MATHEMATISCHES INSTITUT SS 2006 DER UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN
P. Schauenburg
L¨ osungen zur ” Funktionentheorie“-Klausur
1. a) Sei G⊂ C ein Gebiet und f :G→C holomorph und nicht konstant.
Dann besitzt |f| kein lokales Maximum.
b) (fn) konvergiert kompakt gegen f :⇔ F¨ur jedes Kompaktum K ⊂U konvergiert (fn|K) gleichm¨aßig gegenf|K.
2. a) Richtig.
b) Falsch. (Gegenbeispiel: f :C∗ →C, z 7→ 1z)
c) Falsch. (Holomorphe Funktionen sind winkeltreu.)
d) Richtig. (z 7→ (cay−1(z))12, wobei cay :H →E die Cayley-Abbildung ist.)
e) Richtig.
f) Falsch. (Ist U ein Gebiet, so ist M(U) K¨orper, andernfalls ist M(U) kein Identit¨atsring.)
3. Da¯ f keine Nullstellen hat, ist 1f : C \Z → C wohl definiert. Es gilt:
¯¯f(z)1
¯¯
¯≤ 1c f¨ur alle z ∈C\Z, d. h. 1f ist beschr¨ankt. DaZ ⊂C diskret und abgeschlossen ist, l¨asst sich 1f auf ganz C fortsetzen. Nach dem Satz von Liouville ist 1f konstant, also auch f.
4. Es ist X∞
n=−∞
µ2|n| −n−2 2n+ 1
¶n zn =
X−1
n=−∞
µ−3n−2 2n+ 1
¶n zn+
X∞
n=0
µ n−2 2n+ 1
¶n zn=
= X∞
n=1
µ−2n+ 1 3n−2
¶n wn+
X∞
n=0
µ n−2 2n+ 1
¶n zn.
mit w := 1z. Der Konvergenzradius von X∞
n=1
µ−2n+ 1 3n−2
¶n
wn betr¨agt nach Cauchy-Hadamard 1
lim sup¯
¯−2n+1
3n−2
¯¯ = 3
2 (d. h. die Reihe konvergiert f¨ur
¯¯1
z
¯¯ < 32), der Konvergenzradius von X∞
n=0
µ n−2 2n+ 1
¶n
zn ist 1 lim sup¯
¯n−2
2n+1
¯¯ = 2. Also konvergiert
X∞
n=−∞
µ2|n| −n−2 2n+ 1
¶n
zn auf A2
3,2(0).
5. a) Seiε >0, so dass Bε(a)⊂U. Nach dem Residuensatz ist Resa(f0) = 1
2πi Z
∂Bε(a)
f0(z)dz = 0.
b) Es gilt g0 =g·f0, also f0 = gg0.
• H¨atte g bei a eine hebbare Singularit¨at, dann w¨are auch gg0 bei a hebbar, was der Tatsache widerspricht, dass f0 beia eine Pol hat.
• H¨atte g bei a einen Pol der Ordnung m ≥ 1, dann ergibt sich durch
0= Resa) a(f0) = Resa
µg0 g
¶
=m ein Widerspruch.
Folglich besitzt g in a eine wesentliche Singularit¨at.
6. z2−z−2 hat die (einfachen) Nullstellen−1 und 2, die beide inB3(0) liegen.
Nach dem Residuensatz ist Z
∂B3(0)
z−1
z2−z−2dz = 2πi µ
Res−1
µ z−1 z2−z−2
¶
+ Res2
µ z−1 z2 −z−2
¶¶
=
= 2πi
µ −1−1
2·(−1)−1 + 2−1 2·2−1
¶
= 2πi µ2
3+ 1 3
¶
= 2πi.
7. (z2 + 2z + 2)2 hat die beiden (doppelten) Nullstellen −1 +i und −1−i, von denen nur −1 +i in Hliegt.
Z∞
−∞
t
(t2+ 2t+ 2)2 dt= 2πiRes−1+i
µ z
(z2+ 2z+ 2)2
¶
=
= 2πiRes−1+i
à z
(z+1+i)2
(z−(−1 +i))2
!
=
= 2πi· (z+ 1 +i)2−z·2(z+ 1 +i) (z+ 1 +i)4
¯¯
¯¯
z=−1+i
=
= 2πi· i
4 =−π 2.
8. a) F¨ur allez ∈∂Eist|z5−z−1| ≤3<4 =| −4z2|. Nach dem Satz von Rouch´e hat z5−4z2−z−1 genauso viele Nullstellen in Ewie −4z2, n¨amlich zwei.
b) F¨ur alle z ∈ ∂B2(0) ist |z5| = 32 > 19≥ | −4z2−z−1|. Nach dem Satz von Rouch´e hatz5−4z2−z−1 genauso viele Nullstellen inB2(0) wie z5, n¨amlich f¨unf.
