Wie hoch sollte Ihr Budget f¨ ur Bohrk¨ opfe sein, damit Sie das Bohrprojekt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% auch bis zu Ende durchf¨ uhren k¨ onnen?

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7. ¨ Ubungsserie Statistik I SoSe 2018: L¨osung

3. Aufgabe Bei einem Explorationsprojekt f¨ ur die Nutzung geothermischer Ener- gien soll eine 3 km tiefe Probebohrung gemacht werden. Ein Bohrkopf kostet 30.000 e und h¨ alt durchschnittlich 30m durch, aber das variiert. Der Variations- koeffzient ist 3.

Wie hoch sollte Ihr Budget f¨ ur Bohrk¨ opfe sein, damit Sie das Bohrprojekt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% auch bis zu Ende durchf¨ uhren k¨ onnen?

L¨ osung: Es gelte die folgende Bezeichnung

X − ” zuf¨ allige Tiefe eines Bohrkopfes.“

Gem¨ aß der Aufgabe gilt

µ

∶= E [ X ] = 30 (durchschnittliche Bohrl¨ ange in m) Desweiteren soll f¨ ur den Variationskoeffizient gelten

V

= σ

E [ X ] = 3 Ô⇒ σ

= 3 ⋅ E [ X ] = 90 (in m) Ô⇒ σ

= Var [ X ] = 8100 (in m

)

Es sei nun Angenommen, dass n Bohrk¨ opfe zur Verf¨ ugung stehen. Die Zufalls- gr¨ oßen

X

, X

, . . . , X

sollen unabh¨ angig sein und die gleiche Verteilung wie X haben (X

∼ X). Sie beschreiben die Anzahl der Meter, mit denen die einzelnen Bohrk¨ opfe, welche zur Verf¨ ugung stehen, bohren bevor sie ausfallen. Dann betr¨ agt die Gesammttiefe der Bohrungen

S

∶= ∑

i=1

X

.

Um das notwendige Budget bestimmen zu k¨ onnen ben¨ otigen wir die kleinste An- zahl der Bohrk¨ opfe n, so dass die folgende Bedingung erf¨ ullt ist.

P ( S

≥ 3000

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ )

Gesammttiefe ist mindestens 3km

≥ 0, 99

Problem: Es ist nicht bekannt, wie die Zufallsgr¨ oße X (und somit auch S

) exakt verteilt ist.

L¨ osung: Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes

. Dieser sagt, dass f¨ ur große n das Folgende gilt.

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vgl. z.B. Folien zu Vorlesung 5, Seite 17

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P ( S

< x ) ≈ Φ ⎛

⎝

x − nµ

√ nσ

⎞

⎠ = Φ ( x − 30n

√ 8100n ) = Φ ( x − 30n 90 √

n )

Damit erh¨ alt man

P ( S

≥ 3000 ) ≥ 0, 99 ⇐⇒ 1 − P ( S

< 3000 ) ≥ 0, 99

⇐⇒ P ( S

< 3000 ) ≈ Φ ( 3000 − 30n 90 √

n ) = Φ ( 100 − n 3 √

n ) ≤ 0, 01

⇐⇒ 100 − n 3 ⋅ √

n ≤ z

Da z

= − z

= − z

= − 2, 326 gilt auch das Folgende.

P ( S

≥ 3000 ) ≥ 0, 99 ⇐⇒ 100 − n 3 ⋅ √

n ≤ − 2, 326

⇐⇒ 100 − n + 6, 978 √ n ≤ 0

Zu l¨ osen ist nun die Gleichung

100 − n + 6, 978 √

n = 0. (0–1)

Durch die Substitution y = √

n und multiplizieren mit − 1 erh¨ alt man eine quadra- tische Gleichung.

y

− 6, 978y − 100 = 0.

Deren L¨ osungen y

und y

lassen sich z.B. mit Hilfe der p-q-Formel bestimmen.

y

= 6, 978

2 ±

√

(− 6, 978

2 )

+ 100

Ô⇒ y

= 14, 0802 Ô⇒ √ n

= 14, 0802 Ô⇒ n

≈ 198, 25 Ô⇒ y

= − 7, 1 < 0 Ô⇒ √ n

= − 7, 1 Ô⇒ L¨ osung n

entf¨ allt Ô⇒ n

= 198, 25 ist einzigste L¨ osung der Gleichung (0–1)

D.h. damit die erforderlichen 3km mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% gebohrt werden k¨ onnen ben¨ otigt man mindestens 199 Bohrk¨ opfe. Das erforderliche Budget sollte also mindestens

199 ⋅ 30.000 e = 5.970.000 e

betragen. ◻