelle oder bei einer großen Unsicherheit in der Zustandsschätzung zu Fehlschätzungen führen.
2.2.2 Unscented Kalman-Filter
Neben dem EKF stellt der Unscented Kalman-Filter eine weitere Variante dar, mit der nichtlineare Modelle, mit Hilfe derUnscented Transformation, genutzt werden können [JU97]. Grundlegend wird bei dieser Art Filter der Mittelwert und die Ko- varianz der Verteilung durch Sigma-Punkte dargestellt. Die Sigma-Punkte werden durch die nichtlineare Funktion transformiert und anschließend aus diesen der Mit- telwert und die Kovarianz der Verteilung des Zustands bestimmt. Das nichtlineare
System wird durch die bereits bekannten Gleichungen (2.16) und (2.17) abgebildet.
Der eigentliche Algorithmus unterscheidet sich jedoch zu dem des Kalman-Filters und des EKFs [TBF05, S.65ff].
Abbildung 6 zeigt anhand des bekannten Beispiels die Transformation über die nicht- lineare Funktion. In diesem Fall werden 2n+1 Sigmapunkte über die nichtlineare Funktion transformiert.nsteht dabei für die Anzahl der Dimensionen der Normal- verteilung. So entsteht eine bessere Annäherung an die tatsächliche Verteilung als bei Nutzung der Taylorreihe.
p(y)
y
x
y=g(x)
x
p(x)
p(x) Mittelwert g(x)
Sigmapunkte g(Sigmapunkte) p(y)
p(y) Normalverteilung Mittelwert
UKF Normalverteilung UKF Mittelwert
Abb. 6:Transformation einer Normalverteilung über Sigmapunkte (Vgl. [TBF05, S. 66])
Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Unscented Transformation in den Kalman- Filter einzubinden. Eine populäre Methode besteht darin, den Zustand um das Prozess- und Messrauschen zu erweitern [Wen11, S.147]:
ˆ
xak = (xkTwkTvkT). (2.18)
Die Kovarianz muss ebenfalls angepasst werden und um die Kovarianz des Pro-
zessrauschensQk und die des MessrauschensRk wie folgt erweitert werden:
Pka =
Pk 0 0 0 Qk 0 0 0 Rk
.
(2.19)
Anschließend werden für die L Einträge in dem erweiterten Zustandsvektor ˆxak 2L+1 Sigma-PunkteX[i]gemäß der skaliertenUnscented Transformationwie folgt gebildet [Jul02]:
Xk,0 =xˆk,a (2.20)
Xk,i =xˆka+q(n+λ)Pk,ia , i=1, . . . ,L
, (2.21)
Xk,i =xˆak−q(n+λ)Pk,ia , i= L+1, . . . , 2L
. (2.22)
Um aus den Sigma-Punkten die Parameter der Verteilung wiederherzustellen, wer- den die Gewichtungsfaktoren wmi für den Mittelwert und wci für die Kovarianz benötigt:
w0m = λ
n+λ, (2.23)
w0c = λ
n+λ + (1−α2+β)
, (2.24)
wmi =wci = 1
2(n+λ). (2.25)
Dabei gilt fürλ:
λ=α2(L+κ)−L. (2.26)
αundκstellen Skalierungsfaktoren dar, mit denen sich die Entfernung der Sigma- Punkte vom Mittelwert festlegen lässt. Überβlassen sich, falls bekannt, die höheren Momente der Verteilung manipulieren, wie zum Beispiel der Wölbung. β = 2 entspricht dabei einer Normalverteilung. Nach Propagation der Sigma-Punkte durch die Funktion der Prädikation f(·)wird aus den SigmapunktenXkder Zustand ˆxka,− und die KovarianzPka,−bestimmt:
ˆ xa,k− =
∑
2L i=0wmi Xk,i
,
(2.27)
Pka,− =
∑
2L i=0wci(Xk,i−xˆa,k−)(Xk,i−xˆa,k−)T
.
(2.28)
Die Korrektur wird in ähnlicher Form zur Prädikation durch die Propagation der Sigma-Punkte durch die Messfunktionh(·)durchgeführt, um den neuen Zustand
ˆ
xak und die KovarianzPkazu schätzen.
Der Vorteil des UKF gegenüber dem EKF liegt in der höheren Genauigkeit beim Umgang mit nichtlinearen Funktionen. Dies hat jedoch eine höhere Komplexität in der Berechnung zur Folge.
2.2.3 Kalman-Filter mit Nebenbedingungen
In einigen Anwendungen kommt es vor, dass der Zustandsraum eines Systems na- türlichen oder gewollten Beschränkungen unterliegt. Durch die Verarbeitung dieser zusätzlichen Information kann die Leistung des Filters üblicherweise verbessert werden. In seiner grundlegenden Form ist der Kalman-Filter jedoch nicht in der Lage diese Nebenbedingungen zu verarbeiten. Dazu stehen verschiedene Ansätze, wie der perfekten Messung, der Projektion der Schätzung oder der Nutzung einer begrenzten Verteilungsfunktion zur Verfügung [Sim10].
Ein Beispiel für eine solche Anwendung ist die Überwachung von Flugzeugmoto- ren in Hinsicht auf die Zuverlässigkeit. Die genutzten Nebenbedingungen liegen dabei darin, dass sich die Indikatoren für die Abnutzung in keinem Fall verbessern können. Weiterhin wird angenommen, dass diese sich in einem bestimmten Bereich verschlechtern und keine abrupten Sprünge machen. [Sim10]
Bei Anwendungen, in denen die Lokalisierung eine Rolle spielt, können ebenfalls Beschränkungen gelten. So sind Züge zum Beispiel an Schienen gebunden oder Schiffe auf Wasser als Fortbewegungselement angewiesen. Innerhalb eines Gebäu- des liegen diese Beschränkungen in der gegebenen Struktur des Gebäudes. So ist es nicht möglich, Wände zu passieren oder Etagen an anderen Stellen als an Treppen oder Aufzügen zu wechseln. Da sich diese Arbeit mit der Lokalisierung innerhalb von Gebäuden beschäftigt und Wände eine lineare Beschränkung darstellen, werden nur entsprechende Ansätze betrachtet.
Soll das System eine Gleichheitsnebenbedingung erfüllen, wird diese wie folgt beschrieben:
Dxk =d. (2.29)
Soll hingegen eine Ungleichheitsnebenbedingung berücksichtigt werden, ändert sich die Gleichung zu:
Dxk ≤d. (2.30)
2.2.3.1 Perfekte Messung
Eine einfache Methode Gleichheitsbedingungen innerhalb des Filters zu nutzen liegt in der Betrachtung der Bedingung als perfekte Messung. Dazu müssen die grundlegenden Systemgleichungen nicht angepasst werden. Die perfekte Messung wird als Erweiterung der Messgleichung in das System überführt [Sim06, S. 213f]:
zk d
!
= Hk D
!
xk+ vk 0
!
.
(2.31) Dabei ist zu beachten, dass das Rauschen im Fall der perfekten Messung 0 ist.
Der Nachteil dieser Variante ist, dass Ungleichungsbedingungen nicht verarbeitet werden können.
2.2.3.2 Weiche Bedingungen
Weiche Bedingungen können in Systemen sinnvoll sein, in denen diese nicht in jedem Fall eingehalten werden müssen. Dies kann zum Beispiel eine Straße mit
unbekannter Ausdehnung sein. Die Gleichung (2.31) zur Realisierung der perfekten Messung können in leicht abgewandelter Form genutzt werden [AB91]:
zk d
!
= Hk D
!
xk+ vk nk
!
.
(2.32) Der einzige Unterschied liegt in der zusätzlichen Unsicherheitnk, dem die Bedin- gung unterliegt. Die Wahl der Bedingungskovarianz hängt davon ab, wie ausgeprägt der Zustand von der Nebenbedingung abweichen darf.
2.2.3.3 Projektion der Schätzung
Die beiden bereits vorgestellten Ansätze dienen dazu Gleichheitsnebenbedingungen dem Kalman-Filter zugänglich zu machen. Mit einer Schätzungsprojektion ist dies ebenfalls möglich. Darüber hinaus können Ungleichheitsnebenbedingungen der Form (2.30) gelöst werden. Formal kann dies wie folgt beschrieben werden [Sim06, S. 216]:
˜
xk =argminx(x−xˆk)TW(x−xˆk), (2.33) unter der NebenbedingungDx˜k =doderDx˜k ≤dfür Gleichheitsnebenbedingun- gen, respektive Ungleichheitsnebenbedingungen. Dabei entspricht ˜xk dem Zustand nach der Projektion. Die Lösung dieses Optimierungsproblems ist für beide Neben- bedingungsarten gleichermaßen über den Lagrange-Multiplikator gegeben durch:
˜
xk =xˆk−W−1DT
DW−1DT−1
(Dxˆk−d)
. (2.34)
Dies ist möglich, da bei Ungleichheitsnebenbedingungen nur jene betrachtet werden, die aktiv sind. Die Inaktiven üben hingegen keinen Einfluss aus, da sie bereits erfüllt sind. Die MatrixW entspricht einer Gewichtungsmatrix, die angibt, inwiefern der Beschränkung entsprochen werden soll. Falls die Gewichtungsmatrix mitW = I initialisiert wird, entspricht dies der Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Eine weitere Variante liegt darinW mitPk−1zu belegen. Dies entspricht einer Schätzungs- projektion im Sinne der maximalen Likelihood.
Abbildung 7 zeigt den Unterschied zwischen diesen beiden Varianten. Die graue Fläche entspricht dem für die Schätzung zulässigen Bereich, während der schwarze Punkt mit der Fehlerellipse die tatsächliche aktuelle Schätzung vor der Projektion zeigt. Durch die Projektion wird die Schätzung in einen gültigen Bereich transfor-
miert. Die Variante der kleinsten Fehlerquadrate wird vom grünen Punkt und die der größten Wahrscheinlichkeit vom blauen Punkt repräsentiert.
Abb. 7:Projektion der Schätzung bei zwei Zufallsvariablen über kleinste Fehlerquadrate (grün) und die maximale Wahrscheinlichkeit (blau) (Vgl. [Sim06, S. 218])
2.2.3.4 Begrenzung der Dichtefunktion
Ein weiterer Ansatz liegt darin, die Dichtefunktion des Zustands über eine ab- geschnittene Normalverteilung zu begrenzen. Dazu wird zunächst eine normale Iteration des Kalman-Filters durchgeführt. Anschließend werden die I Nebenbe- dingungen auf den Zustand einzeln angewandt. Die Nebenbedingungen sind in folgender Form gegeben [Sim06, S. 218ff]:
ak,i ≤Dk,ixˆk ≤bk,i. (2.35) Dabei gilt ak,i < bk,i. Entgegen der Projektion der Schätzung wird der Zustand in der Grundform beidseitig begrenzt. Es ist mit kleinen Anpassungen ebenfalls mög- lich, eine einseitige Begrenzung oder eine Gleichheitsnebenbedingung zu erstellen.
Der Mittelwert der begrenzten Verteilung entspricht der aktuellen Schätzung des Zustands.
Der größte Nachteil dieser Methode liegt darin, dass zur Anwendung der Neben- bedingungen bei mehr als einer Zustandsgröße keine Korrelation zwischen diesen
vorliegen darf und entsprechend normalisiert werden müssen. Dies hat einen erhöh- ten Rechenaufwand zur Folge.
Der grundlegende Ablauf besteht darin, dass zunächst die beiden Beschränkungen in die Standardnormalverteilung transformiert werden:
ck,i = qak,iDk,ix˜k Dk,iP˜kDk,iT
,
(2.36)
dk,i = qbk,iDk,ix˜k Dk,iP˜kDk,iT
.
(2.37)
Bei der ersten Iteration miti = 1 gilt ˜xk = xˆk sowie ˜Pk = Pˆk. Anschließend wird über die beiden neu bestimmten Grenzen der Mittelwertµund die Varianzσ2der abgeschnittenen Verteilung bestimmt:
µ =
√2
√ π
exp
−c
2 k,i
2
−exp
−d
2 k,i
2
erfd
√k,i
2
−erfc
√k,i
2
,
(2.38)
σ2 =µ2+1+
√2
√ π
exp
−c22k,i
(ck,i−2µ)−exp
−d22k,i
(dk,i−2µ) erfd
√k,i
2
−erfc
√k,i
2
.
(2.39)
Anschließend müssen der Mittelwert auf die Größe des Zustands erweitert werden mit ˜zk,i = [µ 0 . . . 0]T sowie die Varianz zu Cov(z˜k,i) = σ2, 1, . . . , 1
. Mit diesen Größen lässt sich nachfolgend der Zustand ˜xk,i+1sowie die Kovarianz ˜Pk,i+1
nachiNebenbedingungen bestimmen:
˜
xk,i+1 =TW1/2pTz˜k,i+x˜k,i, (2.40)
P˜k,i+1 =TW1/2pTCov(z˜k,i)W1/2T. (2.41) T undW sind eine Rotations- beziehungsweise Translationsmatrix, die über die Singulärwertzerlegung bestimmt werden mit ˜Pk,i = TW TT. pstellt hingegen einen Vektor dar, der zur Orthogonalisierung benötigt wird und über die QR-Zerlegung bezogen wird mit p=qr W1/2T Dk,i
.
Abb. 8:Begrenzte Dichtefunktion mit zwei Zufallsvariablen
Abbildung 8 zeigt ein zweidimensionales Beispiel einer abgeschnittenen Normalver- teilung. Der schwarze Punkt und die schwarze Ellipse beschreibt den Mittelwert und die Standardabweichung der unbegrenzten Verteilung. Die transformierte Ver- teilung, die den Beschränkungen der grauen Fläche unterliegt, wird hingegen durch den blauen Punkt sowie der zugehörigen Ellipse dargestellt.
2.3 Sequenzielle Monte-Carlo-Methode
Der MCPF bildet die Verteilung des Zustands über Partikel ab. Jeder dieser M Partikel entspricht dabei einer möglichen Ausprägung des Zustands:
Xk =x[k1],x[k2], . . . ,x[kM]. (2.42) Vorteilhaft bei dieser Art Filter ist, dass es möglich ist, nichtlineare Systeme zu nutzen und darüber hinaus keine Beschränkung auf Normalverteilungen wie beim Kalman-Filter besteht. Dabei ist zu beachten, dass die wahre Verteilungsfunktion nur bei unendlich vielen Partikeln abgebildet wird. Bei einer endlichen Anzahl wird die Verteilungsfunktion approximiert, die Abweichung kann aber bei einer hinrei- chenden Anzahl der Partikel vernachlässigt werden [Wen11, S.180]. Die Anzahl ist dabei nicht festgelegt, sondern kann zur Abstimmung der Leistungsfähigkeit
des Filters genutzt werden. Bei vielen Partikeln wird eine gute Approximation der Verteilungsfunktion erreicht. Da die Berechnungen des Filters für jeden Partikel vorgenommen werden müssen, steigt jedoch der Berechnungsaufwand.
Auch hier wird anhand des eindimensionalen Beispiels die Transformation der Ver- teilung über eine nichtlineare Funktion gezeigt. Dies ist auf Abbildung 9 dargestellt.
Die Partikel sind jeweils in der Ausgangsverteilung auf der rechten Seite und in der Zielverteilung auf der linken Seite durch schwarze Striche gekennzeichnet. Die Positionen mit vielen Partikeln entsprechen dabei einer hohen Wahrscheinlichkeit.
Abb. 9:Transformation einer Normalverteilung über Partikel (Vgl. [TBF05, S. 97]) Es stehen verschiedene Varianten des Filters zur Verfügung, von denen an dieser Stelle nur der Bootstrap-Filter betrachtet wird [GSS93]. Dieser beinhaltet neben den beiden bekannten Schritten des Bayes-Filters, der Prädikation und der Korrektur, eine weitere Phase, die Neuverteilung der Partikel.
Der Ablauf des Filters besteht zunächst darin, dass zu Beginn Stichproben aus der Verteilungp(x0)generiert und zur PartikelmengeX0hinzugefügt werden:
x[km] ∼ p(x0). (2.43) In der Prädikation werden aus den Partikeln des vorherigen Schrittesx[km−]1und der
Stellgrößeuk−1neue Stichproben gezogen und dem Partikelx[km]zugeordnet:
x[km] ∼ p(xk|uk−1,x[km−]1)
. (2.44)
Ein Vorteil diese Verteilung zu nutzen liegt darin, dass diese immer bekannt ist und keinen Einschränkungen bezüglich des Systems und der Messfunktion unterliegt.
Andere Realisierungen des MCPFs unterscheiden sich unter anderem in der Art aus welcher Verteilung die Stichproben generiert werden. Hier kann zum Beispiel die Messungzkeingebunden werden.
Anschließend wird über einen partikelspezifischen Gewichtungsfaktor w[km] die Messungzkin die Partikelmenge eingebunden:
w[km] = p(zk|x[km]). (2.45) Dieser Gewichtungsfaktor wird in der Literatur häufig alsimportance factorbezeich- net.
Bei der Neuverteilung (engl.Resampling) wird die Partikelmenge durch eine neue Menge der gleichen Größe ersetzt. Dabei werden die Partikel proportional zu ihrem Gewicht aus den alten Partikeln übernommen. Dies bedeutet, dass Partikel mit einem hohen Gewicht häufiger in der neuen Menge vorkommen als jene mit einem niedrigeren Gewicht. Dies dient dazu die Diversität der Partikel zu erhalten. Ohne die Neuverteilung würden einige wenige Partikel mit einem sehr hohen Gewicht entstehen, die einen hohen Einfluss ausüben, während die Gewichte der restlichen nahezu verschwinden. Die im Kontext des Bootstrap-Filters genutzte Neuverteilung wird häufig alssampling importance resampling(SIR) bezeichnet.
3 Kartografierung von Gebäuden
Die Orientierung in unbekanntem Terrain ist für Menschen seit jeher eine komplexe und schwierige Aufgabe, die häufig unbewusst vorgenommen wird. So wird die Umgebung über die Sinnesorgane kontinuierlich aufgenommen und gespeichert.
Aus diesen Daten kann der Mensch stets Informationen über seine Lage gewinnen.
Es ist jedoch auch möglich, dieses Wissen über einen künstlichen Datenbestand in Form von Karten zu erweitern. Karten werden bereits seit dem Neolithikum (Jungsteinzeit) beispielsweise auf Tontafeln oder als Wandmalerei angefertigt und verwendet. [Koh14, S.13 ff]
In diesem Kapitel wird gezeigt, welche grundlegenden Kartendarstellungen exi- stieren und welche Ansätze bestehen, diese auf Bereiche innerhalb von Gebäuden zu übertragen. Ein Hauptaugenmerk ist dabei, dass diese für eine Lokalisierung nutzbar sind.
Gerade alte Gebäude können eine, durch Anbauten bedingte, verwinkelte Struktur besitzen, die schwierig zu überblicken ist. Aber auch neuere Gebäude mit einer großen Ausdehnung, wie zum Beispiel Einkaufszentren, sind eine Herausforderung bei der Navigation. In diesen Fällen können Gebäudekarten helfen bestimmte Orte zu finden. Dazu stehen verschiedene Repräsentationen der Karte zur Verfügung.
Ein wesentlicher Bestandteil bei der Lokalisierung innerhalb von Gebäuden mit Hilfe von Kartenmaterial besteht darin, die benötigten geographischen Informationen zu beziehen. Gebäudepläne stehen zur Zeit jedoch häufig entweder nicht oder in Form von analogen und ungenauen Plänen, wie Fluchtplänen, zur Verfügung. Um solche Pläne dennoch für die Lokalisierung nutzbar zu machen, müssen diese digitalisiert und persistent gemacht werden. Da geographische Informationen behandelt werden sollen, bietet sich hier die Nutzung eines Geographischen Informationssystems (GIS) an.
Zu den GIS zählen eine Vielzahl von Anwendungen, die unter diesem Begriff zu- sammen gefasst werden. Darunter fallen unter anderem Rauminformationssysteme
(RIS), wie zum Beispiel ein Raumnutzungsplan, der in Entwicklungsprogrammen für Regionen Anwendung findet, oder Umweltinformationssysteme, die Daten über Umweltaspekte, wie der Feinstaubbelastung in städtischen Gebieten, enthalten. All diese Bereiche haben jedoch gemein, dass sie raumbeschreibende Daten enthalten und sich in diesem Punkt von anderen Informationssystemen abgrenzen. Üblicher- weise umfasst der Aufgabenbereich eines solchen Systems die Datenerfassung, das Datenmanagement sowie deren Analyse und die Präsentation von Ergebnissen. Zur Visualisierung von Informationen, die ein GIS enthält, wird häufig eine Kartenreprä- sentation als Darstellungsform gewählt. [Kap11, S.46 f]
3.1 Koordinatensysteme
Koordinatensysteme dienen dazu, Punkte oder Objekte eindeutig mit einer Positi- on zu belegen. Diese Position wird durch Koordinaten, die abhängig von der Art des Koordinatensystems sind, angegeben. In Bezug auf Lokalisierungsanwendun- gen kann dies zum Beispiel die Position eines Nutzers oder Umgebungsobjektes sein. In diesem Abschnitt werden jene Koordinatensysteme erläutert, die für solche Anwendungen von Bedeutung sind.
3.1.1 Kartesisches Koordinatensystem
Kartesische Koordinatensysteme sind die häufigste Form der Darstellung von Punk- ten und Objekten in der Geoinformatik, da sich so viele Sachverhalte darstellen lassen. Bei einem solchen Koordinatensystem stehen die Richtungsachsen ortho- gonal zueinander. Darüber hinaus wird es im Allgemeinen in einem metrischen Raum definiert, der in der Geoinformatik häufig den euklidischen Abstand als Distanzfunktion nutzt. [Lan13, S.141f]
3.1.2 Geographische Koordinatensysteme
Eine weitere Abbildung der Geometrie eines Punktes oder Objektes stellen Po- larkoordinaten dar. Diese sind für eine Kugel eindeutig durch den Abstand zum Ursprung, der im Mittelpunkt liegt, und zwei Winkel beschrieben. Falls die Kugel
einen konstanten Radius besitzt, kann dieser als konstant angenommen und voll- ständig durch die zwei Winkel dargestellt werden. Diese werden in Bezug auf die Erde geographische Breite und Länge genannt. [Lan13, S.143]
Da die Darstellung der Erde als Kugel in vielen Fällen unzureichend ist, wird diese häufig als Ellipsoid beschrieben. Dieser stellt eine bessere Annäherung an die Form der Erde dar, da diese nicht gleichförmig, sondern neben anderen Abweichungen zum Beispiel an den Polen abgeflacht ist [Lan13, S.159]. Ein Beispiel für ein solches Ellipsoid ist auf Abbildung 10 dargestellt. Für verschiedene Regionen der Erde stel- len unterschiedliche Ellipsoide eine bessere Approximation der Begebenheiten dar, so dass hier jeweils andere Referenzellipsoide benutzt werden. Weltweit bedeutend ist das Referenzellipsoid des World Geodetic System 1984 (WGS 84), da dieses die Grundlage für GPS bildet.
ϕ
xe
ye ze
λ
Abb. 10:Erdellipsoid (Vgl. [Wen11, S.30])
3.1.3 UTM-Koordinatensystem
Über geodätische Abbildungen können die polaren Koordinaten in ein kartesisches Koordinatensystem transformiert werden. Dazu wird die gekrümmte Erdoberfläche auf eine zweidimensionale Ebene abgebildet. Das ältere Gauß-Krüger-System stellt ein Beispiel für eine solche Abbildung dar. Dieses wird aktuell vom Universal Transverse Mercator (UTM)-System abgelöst.