2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

(1)

Höhere Mathematik I, Übungen, Wintersemester 2006 1. Übungsblatt, 3.10.2006

1 Ubungsbeispiele ¨

1. Ein Mann besitzt 5 braune, 3 graue und 2 schwarze Anzüge; 3 Paar braune, 3 Paar schwarze und ein Paar graue Schuhe; 7 Paar schwarze, 5 Paar braune, und 4 Paar graue Socken. Wie viele Möglichkeiten hat er, ein farblich zusammenstimmendes Outfit zu wählen.

2. Finden sie alle L¨osungen der Gleichung

−|2x+ 2|=x−1.

3. Finden sie alle L¨osungen der Gleichungen

(a)|x−1|=−|x|+ 2, (b)|x−1|=−|x|+ 1, (c) |x−2|=−|x|+ 1.

4. Skizzieren sie in derx−y Ebene die Mengen jener Punkte, f¨ur die gilt:

(a)x=y, (b)x < y, (c)y≤x.

5. Skizzieren sie in derx-y Ebene die Mengen jener Punkte, f¨ur die gilt:

(a)x≤y und −x≤y (b)x+y≤1 und x+y≥ −1.

Finden sie f¨ur (a), (b) jeweils eine einzige Ungleichung, die die gleichen Punktmengen beschreibt.

(Tipp: Verwenden sie die Betragsfunktion.)

6. Skizzieren sie in derx-y Ebene die Mengen jener Punkte, f¨ur die gilt:

x+y≤1 und x+y≥ −1 und x−y≤1 und y−x≤1.

Finden sie eine einzige Ungleichung, die die gleichen Punktmengen beschreibt. (Tipp: Ver- wenden sie die Betragsfunktion.)

7. Welche Graphen stellen eine Funktion dar? Welche k¨onnen durch Einschr¨ankung des Defi- nitionsbereiches zu einer Funktion gemacht werden?

(2)

F¨ur die folgenden Beispiele betrachten wir die in der Grafik skizzierte Funktionf:

1 2 3 4

-1 1

2

f(x)

8. Skizzieren sie die Graphen der Funktionen gⁱ(x), die sich aus dem gegebenen f wie folgt ergeben:

(a)g¹(x) =−f(x), (b)g²(x) =f(−x), 9.

(a)g3(x) =f(x/2), (b)g4(x) =f(2x), 10.

(a)g5(x) =f(x−1), (b)g6(x) =f(x+ 2), 11.

(a)g⁷(x) = 1/f(x), (b)g⁸(x) =f²(x).

2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

1. Vereinfachen sie die folgenden Summen indem sie die vorkommenden Br¨uche auf gleichen Nenner bringen:

(a) 5 7 +7

5, (b) 1 x² + 2

x³, (c) 2ab

a²−b² − 2b

a−b, (d) 1

tcost+ t cost 2. L¨osen sie die folgenden Gleichungen nach der angegebenen Variablen auf:

(a) 4x+ 2 = 12 nach x; (b) 1

x−2 =−1 nach x; y−2

x+ 1 = y+ 1

x−2 nach y.

3. Stellen sie die folgenden Summen mit Hilfe des Summenzeichens Σ dar: (Sie m¨ussen die Summen nicht berechnen)

(a) 1+2+3+4+5+· · ·+22, (b) 1+3+5+7+· · ·+49, (c) −1−4−9−16−25−· · ·−N².

(3)

Höhere Mathematik I, Übungen, Wintersemester 2006 2. Übungsblatt, 10. 10. 2006

1 Ubungsbeispiele ¨

1. Geben Sie drei MengenA,B undCan, f¨ur die gilt:

A∩(B∪C)6= (A∩B)∪C . Geben Sie drei MengenA,B undCan, f¨ur die gilt:

A∩(B∪C) = (A∩B)∪C .

2. Wie w¨urden Sie argumentieren, um folgenden mathematischen Sachverhalt plausibel zu machen (bzw. zu ,,beweisen”): F¨ur drei beliebige MengenA,BundCgiltA∩(B∪C) = (A∩B)∪Cgenau dann, wennC⊂Azutrifft.

3. Skizzieren Sie die folgenden TeilmengenMi⊂R×Rder reellen Ebene:

M1 ={−1,2,5} × {−2,0,1}, M2 ={−π, π} ×(0,3], M3 = (−1,1)×[−2,2], M4 =Z×Z, M⁵=N×R.

4. Beschreiben Sie die unten skizzierte Teilmenge vonR×Rmit Hilfe von (Vereinigung, Durchschnitt, Differenz etc. von) Mengen, die analog zum vorherigen Beispiel gebildet sind.

5. Welchex∈Rerf¨ullen die folgende Ungleichung:

2x+ 7

x+ 1 ≤ 2x−5 x−4 . 6. Welchey∈Rerf¨ullen die folgende Ungleichung:

(y−4)(y+ 2)≤2y−(y+ 1)(y+ 2).

(4)

7. Die reelle Funktionf :R→Rist gegeben durchf(x) = x²

x²+ 1. Skizzieren Sie den Graphen vonf! Besitztf Symmetrien? Zeigen Sie (mit passenden ,,Gegenbeispielen”), dass die Funktionf weder injektiv noch surjektiv ist!

8. Zeigen Sie, dass die Funktionf aus Beispiel 7 bei Verkleinerung der Definitionsmenge auf [0,∞) und Verkleinerung des Wertevorrats auf [0,1) eine bijektive Funktion ist. Geben Sie ihre Umkehrfunk- tionf⁻¹: [0,1)→[0,∞) an und skizzieren Sie die Funktionsgraphen vonf undf⁻¹.

2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

1. Gegeben sind die drei Mengen A = {2,4,6}, B = {i, j} und C = {,♥,∇,⊕}. Geben Sie alle Elemente der Mengen A×B,B×A,B×C an! Sind die MengenA×B undB×Agleich?

Wieviele Elemente besitzt die Menge A×B×C? Geben Sie einige Elemente dieser Menge an!

Geben Sie die Mengen A∩C,A∪C, (A∪B)\CundB\B an!

2. Es seiaeine positive, reelle Zahl. ¨Uberlegen Sie sich, dass f¨ur eine reelle Zahlz∈Rdie Ungleichung

|z| ≤ a genau dann erf¨ullt ist, wenn −a ≤z ≤ a gilt. Wie sieht das analoge Ergebnis mit ,,<”

an Stelle von ,,≤” aus? ¨Uberlegen Sie sich damit nochmals die ¨Ubungsbeispiele 1.5 und 1.6 (1.

bedeutet: 1. ¨Ubungsblatt).

3. L¨osen Sie die Beispiele 1.2 und 1.3 (1. bedeutet: 1. ¨Ubungsblatt) graphisch, indem Sie jeweils die zwei Graphen der Funktionen f¹(x) = −|2x+ 2|, f²(x) = x−1 bzw. f¹(x) = |x−1|, f²(x) =

−|x|+ 2, etc. zeichnen und deren Schnittpunkte bestimmen. K¨onnen Sie an den Graphen auch die Fallunterscheidungen, die bei der rechnerischen L¨osung dieser Beispiele auftraten, erkennen bzw.

erkl¨aren?

4. Wo liegt der Fehler in der folgenden ,,Rechnung”:

−20 =−20 25−45 = 16−36 25−45 + ⁹2

²

= 16−36 + ⁹2

²

5−⁹2

²

= 4−⁹2

²

5−⁹2 = 4−⁹2

5 = 4

5. Der Minutenzeiger einer Uhr ist 2 cm lang, ihr Stundenzeiger 1,5 cm. Um wievielmal schneller als die Spitze des Stundenzeigers bewegt sich die Spitze des Minutenzeigers?

Wie lautet die L¨osung, wenn der Minutenzeigerxcm und der Stundenzeigerycm lang sind?

L¨osung: 16 mal bzw. ^12xy mal.

(5)

Höhere Mathematik I, Übungen, Wintersemester 2006 3. Übungsblatt, bis 24. 10. 2006

1 Ubungsbeispiele ¨

1. Finden Sie je eine Funktionf :R→Rdie (a) injektiv aber nicht surjektiv,

(b) surjektiv aber nicht injektiv, (c) weder injektiv noch surjektiv, (d) bijektiv

ist.

2. Finden Sie je eine Funktionf : (0,1)→Rdie (a) injektiv aber nicht surjektiv,

(b) surjektiv aber nicht injektiv, (c) weder injektiv noch surjektiv, (d) bijektiv

ist.

3. Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen f :R→R: (a) f(x) =x+|x−1|

(b) f(x) =|x²+ 4|

(c) f(x) =x−[x], wobei [x] die gr¨oßte ganze Zahl≤xist.

(d) f(x) =

x−[x], f¨ur [x]≤x <[x] +¹₂ 1−x+ [x], f¨ur [x] + ¹₂≤x <[x] + 1

4. SeiAeine endliche Menge undg:A→Aeine injektive Abbildung. ¨Uberlegen Sie sich, dassgauch surjektiv ist. Ist dies auch wahr, wennAeine unendliche Menge ist?

5. Sei A eine endliche Menge und g : A→ A eine surjektive Abbildung. ¨Uberlegen Sie sich, dass g auch injektiv ist. Ist dies auch wahr, wenn Aeine unendliche Menge ist?

6. Geben Sie zu folgenden rationalen Funktionenf(x) einen m¨oglichst großen Definitionsbereich an:

(a) f(x) =^xx²²⁺¹−1 (c) f(x) =^2x³x^+3x²+x²−⁻1^x+5

(b) f(x) =^xx²²⁻+1¹ (d) f(x) =x³+2x²¹−9x+2

7. Bestimmen Sief ◦g undg◦f f¨ur folgende Funktionen f, g:R→R:

(a) f(x) =x+ 1,g(x) = 2x²−1 (c) f(x) =x³+ 3x²+ 3x+ 1,g(x) =√³ x−1 (b) f(x) = sin(x+ 1), g(x) =e^cos(x) (d) f(x) = _1+x¹2,g(x) =

( q

|_x¹−1|, f¨ur x6= 0 0, f¨ur x= 0

(6)

8. Bestimmen Sief(D) f¨ur folgende Abbildungenf :D→R: (a) f :

[−10,4] → R

x 7→ x²−2x+ 1 (b) f :

[0,2]\{1} → R x 7→ _x2^x²

−1

∗9.¹Finden Sie eine bijektive Funktionf : (0,1]→(0,1).

Tipp: Überlegen Sie sich zuerst, dass es eine bijektive Abbildungg:N₀→N(mitN={1,2,3, . . .} undN0={0,1,2,3, . . .}) gibt. Wie lässt sich diese Beobachtung für die Konstruktion vonf nutzbar machen?

2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

1. Bestimmen Sie Durchschnitts- und Vereinigungsmenge folgender Mengen (a) A={2,4,6,8,10,2,4},B={3,3,6,9,12} (c) A= [0,1),B= (1,2)

(b) A= [0,2],B = [¹2,2) (d) A= [0,1]×(0,2],B= (−1,1)×[0,1]

2. Skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen:

(a) f :

R → R

x 7→ x²−1 (e) f :

R\{0} → R x 7→ sin(x¹) (b) f :

R\{0} → R

x 7→ ¹_x (f) f :

R → R

x 7→ sin(x) + sin(1,1·x) (c) f :

[−10,4] → R

x 7→ x³−2x+ 1 (g) f :

R\{1} → R x 7→ ^x+1x−1

(d) f :

[−20,20] → R

x 7→ x²−3x−7 (h) f :

R → R x 7→ 1+x¹²

3. Finden Sie f¨ur folgende Funktionen f einen sinnvollen Definitionsbereich und Wertevorrat:

(a) f(x) = log(x) (d) f(x) =√

2x²−3x+ 1 (g) f(x) =√ ¹

1−sin²(x)

(b) f(x) =^3x6x²²⁻−^7x+45x+2 (e) f(x) =cos(x)¹ (h) f(x) =x^x (c) f(x) =p

sin(x) (f) f(x) = arctan(x) (i) f(x) = log(log(x))

1Dieses Beispiel ist schwierig und zählt nicht zu der Gesamtzahl(=100%) von Beispielen, von denen 60% anzukreuzen sind. Selbstverständlich wird es aber, falls auf der Checkliste markiert, bei den angekreuzten Beispielen mitgezählt.

(7)

Höhere Mathematik I, Übungen, Wintersemester 2006 4. Übungsblatt, bis 31.10.2006

1 Ubungsbeispiele ¨

1. Wir untersuchen Intervalle von der FormI¹= (a, b),I²= [a, b),I³= (a, b] undI⁴= [a, b] mit a, b∈R, a < b. Zeigen sie, dass jeder Punkt x∈I^k (k= 1,2,3,4) auch ein Häufungspunkt vonI^k ist. Wie sehen in den einzelnen Fällen die Mengen aller Häufungspunkte vonI^k aus?

2. Wir betrachten die Menge M ={n¹|n ∈N}. Sind die Punkte inM auch H¨aufungspunkte von M? Gibt es H¨aufungspunkte vonM, die nicht imM liegen?

3. Wir betrachten die Funktion g(x) =x³, g : R→R an der Stellex⁰ = 1,5. Finden sie ein δ >0 so dass

|x³−(1,5)³|<0.0001 falls|x−1,5|< δ.

Wenn sie ein geeignetes δ mit der obigen Eigenschaft gefunden haben, folgt dann daraus, dassf an der Stellex0= 1,5 den Grenzwert (1,5)³ besitzt?

4. Bestimmen sie die folgenden Grenzwerte (a) lim

x→1

x³−1

x−1 (b) lim

x→0

√ x

x+ 1−1.

Anleitung: Finden sie Funktionenf1 undf2, die mit den gegebenen Funktionen in (a) und (b) auf ihrem Definitionsbereich ¨ubereinstimmen und deren Grenzwerte leicht zu bestimmen sind.

5. Zeigen sie, dass

(a) lim

x→0|x|= 0, (b) lim

x→0|x|sinx= 0.

Zeigen sie, dass die folgenden Funktionen an der angegebenen Stellekeinen Grenzwert besitzen.

Fertigen sie Skizzen der Funktionsgraphen an.

6.

(a)f(x) = x²−1

√x²−2x+ 1 an der Stellex= 1, 7.

g(x) = x²

x²−1 an der Stellex=−1.

2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

1. Vereinfachen sie die folgenden Br¨uche:

x³−8

x−2 f¨urx6= 2, x−2

√x−√

2 f¨urx >0.

(8)

2. Schreiben sie die MengeM ={¹3,¹5,¹7,¹9, . . .}in der Form

M ={x∈R|Bedingung, die durchxerf¨ullt ist}

mit einer geeigneten Bedingung. Machen sie das selbe mit der MengeL={¹4,⁴5,¹6,⁶7,¹8,⁸9, . . .}.

3. Finden sie eine ZahlM so dass _x2^x+1² < M f¨ur allex∈R.

(9)

1 Ubungsbeispiele ¨

1. Bestimmen Sie die H¨aufungspunkte der MengeM = [0,1]\ {n¹|n∈N}.

2. Gegeben ist die reelle Funktionf :R→Rdurchf(x) =x²−10x+ 12. Geben Sie m¨oglichst große Teilmengen der Definitionsmenge von f an, auf welchen diese Funktion streng monoton f¨allt bzw.

streng monoton w¨achst!

Tipp: Stellen Sie die Funktion f in der Formf(x) = (x−a)²+b mit geeignetena, b∈Rdar!

3. Die reelle Funktionh:R\{0} →Rist gegeben durchh(x) =

√

|x|+1−1

x . Stellen Sie fest, ob lim

x→0h(x) existiert bzw. geben Sie diesen an.

4. Die reelle Funktionf : (0,∞)→Rist gegeben durchf(x) =

√

|x|+1−1

x . Stellen Sie fest, ob lim

x→0f(x) existiert bzw. geben Sie diesen an.

5. Die reelle Funktion f : R\ {1} → R ist gegeben durch f(x) = _x3^x²^+x⁻²

−x²+x−1. Stellen Sie fest, ob

xlim→1f(x) existiert bzw. geben Sie diesen an!

Tipp: Stellen Sie die Funktionswerte f(x) f¨ur x6= 1 durch einen einfacheren Term dar!

6. Die Funktionf sei gegeben wie in Beispiel 5. Bestimmen Sie lim

x→∞f(x) und lim

x→−∞f(x). Bestimmen Sie (irgendein)M ∈R, sodass f¨ur allex≥M gilt: |f(x)| ≤0,01.

2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

1. Geben Sie die δ-Umgebungen der Zahl−7∈Rf¨ur die Werte δ= 1,δ= 0,01 undδ= 10⁻⁹ an! In welchen dieserδ-Umgebungen liegt die Zahl−6,99?

2. Die Funktionf(x) =x²−10x+ 12 sei so wie in Beispiel 1. gegeben. Bestimmen Sie ein geeignetes ε >0, sodass die Funktionswerte f¨ur allex∈K(0, 0,1) in derε-Umgebung vonf(0) = 12 liegen!

Fertigen Sie eine (stark vergr¨oßerte) Skizze des Funktionsgraphen f¨urx∈[−¹2,¹2] an!

3. Die Funktion f(x) = x²−10x+ 12 sei so wie im vorigen Beispiel gegeben. Bestimmen Sie nun zu gegebenem ε= 0,2 ein passendesδ >0, sodass die Funktionswerte f¨ur allex∈K(0, δ) in der 0,2-Umgebung vonf(0) = 12 liegen, d.h. f(x)∈(11,8, 12,2) gilt!

4. Bestimmen Sie die Grenzwerte

xlim→0

x⁴−1

x−1 lim

x→1

x⁴−1

x−1 lim

x→2

x⁴−1 x−1 .

(10)

1 Ubungsbeispiele ¨

1. Die Funktiong: [7,9)→Rsei definiert durchg(x) =x−[x] (vgl. Beispiel 3.3.(c)). K¨onnen Sie die Funktiong auf den Teilintervallen [7,8) bzw. [8,9) in einer einfacheren Form angeben?

Berechnen Sie lim

x→8−

g(x) und lim

x→8⁺g(x). Welcher dieser beiden Werte stimmt mit dem Funktions- wertg(8) an der Stellex= 8 ¨uberein?

2. Die Funktion h: R\ {0} → R ist gegeben durchh(x) = sin(¹_xπ). Geben Sie die Funktionswerte h ¹_n

undh n+0,5¹

für alle 06=n∈Zan! Skizzieren bzw. beschreiben Sie den Funktionsgraphen von h! Was können Sie über die Existenz von lim

x→0h(x) sagen?

3. Bestimmen Sie lim

x→∞

f(x) und lim

x→−∞

f(x) f¨ur die Funktionf :R\ {0} −→R,x7→

√

|x| x .

4. Die Lagex(t) eines Punktes (in einem 1-dimensionalen Koordinatensystem) zum Zeitpunkt t≥0 wird durch die Funktion

x(t) =4t+ sin(2πt) 3 +t gegeben. Berechnen Sie die ,,Endlage”x_∞= lim

t→∞

x(t) dieses Punktes!

5. Verwenden Sie die Angaben des vorigen Beispiels und bestimmen Sie einen ZeitpunktT⁰≥0, sodass f¨ur allet≥T⁰die Lage des Punktes sich von seiner Endlage um weniger als 0,5 unterscheidet!

6. Zeigen Sie mit Hilfe der ε, δ-Charakterisierung der Stetigkeit, dass die Funktion fa : R → R, x7→(x−a)² f¨ur jedesa∈Rstetig beix=aist.

7. Untersuchen Sie die Funktion

g:

R\ {1} −→ R x 7→ ^x_x²⁻¹

−1

im Hinblick auf stetige Fortsetzbarkeit beix= 1.

8. Untersuchen Sie die Funktion

h:

( R\ {0} −→ R

x 7→ ^x²

|x|

im Hinblick auf stetige Fortsetzbarkeit beix= 0.

2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

1. Bestimmen Sie lim

x→0+f(x) und lim

x→0−

f(x) f¨ur die Funktionf :R\ {0} →R, x7→ ^|^xx^|. 2. Bestimmen Sie lim

x→0+f(x) und lim

x→0−

f(x) f¨ur die Funktionf :R\ {0} →R, x7→ _x¹. 3. Bestimmen Sie lim

x→∞

f(x) und lim

x→−∞

f(x) f¨ur die Funktionf :R\ {−⁵4} →R,x7→ ^3x4x+5⁻¹.

4. Zeigen Sie mit Hilfe von Satz 2 und Satz 3 im Kapitel “Stetige Funktionen” der Vorlesung, dass die Funktionf :R→Rmit f(x) =|x|x³−27(x+ 4)¹²+ 13|x| stetig ist.

(11)

1 Ubungsbeispiele ¨

1. In der Grafik sind die ersten zw¨olf Glieder von vier verschiedenen Folgen dargestellt.

0 2 4 6 8 10 12

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

n an

0 2 4 6 8 10 12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

n an

0 2 4 6 8 10 12

n an

0 2 4 6 8 10 12

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

n an

Ordnen sie jede grafische Darstellung einer der vier Folgen zu:

(a) aⁿ =n+1⁸ (b) aⁿ= n+1⁸ⁿ

(c) an= 4

1 2

ⁿ

(d) an= ⁴_n!ⁿ 2. Bestimmen sie die Grenzwerte der Folgen

aⁿ= n−1

n − n

n−1, n≥2; bⁿ= n²

2n+ 1− n² 2n−1.

Für die folgenden beiden Aufgaben: Sind die Aussagen wahr oder falsch? Geben sie Begründungen für ihre Antworten.

3. Wenn die Folge{an} konvergiert, dann gilt limn→∞(an−an+1) = 0.

4. Wenn die Folge{aⁿ} konvergiert, dann gilt limⁿ→∞

an

n →0.

Fibonacci Folge: Uberlegungen zur Beschreibung der Fortpflanzung innerhalb einer Hasenpopu-¨ lation f¨uhrten Fibonacci (a.k.a. Leonardo von Pisa ca. 1175 – ca. 1250) zu der rekursiv definierten Folge

aⁿ⁺²=aⁿ+aⁿ⁺¹, a¹= 1, a²= 1, die seinen Namen tr¨agt.

(12)

5. Geben sie die ersten 12 Glieder der Folge an. (Schreiben sie eventuell ein kleines Computer- programm). Geben sie die ersten 12 Glieder der Folge

bⁿ= an+1

aⁿ f¨urn≥1 (1)

an. Zeigen sie, dass f¨ur die Folgengliederbⁿ die (rekursive) Beziehung bⁿ= 1 + 1

bⁿ₋¹ f¨ur n≥2 gilt.

6. Die Zahl des goldenen Schnittesρist definiert als limn→∞bn. Zeigen sie, dass ρ= 1 + 1

ρ

gelten muss und lösen sie diese Gleichung nachρ. Können sie ein Argument angeben, dass belegt, dass der Grenzwert limn→∞bn tatsächlich existiert und dass daher die Berechnung von ρmathematisch gerechtfertigt ist?

7. Finden sieα, β∈Rso dass, f¨ur

f : (0,∞)→(0,∞); f(x) =x^α+x^β

die folgenden Beziehungen gelten: limx→∞x⁻¹²f(x) = 1 und limx→0x¹³f(x) = 1.

2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

1. Bestimmen sie die Grenzwerte f¨urn→ ∞der Folgen:

an= 3− 1

2ⁿ, bn= n+ 1

2n , cn= cosnπ

2 , dn = 2n

√n²+ 1.

2. Geben sie f¨ur die folgenden Folgen formelm¨aßige Definitionenaⁿ =. . . an:

1,4,7,10, . . .; 2 3,3

4,4 5,5

6, . . .; 2,1 +1 2,1 +1

3,1 + 1 4, . . .

(13)

1 Ubungsbeispiele ¨

1. Bestimmen Sie – soferne sie existieren – die folgenden Grenzwerte:

n→∞lim

(−1)ⁿn+ 1−2n²

(3n−1)² lim

n→∞

2ⁿn−1

5n−3 lim

n→∞

7−(−3)ⁿn n+ 1 . 2. Die reelle Funktionf : [0,4]→Rist gegeben durch

f(x) =











x für 0≤x <1 3−2x für 1≤x <2 3x−7 für 2≤x <3 5−x für 3≤x≤4 .

Zeigen Sie, dassf auf der gesamten Definitionsmenge stetig ist und bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema von f.

3. Bestimmen Sie f¨ur die Funktion f aus Beispiel 2 die Bildmenge f([0,4])! Wie lautet der Zwi- schenwertsatz? Wenden Sie diesen mitλ= 0,5 bzw. λ=−1 (Bezeichnungen lt. Vorlesung) auf die Funktionf an!

4. (Aus einem Schulbuch f¨ur die 6. Klasse AHS) L¨osen Sie die folgenden Gleichungen inR:

a) x^ln^x−3= 1

e² b) 8·9^x−3+ 4^x+1= 3^2x−4 c) 5·7^x−2+ 4·3^x+3−3·7^x= 3^x+5−6·7^x−1+ 4·3^x+1−7^x+1

5. (Aus einem Schulbuch für die 6. Klasse AHS) Wir nehmen an, dass sich ein Gerücht annähernd exponentiell ausbreitet, wobei die Anzahl derjeniger, die das Gerücht erfahren, täglich um etwa a) 10% b) 20 % c) 30 % zunimmt. Wenn das Gerücht von einem Menschen ausgeht, nach ungefähr wie vielen Tagen werden es 1000 Menschen gehört haben?

6. (Aus einem Schulbuch für die 6. Klasse AHS) Der Inhalt der Fläche, die ein Bakterienstamm auf einer Nährlösung einnimmt, vermindert sich durch die Zugabe eines Heilmittels stündlich um ca.

5%. Zu Beginn beträgt der Flächeninhalt 1000 mm², nacht Stunden beträgt erA(t) mm². Geben Sie die FunktionA(t) an und ermitteln Sie, wann der Flächeninhalt a) 900 mm², b) 750 mm², c) 600 mm² beträgt.

7. Die Funktion g:R→R habe die Formg(x) =asin(bx+c) +d. Bestimmen Sie jeweils passende Werte von a, b, c, d∈R, damit die Funktiong die folgenden Eigenschaften hat:

a) g(R) = [1,3],g(x+ 2) =g(x) f¨ur allex∈Rundg(0) = 2.

b)g(R) = [0,8],g(x+π) =g(x) f¨ur allex∈Rundg(0) = 4 + 2√ 2.

c) g(R) = [−2,2],g(x−1) =g(x) f¨ur allex∈Rundg(1) =√ 3.

(14)

2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

1. Die Funktionf : [3,⁹₂]→Rsei gegeben durch (vgl. Beispiel 3.3.(d)) f(x) =

(x−[x] f¨ur [x]≤x <[x] +¹₂ 1−x+ [x] f¨ur [x] +¹₂ ≤x <[x] + 1 .

Geben Sie die Funktionf auf geeigneten Teilintervallen (der L¨ange ¹₂) der Definitionsmenge durch einfachere Terme an, indem Sie die Gaußklammer [x] ,,aufl¨osen”.

Skizzieren Sie den Funktionsgraphen (mit großem Maßstab) und geben Sie detaillierte Argumente an, wiesof auf der gesamten Definitionsmenge stetig ist.

2. Gegeben sei die Funktiong: (0,∞)→Rdurchg(x) =_x¹. Geben Sie ein geeignetesδ >0 an, sodass f¨ur allex∈Rmit|x−1|< δ gilt: |g(x)−g(1)|<0,2.

3. F¨urn∈Nseien die reellen Zahlenan gegeben durchan= (21)ⁿ n! .

Zeigen Sie, dass für alle 1≤n≤20 an+1 ≥an gilt, für alle 21≤njedochan+1≤an. Berechnen Siea20,a40,a60unda100. Haben Sie eine Vermutung, was limn→∞an sein könnte?

4. Berechnen Sie die folgenden reellen Zahlen: log₃√⁷

3, log₃ 1

√3

3, log₇49, log₁₀0,0001, 3⁻³⁴¡₁

9

¢₋³

4. 5. Bestimmen Sie f¨ur jede der folgenden Gleichungen alle L¨osungenx∈R:

ln(x²) = 10, 4e^x= 82, 15 = 20(1,15)^x, log(2x) + log(3x) = log 726.

6. Wo steckt der Fehler?³3 2

´₄

=

³2 3

´_x

⇐⇒ 3⁴ 2⁴ = 2^x

3^x ⇐⇒ 3⁴·3^x= 2⁴·2^x ⇐⇒ 3^4+x= 2^4+x ⇐⇒ 3 = 2.

7. Wo steckt der Fehler?

1

4 < ¹₂ ⇒ log(¹₄)<log(¹₂) ⇒ log(¹₂)²<log(¹₂) ⇒ 2 log(¹₂)<log(¹₂) ⇒ 2<1.

(15)

1 Ubungsbeispiele ¨

1. Seia∈Rmit a >0. Bestimmen Sie

nlim→∞

aⁿ. Begr¨unden Sie dabei Ihre Vorgehensweise.

2. Bestimmen Sie

nlim→∞

n2⁻ⁿ und lim

n→∞

loga(n) n ,

wobei aeine beliebige reelle Zahl mita >1 ist. Begr¨unden Sie dabei Ihre Vorgehensweise!

3. Die Bevölkerungszahl der USA in den Jahren 1960 – 2000 lässt sich angenähert durch folgende Funktion beschreiben:

P(t) =N e^λt,

mit N = 182·10⁶ und λ = 0,011·Jahr⁻¹. Skizzieren Sie diese Funktion in semilogarithmischer Darstellung (t,logP).

4. Skizzieren Sie die Funktionen sin :R→Rund cos :R→R. Bestimmen Sie anhand der Skizze (a) die Nullstellen,

(b) lokalen bzw. globalen Minima und Maxima von sin und cos und (c) die Werte von sin(x) und cos(x) f¨urx∈ {^nπ₂ |n∈Z}.

5. Skizzieren Sie die Funktionen tan : R\ {^π₂ +nπ|n ∈ Z} → R und cot : R\ {nπ|n ∈ Z} → R. Bestimmen Sie anhand der Skizze

(a) die Nullstellen und

(b) die lokalen bzw. globalen Minima und Maxima von tan und cot.

(c) Handelt es sich bei den Punkten aus {^π2 +nπ|n ∈ Z} bzw. {nπ|n ∈ Z} um hebbare Un- stetigkeitsstellen von tan bzw. cot?

6. Bestimmen Sie

xlim→0

cos(x)−1 x² .

Tipp: Die Beziehung sin(x)²+ cos(x)² = 1 und die Tatsache, dass lim

x→0 sin(x)

x = 1 ist, k¨onnten f¨ur die Berechnung von Nutzen sein.

7. Skizzieren Sie die Funktionen sin(x)², cos(x)² und sin(x) cos(x) und bestimmen Sie die lokalen bzw. globalen Minima und Maxima dieser Funktionen.

8. Stellen Sie die Punkte P1, . . . , P4, die in kartesischen Koordinaten (x, y) gegeben sind, in Polar- koordinaten dar: P¹= (1,1),P²= (−2,1),P³= (−1,−3),P⁴= (2,−1).

9. Stellen Sie die Punkte Q¹, . . . , Q⁴, die in Polarkoordinaten (r, ϕ) gegeben sind, in kartesischen Koordinaten dar: Q¹= (2,^2π3 ),Q²= (1,^3π2),Q³= (√

2,^5π4 ),Q⁴= (6,^18π10).

(16)

2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

1. L¨osen Sie die folgenden Gleichungen inR: a.) x^{2 ln(x)}⁻¹= 2

b.) 2^x+ 3^x= 4^x² + 9 c.) ln(x)²+ 2 ln(x) + 1 = 0

2. Skizzieren Sie die Funktionen sinh :R→Rund cosh :R→R, sinh(x) = e^x−e⁻^x

2 , cosh(x) =e^x+e⁻^x

2 .

Bemerkung: sinh(x) heißthyperbolischer Sinusund cosh(x) heißthyperbolischer Cosinusvonx.

3. Zur Wiederholung: Umkehrfunktionen von Sinus und Cosinus. Die Funktionen sin :R→ Rund cos : R → R sind nicht bijektiv, d.h. sie besitzen keine Umkehrfunktionen. Schr¨ankt man den Definitionsbereich und den Wertevorrat von sin und cos jedoch auf geeignete Intervalle ein, so sind die resultierenden Abbildungen bijektiv. Finden Sie solche (m¨oglichst großen) Intervalle, und skizzieren Sie die Umkehrfunktionen.

4. Zur Wiederholung: Umkehrfunktionen von Tangens und Cotangens. Die Funktionen tan : R\ {^π2 +nπ|n∈ Z} →Rund cot :R\ {nπ|n∈Z} →R sind nicht bijektiv, d.h. sie besitzen keine Umkehrfunktionen. Schr¨ankt man den Definitionsbereich und den Wertevorrat von tan und cot jedoch auf geeignete Intervalle ein, so sind die resultierenden Abbildungen bijektiv. Finden Sie solche (m¨oglichst großen) Intervalle, und skizzieren Sie die Umkehrfunktionen.

5. Finden Sie einen m¨oglichst großen Definitionsbereich und Wertevorrat f¨ur die Funktion sec(x) := 1

cos(x)

und stellen Sie sie grafisch dar. Bemerkung: sec(x) heißtSekansvon x.

6. Finden Sie einen m¨oglichst großen Definitionsbereich und Wertevorrat f¨ur die Funktion csc(x) := 1

sin(x)

und stellen Sie sie grafisch dar. Bemerkung: csc(x) heißtCosekansvon x.

(17)

1 Ubungsbeispiele ¨

1. Geben Sie für die folgenden reellen Funktionen möglichst große Definitionsmengen an, begründen Sie, warum die Funktionen differenzierbar sind, und berechnen Sie deren Ableitung:

f¹(x) = x²+x+ 1

x²−x+ 1 f²(x) =x²sinx+ 2xcosx−2 sinx f³(x) = r

x q

x√ x

f⁴(x) =x³

3 lnx−1

9x³ f⁵(x) = ln(sin(x)) f⁶(x) = ln(x¹⁷−x¹⁶)

3. Die Summenformel f¨ur die (endliche) geometrische Reihe ergibt f¨ur jedesn∈Nund jedesx∈R\{1}:

n

X

i=0

xⁱ = 1 +x+x²+· · ·+xⁿ=xⁿ⁺¹−1 x−1 . Wie l¨asst sich aus dieser Formel eine Summenformel f¨ur

n

X

i=1

ixⁱ⁻¹= 1 + 2x+ 3x²+· · ·+nxⁿ⁻¹=?

gewinnen?

4. Es seif(x) =−x 2+ 1

2cln|sin(cx)−cos(cx)|, wobeiceine beliebige reelle Zahl ungleich 0 ist. Laut einer Formelsammlung ist die Ableitung der Funktionf gleich 1

tan(cx) + 1.

Stellen Sie fest, ob diese Formal richtig ist. Für welchex∈Rist die Funktionf überhaupt definiert, und für welchexist sie differenzierbar? Skizzieren Sie die Funktionf.

5. Gegeben sind die Funktioneng¹,g² durch:

g¹: [0, π]→[−1,1] g²: [−π,0]→[−1,1]

x 7→cos(x) x 7→cos(x)

Uberlegen Sie sich, dass die Funktionen¨ gⁱ, i= 1,2, bijektiv sind, und skizzieren Sie die Graphen von gi und von ihren Umkehrfunktionen g⁻i ¹. Argumentieren Sie (mit Hilfe der Vorlesung), wieso die Umkehrfunktionen auf dem Intervall (−1,1) differenzierbar sind.

6. Gegeben sind die Funktioneng1,g2so wie im vorigen Beispiel. Geben Sie die Ableitungsfunktionen vong⁻1¹undg2⁻¹, sowie (g1⁻¹)^′(¹²13) und (g⁻2¹)^′(¹²13) an. Wieso sind die Funktionengi⁻¹an den Stellen

−1 und 1 nicht differenzierbar?

(18)

2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

f¹(x) =−2

5x⁵+ 3x³−17x²+ 1459 f²(x) = 2x−1

5x+ 17 f³(x) =x^0,3−x⁻³⁸ +x^π f⁴(x) =2x³−3x²+ 11

x³−6x² f⁵(x) = ⁵ s 1

(2x−1)² f⁶(x) =e^x(sinx−cosx)

2. W¨ahlen Sie aus Ihrem Mathematik-Schulbuch 5 Beispiele zum Thema Differentialrechnung und l¨osen Sie diese!

g¹(x) = ln(ln(x)) g²(x) = ln 1 +x

1−x

g³(x) =ln(1 +x) 1 +x g⁴(x) = 1

√1−x² g⁵(x) =x²cos(3x) g⁶(x) =e⁻^x²

(19)

1 Ubungsbeispiele ¨

1. Bestimmen Sie die folgende Grenzwerte:

xlim→0

a^x−1

x (f¨ur a >1), lim

x→1

x−1

ln(x) , lim

x→∞

px²+x+ 1−p

x²−x+ 1

xlim→^π4

sin(x)−cos(x)

cos(2x) , lim

x→0

1

x² − 1 sin²(x)

, lim

x→∞

ln(x)

√x²−1

xlim→0

p1 + tan(x)−p

1−tan(x)

sin(x) , lim

x→0

e^x−(1 +x) x²

4. Ermitteln Sie die Menge aller Punkte auf der Parabel{(x, y)∈R|y =x²} die vom Punkt (−2,5) extremen Abstand haben. Welcher Art sind die Extrema?

5. Bei der Messung von Widerständen mittels einer Wheatstone’schen Brücke (siehe Skizze) erhält man folgenden Zusammenhang zwischen dem gemessenen Widerstand Ω und der Position x der Spitze des Messdrahtes:

Ω(x) = Rx l−x

Irrt man sich bei der Ablesung von xumh, so erh¨alt man den Widerstand Ω(x+h). (Beachten Sie, dasshsowohl positives als auch negatives Vorzeichen besitzen kann.) Wie groß ist der absolute Fehler Ω(x+h)−Ω(x) in erster N¨aherung? Wie groß muss x sein, damit der relative Fehler

Ω(x+h)−Ω(x)

Ω(x) m¨oglichst klein ist?

6. Die Schwerkraft der Erde ¨andert sich u.a. mit der geographischen Breiteϑ:

g(ϑ) =g⁰ 1 +bsin²(ϑ)

(Hierbei sind g⁰ undb von ϑunabh¨angige Parameter.) In welcher geographischen Breiteϑtreten Extremwerte vong auf? Welcher Art sind die Extrema?

(20)

2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

1. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte. Begr¨unden Sie dabei auch Ihre Vorgehensweise:

nlim→∞

(3n+ 1)³

(1−2n)³ , lim

n→∞

n−2ⁿ+ 7

3ⁿ+ 1 , lim

n→∞

√2n²+ 10n+ 5 17n−3

nlim→∞

(ⁿ₂ −1)²+ (5−ⁿ₃)²

6n²+ 11 , lim

n→∞

5n³−2n²+ (−1)ⁿ (−1)ⁿ2n−3n³

2. Argumentieren Sie, dass folgende Grenzwerte nicht existieren. (Existieren sie als uneigentliche Grenzwerte?):

nlim→∞

3n²−4n³+ 5n⁴

n³−17 , lim

n→∞

5−(−1)ⁿn

3n+ 7 , lim

n→∞

sinnπ 2

, lim

n→∞

(n+ 1)²−(n+ 2)² 3. Bestimmen Sie für die folgenden reellen Funktionen jeweils eine möglichst große Definitionsmenge D ⊂ R, begründen Sie, warum die jeweilige Funktion differenzierbar ist und bilden Sie die erste Ableitung:

f(x) = (3−2x)(3 +x)(4−x

2), f(x) =x²sin(x) cos(x), f(x) =p⁴

6x²−4x+ 5 f(x) =e⁻^xcosx

3

, f(x) = ln(tan(2x)), 7^2x²⁺¹

f(x) = 3x

x²−9− 2

x−3 , f(x) =

x²+ 4x 3x−4

⁷

, f(x) = 5x³

√4x−1 f(x) = cos(√

x) sin³(x), f(x) = log10(5x²−3), f(x) = 3^sin(x) 4. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:

xlim→0+

√x 3√

x−2√³

x, lim

x→0

sin(5x)

sin(x) , lim

x→0

√ −3x x+ 2−√

2

xlim→0

(x+ 3)⁻¹²

√x+ 4−√

x+ 2 , lim

x→π−

p|sin(x)| − |cos(x)|, lim

x→π+

p|sin(x)| − |cos(x)|

xlim→1

1−x²

ln(x) , lim

x→^π2

cos(5x)

cos(x) , lim

x→0

e^x−1 e⁻^x−1

5. Ein Sektor eines Kreises wird zu einem Trichter gebogen. F¨ur welchen Zentriwinkel hat der Trichter maximales Volumen?

(21)

Höhere Mathematik I, Übungen, Wintersemester 2006 12. Übungsblatt, bis 15.1 .2006

1 Ubungsbeispiele ¨

Anleitung für Beispiele 1–4:Finden sie einen formelmäßigen Zusammenhang zwischen den im Beispiel vorkommenden Größen und differenzieren sie diese Gleichung rechts und links nach der Zeitt.

1. Ein Ball, der zum Zeitpunkt t0 = 0 fallen gelassen wird, legt im freien Fall in t Sekunden die Strecke s(t) = ^g₂⁰t² zurück. Die Konstante g0 ist die Erdbeschleunigungg0 = 9,81_sec^m2. Der Ball wird aus einer Höhe von 20 Metern im Abstand von 12 Metern von einem ebenfalls 20 Meter hohen Lichtmast fallen gelassen. Durch die Beleuchtung an der Spitze des Lichtmastes wirft der fallende Ball einen bewegten Schatten auf den ebenen Boden, auf dem der Mast steht. Berechnen sie die Geschwindigkeit des Schattens nach einer Sekunde im freien Fall. Berechnen sie die Geschwindigkeit des Schattens in jenem Zeitpunkt, wo der Ball die Höheh= 10m erreicht hat.

2. Ein Wassertank hat die Form eines auf der Spitze stehenden Kegels mit Öffnungswinkelφ = ^π₃. Der Wassertank wird an der tiefsten Stelle (der Spitze) über ein Ventil entleert, wobei 2 Liter pro Sekunde abfließen. Die Variablehbezeichnet die Höhe des Wasserspiegels im Tank (von der Spitze aus gemessen). Bestimmen sie die Änderungsrate (Geschwindigkeit) des Wasserspiegelsh⁰= ^dh_dt in jenen Zeitpunkten, wo der Wasserspiegel die Höhe h= 1m,h= 0.5m bzw. h= 0.25m hat.

3. Ein kugelförmiger Luftballon wird aufgeblasen wobe 20 Liter Luft pro Minute in den Ballon gepumpt werden. Berechnen sie die Änderungsraten ^dr_dt und ^dO_dt des Radius r und der Oberfläche der OberflächeO in jenen Zeitpunkten, wor= 0,2m bzw. r= 0.4m ist.

4. Eine drehende Kurbelwelle bewegt einen Kolben, der in einem Zylinder geführt wird in horizontaler Richtung hin und her. Die Rotationsgeschwindigkeit der Kurbelwelle beträgt ω= 20_sec¹ (Radiant pro Sekunde), die Länge der Pleuelstange ist 22 cm, der Radius der Kurbelwelle ist 8 cm. Wie groß ist die Drehzahl der Kurbelwelle in Umdrehungen pro Minute? Finden sie einen Formelmäßigen Zusammenhang zwischen dem Drehwinkel θ und der Position des Kolbens x. Bestimmen sie die Geschwindigkeit des Kolbens v=^dx_dtin Abhängigkeit vom Winkel θ.

Skizzen f¨ur Beispiele 1 und 4:

20 m

12 m

8 c

m 22 cm

x

5. Zerlegen sie die reelle Zahlengerade in Teilintervalle, auf denen die Funktion g(x) = (x²−4)²³ monoton steigend bzw. monoton fallend ist. Geben sie alle lokalen Maxima und Minima der Funktion an.

(22)

6. Bestimmen sie die offenen Intervalle auf denen die Funktionf(x) =^x_x²2⁺¹−4 konvex bzw. konkav ist.

7. Geben sie eine Begründung dafür an, dass die Gleichunge^x=^x₂² genau eine Lösungx0inRbesitzt.

Hinweis: In (−∞,0] existiert genau eine L¨osung, in [0,∞) hat die Gleichung keine L¨osung.

2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

1. Skizzieren sie die Funktioneny₁(t) = sin(t)−2 sin(3t),y₂(t) = cos(2t)−2 sin(2t) am Intervall [0, π].

2. Finden sie alle Extremwerte der Funktiony=x³−²₃x².

3. Finden sie alle lokalen Extremstellen den Funktion f(x) = ¹₂x−sinxam Intervall [0,2π]. Achten sie auf die Randpunkte des Definitionsintervalls.

4. Finden sie alle kritischen Punkte und die Teilintervalle auf denen die angegebenen Funktionen monoton steigen bzw. fallen f¨ur die folgenden Funktionen:

(a) f(x) =−2x²+ 4x+ 3, g(x) = (x+ 2)²(x−1).

(b) f(x) =x¹³ + 1, g(x) = (x−1)¹³. (c) f(x) =x+¹_x, g(x) =^x+3_x2 . (d) f(x) =^x²^−3x−4_x−2 .

(23)

Höhere Mathematik I, Übungen, Wintersemester 2006 13. Übungsblatt, bis 22.1 .2006

1 Ubungsbeispiele ¨

1. Geben sie den maximalen Definitionsbereich der folgenden Funktionen in R an. Zerlegen sie den Definitionsbereich in disjunkte Teilintervalle, auf denen die jeweilige Funktion konvex bzw. konkav ist.

(a) f(x) =x√

x+ 1, g(x) = ^x+1^√_x. (b) h(x) = 2 sinx+ sin 2x.

2. Zum Nachdenken: Eine Vase mit der angegebenen Form wird mit Wasser gefüllt, wobei der Wasser- hahn während der Füllung nicht verstellt wird (d.h. die zulaufende Wassermenge pro Sekunde ist konstant).

d

(a) Skizzieren sie die F¨ullh¨ohe d als Funktion der Zeit.

(b) Hat die Funktion d am Intervall [0, H] Ex- tremwerte? (Begr¨undung!)

(c) An welchen Stellen hat der Graph der Funktion dWendepunkte?

3. Bestimmen sie alle Asymptoten (horizontale, vertikale und schr¨age) der Funktionen (a)f1(x) = x

√x²+x+ 2, (b)f2(x) = x²−2x+ 4 x−2 .

Gibt es Punkte am Graphen der jeweiligen Funktion wo die Tangente parallel zu einer der Asymp- toten ist?

4. Analysieren und skizzieren sie den Graph der Funktiony= 2x⁵³−5x⁴³. Analysieren heißt hier: bestimmen sie Definitionsbereich, Differenzierbarkeit, Monotonieintervalle, Konvexit¨atseigenschaften, Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Asymptoten und alles weitere, was im Bezug auf die Kurve interessant erscheint.

2 Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle

1. Finden sie alle Extremwerte, Nullstelle und Wendepunkte der Funktionen (a)f(x) = 2x³+ 3x²−12x (b)x(t) =t+1

t.

2. Diskutieren sie die Graphen der folgenden Funktionen:

(a)y(x) = x²+ 1

x²−9, (b)f(t) = (t+ 1)(t−2)(t−5), h(z) =z√ 9−z.

(24)

3. Ordnen sie die Graphen der Funktionen in der ersten Zeile der Abbildung den entsprechenden Graphen der Ableitungsfunktionen in der zweiten Zeile zu.

−2 0 2

−3

−2

−1 0 1 2 3

−2 0 2

0 2 4 6 8 10

−2 0 2

−2

−1 0 1 2

−2 0 2

−4

−2 0 2

−3

−2

−1 0 1

−2 0 2

−10

−5 0 5 10

−2 0 2

−3

−2

−1 0 1 2 3

−2 0 2

−10

−5 0 5

−2 0 2

−0.5 0 0.5 1 1.5

−2 0 2

−2

−1 0 1 2