Zeigen Sie:

Aufgabe 5.1 Zeigen Sie:

∀ X, a mit X : Gruppe; (G, op, e, inv) := X; a ∈ G gilt a ∗ e = a;

Aufgabe 5.2

Definieren Sie den Begriff Gruppenelement(X), dessen Beispiele gerade die Elemente der Menge aus X sind. Definieren Sie dann den Begriff inversesElementZu(a, X ) f¨ur eine Gruppe X und ein zugeh¨origes Gruppenelement a und zeigen Sie:

∀ a, X mit X : Gruppe; a : Gruppenelement(X) gilt ∃ !inversesElement(a, X);

Aufgabe 5.3

Zeigen Sie f¨ur eine beliebige Gruppe ( G, op , e, inv) die Rechenregeln e ∗ e = e, e

= e . Außerdem sind die Regeln (a

)

= a und (a ∗ b)

= b

∗ a

f¨ur beliebige Grup- penelemente a, b zu zeigen.

Aufgabe 5.4 Zeigen Sie:

∀ X, a, b mit X : Ring; (R, plus, 0, inv, mal) := X; a, b ∈ R gilt ( − a) · b = − (a · b);