SteckbriefderAufgabe SekundarstufenIundII (Exponentialfunktionen) Dauer: 1-2 Unterrichtsstunden NotwendigeVoraussetzungen:
SchülerinnenundSchüler
# habenGrundkenntnisse inder Be-dienungderTabellenkalkulation
# könneneinenGraphenzeichnen ProzessbezogeneKompetenzen, die mitdieserEinheitgefördert werden können:
SchülerinnenundSchüler
# übersetzenRealsituationenin mathe-matischeModelle
# begründendieWahlihresModells InhaltsbezogeneKompetenzen, die dieseEinheit verfolgt:
SchülerinnenundSchüler
# stellenExponentialfunktionenals Wertetabellen, GraphenundTerme
# darkönnenzuMesswerteneine Ausgleichsfunktionfinden
RollederTechnologie (TI-NspireTM, TI-NspireTMCAS)
# VisualisierenvonMesswertenundGraphen
# Berechneneiner Regressionsfunktion
MöglicheZugänge, dievonderTechnologieunterstützt werden:
# Numerisch:AuflistendergemessenenWerte ineinerTabelle
# Algebraisch:VariierendesFunktionsterms
# Graphisch:AnpasseneinesGraphenandiePunkte einesStreudiagramms EmpfehlungzurUnterrichtsorganisation:
# ArbeitinKleingruppen (3 - 4SchülerinnenundSchüler)
# FühreneinesLerntagebuches
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52 ZerfallvonBierschaum 2/8 ©T3 2008
Bierschaumzerfall
„EingutesPilsbraucht7Minuten!“ Vielleichthastdudas schoneinmalgehört. Aber wie langedauertes, bisderSchaumwieder zerfallenist?Wieläuftder Zerfallgenauab?
# gleichmäßig
# anfangs schneller undspäterlangsamer
# derSchaumistanfangs ziemlichstabilundzerfälltdannsehr schnell
Plane einExperiment, mitdemdudieSchaumhöhe inAbhängigkeit vonderZeitermitteln kannst.
MissdieSchaumhöhe etwa alle 15SekundenundhaltedieErgebnisse ineinerTabelle fest.
Tipps
#Da derSchaum von oben und von unten zerfällt, kann es für dasAblesen einfacher sein, in regelmäßigen ZeitabständenFotos zu machen oder dasExperiment zu filmen.
#Da mit fortschreitendem Zerfall auchBierschaumreste amGlas hängen bleiben, wird es schwierig, dieOberkante genau festzulegen. Wir haben guteErfahrungen damit gemacht, dass wir den jeweils tiefstenPunkt am oberenRand derSchaumkrone gewählt haben.
ModellieredieMesswertedurch eine geeigneteFunktion. BegründedieWahldes Funktionstyps.
WannistderBierschaum nurnoch halbsohochwieamAnfang?
WievielProzentdesSchaums sindindeinemModell nach7Minutenzerfallen?
Formuliereauch eigeneFragenandasExperiment und andasModell.
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©T3 2008 3/8 ZerfallvonBierschaum53
Füralle, diekeineMöglichkeithaben, dasExperiment selbstdurchzuführen:
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54ZerfallvonBierschaum 4/8 ©T3 2008
Tipps zurVersuchsdurchführung
NachunserenExperimenteneignet sichAltbierbesseralsPils. AuchMalzbieristeinen Versuchwert. AusGründenderbesserenAblesbarkeitbietetes sichan, keingewöhnliches Glas zu verwenden, sonderneinenMesszylinder. DieserkannbereitseineSkalahaben, man kannaberauch einLinealdanebenstellen. DieHöhederBierschaumkronesollte in Abständenvon 10 bis 15Sekundenabgelesenwerden.
Auswertung
Hier wird dieVersuchsseriezudenFotosausgewertet. Esgibt verschiedene Vorgehens-möglichkeiten, zweiunterschiedlichesollenhiergezeigt werden.
DieZeit tk (ins) undHöhe hkder Bierschaumkrone (in mm) werden nacheinander vondenFotosabgelesen undinLists & Spreadsheet
eingegeben.
Tipp:EigeneNamenfürdieSpalten sollten mehralseinenBuchstaben lang sein;wennder Namenurauseinem Buchstabenbesteht, mussdas Programmimmernachfragen, ob es sichumdieselbstdefinierteVariable handeltoder umdievorgegebene SpaltederTabellenkalkulation.
Alternative 1:
DieMesswertewerdenauf einerneuen Seite ineinemStreudiagramm
dargestellt (Listengraphischdarstellen).
Schönwärenun, eine Exponentialfunk-tionvomTyp f(x)& %a bx vonHand an diePunkteanzupassen.
Änderungen mitderGreifhand–wiebei Parabeln (Graph einerFunktion
zeichnen) –stehenhiernicht zur
Verfügung, lassensichabernachbauen.
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©T3 2008 5/8 ZerfallvonBierschaum55
Dazu wirdeinPunktaufdiey-Achse gelegt undeinzweiterPunktaufdie Zeichenfläche.
DieKoordinatenderbeidenPunkte werdenangezeigt, diey-Koordinatedes erstenPunktes wird alsVariablea abgespeichert, diebeidenKoordinaten desanderenPunktsalspx undpy (Wertespeichern).
Daraus wirdinderApplikationLists &
SpreadsheetinZelleA1 dieBasisb berechnet und dasErgebnisals Variablebgespeichert.
DerTerm a b% x wird bei f1(x) eingege-benundmanerhälteine Exponential-funktiondurchdiebeidenPunkte.
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56ZerfallvonBierschaum 6/8 ©T3 2008
DurchZiehenandenbeidenPunkten kann man nundenGraphen nach
AugenmaßandenStreu-Plotanpassen.
DieaktuelleBasislässt sichderTabelle entnehmen.
Anmerkung:StattmitderGreifhand kann manauchdirektmitden
Parameternaund bimFunktionsterm experimentieren. Dies wirdinAlternative 2 dargestellt, istaberauch hiermöglich.
Alternative 2:
ZudenMesswertenwirdein SchnellGraph gezeichnet.
UnterSeitenlayoutlässt sichdas Graphikfensterbenutzerdefiniert vergrößern (Seitenteilen).
Ggf. müssendieEinstellungender Koordinatenachsenangepasst werden.
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©T3 2008 7/8 ZerfallvonBierschaum57
ImerstenSchritt wirdeine Exponential-funktionvomTyp f(x)=a b% x vonHand andiePunkteangepasst. Dies
geschieht überFunktionzeichnen:
Geschätzt wirdeinStartwert von a= 180, mitderWahlvonbwird experimentiert (hier wurdezunächst b= 0,99gewählt).
DerFunktionsterm kanndurch Doppelklick[x,x]editiert werden.
b= 0,996liefertindiesemFalleinengut passendenGraphen.
Danachwirdeine Exponential-Regres-sion mitdemRechnerdurchgeführt (Regressiondurchführen).
Hierkann mangut vergleichen, wiesich derRegressionsgraph (fett) vondem vonHand angepasstenGraphen (dünn) unterscheidet.
Wann ist derBierschaum nur noch halb so hoch wie amAnfang?
Wie vielProzent desSchaums sind in deinemModell nach7Minuten
zerfallen?
DieseFragen lassensich imCalculator beantworten.
Dazu wirdnach einemDoppelclickauf dieRegressionsgleichungderTerm mit copy-paste indenCalculator
übertragenund alsf2(x) abgespeichert (Wertespeichern).
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58ZerfallvonBierschaum 8/8 ©T3 2008
Im Unterricht lässt sich dieses Experiment z.B. einsetzen als eine Station in einem Lernzirkel über Anwendungen von Exponentialfunktionen oder mit einem etwas anderen Akzent im Zusammenhang der Modellierung von Messdaten durch verschiedene Funktionenklassen.
In dem Experiment wird die Höhe einer Bierschaumkrone in Abhängigkeit von der Zeit gemessen. Weil es sich dabei um einen Zerfallsprozess handelt, kann hier genauer unter-sucht werden, ob in einer bestimmten Zeiteinheit ein konstanter Prozentsatz der noch vorhandenen Bierschaumkrone zerfällt. Dies wäre gleichbedeutend mit einer Modellierung durch eineExponentialfunktion.
AlsVorgehensweisenbeidenMessungenbietensichan:
# Die Schülerinnen und Schüler arbeiten in Gruppen mit drei bis vier Mitgliedern zusam-men. Einerliest die Höhe des oberen Schaumrandes ab und notiert diese, ein anderer verfährtebenso mit demunteren Schaumrand. Ein weiteres Gruppenmitglied achtetauf dieUhr undgibtdasKommandozumAblesen.
# Der Versuchsaufbau wird alle 10 bis 15 Sekunden mit einer Digitalkamera fotografiert, die Bilder werden auf einen Computer übertragen, so dass die jeweilige Höhe der Bierschaumkrone inRuheabgelesenwerden kann.
# Der Zerfallsprozess wird mit Hilfe einer Videokamera gefilmt. Der Film wird danach z. B. mitHilfe eines Beamers projiziert;in regelmäßigen Abständen werden Standbilder erstellt und ausgewertet.
DasExperimentistnachca. 5Minutenbeendet.
DanachwirdesindenKleingruppen, dieauchzusammengemessenhaben, ausgewertet.
An dieserStelle haben die Schülerinnen und Schülerdie Aufgabe, dieDaten mit Hilfe einer geeigneten Funktionenklasse zu modellieren. Je nach Vorerfahrungen werden vielleicht quadratischeFunktionen oderaberauchschonExponentialfunktionenvorgeschlagen.
Um die Parameter der Exponentialfunktion besser zu verstehen, ist es günstig, zuerst eine Funktionsanpassung von Hand vorzunehmen und anschließend die Regressionsrechnung vomProgrammdurchführenzulassen.
DieÜbereinstimmung zwischen dem Punkteplot derMesspunkte und derRegressionskurve ist gut bis auf die ersten Messpunkte. Dieses Phänomen beobachtet man bei der expo-nentiellen Regression mit Computern öfter. Bei diesem Experiment ist aber auch eine Modellkritik lohnend, da die letzten Werte durch das Hängenbleiben von Bierschaumresten amGlasmithöherenFehlernbehaftet sind.
Literatur
Ministerium für Schule und Weiterbildung (2007): Berichte, Informationen, Konzepte und Materialien aus dem Modellversuch SINUS-Transfer NRW. Medienzentrum Rheinland, Düsseldorf. Dort:Projekt 2, EiMu (ExperimenteimMathematikunterricht).
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©T3 2008 1/4 Gleisarbeiten59
Gleisarbeiten
SabineWüllner, Landrat-Lucas-GymnasiumLeverkusen AndreasPallack, Soest