Kapitel VI Funktionentheorie x1 Holomorphe Funktionen

Funktionentheorie

§ 1 Holomorphe Funktionen

In diesem Abschnitt sollen komplexwertige Funktionen auf Gebieten G ⊂ C untersucht werden.

Beispiele :

1. Die Konjugation c : z 7→ z stellt eine Spiegelung an der reellen Achse dar:

c(x + jy) := x − jy.

Sie ist nat¨ urlich auf ganz C definiert und bijektiv, mit c ◦ c(z) = z.

2. Sei a = α + jβ eine feste komplexe Zahl ̸ = 0. Die Abbildung H

: C → C mit H

(z) := a · z ist C -linear, und damit erst recht R -linear.

Die komplexen Zahlen 1 und j bilden eine Basis A von C ¨ uber R . Wir wollen H

bez¨ uglich dieser Basis beschreiben. Offensichtlich gilt:

H

(1) = α · 1 + β · j, H

(j) = ( − β) · 1 + α · j.

F¨ ur z = x + jy ∈ C sei [z]

= (x, y)

die Koordinatendarstellung von z bez¨ uglich A. Dann ist [H

(z)]

= M

(H

) ◦ [z]

, mit

M

(H

) = ([H

(1)]

, [H

(j)]

) =

(

α − β

β α

)

. Wir haben das schon einmal in Kapitel III, § 2 (Seite 105) gesehen.

Man kann auch sagen: eine R -lineare Abbildung C → C ist genau dann C -linear, wenn ihre Matrix die gerade beschriebene spezielle Gestalt besitzt.

Schreibt man a in der Form a = r · e

, mit r > 0 und 0 ≤ t < 2π, so setzt sich H

aus der Drehung um den Winkel t und der Streckung um den Faktor r zusammen, ist also eine

” Drehstreckung“. Weil wir a ̸ = 0 vorausgesetzt haben, ist H

bijektiv, mit (H

)

= H

.

3. Sei f (z) := z

. Diese Funktion kann man am besten verstehen, wenn man z in Polarkoordinaten schreibt: z = r · e

. Dann ist n¨ amlich

f(z) = r

· e

= r

· (cos(2t) + j sin(2t)).

Der Abstand vom Nullpunkt wird quadriert und der Winkel verdoppelt. Dadurch wird z.B. der Sektor G := { z = r · e

: r > 0 und 0 < t < θ } auf den verdoppelten Sektor

f (G) = { w = ϱ · e

: ϱ > 0 und 0 < s < 2θ } abgebildet.

pppppppppppppppppppppp

ppp pppppppp

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G −→

pppppp pppppppp

pppp pp pppp pp pppp ppp pppp pppp pppp pppp p pppp pppp p

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f(G)

Wie sieht es mit der Umkehrabbildung aus? Ist w = r · e

, so wollen wir nat¨ urlich

√ w := √

r · e

setzen. Aber es ist auch w = r · e

, also k¨ onnten wir auch

√ w = √

r · e

= − √

r · e

setzen. Die Wurzel ist nicht eindeutig bestimmt, und wir haben keine M¨ oglichkeit, eine der beiden Wurzeln auszuzeichnen. (Im Reellen k¨ onnen wir die positive Wurzel w¨ ahlen, aber im Komplexen gibt es keine positiven Zahlen.)

4. Komplexe Polynome: p(z) := a

z

+ · · · + a

z + a

.

p(z) ist auf der gesamten komplexen Ebene definiert und stetig, und aus dem Fun- damentalsatz der Algebra folgt:

p(z) besitzt n Nullstellen z

, . . . , z

, und man kann dann schreiben:

p(z) = a

(z − z

) · (z − z

) · . . . · (z − z

).

5. Rationale Funktionen: R(z) := p(z)

q(z) , mit Polynomen p und q.

Da p(z) und q(z) beide in Linearfaktoren zerfallen, kann man so lange k¨ urzen, bis Z¨ ahler und Nenner keine gemeinsame Nullstelle mehr haben. Wir nehmen an, daß p und q schon selbst diese Eigenschaft besitzen. Dann nennt man jede Nullstelle des Nenners q(z) eine Polstelle der rationalen Funktion R. Offensichtlich ist R(z) außer in den endlich vielen Polstellen ¨ uberall auf C definiert und stetig.

Die einfachste rationale Funktion mit einer Polstelle ist die Inversion I(z) := 1

z . In Polarkoordinaten sieht das so aus: r · e

7→ 1

r · e

. Man kann diese Abbildung zusammensetzen aus der Spiegelung am Einheitskreis s : z 7→ 1

z und der Konjugation

c : z 7→ z.

s

z

0 1

1 z

6. Eine spezielle Klasse von rationalen Funktionen bilden die (gebrochen) linearen Transformationen:

T (z) = az + b

cz + d , mit ad − bc ̸ = 0.

Wir unterscheiden 2 F¨ alle:

1. Fall: c = 0.

Setzt man A := a

d und B := b

d , so erh¨ alt man die affin-lineare Funktion T (z) = A · z + B,

die sich aus einer Drehstreckung und einer Translation zusammensetzt.

2. Fall: c ̸ = 0.

Setzt man diesmal A := bc − ad

c und B := a

c , so ist A · 1

cz + d + B = (a(cz + d) + (bc − ad) c(cz + d)

= acz + ad + bc − ad c(cz + d)

= az + b

cz + d = T (z).

Also setzt sich T aus affin-linearen Funktionen und der Inversion zusammen.

Behauptung:

Eine lineare Transformation T (z) = az + b

cz + d mit ac − bd ̸ = 0 bildet Kreise und Geraden wieder auf Kreise oder Geraden ab.

Beweisidee: Es reicht, affin-lineare Funktionen und die Inversion zu betrachten.

1) Bei affin-linearen Funktionen ergibt sich die Behauptung aus der Elementargeo- metrie.

2) Nun sei w = I (z) = 1

z die Inversion. Man kann zeigen, daß jede Gerade und jeder Kreis eine Menge M der Gestalt

M = { z ∈ C | αzz + cz + cz + δ }

ist, mit α, δ ∈ R , c ∈ C und cc > αδ. Eine Gerade liegt genau dann vor, wenn α = 0 ist.

Da z = 1

w ist, gilt f¨ ur z ∈ M : α ww + c

w + c

w + δ = 0.

Da w ̸= 0 sein muß, k¨ onnen wir mit ww multiplizieren und erhalten:

α + cw + cw + δww = 0.

Das Bild von M ist wieder eine Menge vom gew¨ unschten Typ.

7. Komplexe Potenzreihen: f (z) =

∑∞ n=0

c

(z − a)

.

Zu einer solchen Potenreihe geh¨ ort der Konvergenzradius R. Im Innern der Kreis- scheibe D

(a) = { z ∈ C | | z − a | < R } konvergiert f (z) absolut und gleichm¨ aßig (gegen eine stetige Funktion), außerhalb von D

(a) divergiert die Reihe. Mit der Redeweise

” im Innern“ ist gemeint: auf jeder kompakten Menge K ⊂ D

(a).

Ein wichtiges Beispiel ist die komplexe Exponentialfunktion exp(z) :=

∑∞ n=0

z

n! .

F¨ ur reelles x ist exp(x) = e

die bekannte Exponentialfunktion, und f¨ ur rein ima- gin¨ ares z = jy gilt die Eulersche Formel:

exp(j y) = cos y + j sin y.

Wir wollen jetzt die komplexe Exponentialfunktion f¨ ur beliebige Argumente berech- nen.

Behauptung: F¨ ur x ∈ R und z ∈ C ist exp(x + z) = exp(x) · exp(z).

Beweis: Sei x ∈ R fest gew¨ ahlt. Weil die Exponentialreihe auf ganz C absolut und lokal gleichm¨ aßig konvergiert, sind

f

(z) := exp(x + z)

und f

(z) := exp(x) · exp(z)

zwei Potenzreihen, die ebenfalls auf ganz C gegen stetige Funktionen konvergieren.

(beliebige Umordnungen sind erlaubt!)

Sei f (z) := f

(z) − f

(z). Dann ist f(y) ≡ 0 f¨ ur y ∈ R . Und nach Konstruktion ist f(z) wieder eine konvergente Potenzreihe:

f (z) =

∑∞ n=0

c

z

.

Weil f (0) = 0 ist, muß c

= 0 sein. Wir nehmen an, es sei f (z) ̸≡ 0. Dann muß es ein k > 0 geben, so daß gilt:

c

= c

= . . . = c

= 0 und c

̸ = 0.

Dann ist

f(z) = c

z

+ c

z

+ · · · = z

· (c

+ h(z)),

wobei h(z) = c

z + c

z

+ · · · wieder eine konvergente Potenzreihe mit h(0) = 0 ist.

Also ist c

+ h(0) ̸= 0, und aus Stetigkeitsgr¨ unden muß es ein ε > 0 geben, so daß c

+ h(x) ̸= 0 f¨ ur x ∈ R und | x | < ε ist. Das bedeutet, daß f (x) f¨ ur x ∈ R und

| x | < ε nur bei x = 0 eine Nullstelle besitzt. Aber das ist ein Widerspruch zur Annahme!

Nun folgt sofort:

(a) exp(z + w) = exp(z) · exp(w) f¨ ur alle z, w ∈ C

(b) exp(x + jy) = exp(x) · exp(jy) = e

· (cos(y) + j sin(y)).

(c) exp ist periodisch, mit der Periode 2π j.

Beweis: Zu (a): H¨ alt man z fest, so stimmen die Funktionen g

(w) := exp(z + w) und g

(w) := exp(z) · exp(w) auf R uberein, wie wir oben gesehen haben. Und mit ¨ der gleichen Argumentation wie oben kann man daraus folgern, daß g

und g

sogar auf ganz C ubereinstimmen. ¨

Die Folgerungen (b) und (c) sind nun trivial.

Definition:

Sei U ⊂ C offen. Eine Funktion f : U → C heißt in z

∈ U komplex differenzierbar, falls es eine Funktion ∆ : U → C gibt, so daß gilt:

1. ∆ ist in z

stetig.

2. F¨ ur z ∈ U ist f (z) = f (z

) + ∆(z) · (z − z

).

Den Wert f

(z

) := ∆(z

) nennt man die (komplexe) Ableitung von f in z

.

Differenzierbarkeits-Kriterien

Sei U ⊂ C offen, z

∈ U ein Punkt und f : U → C eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen ¨ aquivalent:

1. f ist in z

komplex differenzierbar.

2. f ist (als Abbildung von R

nach R

) reell differenzierbar, und die reelle Ab- leitung Df(z

) ist C -linear.

3. f = g + jh ist in z

reell differenzierbar, und es gelten die

Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

∂g

∂x (z

) = ∂h

∂y (z

) und ∂g

∂y (z

) = − ∂h

∂x (z

).

Ist f in z

komplex differenzierbar, so gilt:

f

(z

) := lim

z→z0

f(z) − f (z

)

z − z

= f

(z

) = − jf

(z

).

Beweis:

(1) = ⇒ (2) :

Ist f in z

komplex differenzierbar, so ist

f(z) = f(z

) + ∆(z) · (z − z

), mit einer in z

stetigen Funktion ∆.

Setzen wir L(w) := ∆(z

) · w und r(w) := (∆(z

+ w) − ∆(z

)) · w, so ist L eine C -lineare (und damit erst recht R -lineare) Abbildung, und es gilt:

1. f(z) = f(z

) + L(z − z

) + r(z − z

).

2. lim

w→0

r(w)

| w | = lim

w→0

(∆(z

+ w) − ∆(z

)) · w

| w | = 0.

Also ist f in z

reell differenzierbar, und Df(z

) = L ist C -linear.

(2) = ⇒ (3) : Wir schreiben

f (z) = g(z) + jh(z),

mit reellwertigen Funktionen g und h. Ist f in z

total (reell) differenzierbar und Df(z

) C -linear, so gibt es eine komplexe Zahl c = α + jβ mit Df (z

)(w) = c · w. Die reelle Funktionalmatrix von f in z

stimmt demnach mit der Matrix M = M (H

) ¨ uberein, d.h.

es ist

α − β

β α

)

=

(

g

(z

) g

(z

) h

(z

) h

(z

)

)

.

Also muß gelten:

h

(z

) = − g

(z

) und h

(z

) = g

(z

).

(3) = ⇒ (1) :

Ist f = g + j h in z

reell differenzierbar, mit h

(z

) = − g

(z

) und h

(z

) = g

(z

), so folgt:

L(a + jb) := Df(z

)(a + jb) = a · Df (z

)(1) + b · Df (z

)(j )

= a · (g

(z

) + jh

(z

)) + b · (g

(z

) + jh

(z

))

= a · (g

(z

) + jh

(z

)) + b · ( − h

(z

) + jg

(z

))

= a · f

(z

) + b · j · (f

(z

))

= (a + jb) · f

(z

).

Also ist L eine C -lineare Abbildung. Wir setzen

∆(z) :=







f(z) − f(z

)

z − z

f¨ ur z ̸ = z

, f

(z

) f¨ ur z = z

.

Aus der Darstellung f (z) = f (z

) + L(z − z

) + r(z − z

) folgt f¨ ur z ̸ = z

:

∆(z) = 1

z − z

· L(z − z

) + r(z − z

)

z − z

→ L(1) = f

(z

), f¨ ur z → z

.

Also ist ∆ in z

stetig und f (z) = f (z

) + ∆(z) · (z − z

) f¨ ur alle z. Damit ist f in z

komplex differenzierbar.

Offensichtlich ist dann f

(z

) = ∆(z

) = Df (z

)(1) = f

(z

) und f

(z

) = jf

(z

).

Rechenregeln f¨ ur die komplexe Differenzierbarkeit

f, g : U → C seien beide in z

∈ U komplex differenzierbar, a, b ∈ C seien Konstan- ten. Dann gilt:

1. a · f + b · g und f · g sind ebenfalls in z

komplex differenzierbar, mit (a · f + b · g)

(z

) = a · f

(z

) + b · g

(z

)

und (f · g)

(z

) = f

(z

) · g(z

) + f (z

) · g

(z

).

2. Ist g(z

) ̸ = 0, so ist auch noch g(z) ̸ = 0 nahe z

, f

g in z

komplex differen- zierbar und

f g

)_′

(z

) = f

(z

) · g(z

) − f(z

) · g

(z

) g(z

)

.

3. Ist f in w

:= g(z

) komplex differenzierbar, so ist f ◦ g in z

komplex diffe- renzierbar, und es gilt:

(f ◦ g)

(z

) = f

(w

) · g

(z

).

Der Beweis geht genauso wie im Reellen.

Definition:

Sei M ⊂ C eine beliebige Teilmenge und f eine auf M definierte komplexwertige Funktion. Ist f in jedem Punkt von M komplex differenzierbar, so heißt f auf M komplex differenzierbar.

Beispiele :

1. Sei f (z) := z

, z

∈ C beliebig. Dann ist

f(z) − f(z

) = z

− z

= (z − z

) ·

i=0

z

z

. Also existiert

z

lim

f (z) − f (z

)

z − z

= lim

z→z0

∑n i=0

z

z

= n · z

, f ist in z

komplex differenzierbar, mit f

(z

) = nz

.

Da z

beliebig war, ist f(z) = z

auf ganz C komplex differenzierbar und f

(z) = n · z

.

2. Die Polynome p(z) =

∑n i=0

a

z

sind auf ganz C komplex differenzierbar.

3. Rationale Funktionen sind auf ihrem ganzen Definitionsbereich (also außerhalb ihrer Polstellen) komplex differenzierbar.

4. exp(z) ist gegeben durch exp(x + jy) = e

(cos y + j sin y). Also ist exp = g + jh, mit g(x + jy) = e

cos y

und h(x + jy) = e

sin y.

Offensichtlich ist dann g

(x+jy) = e

cos y = h

(x+jy) und g

(x+jy) = − e

sin y =

− h

(x + jy). Da die Cauchy-Riemannschen DGLn erf¨ ullt sind, ist exp komplex differenzierbar und

exp

(z) = exp

(z) = exp(z).

Definition:

Sei M ⊂ C eine beliebige Teilmenge und f eine auf M definierte komplexwertige Funktion. f heißt auf M holomorph, wenn es zu jedem Punkt z ∈ M eine offene Umgebung W ⊂ C und eine auf ganz W komplex differenzierbare Funktion F gibt, so daß F |

= f |

ist.

Ist also f auf einer offenen Menge komplex differenzierbar, so ist f dort auch holomorph.

Eine reellwertige Funktion auf C kann – wenn sie nicht konstant ist – niemals holomorph sein. Um das einzusehen, m¨ ussen wir etwas ausholen:

Charakterisierung konstanter Funktionen

Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen

¨ aquivalent:

1. f ist konstant.

2. f ist auf G holomorph, und es ist f

(z) ≡ 0.

Beweis: (1) = ⇒ (2) ist trivial.

(2) = ⇒ (1) : Wegen f

(z) = g

(z) + jh

(z) und wegen der G¨ ultigkeit der Cauchy- Riemmanschen DGLn ist Df(z) = 0 f¨ ur alle z ∈ G. Aus der reellen Analysis folgt dann, daß f auf G konstant ist. (Kapitel IV, § 7, Seite 88)

Nun folgt:

Funktionen mit reellen oder imagin¨ aren Werten

Sei G ⊂ C ein Gebiet. Nimmt eine holomorphe Funktion f : G → C nur reelle oder nur rein imagin¨ are Werte an, so ist sie konstant.

Beweis: Nimmt etwa f = g + jh nur reelle Werte an, so ist h(z) ≡ 0, also g

= h

= 0 und g

= − h

= 0. Dann ist f

(z) ≡ 0 und f konstant.

Ist g(z) ≡ 0, so schließt man analog.

Folgerung

Ist f : G → C holomorph und | f | konstant, so ist auch f selbst konstant.

Beweis: Sei f f = | f |

konstant. Ist f (z

) = 0 f¨ ur ein z

, so ist f(z) ≡ 0. Ist f(z) ̸ = 0 f¨ ur alle z ∈ G, so ist f(z) = 1

f (z) · | f (z) |

holomorph. Aber dann m¨ ussen auch die Funktionen Re (f ) =

(f + f ) und j Im (f) =

(f − f) holomorph sein. Das geht nur, wenn Re (f) und Im (f ) konstant sind, also auch f selbst.

Beispiel :

Sei f(z) := | z |

= z z. Dann ist ¯ f(z) = f (0) + ∆(z) · (z − 0), wobei ∆(z) := ¯ z stetig in 0 ist. Also ist f in z = 0 komplex differenzierbar.

Aber weil f nur reelle Werte annimmt, kann f in z = 0 nicht holomorph sein.

Das formale Rechnen im Komplexen ist meist viel einfacher als der Umweg ¨ uber’s Reelle!

Dennoch liefern reelle Betrachtungen manchmal zus¨ atzliche Informationen:

Holomorphe Funktionen sind orientierungstreu

Sei U ⊂ C offen, f : U → C holomorph und f

(z) ̸ = 0 f¨ ur alle z ∈ U. Dann ist f als reelle Abbildung orientierungserhaltend.

Beweis: Wir m¨ ussen die Funktionaldeterminante ausrechnen:

J

(z) = det

(

g

(z) g

(z) h

(z) h

(z)

)

= det

(

g

(z) g

(z)

− g

(z) g

(z)

)

= g

(z)

+ g

(z)

= | f

(z) |

> 0.

Zum Schluß dieses Paragraphen wollen wir noch komplexe Differentialformen betrachten.

Sei U ⊂ C offen. Auf U gibt es 1-Formen ω = a dx + b dy und 2-Formen Ω = c dx ∧ dy, mit reellwertigen differenzierbaren Koeffizienten a, b und c.

Sind ω

, ω

zwei 1-Formen auf U , so wird die komplexwertige 1-Form ω := ω

+ jω

auf U definiert durch

ω(z, v) := ω

(z, v) + j · ω

(z, v),

f¨ ur Tangentialvektoren (z, v). komplexwertige 2-Formen Ω = Ω

+ jΩ

werden analog definiert.

Dann kann man komplexwertige Differentialformen auf naheliegende Weise addieren und mit komplexwertigen Funktionen multiplizieren. Ist f = g + jh und ω = ω

+ jω

, so ist

f · ω = (gω

− hω

) + j(gω

+ hω

).

Jede komplexwertige 1-Form besitzt eine Darstellung ω = f

dx + f

dy, mit komplexwer- tigen Funktionen f

, f

als Koeffizienten. Man rechnet sofort nach, daß diese Darstellung eindeutig ist. Analog kann jede komplexwertige 2-Form in der Gestalt Ω = f dx ∧ dy ge- schrieben werden, mit einer eindeutig bestimmten komplexwertigen Funktion f. Schließ- lich ist

(f

dx + f

dy) ∧ (g

dx + g

dy) = (f

g

− f

g

) dx ∧ dy.

Ist f = g + jh eine komplexwertige reell differenzierbare Funktion, so setzt man df :=

dg + jdh. Z.B. ist dz = dx + jdy und dz = dx − jdy.

Ist ω = ω

+jω

eine komplexwertige 1-Form, so setzt man dω := dω

+j dω

. Offensichtlich

ist dann ddf = 0.

Hilfssatz

Komplexwertige 1-Formen und 2-Formen besitzen eindeutige Darstellungen ω = u dz + v dz

und Ω = w dz ∧ dz,

mit komplexwertigen Funktionen u, v und w als Koeffizienten.

Beweis:

1) Es ist

dx = 1

2 (dz + dz) und dy = 1

2j (dz − dz).

Also kann man jede 1-Form als Linearkombination von dz und dz schreiben.

Ist 0 = u dz + v dz = (u + v) dx + j(u − v) dy, so muß u + v = 0 und u − v = 0 sein, also u = v = 0. Das liefert die Eindeutigkeit.

2) Sei Ω = f dx ∧ dy eine 2-Form. Dann ist Ω = f · 1

4j (dz + dz) ∧ (dz − dz) = 1

2 f j dz ∧ dz,

denn es ist dz ∧ dz = (dx + jdy) ∧ (dx + jdy) = j(dx ∧ dy + dy ∧ dx) = 0 und analog dz ∧ dz = 0.

Die Eindeutigkeit ist in diesem Fall trivial.

Definition:

Sei f eine komplexwertige (reell) differenzierbare Funktion. Dann werden die soge- nannten Wirtinger-Ableitungen f

und f

definiert durch

df = f

dx + f

dy = f

dz + f

dz.

Formel f¨ ur die Wirtinger-Ableitungen

f

= 1

2 (f

− jf

) und f

= 1

2 (f

+ jf

).

Beweis: Es ist

df = f

(dx + jdy) + f

(dx − jdy), also

f

= f

+ f

und f

= j(f

− f

).

L¨ ost man diese Gleichungen nach f

und f

auf, so erh¨ alt man das gew¨ unschte Ergebnis.

Kurzform der CR-DGLn

Sei U ⊂ C offen, f : U → C reell differenzierbar.

f ist genau dann holomorph, wenn f

(z) ≡ 0 auf U ist.

Beweis: Es ist

f

= 1

2 (f

+ jf

) = 1

2 [(g

− h

) + j(h

+ g

)], also f

≡ 0 ⇐⇒ g

= h

und g

= − h

.

Folgerung

Ist f : U → C holomorph, so ist df = f

dz und d(f dz) = 0.

Beweis: Ist f holomorph, so ist f

= 0 und f

= 1

2 (f

− jf

) = 1

2 · 2f

= f

.

Also ist df = f

dz + f

dz = f

dz und d(f dz) = df ∧ dz = f

dz ∧ dz = 0.

§ 2 Integration im Komplexen

Definition:

Sei f = g + jh : [a, b] → C eine st¨ uckweise stetige komplexwertige Funktion. Dann erkl¨ art man das Integral ¨ uber f durch

∫ _b

a

f(t) dt :=

∫ _b

a

g(t) dt + j

∫ _b

a

h(t) dt.

Es gelten die bekannten Regeln:

Rechenregeln f¨ ur komplexe Integrale

1. Das Integral ist linear, d.h. f¨ ur Funktionen f

, f

und Konstanten c

, c

∈ C

ist

b a

(c

f

(t) + c

f

(t)) dt = c

·

a

f

(t) dt + c

·

a

f

(t) dt.

2. Es ist

b a

f (t) dt =

∫ _b

a

f(t) dt.

3. Ist F differenzierbar und F

= f , so ist

∫ _b

a

f (t) dt = F (b) − F (a).

4. Ist φ : [c, d] → [a, b] stetig, st¨ uckweise stetig differenzierbar und streng monoton wachsend, so ist

b a

f (t) dt =

∫ _d

c

f (φ(s))φ

(s) ds.

5. Es gilt die Absch¨ atzung

|

a

f(t) dt | ≤

a

| f(t) | dt.

Beweis: Die meisten Aussagen sind trivial. Durch Zerlegung in Realteil und Ima- gin¨ arteil lassen sie sich sofort auf die entsprechenden S¨ atze aus der reellen Integrations- theorie zur¨ uckf¨ uhren.

Wir beschr¨ anken uns hier auf einen Beweis der letzten Aussage, die im Komplexen nicht ganz so selbstverst¨ andlich ist:

Sei z :=

∫ _b

a

f(t) dt = r · e

, mit r > 0. (Im Falle z = 0 ist nichts zu zeigen)

Dann ist e

· z = r = |

a

f(t) dt | , also

|

a

f(t) dt | = Re

(

e

·

a

f(t) dt

)

=

∫ _b

a

Re (e

· f (t)) dt.

Da f¨ ur eine komplexe Zahl w = u + jv stets Re (w) = u ≤ √

u

+ v

ist und die gew¨ unschte Ungleichung f¨ ur reellwertige Funktionen bekannt ist, folgt:

|

a

f (t) dt | =

∫ _b

a

Re (e

· f(t)) dt ≤

a

| e

· f (t) | dt =

∫ _b

a

| f (t) | dt.

Weil die komplexe Differenzierbarkeit formal genauso wie die reelle Differenzierbarkeit in einer Ver¨ anderlichen definiert worden ist, ließen sich viele Rechenregeln ganz einfach ins Komplexe ¨ ubertragen.

Wir wollen nun auch nach dem Muster der reellen Analysis einer Ver¨ anderlichen komplexe Integrale

∫ _w

z

f (z) dz einf¨ uhren. Dabei stoßen wir auf gewisse Schwierigkeiten. Der Defi- nitionsbereich der zu integrierenden Funktion ist meist ein Gebiet. Die Integralgrenzen z und w sind also nicht die Endpunkte eines Intervalls, und i.a. auch nicht die Endpunkte einer in G verlaufenden Strecke. Es bietet sich an, stattdessen ¨ uber einen Weg zu inte- grieren, und das ist genau das, was wir tun werden. Als Integrationswege benutzen wir wie ¨ ublich st¨ uckweise stetig differenzierbare Wege α : [a, b] → G.

Wir k¨ onnen auf den Kalk¨ ul der Integration von 1-Formen zur¨ uckgreifen. Allerdings m¨ ussen wir uns vergewissern, daß die komplexen Differentialformen nicht zu neuen Komplikatio- nen f¨ uhren.

Sei ω = ω

+ jω

eine komplexwertige 1-Form auf dem Gebiet G. Dann soll α

(ω) eine komplexwertige 1-Form auf [a, b] sein, mit

α

(ω)(t, 1) = ω(α(t), Dα(t)(1)) = ω(α(t), α

(t)).

Damit wird sofort klar:

1. α

(ω

+ jω

) = α

ω

+ j α

ω

.

2. Ist ω = f dz, mit einer stetigen Funktion f, so ist α

(f dz) = (f ◦ α) · α

dt.

Zum Beweis: α

(ω

+ jω

)(t, 1) = (ω

+ jω

)(α(t), α

(t))

= ω

(α(t), α

(t)) + jω

(α(t), α

(t))

= α

ω

(t, 1) + jα

ω

(t, 1) und α

(f dz) = (f ◦ α) dα = (f ◦ α)α

dt.

Definition:

Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C eine stetige komplexwertige Funktion und α ein Integrationsweg in G. Dann wird das komplexe Kurvenintegral von f uber ¨ α definiert

durch

α

f (z) dz :=

∫

[a,b]

α

(f dz) =

∫ _b

a

f (α(t)) · α

(t) dt.

Beispiele :

1. Ein fundamentaler Baustein der Funktionentheorie ist folgende Formel:

∫

∂Dr(z0)

(z − z

)

dz =

{

2π j f¨ ur n = − 1 0 sonst.

Zum Beweis benutzt man die Parametrisierung α(t) := z

+ r · e

, 0 ≤ t ≤ 2π.

Dann ist

∫

α

1

z − z

dz =

∫ _2π

0

1

r e

· rje

dt

= j ·

0

dt = 2π j, und f¨ ur n ̸ = − 1 ist

∫

α

(z − z

)

dz =

∫ _2π

0

(re

)

· rje

dt

= r

j ·

0

e

dt

= r

j ·

(

1

j(n + 1) e

0

= 0.

2. Wir betrachten die Wege α, β, γ : [0, 1] → C mit

α(t) := − 1 + 2t, β(t) := 1 + jt und γ(t) := ( − 1 + 2t) + jt.

s s

s

α γ β

Dann ist

∫

α+β

z dz =

∫ ₁

0

( − 1 + 2t) · 2 dt +

∫ ₁

0

(1 − jt) · j dt

= 2 · ( − t + t

)

0

+j · (t − j 2 t

)

0

= 2 · ( − 1 + 1) + j · (1 − j 2 )

= j + 1

2 ,

und

∫

γ

¯ z dz =

∫ ₁

0

( − 1 + 2t − jt)(2 + j) dt

= (2 + j) · ( − t + 2 − j 2 t

)

0

= (2 + j) · ( − 1 + 1 − j 2 )

= − j + 1 2 .

Das komplexe Kurvenintegral ¨ uber f(z) := z h¨ angt vom Integrationsweg ab! Wir werden bald sehen, daß das damit zusammenh¨ angt, daß z 7→ z nicht holomorph ist.

Da es sich bei dem komplexen Kurvenintegral um eine Variante des schon bekannten Integrals ¨ uber 1-Formen handelt, gelten daf¨ ur auch die gleichen Rechenregeln. Nur die Standard-Absch¨ atzung beweisen wir besser neu:

Ist α ein Integrationsweg und f eine stetige Funktion auf | α | , so gilt:

|

α

f(z) dz | ≤ L(α) · sup

|

| | f | . Denn es ist

|

α

f (z) dz | = |

a

f (α(t))α

(t) dt |

≤

a

| f (α(t)) | · | α

(t) | dt

≤ L(α) · sup

|

| | f | .

Nun k¨ onnen wir den Satz ¨ uber die Vertauschung von Limes und Integral (Kapitel II, § 5) auf Kurvenintegrale ausdehnen:

Vertauschung von Grenzwerten bei Kurvenintegralen

Sei α : I → C ein Integrationsweg, (f

) eine Folge von stetigen Funktionen auf | α | , die gleichm¨ aßig gegen eine Funktion f auf | α | konvergiert. Dann ist

n→∞

lim

∫

α

f

(z) dz =

∫

α

f (z) dz.

Beweis: Es ist

|

α

f

(z) dz −

α

f (z) dz | = |

α

(f

(z) − f (z)) dz |

≤ L(α) · sup

|

| | f

− f | .

Da die Funktionenfolge gleichm¨ aßig konvergiert, gibt es zu jedem ε > 0 ein n

∈ N , so daß

| f

(z) − f(z) | < ε

L(α) ist, f¨ ur n ≥ n

und alle z ∈ | α |. Wegen der obigen Absch¨ atzung liefert das die gew¨ unschte Konvergenz der Integrale.

Folgerung

Sei α : I → C wieder ein Integrationsweg und (F

) eine Folge von stetigen Funktio- nen auf | α | . Weiter sei (a

) eine Folge von nicht negativen reellen Zahlen, so daß gilt:

1. | F

(z) | ≤ a

f¨ ur alle n ∈ N und alle z ∈ | α | . 2.

∑∞ n=1

a

< ∞ .

Dann ist f (z) :=

∑∞ n=1

F

(z) eine stetige Funktion auf | α | , und es gilt:

∑∞ n=1

∫

α

F

(z) dz =

∫

α

(_∞

∑

n=1

F

(z)

)

dz.

Beweis: Aus dem Weierstraß-Kriterium (Kapitel IV, § 1) folgt, daß die Folge der (ste- tigen) Funktionen f

(z) :=

∑N n=1

F

(z) gleichm¨ aßig auf | α | gegen f konvergiert und daß f insbesondere stetig ist. Jetzt kann man den vorhergehenden Satz auf (f

) anwenden.

Definition:

Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C stetig. Eine Stammfunktion von f ist eine holomorphe Funktion F : G → C mit F

= f.

Der Hauptsatz f¨ ur komplexe Kurvenintegrale

Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C eine stetige Funktion. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent:

1. f besitzt auf G eine Stammfunktion.

2.

∫

α

f(z) dz = 0 f¨ ur jeden geschlossenen Integrationsweg α in G.

Beweis:

1) Sei F holomorph und F

= f . Dann ist dF = f dz, also

∫

α

f dz = 0 f¨ ur jeden geschlos-

senen Weg α.

2) Verschwindet das Integral ¨ uber f dz f¨ ur jeden geschlossenen Weg α, so gibt es eine Funktion F mit dF = f dz. Dann ist aber – wegen der Eindeutigkeit der Darstellung – F

= f und F

= 0, also F holomorph und F

= f.

Satz von Goursat

Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C eine holomorphe Funktion und △ ⊂ G ein abgeschlossenes Dreieck. Dann gilt:

∫

∂△

f (z) dz = 0.

Beweis: Es gibt einen sehr sch¨ onen trickreichen Beweis f¨ ur den Satz von Goursat, der in den meisten B¨ uchern ¨ uber Funktionentheorie nachgelesen werden kann. (vgl. z.B.

W.Fischer / I.Lieb: Funktionentheorie). Aus Zeitgr¨ unden benutzen wir hier stattdessen einen einfacheren Beweis, der allerdings eine Zusatzbedingung erfordert: Wir nehmen an, daß f sogar stetig differenzierbar ist! Es wird sich sp¨ ater zeigen, daß diese Zusatzbe- dingung automatisch erf¨ ullt ist.

△ ist ein Gebiet mit st¨ uckweise glattem Rand, ω := f dz eine stetig differenzierbare 1- Form. Da f sogar holomorph ist, ist d(f dz) = 0, und aus dem allgemeinen Stokesschen Satz folgt:

∫

∂△

f (z) dz =

∫

△

d(f dz) = 0.

Satz von Goursat in versch¨ arfter Form

Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C stetig und bis auf endlich viele Punkte holomorph.

Dann gilt f¨ ur jedes abgeschlossene Dreieck △ ⊂ G :

∫

∂△

f (z) dz = 0.

Beweis: Wir k¨ onnen annehmen, daß f ¨ uberall bis auf einen einzigen Ausnahmepunkt z

holomorph ist. Nun unterscheiden wir mehrere F¨ alle:

1. Fall: z

ist Eckpunkt von △ .

Dann zerlegen wir △ folgendermaßen in drei Teildreiecke:

z

z

z

∆

∆

∆

Aus dem gew¨ ohnlichen Satz von Goursat folgt, daß

∫

∂△2

f (z) dz =

∫

∂△3

f(z) dz = 0 ist,

also

∂△

f(z) dz =

∫

∂△1

f (z) dz, unabh¨ angig davon, wie z

und z

gew¨ ahlt werden. Dann ist

|

∂△

f(z) dz | ≤ L(∂ △

) · sup

△

| f (z) | ,

und die rechte Seite strebt gegen Null, wenn z

und z

gegen z

wandern.

2. Fall: z

liegt auf einer Seite von △ , ist aber kein Eckpunkt. Dann zerlegt man △ in zwei Teildreiecke, auf die beide jeweils der erste Fall anwendbar ist:

s

z

3. Fall: z

liegt im Innern von △ . Diesen Fall kann man auf den 2. Fall reduzieren:

s

z

Liegt z

außerhalb △, so ist ¨ uberhaupt nichts zu zeigen.

Definition:

Sei M ⊂ C eine Teilmenge und z

∈ M ein fester Punkt. M heißt sternf¨ ormig bez¨ uglich z

, falls f¨ ur jeden weiteren Punkt z ∈ M die Verbindungsstrecke zwischen z und z

ganz zu M geh¨ ort.

M heißt sternf¨ ormig, falls es einen Punkt z

∈ M gibt, so daß M sternf¨ ormig bez¨ uglich z

ist.

Eine konvexe Menge ist nat¨ urlich sternf¨ ormig. Die Umkehrung ist i.a. falsch.