Zusammenhang zur Penrose Parkettierung

Demzufolge haben Lu und Steinhard den Bogenzwickel des Darb-i Imam Schreins mittels der durch Penrose entdeckten Kacheln, Pfeilen und Drachen, parkettiert.

Dazu wurden die Girih-Kacheln durch Drachen oder Pfeile bzw. aus vergr¨oßerten Drachen und Pfeilen zusammengesetzt. F¨ur das Zehneck gibt es zehn M¨oglichkeiten und f¨ur das Sechseck und die Fliege jeweils zwei M¨oglichkeiten dieser Kachelung.

Lu und Steinhardt haben diese Zuordnung nach Abbildung 4.31 am Beispiel des Darb-i Imam Schreins angewendet. Es stellte sich bei der Penrose-Parkettierung des Darb-i imam Schreins heraus, dass unter 3700 Penrose Kacheln 11 Fehler aufge-taucht sind. (Siehe Abbildung 4.32). Diese Fehler konnten aber durch eine einfache Umstellung von den jeweils betroffenen Kacheln behoben werden.

Abbildung 4.31: Vergr¨oßerung von Pfeilen und Drachen und Abbildungsvorschrift der Girih-Kacheln durch Kachelung nach Penrose f¨ur Fliege, Sechseck und Zehneck [14]

Abbildung 4.33: Aus Abbildung 4.31 auftauchende Fehler (links). Durch einfaches Vertauschen wird der Fehler behoben (rechts) [14]

Abbildung 4.32: Penrose-Parkettierung des Darb-i Imam Schreins mit 11 festgestell-ten Fehlern [12]

4.6 Quasikristalle

Im 3-dimensionalen Raum

Die Strukturen und Prinzipien der Geometrie der Parkettierung des 2-dimensionalen Raumes k¨onnen auch auf h¨ohere Dimensionen ¨ubertragen werden. Beispielsweise kann die ¨Uberlegung des Ausf¨ullens des dreidimensionalen Raumes durch Kristal-le erfolgen. Eine kristallographische Raumgruppe ist eine diskrete Symmetriegruppe des euklidischen Raumes mit drei linear unabh¨angigen Translationen. Auch ein drei-dimensionales Elementargitter, auf welches Elementaroperationen angewendet wer-den k¨onnen, wird im 3-dimensionalen Raum erm¨oglicht. Die Elementaroperationen unterscheiden sich nat¨urlich von denen aus der euklidischen Ebene. Die Spiegelungen an Geraden sind im Raum durch Spiegelungen an Spiegelungsebenen zu ersetzen. Die Drehungen um ein Zentrum werden im Raum durch Achsendrehungen durchgef¨uhrt.

Das Prinzip der Gleitspiegelung, Drehung und anschließender Verschiebung, kann im Raum als die Bewegung der Schraubung aufgefasst werden, bei der der K¨orper entlang einer Achse gedreht und anschließend parallel zu dieser Achse verschoben wird. Insgesamt lassen sich 230 verschiedene Raumklassen unterscheiden. Darunter sind 15, welche die m¨oglichen Kristallstrukturen nat¨urlicher Kristalle vollst¨andig

beschreiben.

Ahnlich wie im 2-dimensionalen Fall der Muster k¨¨ onnen Kristallen und Quasikris-talle unterschieden werden. Die Anordnung der Atome bzw. Molek¨ule bei Kristallen weisen eine regelm¨aßige Struktur auf, w¨ahrend bei quasiperiodischen Kristallen dies nur scheinbar geordnet ist, denn in Wahrheit handelt es sich um aperiodische Struk-turen. Diese Quasikristalle wurden erstmals 1982 von Dan Shechtman entdeckt.

Vorteile der Quasikristalle sind in der Anwendung bei Metallen zu sehen.

Muster in Quasikristallen

Es ist klar, dass die erlaubten Symmetrien einer periodischen Parkettierung sich aus den kristallographischen Gruppen zusammensetzen, folglich lassen diese nur 2, 3, 4, 6-z¨ahlige Rotationssymmetrien zu. Bei der 5-facher Symmetrie ist die l¨uckenlose Kachelung der Ebene nicht m¨oglich. Die Penrose Parkettierung und die Kachelung durch die 5 Girih-Teile, als Beispiele zweier betrachteten periodischen Muster, in Wahrheit aber aperiodischen Muster, erm¨oglichen eine 5- oder 10-z¨ahlige Symme-trie. Zus¨atzlich kann jeder beliebige Ausschnitt dieses quasiperiodischen Muster de-ckungsgleich in einen anderen Ausschnitt des Ornaments ¨uberf¨uhrt werden.

Der Zusammenhang zu den Kristallen ist die ¨Ahnlichkeit zwischen den Quasikris-tallen und der Penrose-Parkettierung (von Roger Penrose) sowie der Parkettierung durch die f¨unf Girih-Kacheln, die bereits vor der Entdeckung der Quasikristalle er-kannt wurden und quasiperiodische Muster aufweisen. Die Schnittfl¨ache eines Qua-sikristalls zeigt genau ein solches Muster wie das der Penrose- oder das der 5-Girih-Kachelung. 2007 wurden solche Parkettierungen an islamischen Bauwerken im ara-bischen Raum entdeckt, die bezeugen, dass die Erbauer m¨oglicherweise schon vor 500 Jahren das Wissen ¨uber diese besondere Symmetrie hatten.

Geometrische Interpretation

Jedes periodische Muster kann durch Verschieben einer immer wieder auftretenden Zelle, die Einheitszelle, um einen bestimmten Abstand erzeugt werden kann. In ei-nem quasiperiodischen Muster gibt es keine Einheitszelle, die um einen bestimmten Abstand verschoben werden kann, um das gesamte Ornament zu erzeugen. W¨ahlt man jedoch einen beliebigen Ausschnitt des quasikristallinen Musters, so kann dieser Ausschnitt auf eine andere Stelle verschoben werden, sodass der Ausschnitt deckun-gleich mit dem Muster ¨ubereinstimmt.

Die Beziehung zwischen periodischen und nicht periodischen Mustern ist dadurch

charakterisiert, dass aus periodischen Muster h¨oherer Dimension ein quasikristalli-nens Muster erzeugt werden kann.

Dieser Sachverhalt ist auch auf den dreidimensionalen Raum ¨ubertragbar, denn um einen dreidimensionalen Quasikristall zu erzeugen, kann von einer periodischen An-ordnung von Punkten in einer h¨oheren Dimension, also in einem sechsdimensionalen Raum, ausgegangen werden. Da der dreidimensionale Raum ein Unterraum ist, der den sechsdimensionalen Raum in einem bestimmten Winkel durchdringt, kann jeder Punkt des sechsdimensionalen Raumes auf den Unterraum projiziert werden. Das quasiperiodische Muster wird durch den auftretenden Goldenen Schnitt, der bei der Projektion zustande kommt, erzeugt.

Es gibt Kristalle mit so genannten Kristallfehlern, also Stellen, wo deren Muster in Unordnung geraten ist. Diese Fehler zeichnen sich im dreidimensionalen Unter-raum dadurch aus, dass der UnterUnter-raum bei der Durchdringung in dem h¨oherdimensionalen Raum gebogen, gefaltet oder gebrochen ist.

Dieser geometrische Ansatz ist n¨utzlich, um physikalische Quasikristalle zu ana-lysieren, da sich verschiedene Anwendungen aus quasikristallinen Verbindungen er-geben. Zum Beispiel erm¨oglichen quasikristalline Beschichtungen einen besonders geringen Abrieb und eine geringe Haftung, was bei Bratpfannen vorteilhaft ist.

Schlussbemerkung

”We ought not to be ashamed of appreciating the truth and of acquiring it wherever it comes from, even if it comes from races distant and nations different from us. For the seeker of truth nothing takes precedence over the truth, and there is no disparagement of the truth, nor belittling either of him who speaks it or of him who conveys it. (The status of ) no one is diminished by the truth; rather does the truth ennoble all.”

Abu Yusuf Ya´qub ibn Ishaq as-Sabbah al-Kindi Arabischer Philosoph, Mathematiker, Physiker und Musiker

(801 - 873)

Abschließend l¨asst sich aus meiner Sicht res¨umieren, dass das Thema dieser Ar-beit insbesondere hinsichtlich der Anwendung von Parkettierungen auf islamischen Bauwerken vor allem in wissenschaftlichen Beitr¨agen erst seit kurzem Bekanntheit erlangt hat. Daher lag mir pers¨onlich viel daran, dieses Thema aufzugreifen und zu-mindest einen Teil des verloren gegangenen Wissens des Golden Zeitalters des Islam wieder ans Licht zu bringen. Denn meines Erachtens ist gerade dies notwendig, um den aus heutiger Sicht konfliktbeladenen Dialog zwischen Orient und Okzident ge-rade zu r¨ucken, wie folgendes Zitat aus der Dokumentation:

”Das Geheime Wissen des Islam “ausgestrahlt auf RTL II sch¨on zusammenfasst:

Noch heute haben viele Muslime einen Minderwertigkeitskomplex gegen¨uber der westlichen Welt. Auch weil sie die Leistungen ihrer Vorfahren nicht kennen, weil

sie nicht wissen, dass heutige Standards auf dem Gebiet der Optik, Medizin, Mechanik oder Zeitmessung ohne die Erfindung muslimischer Wissenschaftler nicht m¨oglich gewesen w¨aren. Erkennt wiederum der Westen, wie viele Errungenschaften

seiner Zivilisation tats¨achlich aus dem islamischen Raum stammen, w¨urden die beiden Kulturen einander wesentlich mehr Respekt entgegenbringen.

[1] Padraic, CC-Lizenz, Weitergabe unter gleichen Bedingungen. xi, 15 [2] Prof. Rudolf Scharlau. Skript - Diskrete Geometrie. xi, 19

[3] Erhard Quaisser. Diskrete Geometrie. Spektrum Akademischer Verlag, 1994.

xi, 7, 25, 29, 30, 31, 32, 33, 35, 36

[4] Prof. Dr. rer. nat. Udo Hebisch. Symmetriezeichnung 47 - Die fliegenden V¨ogel. http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/mce/symm47.

html, 1942. xi, 34

[5] Martin von Gagern. Diplomarbeit - Computergest¨utztes Zeichnen in den Symmetriegruppen der euklidischen Ebene. http://martin.von-gagern.net/

publications/, 15.02.2008 2008. xi, xii, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44

[6] Nandini Bagchee. Oljeitu tomb, sultaniya, Iran [image 9 of 79]ltaniya, iran [image 9 of 79]ljeitu Tomb, sultaniya, iran [image 9 of 79]. http://archnet.

org/library/images, 1999. xii, 47

[7] Ketterkat. Kalligraphie.http://www.zentralasien.net/ornament/info/09_

kalli.html, 2003. xii, 48, 49

[8] Udo Hebisch. Sch¨ulerprojekt regelm¨aßige Fl¨achenaufteilung nach M. C. Escher.

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/projektescher.html, 2011. xii, 50

[9] A penrose tiling using thick and thin rhombi. http://en.wikipedia.org/

wiki, 2009. xii, 50

[10] Toon Verstraelen. Kite and dart tiles used in penrose tiling, with two sorts of matching rule. http://en.wikipedia.org/wiki, 2009. xii, 51

[11] Gulru Necipoglu und Mohammad Al-Asad. The Topkapi Scroll: Geometry and Ornament in Islamic Architecture. Oxford University, 1996. xii, xiii, 51, 61

[12] Peter J. Lu und Paul J. Steinhardt. Supporting online material for decagonal and quasi-crystalline tilings in medieval islamic architecture. Science Journals, 2007. xii, xiii, 52, 53, 54, 59, 60, 63, 64, 69

[13] Gauvin Bailey. Mausoleum of i’timad al-Daula Agra, India [image 1 of 3].

https://archnet.org/library/images, 1992. xii, 53

[14] Peter J. Lu. Decagonal and quasi-crystalline tilings in medieval islamic archi-tecture. Science Journals, 2007. xii, xiii, 53, 55, 60, 65, 68

[15] Robert Byron. Art and architecture. http://www.artandarchitecture.org.

uk/images/, 2011. xii, 55

[16] Sebastian R. Prange. The tiles of infinity. Saudi Aramco World, 2009. xiii, 61 [17] Raymond Tennant. Medieval islamic architecture, quasicrystals, and penrose and girih tiles: Questions from the classroom. http://home.earthlink.net/

~mayathelma/, 2009. xiii, 62