SteckbriefderAufgabe
SekundarstufeI/II (jenach gewähltemBild) Dauer: 2-3Unterrichtsstunden
NotwendigeVoraussetzungen:
SchülerinnenundSchüler
# verfügenüberBasiswissenausdem Be-reichderjeweilsgenutzten Funktionsar-tenundgeometrischenObjekte
Kompetenzen, diemitdieserEinheit ge-fördert werden können:
BeiallenBilderngehtesdarum, dass Schü-lerinnenundSchülerMusteranalysieren, Ideenzuihrer Reproduktionentwickelnund dieserealisieren.
DieweiterenZielesindjenach gewähltem Bildunterschiedlich.
BeiBildern mitFunktionsgraphengehtes darum, denZusammenhangzwischen Funk-tionstermundGraphikzu vertiefen.
BeiBildern mitgeometrischen Konstruktio-nengehtes umdasErkennenund Reprodu-zierenderkonstruktivenElemente.
RollederTechnologie (TI-NspireTM, TI-NspireTMCAS):
DerRechnerdientalsWerkzeugzumAusprobierenundOptimiereneigenerIdeen. Die indi-viduellenKreationen können, ähnlichwiebeiderTextverarbeitungaufdemComputer, als Dokumentabgespeichert undevtl. ausgetauscht werden.
MöglicheZugänge, dievonderTechnologieunterstützt werden:
# Graphisch:DurchdasVerändernvonGraphen könnenTermemanipuliert werden.
# Algebraisch:DieLernendenerkennendenGraphenundübersetzenihnineinenTerm.
EmpfehlungzurUnterrichtsorganisation:
# Esbietet sichan, dieSchülerinnenundSchülerin kleinenGruppenarbeitenzulassen und dieErgebnisse imPlenum oderinExpertengruppenzu vergleichen.
Hinweis:
DieBilder wurdensoausgewählt, dass sie einbreitesfachlichesSpektrumabbilden. Im Un-terrichtbietetes sichnichtan, dieLernendenalleBildererzeugenzulassen. InAbhängigkeit vonderKlassenstufeund derZielsetzungsollte eineAuswahlgetroffenwerden.
TitelderEinheit Kopiervorlage Lösungshinweise Didaktischer
Kommentar Zusatzmaterial
64Bilderanalysierenundrekonstruieren 2/8 ©T3 2008
ErzeugedieBilder
a) mitHilfevonGeradenundggf. Kreisen:
b) mitHilfevonParabeln oderKreisen:
..
c) inderPolarkoordinaten- oderParameterdarstellung
TitelderEinheit Kopiervorlage Lösungshinweise Didaktischer
Kommentar Zusatzmaterial
©T3 2008 3/8 Bilderanalysierenundrekonstruieren65
SämtlicheBilder werdeninderApplikation Graphs & Geometryerstellt. Fürdaserste BildKronebenötigenSiedieGrafikansicht (Ansicht, Grafikansicht), die inderRegel standardmäßig eingestelltist. StellenSie, bevorSiebeginnen, das Koordinatensys-temsowie imBildschirmfotoein.
DasBild 1.1:KronewirdmitHilfevon ab-schnittsweisedefiniertenGeradenerstellt (Funktionen, abschnittsweise). Für Schüle-rinnenundSchüleristesofteinfacher, jedenAbschnitteinzelnzubehandeln. Ent-sprechend bedienenwir unshierdes Ope-rators |. ImBildrechts wirdgezeigt, wie er angewendet wird, umGeradenabschnitte zudefinieren.
NatürlichwerdendieLernenden nicht im-mermitdemerstenVersuchtreffen. Ein wesentlicherVorteilbeiderArbeitmitdem Rechner (man könntedieFunktionenja auchohneRechnerbestimmen) zeigt sich genauandieserStelle:Man kanndie eige-nenÜberlegungenunmittelbar überprüfen, Fehler sindkonstruktiveElemente eines Argumentationsprozesses.
AlleFunktionsabschnittezurDefinitionder Krone findenSie inderAbbildungrechts.
Das zweiteBildGeradenscharwirdinder AnsichtEbenengeometrie erstellt.
KonstruierenSiezuersteinenKreis (Linien, besondere). AufdemKreiskonstruieren Sie eineTangente ([b,6, 7: Tangen-te]).
TitelderEinheit Kopiervorlage Lösungshinweise Didaktischer
Kommentar Zusatzmaterial
66Bilderanalysierenundrekonstruieren 4/8 ©T3 2008
MitHilfederOptiongeometrischerOrt wird dieGeradenschar erstellt.
DasBildergibt sichalsodurch eine Kreis-tangente, die entlangdesKreisrandes be-wegt wird.
DieLängedesangezeigten Tangentenab-schnittskannverändert werden. Sotastet mansichSchrittfürSchrittandas Ausse-hendesgezeigtenBildesheran. Umes vollständignachzubilden, müsseneinige Objekteversteckt werden.
BeimBildSpringbrunnenkönnteman ähn-lichwiebeiderKrone explorativ vorgehen.
DasichallerdingseineSystematik offen-bart, wurde hiereinandererWeg gewählt.
WennSiediesenWegauchbeschreiten wollen, öffnenSie eineneueSeitemitder ApplikationCalculator.
DieScheitelpunkteallerParabelnhaben diey-Koordinate9. Darüberhinaus verlau-fenalleParabelndurchdenPunkt (0|5).
Daskann man nutzen (sieheRechnung rechts). ManerhälteineParabelschar, die lediglichvomParameterb abhängt (Er-gebnisderRechnung einsetzenindie Funktionsgleichung). Der SOLVE-Befehl kannjedoch indieserForm nurmit TI-NspireTMCASausgeführt werden.
DerParameter b bestimmtdie x-KoordinatedesScheitelpunktes. Durch EinsetzenderjeweiligenKoordinaten (rechtsimBildz. B. -4) ergibt sichnach undnachdasgezeigteBild.
Rechtsabgedruckt sind dieTerme fürden rechtenTeilderParabelschar. Dielinken ergebensich entsprechend.
Man kanninderRegel nichtdavon ausge-hen, dassSchülerinnenundSchülern die-sereleganteLösungsweg einfällt. Es emp-fiehlt sich, dieSchülerlösungenzunutzen, um nachSynergienbeiderBestimmung derFunktionsgleichungenzu suchen. Dar-aus wirdsichdanneineähnliche Systema-tikergeben, wiesie hier vorgeschlagen wurde.
TitelderEinheit Kopiervorlage Lösungshinweise Didaktischer
Kommentar Zusatzmaterial
©T3 2008 5/8 Bilderanalysierenundrekonstruieren67
DasBildParabelbrückebestehtaus zwei unterschiedlichenFormenvon Parabelab-schnitten. BeiderKonstruktion nutzenwir dieIdee, dieAbschnittezu verschieben.
Dazu wirdeinersterParabelabschnitt wie rechtsgezeigterstellt.
BeimVerschieben kann mansich eines Tricksbedienen:ManersetztdieVariablex durchsichselbst undeinenSummanden.
Dadurchwerdenallexinden Funktions-termendurchx + aersetzt, waseiner Ver-schiebung inx-Richtung entspricht.
Gezeigtist rechtsdieVerschiebungdes ursprünglichenBogens um4Einheiten nachlinks (x=x + 4).
Inden80erJahrenwurdenNotationenwie x=x + 4ausführlichdiskutiert. Wirhalten dieseNotation nichtfür schädlich, wenn SchülerinnenundSchülerndieBedeutung bewusstist, die hiernatürlich eine ganz andere ist, als z. B. inderApplikation Cal-culator.
RechtsfindenSiedienochausstehenden Parabelabschnitte. f14bisf18beschreiben dieunterenParabelbögen, f18bisf20 die oberen.
DasBildSchlafenderGeistunterscheidet sichwesentlichvondenvorhergehenden Parabelbildern. Soistkein Koordinatensys-temvorgegeben. Wirnutzendashieraus, indemdieErgebnisseder Parabelbrücke übernommenwerden. DieunterenBögen desGeistes sind die erweitertenunteren Brückenbögen (siehez. B. f22). Die ande-renParabelabschnittewurdendurch ge-zieltesExperimentierengefunden. Von Vorteil (wegenderSymmetrie) istesdabei, wennderGeist sichander y-Achse spie-gelt.
ZumSchluss werdendie Koordinatenach-senausgeblendet und dieNasemitHilfe desZeigers ([x]längerals 1 Sekunde drücken) erstellt.
TitelderEinheit Kopiervorlage Lösungshinweise Didaktischer
Kommentar Zusatzmaterial
68Bilderanalysierenundrekonstruieren 6/8 ©T3 2008
DasBildSonnenblumewirdähnlichwie dasBildGeradenschar (sieheoben) er-stellt. StatteinerTangentenwandert je-dochnunderMittelpunkteinesKreises entlangdesRandes (geometrischerOrt).
DieRadienderbeidenKreisesind iden-tisch.
DurchVergrößerndesBasiskreises tastet mansichnachundnachandas vorgege-beneBildheran. Umes vollständig nach-zubilden, müsseneinigeObjekteversteckt werden.
Diebeiden letztenBilder sind–im Ver-gleichzudenvorhergehenden–Exoten.
Manbenötigtfür sie einwenigWissenüber Koordinatensysteme.
DieSpiralewird durchdenGrapheneiner FunktioninPolarkoordinatendarstellung erzeugt. DienotwendigenAngabenfinden Sie imBildschirmfotorechts.
DieSchleifewird durchdenGrapheneiner FunktioninParameterdarstellung erzeugt.
DienotwendigenAngabenfindensie im Bildschirmfotorechts unten.
WennSchülerinnenundSchülerdiese Ko-ordinatensystemenochnichtkennen, wer-densiekauminderLagesein, die Funkti-onstermeselbstständigzuentwickeln.
DochauchdasVorführendesEntstehens dieserBilderhateinenMehrwert:Die Ler-nendensehen, dasses weiterealsdie be-kanntenKoordinatensysteme gibt, und dassesjenachSituationgünstigsein kann, einanderesSystemzu wählen.
SchließlichwerdenPositionenaufderErde auchnichtin kartesischenKoordinaten gemessen.
TitelderEinheit Kopiervorlage Lösungshinweise Didaktischer
Kommentar Zusatzmaterial
©T3 2008 7/8 Bilderanalysierenundrekonstruieren69
DarstellungvonFigurenimMathematikunterricht
SeitdamitbegonnenwurdeMathematik-Software imUnterricht zunutzen, wurde immer wie-der dieDarstellungvon Funktionsgraphenals einwichtigesThema fürdenComputereinsatz angeführt. Mehrfachwurdeversucht, dieseDarstellungsform„spielerisch“zubehandeln.
Dazu einige Beispiele: Der „Geist“ links in der Abbildung stammt von Paul Drijvers aus früher DERIVE-Zeit. Um diese Figurnachzubilden, ist einiges Wissenüber Eigen-schaften von Polynomfunktionen notwendig, also mathe-matisches Grundwissen, das wir unseren Schülerinnen und Schüler vermitteln wollen. Dies gilt aufanderer Ebe-ne ebenfalls für die Figur aus dem Beitrag von Bärbel Barzel (linkeAbbildung).
In der „Mathe-Welt“ (Mathematik lehren, Heft 130) wird allgemein auf Anwendungen mit Kurven (z. B. in der Computergraphik und in der Technik) eingegangen. Im Anschluss daran ist ein kleines Projekt vorgeschlagen („Das Liebesherz“). Durch geeignete Funktionen (Kreise, Polynomfunktionen) solldieFigurnachgebildet werden.
Wenn auch diese Form des Erstellens einer Figur noch nicht Anwenden von Mathematik ist, so kann damit eine motivierende Übungsphase im Mathematikunterricht ver-bundensein. DasErkundenvonEigenschaftenvon Funk-tionen kanninspielerischerWeise imUnterrichtgesteuert werden. DasZielfürdieLernendenistnichtdas Abarbei-ten einer Übungssequenz zubestimmten Funktionstypen sondern selbstständige Auseinandersetzung mit Funktio-nenundkreativesArbeitenanhandselbstgewählter Figu-ren.
Neben Funktionsgraphen können auch parametrische Darstellungen oder Darstellungen in Polarkoordinaten thematisiert werden. Fürdiese flexibleundviel verwende-teDarstellungsform lassensich anverschiedenen Stellen des MathematikunterrichtsBeispiele finden. Die Parameterdarstellung bietet sich jedoch als ein„natürlicher“Zugang an, wenn bereits entsprechendesVorwissenausTrigonometrieund Vektorrechnungvorhandenist.
Literatur/Quellenangaben
Barzel, B.;Bilder schaffen mitGraphen;Mathematik lehren–SammelbandStandards, Fried-richVerlag, 2007.
ArbeitsblattausMathematik lehren, Heft 130.
DieBilder 1.1, 1.4und 1.5vonSeite 2 diesesBeitrags stammenvonFranzSchlöglhofer. Bild 1.6wurdenach einer IdeevonClaudiaWernererstellt. AneinenArtikelvonAndreasPallack
(MustererkennunganästhetischenFiguren. SonderbeilageTI–Nachrichten 1/2007) wurden
dieBilder 1.2 und 1.7angelehnt.
TitelderEinheit Kopiervorlage Lösungshinweise Didaktischer
Kommentar Zusatzmaterial
70 Bilderanalysierenundrekonstruieren 8/8 ©T3 2008
Die folgendenFigurensolleneinfachAnregungseinfür weitereTätigkeit. Siestammenaus demUnterricht vonFranzSchlöglhofer undwurdenvonSchülerinnenundSchülernder5. B-KlassedesGymnasiumOrt, Gmundenselbstständig entworfen. Wiederum kann man versu-chen, dieFiguren nachzubilden oderauchselbst weitereFigurenentwerfen.
*
*
*
* UmdieseBilderexaktnachzubilden, benötigtmanvertikal Streckenab-schnitte. Dieselassensich inderParameterdarstellung erzeugen (sie-heBeispielrechts).
TitelderEinheit Kopiervorlage Lösungshinweise Didaktischer
Kommentar Zusatzmaterial
©T3 2008 1/8 WelcherBalkenträgtam meisten?71