... aller Anfang ist leicht. Aufgaben mit TI-Nspire™/TI-Nspire™CAS

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X:\Texas_Instruments\T3_Projekte\Projekte\Handreichung\Produktion\TI_Handreichung_T3_Akzente_DACH_070208.cdr Donnerstag,7.Februar200813:51:42

Farbprofil:Euroscale-Coatedv2 KompositStandardbildschirm

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X:\Texas_Instruments\T3_Projekte\Projekte\Handreichung\Produktion\TI_Handreichung_T3_Akzente_DACH_070208.cdr Donnerstag,7.Februar200813:55:52

Farbprofil:Euroscale-Coatedv2 KompositStandardbildschirm

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©T³ 2008 Inhaltsverzeichnis 1

Inhaltsverzeichnis

Seite Einführung: …allerAnfang istleicht 3

AndreasPallack Basisteil

Beitrag 01: WasisteinTI-Nspire^TMDokument? 5 BärbelBarzel, AndreasPallack undKoenStulens

Beitrag 02: TippsfürWorkshops 6

BärbelBarzel

Beitrag 03: Kurzeinstieg fürTI-84Plus- undTI-89Titanium-Nutzer 7 AndreasPallack

Beitrag 04: TI-Nspire^TMDokumente:ElektronischeArbeitsblätter? 9 BennoGrabinger

Beitrag 05: MinuteMadeMathoder:InderKürzeliegtdieWürze 14 EwaldBichler

Beitrag 06: LernendurchAnsehenundNachmachen 16 Karl-HeinzKeunecke

Beitrag 07: DieTOP 10 desEinstiegs:TrifftderBalldenKorb? 20 HeikeJacoby-Schäfer

Beitrag 08: TI-Nspire^TMnäherkennen lernen:EineAufgabe, vieleWege 25 DirkSchulz undAndreas Pallack

Artikelteil

Einheit 01: Euro-Münzenund dieKreiszahl' 43 UllaSchmidt

Einheit 02: ZerfallvonBierschaum 51

UllaSchmidt

Einheit 03: Gleisarbeiten 59

SabineWüllner undAndreasPallack

Einheit 04: Bilderanalysierenundrekonstruieren 63 BärbelBarzel, AndreasPallack undFranzSchlöglhofer

Einheit 05: UnterschiedlicheLösungswege fürExtremwertaufgaben 71 Karl-HeinzKeunecke undAngelikaReiß

Einheit 06: VergleichverschiedenerModelle 79 AndreasPallack

Einheit 07: Temperaturen messen mitTI-Nspire^TM 87 LarsJakobsson

Glossar 89

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2 Anmerkungen ©T³ 2008

AnmerkungenzumHeft…allerAnfang ist leicht

LiebeLeserinnenundLeser,

bevor Sie starten, möchte ich Ihnen gerne einige nützliche Hinweise zum Umgang mit die- semBuch geben:

Das Buch wurde für die Technologie TI-Nspire^TM geschrieben. In den Artikeln finden Sie jeweils Hinweise, ob diese nur für TI-Nspire^TM CAS oder sowohl für TI-Nspire^TMCAS wie auchTI-Nspire^TM (numerischer Graphikrechner ohne CAS) geeignet sind.Alle Aufgaben lassen sich auch mit der entsprechenden TI-Nspire™ Software bzw. TI-Nspire^TM CAS Soft- wareamComputerbearbeiten.

Sämtliche erläuternden Bildschirmfotos stammen von Handhelds mit der Softwareversion 1.3. Ein kostenloses Softwareupgrade (z. B. von Version 1.2 auf 1.3) ist über die TI- Webseiten verfügbar.Zu Gunsten der Lesbarkeit des Textes wurden einige Bildschirmfotos montiert (z. B. vergrößert, umeine bessereÜbersicht zu bieten). Diesesind miteinemStern am oberen linken Rand gekennzeichnet und so von Originalbildschirmfotos zu unterschei- den.

Am Ende dieses Buches finden Sie – wie auch imersten Band dieser Reihe – ein Glossar mitnützlichenBedienhinweisen. DiesesGlossar wurde fürdieSoftwareversion 1.3 geschrieben. Nach Erscheinen einer neueren Version wird das Glossar aktualisiert. Dieses Update kann auf der T³ Materialdatenbank unter www.t3deutschland.de, www.t3oesterreich.at und www.t3schweiz.ch kostenlos herunter geladen werden. Sämtliche Bedienhinweise in den Einheiten und Artikeln sind so verfasst, dass sie mit allen zukünftigen Glossars verträglich sind.

Ebenfalls auf der T³ Materialdatenbank finden Sie viele der in diesem Buch vorgestellten TI-Nspire^TM-Dateien. IchwünscheIhneneinengutenStart.

Münster, imFebruar 2008 AndreasPallack (Herausgeber)

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©T³ 2008 Einführung3

… aller Anfang ist leicht

AndreasPallack, Soest

„…mitHilfe einerTabellenkalkulation könnenSchülerinnen undSchüler diesen Zusammenhang auch selbst entdecken:“

So oder so ähnlich klingt es häufig, wenn es in neueren Schulbüchern oder in didaktischer Literatur um Neue Medien geht. Klar, hier geht es um das Lernen von Mathematik, technische Details haben in solchen Texten wenigverloren. Nichts desto trotzbenötigtman – wenn es konkret wird und man neue Technologien tatsächlich als Werkzeug in seinen Lernarrangements nutzen möchte – Nutzungskompetenzen, die sich auf die eingesetzte Technologie beziehen. Gemeint sind damit Kompetenzen, die jeweilige Technologie gezielt zur Lösung von Problemen einsetzen zu können. Denn: Ein Werkzeug, dessen Funktionsweise man nicht kennt, kann man nicht effektiv nutzen.

Achtung:

Vor dem Anschalten lesen Sie bitte die Bedienungsanleitung!

Tja, manchmalist aller Anfang eben doch nicht so leicht und man muss sich erstmal durch die Bedienungsanleitung arbeiten, bevor man mit einer Technologie wie TI-Nspire^TM Mathematiktreiben kann.

DieseshochvernünftigeVorgehenscheintjedoch inderNaturdesMenschen nicht verankert zu sein. Ich habe die wenigsten Bedienungsanleitungen gelesen und neige eher dazu, Geräte durch Ausprobieren zu erkunden. Seinen eigenen Stil bei der Ausbildung von Nutzungskompetenzen zu entwickeln ist OK. Der eine nutzt eben dieBedienungsanleitung, ein anderer schaut sich ein Video an und ein dritter fragt lieber direkt einen Kollegen.

Schwierig wird es erst, wenn man als Lehrkraft Lernprozesse gezielt inszenieren möchte.

Soll die neue Technologie als Werkzeug genutzt werden, darf man es gerade nicht dem Zufall überlassen, in welchem Maße Schülerinnen und Schüler über Nutzungskompetenzen verfügen.

Erstmal das Wissen bunkern

Wenn man (als Lehrer) mit einem Gerät vertraut ist, sollte es ja kein Problem sein, Dritten das notwendige Vorgehen zu erklären und das Wissen damit weiterzugeben. Als ich das erste Mal in einem Workshop zu neuen Technologien saß (es handelte sich um einen Workshop zum Konfigurieren von Servern), wurde mir sehr ausführlich und haarklein erläutert, welcheSchrittedurchzuführensind, umeinenServer einzurichten. Ich denke nicht, dass ich heute noch in der Lage wäre, eine Folge dieser Schritte selbstständig zu wiederholen (was sicher nichtan der Qualität des Workshops, sondern vielmehr an der mir fehlenden akuten Notwendigkeit liegt, einen Server einzurichten). Das auf Vorrat Gelernte war totes Wissen, das mir heute in einer wirklichen Problemsituation kaum weiterhelfen würde. Das gleiche gilt sicher fürneue Technologien wie TI-Nspire^TM. UmNutzungskompe- tenzen nachhaltig zu erwerben, sollte die Bedienung an für Schülerinnen und Schülern relevantenBeispielengeschehen. LernenaufVorratist soweit wiemöglichzu vermeiden.

You never get a 2nd chance for the 1st impression

Aufdem Weg zumVorstellungsgespräch: „Mit dieserStelle muss es einfach klappen. Wenn dieser Verkehr nur endlich weitergehen würde… Ich ruf lieber schon mal an, dass ich wahrscheinlich etwas später komme.“

Wie würden Sie als Chef über einen Bewerber denken, der es noch nicht einmal für nötig hält, sich rechtzeitig auf den Weg zu machen? Ein reibungsfreier Einstieg ist eine gute VoraussetzungabernatürlichnochkeinGarantfüreine gelungeneZusammenarbeit.

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4Einführung ©T³ 2008

Genauso verhält es sich mit neuen Technologien. Nicht alle Schülerinnen und Schüler werden Sie mit offenen Armen empfangen, wenn Sie ihnen etwas Neues vorstellen. Umso wichtiger ist es, bei der ersten Begegnung einen guten Eindruck zu hinterlassen, um ein solides undmotivierendesFundamentfürdiezukünftigeNutzungzulegen.

Wofür dieses Buch?

Warum wurde dieses Buch geschrieben? Handbücher gibt es noch und nöcher, und auch Materialien zum Lernen mit neuen Technologien sind in Hülle und Fülle vorhanden.

Trotzdembegannen mit demErscheinender TI-Nspire^TM Technologie viele Kolleginnenund Kollegen parallel und unabhängig voneinander Materialien zum Einstieg für Schülerinnen undSchüler zuentwickeln. EsgibtalsoeinenBedarf füreinführendeMaterialien.

Die Autorinnen und Autoren dieses Buches möchten Ihnen den Einstieg mitTI-Nspire^TM so einfach wie möglich machen, denn der Start muss nicht schwierig sein, ganz im Gegenteil:

…aller Anfang ist leicht. Sämtliche Autoren haben Erfahrungen bei der Einführung neuer Technologien gemacht und kennen die Stolpersteine. Unser Ziel ist es, Ihre Arbeit durch unsere Erfahrungen zu vereinfachen und zu bereichern. Dieses Buch erhebtden Anspruch ein hinreichend umfassendes Werk zu sein, um die erste Begegnung mit der TechnologieTI-Nspire^TMgemeinsam mitSchülerinnenundSchüler zumeistern.

DasBuchbestehtaus zweiTeilen:einemBasisteilundeinemArtikelteil. ImBasisteilwerden die wichtigsten Eigenschaften der Technologie und verschiedene Möglichkeiten des Einstiegs vorgestellt. Hier finden Sie auch eine sehr detaillierte Einführung. Ähnlich wie im erstenHeft vonT3-Akzente findetmanimArtikelteilabgeschlosseneEinzelbeiträge.

Sämtliche Beiträge wurden einer intensiven Prüfung unterzogen, ob und inwiefern diese tatsächlich für den Novizen von Nutzen sind. Dafür ganz besonders herzlichen Dank an Heike Jacoby-Schäfer und Sebastian Andrees. Beide haben die Entstehung dieses Heftes kritischkonstruktiv vondererstenIdeebis zurfertigenUmsetzungbegleitet.

Nun verbleibt mir nur noch, Ihnen viel Erfolg bei Ihrem ganz persönlichen Einstieg zu wünschen.

Münster, imFebruar 2008 AndreasPallack (Herausgeber)

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©T³ 2008 WasisteinTI-Nspire^TMDokument?5

Was ist ein TI-Nspire

^TM

Dokument?

KoenStulens, Brüssel (Belgien) BärbelBarzel, Freiburg

TI-Nspire^TM ist (ebenso wie TI-Nspire^TM CAS) ein dokumentenbasiertes System, ähnlich einem Textverarbeitungspogramm – man arbeitet immer in einer Datei bzw. einem Dokument, das aus verschiedenen Problemen und Seiten bestehen kann. Das Schaubild erklärtdenAufbaueines solchenDokuments:

Dokument

Problem 2 Seite1 Seite 2 Seite3 Seite4 Seite5

Dokument- einstellungen

Problem 1 Seite1 Seite 2 Seite3 Seite4

Calculator

Notes

Lists &

Spreadsheet

Graphs &

Geometry

Data &

Statistics

Eine Seite kann mit Applikationen (zurzeit kann unter fünf verschiedenen gewählt werden) bestückt werden. Bis zu vier Applikationen können auf einer Seite gleichzeitig platziert werden. Dazu wird dieSeite geteilt.

…

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6TippsfürWorkshops ©T³ 2008

Tipps für Workshops

EinemöglicheWorkshop-Struktur zumEinstieg indasArbeitenundUnterrichten mitTI-Nspire^TM BärbelBarzel, Freiburg

Ziel einer Lehrerfortbildung zur Arbeit mit Neuen Medien ist es, dass die Teilnehmerinnen und Teilnehmer mitdem Medium vertraut werden undIdeen zumsinnvollen unterrichtlichen Einsatz angeregt werden. Ähnlich wie im UnterrichtmitSchülerinnen und Schülern müssen dabei die verschiedenen Voraussetzungen der Beteiligten hinsichtlich Vorkenntnissen, Auffassungsgabe, Ideenreichtum berücksichtigt werden. Um diesem Anspruch der Binnendifferenzierung gerecht zu werden, muss ein Workshop – ebenso wie Unterricht – stets eine Mischung aus geführten und offenen Phasen beinhalten, in denen einerseits Neues dargestellt und vermittelt und andererseits Raum für eigene Lernwege und –tempi gewährt werden. Ein möglicherAblaufkönntewie folgtaussehen:

Phasen Anmerkungen MöglicheMaterialien

1. Begrüßung & Einstieg:

# Voraussetzungen klären,

# Erwartungensammeln

# ZielederVeranstaltungtransparent machen

IndieserPhasesollte einerstes Kennenlernenstattfinden, eine angenehmeAtmosphäre geschaffen werden, inderjedermit seinen Befürchtungen, seinenVoraus- setzungen, seinenGedankenernst genommenfühlt undsich einbringen kann.

AllgemeineModerations- materialien

2.ErsteSchrittemitdemGerät DabeiauchErläuternder Übersicht und desGlossars

DiesePhasesollteso kurz wie möglichsein. Es sollten nurdie technischenHinweisevermittelt werden, die fürdiedarauf folgenden Aufgaben nötigsind.

# Übersicht:Was ist ein TI-Nspire^TMDokument

# Glossar

# Übersicht:TI-Nspire^TMfür Umsteiger

# MaterialDieTOP 10 des Einstiegs

3.EineAufgabe– vieleWege

Stationenzirkelzumvertieften Einstieg indasArbeiten mitdem Gerät, Kennenlernender prinzipiellenMöglichkeitenund Ausblickaufdendidaktischen Wert, passendzumLösungsweg den passendenMedienteilzu erleben

(Multi-Repräsentations-System)

UmdasGerätnäherkennenzu lernen, wirdhiereineAufgabeauf verschiedeneWeisengelöst. Die Teilnehmer sollteninKleingruppenan Hand desMaterials (EineAufgabe, vieleWege) verschiedeneLösungen vollziehenundsichdabeimitden verschiedenenTeilenderTI-Nspire^TM Technologievertrautmachen.

DasGlossar sowieDetaillösungen solltendabeialsUnterstützungbei technischenSchwierigkeitendienen.

# MaterialEineAufgabe, vieleWege

# AlternativEinheitenaus demArtikelteil oderaus Aufgaben mitTI-Nspire^TM/ TI-Nspire^TMCAS

# Glossar

4. AustauschzudenErfahrungen

# Fragen klären

# Evtl. KurzvortragzurBedeutung der verschiedenen mathematische Darstellungsarten

DergemeinsameAbschlusskann vieleFunktionenerfüllen:

# FragenausderGruppenarbeit klärenbzw. zurDiskussionstellen

# Aspektederdidaktischen Diskussioneröffnen

# einenBezugzudenAnfangs- Erwartungensetzen

# RaumfürFeedbackgeben

# evtl. weitereZusammenarbeit planen

AllgemeineModerations- materialien

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©T³ 2008 Kurzeinstieg fürTI-84Plus- undTI-89Titanium-Nutzer7

Kurzeinstieg für TI-84 Plus- und TI-89 Titanium-Nutzer

Wenn manvieleJahremitneuenTechnologienunterrichtet, kommtman–früheroder später – an den Punkt, dass man die Technologie wechseln möchte oder muss. Pädagogische Handheldsysteme entwickelnsich zumGlück nicht so rasant wie Personal-Computer, die in der Regel nach ungefähr drei Jahren ersetzt werden müssen. Jedoch haben auch Handheldsystemenureine endlicheLebensdauer.

Diese Übersicht ist für TI-84 Plus- bzw. TI-89 Titanium-Nutzer gedacht, die überlegen, auf TI-Nspire^TM oder TI-Nspire^TM CAS umzusteigen bzw. eines dieser Systeme parallel zu nutzen. Gezeigt werdeneinigecharakteristischeGemeinsamkeitenundUnterschiede. Dieser Ausschnitt ist natürlich sehr klein und ersetzt nicht die Beschäftigung mit der TI-Nspire^TM-Technologie.

TI-84Plus TI-89Titanium TI-Nspire^TM

X X

Dateiverwaltung

TI-84 Plus- und TI-89 Titanium-Nutzer kennen das Problem nur zugut: EineStunde in der

10a, wo maneinProblemaus der Geometriebearbeitet. Dann mitdemgleichenRechnerin

die 12, wo es um Ableitungen geht… und plötzlich hakt man:Eine Variable wurde doppelt belegt, Listen versehentlich überschrieben… TI-Nspire^TM und TI-Nspire^TM CAS sind doku- mentenbasiert. D. h., dass man für jedes Problem, das man bearbeitet, ein oder mehrere Dokumenteanlegen kann. IndiesenDokumentensindEinstellungen, Variablen, Funktionen usw. abgelegt. Ähnlich wie man es von seiner Textverarbeitung kennt, können diese Dokumente langfristig gespeichert und natürlich auch verändert werden. Die Dateien können dann sowohl mitdem Handheld als auchmitder PC-Software bzw. MAC-Software (inVorbereitung) geladenundweiterbearbeitet werden.

Listeneditor Data-Matrix-Editor Lists & Spreadsheet DieListeneditoren, wieman sievomTI-84plusbzw. TI-89 Titanium kennt, findetmanauch bei TI-Nspire^TM. Diese Option ist in der Applikation Lists & Spreadsheet integriert. Über dieseFunktionalitäthinaus bietetLists & Spreadsheeteine echteTabellenkalkulation, d. h.

man kann Zellen beliebig miteinander verknüpfen und dabei auf übliche Tabellen- kalkulationsfunktionenzurückgreifen.

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8Kurzeinstieg fürTI-84Plus- undTI-89Titanium-Nutzer ©T³ 2008

TI-84Plus TI-89Titanium TI-Nspire^TM

Regressionskurve Regressionskurveund Korrelation

InteraktiveBerechnungvon Regressionskurve, KorrelationundResiduen Mittlerweile fast schon Standard ist die automatisierte Be-

rechnungverschiedenster Regressionskurven. InTI-Nspire^TM ist es nun erstmals auf einem Handheld möglich, die Kenn- werte interaktiv, d. h. live zu berechnen. Verändert man einzelne Zahlen der Datenbasis, so wird zeitgleich die neue Regressionskurve sowie ein aktualisierter Korrelationskoeffi- zient berechnet. Neu ist, dass auch sämtliche Residuen berechnet und gemeinsam mit der Regressionskurve dargestellt werden können. Dafür sorgt die Applikation Data

& Statistics. Hier könnenauchPunkte interaktiv verschoben

werden;dieberechnetenKennwerte folgendenVeränderun- gen.

Die interaktiveApplikation Data & Statistics

Y=, Table, Graph

Graphs & Geometry

Die Möglichkeiten der Modi Y=, Table und Graph sind in TI-Nspire^TM zusammengefasst in einereinzigenApplikation:Graphs & Geometry. VieleObjektesindinteraktiv. So kannz. B.

dieAchseneinstellungdurchZiehenverändert werden. Ebenso kann mandieAufteilungdes Bildschirms variabel gestalten. Eine Besonderheit ist die Interaktivität von Graphen:

Geraden, Parabelnund auch dieGraphenvon Sinusfunktionenund der Exponentialfunktion (e^x) könnendurchZiehenverändert werden (Grab & Move).

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©T³ 2008 TI-Nspire^TMDokumente:ElektronischeArbeitsblätter?9

TI-Nspire

^TM

Dokumente: Elektronische Arbeitsblätter?

BennoGrabinger, Neustadt/Weinstraße

Die Möglichkeiten, Software zur anschaulichen Bearbeitung mathematischer Probleme so einzusetzen, dass diesfürden Lernprozess von SchülerinnenundSchülerngewinnbringend ist, haben sich in den letzten 25 Jahren ständig verbessert: Vor dem Zeitalter der Funktio- nenplotter erforderte es einigen programmiertechnischen Aufwand, den Graph einer Funkti- onzu erzeugen. MitderTI-Nspire^TMTechnologielassensich jetzt auchweitergehende Prob- leme im Umfeld von Funktionsgraphen standardmäßig lösen, für die vor nicht allzu langer Zeit programmiert werden musste: Die Abbildung 1 zeigt die TI-Nspire^TM Realisation eines StandardbeispielsausdemAnalysisunterricht:

Abbildung 1

Mit wenigenMausklickskann jedeSchülerinundjederSchülerdieabgebildeteSituation her- stellen, mittels der die Tangentensteigung als Grenzwert der Sekantensteigungen veran- schaulicht werden kann. Verändert man die Lage des Punktes P1(x1 | y1) durch Ziehen mit der Maus, soändert sichdabeider berechneteWertmder Steigung. Die erforderlichenAkti- vitäten zur Herstellung dieses Dokuments unterstützen den Lernprozess. Es müssen die zwei Punkte P1(x1 | y1) und P0(x0 | y0) an den Graphen gebunden werden, eine Sekante muss erzeugt werden, deren Steigung muss bestimmt werden – alles Tätigkeiten, die den mathematischenGedankengangunterstützen.

DieBeobachtungen könnenvondenSchülerinnenundSchüler auf einerTextseite festgehal- tenwerden:

Abbildung 2

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10 TI-Nspire^TM Dokumente:ElektronischeArbeitsblätter? ©T³ 2008

In demhier betrachteten Beispielhaben die Schülerinnen und Schüler selbst ein Dokument erstellt, das aus zwei Seiten besteht. Die Abbildung 3zeigtdieStruktur dieses Dokumentes imsogenanntenSeitensortiererdesTI-Nspire^TMHandhelds:

Abbildung3

DieLehrkrafthatjetztdieMöglichkeit, dieDokumenteder Lerngruppe daraufhinzu analysieren, wiedie einzelnen Applikationeneingesetzt wurden, um das mathematische Problemzu lösen. Das ist eine wichtige Neuheit von TI-Nspire^TM. Diese neue Möglichkeit bietet für die Interaktion im Unterricht entscheidende Vorteile. Wenn der Lehrer die Dokumente seiner Klasse sichtet, kann er sich über die von den Schülerinnen und Schülern durchgeführten AktioneninformierenundindividuelleVerbesserungenanregen.

In dem zuletzt betrachteten Beispielhat dieSoftware eine einfache Möglichkeit zur Bearbei- tung des mathematischen Problems geliefert. Die Schülerinnen und Schüler konnten das entsprechende Dokument selbst anfertigen. Das war besonders gewinnbringend, weil dadurch auch entsprechende mathematische Inhalte transportiert werden konnten. Alles ging aber nur deshalb so einfach, weil die Software auf diese Standardsituation zugeschnitten war. Nunwirdesnie eineSoftware geben, dieallevomAnwendergewünschtenProbleme in der Standardversion bereithält. Das bedeutet, dass es immer Situationen geben wird, in denen nur Spezialwissen weiterhilft. Gerade hier zeigt sich nun die eigentliche Stärke des do- kumentenbasierten Systems der TI-Nspire^TM Technologie. Es können fertige Dokumente an die Schülerinnen und Schüler weitergegeben werden. Diese können dann mit dem Doku- ment, ähnlichwiemitJava-Applets, ausdemInternetarbeiten. Dadurch entfälltdiereintech- nische Konstruktionsarbeit des Dokumentes. Das Bereitstellen von fertigen Dokumenten ist natürlich nur sinnvoll, wenn klar ist, dass dasErstellen des Dokumentes durch Schülerinnen undSchülerkeinenerheblichenBeitragzumVerständnisbringt.

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©T³ 2008 TI-Nspire^TMDokumente:ElektronischeArbeitsblätter? 11

Beispiele für elektronische Arbeitsblätter:

Mathematisch nicht anspruchsvoller als das zuvor betrachtete Beispiel ist das empirische GesetzdergroßenZahlen. DabeisolldierelativeHäufigkeiteinesZufallsereignisses, dasbei Versuchsdurchführung mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt, über der Anzahl der Versuche aufgetragen werden. Es ergibt sich ein Graph, der sich für große Werte von n in der Nähe vonf1(x) =pstabilisiert:

Abbildung4

Zunächst wird eineFunktion benötigt, welche mitder WahrscheinlichkeitpdenWert 1 liefert (Ereignis trittein) und mitder Wahrscheinlichkeit 1–pdenWert 0. Ameinfachsten kann man diesmitderStandardfunktionrandBin(n,p) erledigen, wenn manals AnzahlderExperimente n= 1 wählt:

Abbildung5

Diese „Eingebung“ kann man allerdings nicht von Schülerinnen oder Schülern erwarten, die zu diesem Zeitpunkt noch nicht einmal die Binomialverteilung kennen, d. h. die Funktion randBin(n,p) muss vom Lehrer vorgegeben werden. Das nächste Problem ist die Ermittlung der relativenHäufigkeiten. DaskannelegantmitderTabellenkalkulationerledigt werden:

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12 TI-Nspire^TM Dokumente:ElektronischeArbeitsblätter? ©T³ 2008

Abbildung6

In Spalte A werden die Zahlen 1 bis 100, d. h. die Nummern des Experimentes erzeugt.

Spalte B enthält die Informationen, ob das Experiment ein Erfolg war (1) oder nicht (0). In Spalte C wird die Spalte B kumuliert. Da ein erfolgreiches Experiment mit 1, ein Misserfolg mit 0 codiert wurde, enthältdieSpalte C damitdie jeweils absolute Anzahl der Erfolge. Die relative Häufigkeit ergibt sich dann in Spalte D als Quotient der Spalten C und A. Auf der Graphikseite muss dann nur noch die Spalte D über der Spalte A als Scatter-Plot aufgetragen werden. Dadurch, dass der Wertp miteinemPunktaufder y-Achseverknüpftist, liefert jedeBewegungdesPunkteseinen neuenGraphen. DurchÄnderungvonf1(x) kannderWert von pgeändert werden.

Es erscheint einsichtig, dass es für Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe I ohne erheblichenAufwand nichtmöglich ist, dieses Dokument selbst zuerstellen. ZurAnfertigung des Dokumentes sind hauptsächlich „technische“ Kenntnisse erforderlich, welche die Ma- thematik zum„Gesetz der großen Zahlen“ nichtbereichern. Deshalb macht es auch keinen Sinn, mitden Schülerinnen und Schülern dieses Dokument im Unterricht schrittweise, nach Anleitung derLehrkraft, zu erstellen. Die einzigsinnvolle Vorgehensweise isthier dieWeiter- gabe des fertigen Dokumentes an dieSchülerinnen und Schüler, z. B. mit Übertragungska- beln oder per Download aus dem Internet. Die in den USA sehr beliebte TI-Navigator- TechnologiezumVernetzenvonHandheld-SystemenistfürTI-Nspire^TMnochnicht verfügbar, sollaberbis spätestensEnde 2008auchaufdemdeutschenMarkterscheinen.

Miteinemweiteren–beiweitem nicht soaufwändigenBeispiel–möchte ichzeigen, dass es durchaus Situationen gibt, in denen Schülerinnen und Schüler potenziell in der Lage sind Dokumente selbst zu erstellen, bei denen aber die Fragestellung faktisch vorschreibt, die DokumentealselektronischeArbeitsblätterandieSchülerinnenundSchüler zu senden:

StellenSiesichvor:Auf einemgeteiltenBildschirmsehenSiezweiPunkte. Siebewegenden einen, der andere bewegt sich ebenfalls. Nun wechseln Sie in den anderen Teil des Bild- schirms. Auch dieser Punktlässt sich bewegen und der andere folgt… Doch die Bewegun- genhängen nichterkennbar zusammen! Was versteckt sichdahinter?

Abbildung7

DieBewegungenhängen nichterkennbar zusammen

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©T³ 2008 TI-Nspire^TMDokumente:ElektronischeArbeitsblätter? 13

Die beiden Punkte sind über ihre Koordinaten miteinander verknüpft. Die x-Koordinate des linkenPunktes ist gleich der y-Koordinatedes rechten Punktes. Mitder y-Koordinateverhält es sich entsprechend. Leider istesineinemTextnichtmöglich, das tatsächliche Erlebnis zu schildern, wenn sich zwei Punkte, deren Bewegung man selbst beeinflusst, zunächst ohne erkennbaren Zusammenhang sind. Wir haben versucht, diesem Erlebnis durch eine nach- träglich hinzugefügte Spur in der Grafik Rechnung zu tragen. Umdemfunktionalen Zusam- menhang auf die Spur zu kommen, heißt es: Die Bewegungen systematisieren, eine Hypo- these zumfunktionalen Zusammenhang entwickeln, dieHypothesedurch weitere Bewegun- gen erproben. Natürlich kann man so nicht nur die Umkehrfunktion auf einer Seite verste- cken. Jeder beliebige funktionale Zusammenhang kann in eine solche Black-Box gepackt werden, diemandenSchülerinnenundSchülernalsDokument zurVerfügungstellen kann.

Fazit:

Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass in denFällen, in denen dieSoftware eine einfacheMöglichkeit zurAbarbeitungdesmathematischenProblemsliefert, dieSchülerinnen und Schüler das Dokument selbst anfertigen sollten. Gewinnbringend wird dies besonders dann, wenndurchdieAnfertigungdesDokumentesauchmathematischeInhaltetransportiert werden können. Das ist z. B. oftder Fall, wenn es umdas Zusammenspielzwischen Graph, TermundWertetabelle geht.

FürProbleme, die sich erst durchProgrammierung, durch ein tieferes Verständnis des Vari- ablenkonzeptes oder durch einen großen technischen Aufwand erschließen lassen, sollten fertige Dokumente an die Lernenden weitergegeben werden. Manchmal bietet sich dann auch dieMöglichkeit, dassSchülerinnenundSchülerdieseDokumente erweitern undverän- dern können.

Nicht übersehen werden sollte auch die Möglichkeit, dass die Lernenden die Ergebnisse ihrer Arbeitauch indemDokument selbst festhalten. DieNotes-Applikation bietetdafür vor- gefertigte Strukturen an. Für die hier angedeutete Arbeitsweise liegen im Mathematikunter- richt noch kaumErfahrungen vor. So hilfreich dieangedeuteten Möglichkeiten auchsind, so eindringlich sei vor dem Missverständnis gewarnt, dass durch diese Neuerungen eine sorg- fältige Dokumentation in den Schülerheften überflüssig wird. Ein interessanter Aspekt ist dabeidieAnreicherungvonHefteinträgen mitAusdruckenausdenelektronischenDokumen- ten.

Hinweis:

Interessierte Leserinnen und Leser können die zu diesemDokument gehörigen TI-Nspire^TM Dokumenteaufder T³Materialdatenbankunter www.t3deutschland.de, www.t3oesterreich.at undwww.t3schweiz.ch herunterladen.

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14MinuteMadeMathoder:OftliegtdieWürze inderKürze ©T³ 2008

Minute Made Math oder: In der Kürze liegt die Würze

EwaldBichler, Ergolding

Beim Unterrichten mit neuen Technologien hat man die Möglichkeit, auf eine große Anzahl an Veröffentlichungen, Handreichungen und Vorschläge zurückzugreifen. Manche dieser Vorschläge sind thematisch gruppiert und umfassen einige Unterrichtsstunden, manche be- schreibenganzeUnterrichtssequenzen.

Diese Materialen sind meist sehr umfangreich oder setzen bereits einiges an Erfahrung im Unterrichten mitneuen Technologien voraus. Das Erstgenannte kann vom Studiumder Ma- terialien durchaus abschrecken, das Zweite kann diejenigen entmutigen, die erst wenige oder keineErfahrungen mitneuenTechnologien haben und den Mehrwert von neuen Tech- nologien nochnichterlebten.

Ein besonderer Gewinn beim Einsatz von neuen Technologien im Unterricht – gerade in Handheld-Form– ist die ständige Verfügbarkeit des Mediums. Dadurch kann man dieneue Technologie an vielen (geeigneten) Stellen gewinnbringend in den alltäglichen Unterricht integrieren.

Kleine aber feine Beispiele, die z. B. das Verständnis von Zusammenhängen beim Einsatz der neuen Technologie besonders unterstützen, nenne ich „MinuteMade Math“ –weilsie in wenigen Minuten (oft innerhalb einer Minute) am Rechner erzeugt sind und eingesetzt werden können, gezielt vorbereitetoder spontan–inverschiedenstenSozialformen.

JedeMinuteMadeMathbestehtauseinerEinheit, dieauf einerDINA4Seite (undnicht mehr!) beschriebenwird. Hierfindetman:

# eineBeschreibungderEinheit,

# Screenshots, diedieIntentionderEinheitillustrieren,

# einBildschirmvideo, dasdieIntentionderEinheiterläutert,

# einBildschirmvideo, dashilft, dieEinheitnachzubauen,

# einen knappenTextmitHinweisenzurErzeugungdesBeispielsameigenenRechner (fürdiejenigen, dieErfahrung imUmgangmitdemGerätmitbringen),

# einendidaktischenKommentar,

# einenLinkauf eineTI-Nspire^TMDatei, diedaskompletteBeispielenthält.

Die „Minute Made Math“-Einheiten wenden sich also an alle, die Interesse am Einsatz von neuen TechnologienimMathematikunterrichthaben– unabhängigvom persönlichen„Erfah- rungsgrad“. Den obigen Forderungen lässt sich entnehmen, dass in besonderer Weise eine elektronische Form der Publikation geeignet erscheint. Daher werden die „Minute Made Math“ Einheiteninelektronischer Form publiziert (Infos unter www.t3deutschland.de).

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©T³ 2008 MinuteMadeMathoder:OftliegtdieWürze inderKürze 15

Ein Beispiel: Symmetrie zum Koordinatensystem

Bei dieser Einheit werden Graphen auf Symmetrie zur y-Achse oder zum Ursprung untersucht. Nebender rechnerischenBearbeitungwerdendieKriteriendurchdynamischeDarstel- lungamRechnerillustriert.

Gilt f(-x) =f(x),

soistderGraphachsensym- metrischzur y-Achse

Gilt f(-x) = -f(x),

soistderGraphpunktsym- metrischzumUrsprung

Bildschirmvideo* zurIntentionderEinheit

Einsatzmöglichkeiten/Didaktischer Kommentar:

Der rechnerischeNachweisderAchsen- oder PunktsymmetriezumKoordinatensystemstellt viele Schülerinnen und Schüler vor das Problem, dies abstrakt nachvollziehen zu müssen.

MitHilfedesRechnerskönnendieKriterienf(–x) =f(x) bzw. f(–x) =–f(x) visualisiert werden.

Nach erfolgter Konstruktion in Graphs & Geometry kann der Funktionsterm geändert werden. AufdieseWeise istexplorativesArbeiten mit verschiedenstenFunktionen möglich.

Technische Hinweise zum Erzeugen am Rechner

# Funktionsgraph inGraphs & Geometryzeichnen

# Parallelezur y-Achse erstellen

# dazubezüglichder y-AchsesymmetrischeGerade

# SchnittpunktemitFunktionsgraph

# AnzeigenderKoordinatenderSchnittpunkte

Bildschirmvideo*:Sowird dieEinheitinTI-Nspire^TMerzeugt.

Eine fertigeTI-Nspire^TMDatei findet sich inderT³ - Materialdatenbank.

* Hinweis: Das abgedruckte Beispiel illustriert den Aufbau einer „Minute Made Math“. Die EinheitliegtelektronischalsPDF-Dokument vor. DieBildschirmvideoskönnendurchAnkli- ckenausdemPDFherausgestartet werdenund stehen in gedruckter Form natürlichnicht zur Verfügung. Zielistes hier, Ihnen einen Eindruckzu verschaffen, umdie„Minute Made Math“vonanderenMaterialienabgrenzenzukönnen.

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16LernendurchAnsehenundNachmachen ©T³ 2008

Lernen durch Ansehen und Nachmachen

Karl-HeinzKeunecke, Altenholz

Wenn die TI-Nspire^TM-Technologie im Mathematikunterrichtgenutzt werden soll, so müssen Schülerinnen und Schüler sowie Lehrkräfte eine erhebliche Technikkompetenz (Nutzungs- kompetenz) besitzen, um die unterschiedlichen Applikationen Calculator, Graph & Geome- try, Lists & Spreadsheet, Notes sowie Data & Statistics und Datenerfassung sinnvolleinzu- setzen. Esistbekannt, dassgeradedieEinführung indieBedienungvonTaschencomputern fürallesehranstrengendist.

Die Lehrkraft, die möglicherweise zum ersten Mal das Gerät einsetzt, wird im Allgemeinen derLerngruppe

1. dieBedienung imFrontalunterrichterklären,

2. beidenLernendenEingabe- und Bedienungsfehlererkennen müssenund 3. helfen, Einstellungs- undHardwarefehlerzubeheben.

AndieLernendenwerdenebenfallserheblicheAnforderungengestellt. Siemüssen 1. alle gleichzeitigdieAnweisungenderLehrkraftausführen,

2. warten, bis auch der letzte die gestellte Aufgabe erfüllt hat, weil der nächste Schritt ersterklärtwerden kann, wenndervorherige erledigtist und

3. fehlerfreiarbeiten, denn nach einerfalschenEingabe oder Bedienungkönnensiedie darauf folgendenAnweisungen nichtmehrausführen.

InderIndustrieund auchzunehmend beiHochschulensetztmaninsolchenFällen, indenen es um die Einführung neuer Technologien geht, elektronische Lernprogramme ein. In der Schule ist E-Learning noch sehr wenig verbreitet. Es gibt auch zurzeit kaum Untersuchun- gen, wiedieseneueFormdesLehrens und Lernens inderSchule eingesetztwerden kann.

T³hatbereits 2004eineLernsoftware für dieEinführungdesTI-Voyage^TM 200 erfolgreichan Schulenerprobt. Diesestehenseitdemsowohlauf einer CDalsauchaufderHomepagevon T³[1]LehrendenundLernendenzurVerfügung.

Seit kurzem bietet auch die Firma Atomic Learning im Auftrage von Texas Instruments E-Learning-Module für TI-Nspire^TM (alsoder Version ohne CAS) in deutscherSprache [2]im Internet kostenlos an. Diese zeigen einen ähnlichen Aufbau wie die T³-Module und können somitauch ingleicherWeise genutztwerden.

Jede Einheit besteht aus einem Film, in dem mit einer Softwareemulation des TI-Nspire^TM eine Anwendung vorgeführt wird. Die Bedienung des Tastenfeldes wird durch eine Hand angezeigt. Gleichzeitig werden alle Berechnungen und Grafiken wie bei einem realen Rechner auf dem Display der Emulation sichtbar. Die Bedienung des Rechners und die DarstellungaufdemDisplay werdenzusätzlich indeutscherSprachekommentiert.

Die Lernenden können nun auf ihrem eigenen Rechner die vorgeführte Anwendung nachvollziehenundso erlernen. DieEinheitenhabeneine Länge von 1 bis 5Minuten. Es ist kaum möglich, über diese Zeitdie gezeigte Anwendung so im Kopf zu behalten, dass man sie hinterher reproduzieren kann. Leider stoppen die Module nicht von sich aus, wenn ein Lernabschnittbeendetist, damitdieser dann nachvollzogenwerden kann. Schülerinnenund Schüler müssen den Film von sich aus nach eigenen Vorstellungen anhalten und wieder anfahren.

Keunecke und Reiß [4] haben verschiedene Modelle zur Nutzung von E-Learning-Module untersucht und evaluiert. Es hat sich als wenig nutzbringend erwiesen, Schülerinnen und Schülern den Auftrag zu erteilen, ein oder mehrere der obigen Module durchzuarbeiten, um dann späterdaraufdie eigene Unterrichtstundeaufzubauen. Wesentlich erfolgreicher undim Sinne einermodernenUnterrichtsgestaltung hat sichdasfolgendeKonzepterwiesen:

(19)

©T³ 2008 LernendurchAnsehenundNachmachen 17

DenSchülerinnenundSchülernwerdendieRechnerzusammen mitderE-Learning-CDoder die URL für die Module von Atomic Learning ausgehändigt. Gleichzeitig erhalten sie eine Aufgabe, die sie mit dem Rechner bearbeiten sollen. Sie sollen dann eigenständig entscheiden, welchederzurVerfügungstehendenModulesie fürdieBearbeitungbenötigen.

Es wird dann das Modul aufgerufen und das gezeigte Beispiel auf dem Rechner nachvollzogen. Anschließend wird ein neues Dokument geöffnet, in dem die von der LehrkraftgestellteAufgabebearbeitetwird. Mitdengerade erlerntenKenntnissenwirdsoein ersterTeildieserAufgabe gelöst. AufdieseWeisewirdSchrittfür Schrittweitergearbeitet.

Der Lösungsweg der gestellten Aufgabe sollte wenigstens prinzipiell bekannt sein, damit zu diesemZeitpunktder SchwerpunktaufdemErwerb derWerkzeugkompetenzen liegen kann.

Abb. 1:ListederE-Learning-ModulederFirmaAtomic Learning fürTI-Nspire^TM

Abb. 2:Dokument speichern

Abb. 3:ZeichneneinerFunktion Die von der Firma Atomic Learning angebotenenEinheitenbeschränken die möglichen Aufgaben, da sie nur für einen TI-Nspire^TM (ohne CAS) gelten. Insbesondere fehlt eine Be- schreibungdesSolve-Befehls.

Durch die Einbindung der Lernmodule in eine Aufgabenstellung erübrigt sich der Frontal- unterricht und die Lehrkraft kann sich nun individuell den Lernenden widmen, bei Eingabe- und Bedienungsfehlern helfen oder Hardwareprobleme beheben. Auch für die Schüler ist entspannteresArbeiten möglich, dasiemöglichstinZweiergruppenihreigenesArbeitstempo bestimmenundgemeinsamentscheiden, welcheModulesie fürdieBearbeitungder Aufgabe benötigen. Auftretende Fragen können sie zuerst untereinander und dann ggf. mit der Lehrkraft besprechen. Die unterschiedlichen Arbeitstempi sollten als eine Chance für eine möglicheBinnendifferenzierungdurchweiterführendeAufgabengesehenwerden.

(20)

18LernendurchAnsehenundNachmachen ©T³ 2008

Nachfolgend werden drei Einführungsaufgaben vorgeschlagen. Wenn sie von Schülerinnen undSchülernerfolgreichbearbeitetwordensind, habensiedamiterstetechnologiebezogene Basiskompetenzen erworben und können danach mitweiteren Aufgabenstellungen, die sich aus dem Unterrichtsgang ergeben, in der Zusammenarbeitmit der Lehrkraftoder durch das Handbuch ihreKenntnisseüberdasGeräterweitern.

Im Folgenden wird kurz skizziert, wie die E-Learning-Module für die am Ende angegebene Aufgabe 1 im Unterricht genutzt werden können. Dazu werden aus Platzgründen nur das DisplayderComputeremulationgezeigt undnichtauchdieTastatur.

Als erstes werden die Lernenden sich vermutlich den Film „A: Ein neues Dokument Erstellen und Sichern“ aus den Grundlagen (Abb. 1) aufrufen und durcharbeiten. Eines der darin gezeigten Bildschirmfotos wird in Abb. 2 (sieheBildvorigeSeite) gezeigt.

Nach der Bearbeitung könnte schon das Dokument für die eigentliche Aufgabe eingerichtet werden. Oder es können noch weitereKenntnisseüberdasGerätmiteinem nächsten Modul erworben werden. Vermut- lich wird das „B: Der Graph zu einer Funktion“ (siehevorherige Seite) sein, umzu lernen, wie eine Funktion graphisch dar- gestelltwerden kann.

Danach sind Schülerinnen und Schüler in der Lage, die Funktion von Aufgabe 1 in ihrem eigenen Dokument zu zeichnen (Abb. 4) und abzuspeichern. In der geschilderten Weise können nunauchdieweiterenTeilederAufgabe 1 bearbeitetwerden.

Schülerinnen undSchüler könnenentscheiden, ob siezunächstdas Beispieldes Filmes auf dem eigenen Rechner nachvollziehen und anschließend ohne Anleitung die gleiche Opera- tion an der eigenen Aufgabe durchführen oder ob sie bereits während der Betrachtung der Filmsequenzen die eigeneAufgabe schon bearbeitenwollen. Imersten Fall ist– aus meiner Erfahrung–eine größereNachhaltigkeit gegeben.

Abb. 4:GraphzuAufgabe 1

(21)

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(22)

20 DieTOP 10 desEinstiegs ©T³ 2008

Die TOP 10 des Einstiegs: T rifft der Ball den Korb?

HeikeJacoby-Schäfer, Kepler-Gymnasium, Tübingen

ZieldiesesBeitragsistes, TI-Nspire^TM-NeueinsteigerneinesolideGrundlage imUmgangmit dem Rechner anzubieten, auf die man bei komplexeren Aufgaben zurückgreifen oder auf- bauen kann (Erwerb von technologiebezogenen Basiskompetenzen und Nutzungskompe- tenzen).

AnhandeineskonkretenBeispiels, dasausmeinerErfahrungauch gutimUnterrichteinsetz- bar ist, sollen die „TOP 10 des Einstiegs“, d. h. die „10 wichtigsten Bedienungstechniken“

erläutert werden. Die Auswahl dieser TOP 10 erhebt keinesfalls Anspruch auf Vollständig- keit. Sie ergibt sichvielmehrausbisherigenWorkshoperfahrungenundsolltevonFallzuFall überprüft undggf. angepasst werden.

Aufgabe:

Kann man anhand des Stroboskopbildes vorhersagen, ob der Ball bei diesem Freiwurfden Korbtrifft?

DidaktischerKommentar:

Im Unterricht sollten die Schülerinnen und Schüler das Bild selbst vermessen und dieKoor- dinaten der Ballpositionen bestimmen. Dabei legt man den Ursprung des Koordinatensys- tems geeignet, z. B. an die Füße des Werfers auf der Freiwurflinie. Der Ballmittelpunkt soll durch dieKorbringmitte gehen. Die Freiwurflinieliegt4,60 mvomKorb entfernt, der in einer Höhevon3,05mbefestigtist.

ExemplarischsindhierMesswertederjeweiligenBallpositionenvorgegeben:

In dem nachfolgend beschriebenen Lösungsweg werden die notwendigen Bedienungstech- nikenrechtdetailliertausgeführt, sodassdieAufgabeohneweitereVorkenntnissebearbeitet werden kann.

PositionendesBalls (x | y)

(Wurfweite in m) x y

(Ballhöhe in m)

0 1,63

0,84 3,17

1,88 3,99

3,5 3,66

(23)

©T³ 2008 DieTOP 10 desEinstiegs 21

1. Daten eingeben

1.1 Neues Dokument – die erste Seite

SollteIhrBildschirmaussehenwierechts (kaumKon- trast), stellenSievorBeginndenKontrastein. DerKon- trast wird durch[/,+]erhöht, durch[/,-]verrin- gert.

ÖffnenSiemit[c,6]einNeuesDokument.

Die ersteSeitemit[3:Lists & Spreadsheet]einfügen.

EserscheinteineleereTabelle.

1.2 Wertetabelle eingeben

Spaltennamen (z. B. „weite“und„höhe“) gibtmaninder oberstenZeile ein.

Dorthingelangtman mitdenPfeiltasten (¡ ¢ £ ¤). Die Eingabewirdjeweilsmitder[·]-Tasteabgeschlossen.

UmdieNamenvollständiglesenzukönnen, vergrößert mandieSpaltenbreite[b, 1:Aktionen, 2:Größeändern].

Mit[¢]kanndieSpalteverbreitert werden. Mit[·]schlie- ßenSiedieEinstellungab.

GebenSiedieWerte ein, nutzenSiedazu diePfeiltasten, dieZahlentastenundzumAbschließenjeweilsdie[·]- Taste. BittebeachtenSie:EinZahlenkommaisteinPunkt [^].

(DabeinichtdieZeilemitderRautebenutzen–darin kann manbeiBedarfSpaltenformelneingeben).

TOPIV:

Dateneingebenundvisualisieren TOPIII:

Menüsnutzen TOPII:

DokumenteundApplikationen öffnen

TOPI:

DasGerät vorbereiten:Kontrast einstellen

(24)

22 DieTOP 10 desEinstiegs ©T³ 2008

2. Daten visualisieren und analysieren

EsgibtdafürimWesentlichenzweiMöglichkeiten:

2.1 mit „SchnellGraph“

BeideSpalten markieren. Dazuauf„weite“gehen, [£] drücken, abschließend[g]und[¢]gleichzeitigdrücken.

Nachdem [b, 3, 4: SchnellGraph] gewählt wurde, öff- net sich einFenstermitderGraphik.

Um mitdenDatenweiter zuarbeitenund dieFlugkurve desBalles zumodellieren, istdie folgendeMöglichkeit bessergeeignet.

2.2 mit „Graphs & Geometry“

[c,2]wählen. Es öffnet sichdasGraphikfensterder ApplikationGraphs & Geometry. UmdieDatenpaare darzustellen, wähltman[b,3, 4:Streu-Plot]. Mit[·]

öffnensichdieFelder, indenen mandiepassendeZutei- lungderVariablenzudenAchsenvornimmt. Mit[e]

springtmanindasnächsteFeld. WeitereInfos unterLis- tengraphischdarstellen.

Fenstereinstellung anpassen

Einen passendenFensterausschnitterhältman mit[b, 4, 9:Statistik-Zoom]. DerRechner wähltdabei einen Ausschnitt, indendiePunkte genaupassen.

MöchtemandasFenster vonHandeinstellen, umz. B.

dieKorbweitemitdabeizuhaben, wähltman

dieAchseneinstellungenselbst[b,4, 1:Dialogfeld Achseneinstellungen]. Esgibtauchzahlreicheandere Möglichkeiten, dieEinstellungenderKoordinatenachsen anzupassen (Koordinatenachsenverändern).

Man kanndieBeschriftung(weite,hoehe)löschen, indem mandenCursordortplatziert–eserscheintdieHand. Mit [.]wird dieBeschriftung gelöscht. So kann manfastal- lenichterwünschtenObjektelöschen.

TOPV:

Objekte, z. B. Koordinatenach- sen,anpassen

(25)

©T³ 2008 DieTOP 10 desEinstiegs 23

2.3 Eine Funktion bestimmen

TI-Nspire^TMbietetdieMöglichkeit, dieGrapheneinfacher Funktionen (linear, quadratisch…), interaktivanzupassen.

Da dieFlugbahndesBallseineParabelbeschreibt, arbei- tenwirhiermitderFunktionf(x) =x².

DenentsprechendenModusaktivierenSiemit[b,3, 1:

Funktion].

Inder Eingabezeile gebenSiedenFunktionstermx² ([Xq]) einund bestätigen mit[·](Graph einerFunktion zeichnen).

DenGraphenderParabel könnenSienun mitdemZeiger greifen. BewegenSiedenZeigerdafürindieNähedes Scheitelpunktes. DrückenSie[x]für ungefähr eineSe- kunde. DerZeiger verwandelt sich ineine geschlossene Hand, dieParabel lässt sichnunverschieben. Durchwie- derholtesDrückenvon[x]wird dieParabel platziert.

GreifenSienundieParabelaneinemihrerArme. So lässt sichdieStreckungderParabelvariieren.

Esbedarf einigerFeinarbeit, umdieParabelandiePunk- teanzupassen. SchließlichsolltenSie jedochzueinem ähnlichenFunktionstermwiewirkommen.

MitdieserGraphik kann mandasProblem nunschonfast lösen. Wir zeichnen nunzusätzlichnochdenKorbein, der sich imPunkt (4,60|3,05) befindet.

Dazu wirdeinPunktgezeichnet[b,6, 1:Punkt]. Las- senSiedieKoordinatendesPunktesbestimmen[b,1, 6:Koord. undGlch.], indemSieaufdenPunktklickenund anschließend dieAnzeigederKoordinaten platzieren.

Istdasgelungen, beendenSiedenaktuellenModusmit Hilfeder[d]-Taste. KoordinatensindebensoObjekte wiedieParabel oderdieKoordinatenachsen. Man kann deswegenauch ihreEigenschaftenverändern. Klicken [x]Siedazu zweimal kurzaufdiex-Komponente. Mitder TastaturkönnenSiedenZahlenwertlöschenund durch 4,60 ersetzen. EntsprechendersetzenSiedeny-Wert durch3,05. Ergo:DerBalltrifftdenKorbnicht.

Tipp:BeimVerschiebenderParabel oderdemSetzen desPunkteskannespassieren, dassmaneinenanderen Fensterausschnittbenötigt. WennSiedenZeigerineinen freienBereichbewegenund die[x]-Tasteungefähreine Sekundelangdrücken, kanndaskompletteKoordinaten- systemverschobenwerden.

TOPVII:

GeometrischeObjektedarstellen undplatzieren

TOPVI:

Graphenzeichnenundverän- dern

(26)

2.4 Rechnerische Prüfung

FügenSie eineneueApplikationhinzu, dieApplikation Calculator. Hierkönneneinfache (z. B. 7+3) undkomple- xeRechnungendurchgeführt werden.

DievonunserzeugteFunktion (f1(x)) ist weiterhinim Speicher. WennderBalltrifft, sollteder Funktionswertan derStelle4,60 mungefähr3msein. Einsetzenergibtje- dochungefähr 2,2 m. Der Balltrifftalsoauch hiernicht.

Natürlichkönnte es sein, dass unsereMethodezurBe- stimmungderFunktionvielzu ungenau war. Deswegen zeigenwirhier (ohne esdetailliert zubeschreiben), dass auch eine exaktdurchdieletztendreiPunkte gelegtePa- rabel keinebesserePrognose ergibt.

Tipp:FallsSiedenScreenshotnachbasteln möchten, könnenSieaufVorlagen (Templates) zurückgreifen. Die- seöffnenSiemit[k,5]. WeitereHilfenfindenSieunter Formeln kopieren, FormelnWerte einsetzen, Funktionen speichernundGleichungssystemelösen.

3 Die Daten sichern

NunhabenSieIhrerstesTI-Nspire^TM-Dokumenterstellt.

LassenSieunsnun noch einenabschließendenBlick daraufwerfen. DiezuvorerstelltenSeitenerreichenSie mit[/ ¡]. Zurückgeht’smit[/ ¢].

EinenÜberblicküberalleSeitenbekommenSiemit [/ £].

UmaufdiesesDokumentauchlangfristigzurückgreifen zukönnen, solltemanes speichern[/,c,1, 3:Spei- chern]. GebenSie einenNameneinund bestätigenSie mit[·].

4 Einstellungen für Dokumente

JedesDokumenthatfixeVoreinstellungen. Dazugehört z. B. dieAnzahlderNachkommastellen, obexaktoder nurnäherungsweise gerechnet werdensoll oderauch, ob dietrigonometrischenFunktionenimBogenmaß, Grad- maßoderimNeugradmaßarbeitensollen.

Sie erreichendieses reichhaltigeundwichtigeMenümit [/,8,1]. DieSystemeinstellungensind dabeiauf dasgesamteSystemund dieDokumenteinstellungen le- diglichaufdasaktuelleDokumentbezogen. Mansollte entsprechendgut überlegen, wo mandieEinstellungen vornimmt.

TOPX:

DieDokument- undSystemein- stellungenverändern

TOPIX:

ZwischenSeitenwechselnund dasDokument verwalten TOPVIII:

DenCalculatornutzen

(27)

TI-Nspire

^TM

näher kennenlernen: Eine Aufgabe – viele Wege

DirkSchulz, Lünen AndreasPallack, Soest DieAufgabe:

Bauer Dubbelskötter möchte ein Gehege für seineHühner anlegen. Er siehteine gute Mög- lichkeitdarin, dasGehegeaneiner Hauswandzuplatzieren. Ihmstehen nur 10 MeterDraht- zaun zurVerfügung under möchte einerechteckigeUmzäunung haben. Wiesiehtindiesem FalldasgrößtmöglicheGehegeaus?

„Da lachen ja dieHühner! DieAufgabe habe ich jaschon x-malin der Klasse 9 unterrichtet.

Wofürbrauchtman da neue Technologien?Einalter Hut und außerdem:Welcher Bauer hat nur 10 mZaun?DemsolltemandieHühnerhaltungbesser verbieten…“

So oder soähnlich ist häufig der erste Eindruck. Doch dieser Eindruck täuscht! Natürlich ist die Aufgabe recht leicht und für den Experten in Windeseile zu lösen: l+2%h= 10 m. Zu bestimmenistmax(l%h) =max((10 – 2 %h) %h) =5% 2,5m²= 12,5m². Das wares.

Dieser scheinbare Nachteil der Trivialität of- fenbart sich schnell als Vorteil: Lehrerinnen und Lehrer sowie Schülerinnen und Schüler der Oberstufe müssen sich beim Bearbeiten dieser Aufgabe nicht primär auf den Stoff konzentrieren, die meiste Aufmerksamkeitgilt dem Lösungsprozess. Und dieser Prozess ist vielschichtig und recht bunt: Man kann diese Aufgabe nämlich hervorragend geometrisch, graphisch, tabellarisch und auch symbolisch lösen.

Wie man diese Aufgabe im Unterrichtnutzen kann, beschreibtDirk Schulz (2008) inMathe- matik Lehren. Unser Anliegen ist es, Ihnen als Lehrerin oder Lehrer einen Vorschlag zum Einstieg in die Nutzung der Technologie TI-Nspire^TM zu bieten. Und zwar sowohl für Sie selbstalsauch fürIhreSchülerinnenundSchüler.

Die vier verschiedenen Lösungswege werden im Folgenden beschrieben. Für jeden Weg gibt es eine Kurzlösung, in der Sie die Lösungsidee sowie einige Tipps (auch mit Blick auf das Glossar in diesem Buch) finden. Im Anschluss daran finden Sie jeweils eine Detaillö- sung. Die Erfahrung zeigt, dass Einsteiger bei ihren ersten Schritten manchmal sehr detaillierte Unterstützungbenötigen. WasimWorkshop leicht realisiert werden kann, istimSelbst- studium nur schwer möglich. Diese Materialien sind auch für das Selbststudium ausgelegt.

Nach dieser kleinen Starthilfe können dann auch komplexere Aufgaben mit der TI-Nspire^TM Technologiebearbeitet werden.

(28)

Kurzform geometrische Lösung

Dieser Lösungsvorschlag beruht auf der Idee, dass man den Zaun rein geometrisch kon- struierenund dieFlächedesentstandenenHofsausmessen kann.

Zentral ist die folgende Konstruktion:DieGesamtlänge des Zauns wird als Strecke abgetra- gen. Nun benötigt man eine entsprechende Unterteilung. Diese wird vorgenommen, indem man die Strecke dreiteilt und mit Hilfe eines konstruierten Streckenmittelpunkts die identi- sche Länge von zwei Teilstrecken sicherstellt. Diese Teilstrecken repräsentieren die linke undrechteZaunbegrenzung.

Dasistdafürnützlich:

Siemöchten…. Applikation SoerreichenSiedasmitTI-Nspire^TM eineStreckezeich-

nen Graphs &

Geometry [b, 6:Punkte & Geraden, 5:Strecke]

einenPunktauf einerStrecke zeichnen

Graphs &

Geometry [b, 6:Punkte & Geraden, 2:Punktauf]

PunktaufObjekt eineSenkrechte

zeichnen Graphs &

Geometry [b, 9:Konstruktion, 1:Senkrecht]

einPolygonzeich-

nen Graphs &

Geometry [b, 8:Formen, 4:Polygon]

einenMittelpunkt

konstruieren Graphs &

Geometry [b, 9:Konstruktion, 5:Mittelpunkt]

einenKreis zeich-

nen Graphs &

Geometry [b, 8:Formen, 1:Kreis]

einenSchnittpunkt

Geometry [b,6:Punkte & Geraden,

3:Schnittpunkt(e)], diesichschneidendenOb- jekteanklicken[x][x]

Punkt, Schnittpunkte FlächenundLän-

gen messen Graphs &

Geometry [b, 7:Messen, …]danndieFlächeoderdie Distanzanklicken[x]

Messen einenPunkt ver-

schieben Graphs &

Geometry [b, 1:Zeiger], mitdemZeigeraufdenPunkt gehenund[x]ungefähreineSekundelang gedrückthalten

einenSchritt rück-

gängigmachen Graphs &

Geometry [/,d]

(29)

Langform geometrische Lösung

ÖffnenSie ein neuesDokument undfügen Sie eineSeitemitderApplikationGraphs &

Geometryein.

ImerstenSchritt wird (dawireinereingeo- metrischeKonstruktionanfertigen) dasKo- ordinatensystemausgeschaltet. Wechseln Sie indieAnsichtEbenengeometrie.

[b,2, 2:Ebenengeometrieansicht].

ZeichnenSie eineStrecke[b, 6:Punkte &

Geraden, 5:Strecke].Klicken[x]Siedazu diebeidenPunktean, welchedieStrecke begrenzensollen.

MessenSiedieLängederStrecke[b, 7:

Messen, 1:Länge]durchAnklicken[x]der Strecke. DernächsteKlick platziertdie ge- messeneLänge.

UminderGrößenordnung 10 marbeitenzu können, solltederMaßstabgeändert werden. DrückenSie[d], umdiebisherigen Aktionenabzubrechenundklicken[x]Sie aufdenMaßstabobenrechts. MitHilfeder Tastatur ([.]löschtEingaben) ändernSie denMaßstabzu 1 m. BestätigenSiedie Eingabemit[·].

WennSiewollen–wasallerdingsfürden Lösungswegunerheblich ist–könnenSie dieLängederStreckeanpassen, sodass diese 10 m lang ist.

Nun kommtdereigentlicheKniff:Konstruie- renSie einenPunktaufderStrecke[b, 6:

Punkte & Geraden, 2:Punktauf]undkon- struierenSiedanneinenMittelpunkt zwi- scheneinemStreckenbegrenzungspunkt und demPunktaufderStrecke[b, 9:

Konstruktion, 5:Mittelpunkt].Dazuklicken [x]SiediebeidenPunktenacheinander an.Entstandenist soeineUnterteilung, die genauderUnterteilungdesZaunsent- spricht. Zwei gleichlangeAbschnitte fürdie Seiten, eindritterfürdieFront.

(30)

NunsolldasRechteck (alsoderZaun) konstruiert werden. DasgeschiehtmitSenk- rechten[b, 9:Konstruktion, 1:Senkrecht].

KlickenSie[x]zuerstaufdenjeweiligen Punkt (sieheAbbildungrechts) und dann aufdieStrecke.

DieLängederSeitenwandsoll nunauf eine derSenkrechtenabgetragenwerden. Dazu nutzenwireinenKreis[b, 8:Formen, 1:

Kreis]. Zuerstklicken[x]SieaufdenMit- telpunkt, dannauf einenPunktderKreisli- nie, umdenRadius zubestimmen.

NunbestimmenSiedenSchnittpunkt zwi- schenKreis undSenkrechte[b,6:Punkte

& Geraden, 3:Schnittpunkt(e)], indemSie diesichschneidendenObjektenacheinan- deranklicken[x]. DurchdiesenPunkt mussnunwiedereineSenkrechte[b, 9:

Konstruktion, 1:Senkrecht]gelegt werden, umdasRechteckzu vervollständigen. Kli- ckenSiedazunacheinanderaufden Schnittpunkt undeinederbereitskon- struiertenSenkrechten.

Nun könnendieverbleibendenPunktdes Rechtecksleichtkonstruiert werden. Zeich- nenSie eineSenkrechtezumSchnittpunkt und bestimmenSiemitHilfederSchnitt- punktoptiondenviertenEckpunktdes Rechtecks. EineBeschreibungdieser OptionenfindenSieoben.

DasRechteckwird alsPolygon konstruiert.

DiePlatzierung imMenüfindenSierechts.

(31)

KlickenSiedievierEckpunktedesRecht- ecksnacheinanderan. Den letztenPunkt markierenSiemiteinemDoppelklick [xx].

WennSiewollen, könnenSiedasRechteck auch färben. BewegenSiedazudenZeiger auf eineSeitedesRechtecks, rufenSiedie Attributemit[/,b, 2:Attribute]auf. Die Schattierungkann nundurchDrückender Cursortasten ([¡¢]) verändert werden. Mit [·]wird dieWahlbestätigt.

AbschließendmüssenSienurnochdie Flächemessen[b, 7:Messung, 2:Fläche]

und dieMaßeso langevariieren, bisSie dasMaximumeingegrenzthaben. Dazu greifenundverschiebenSiedenPunkt ([b, 1:Zeiger], mitdemZeigeraufden Punktgehenund[x]ungefähreineSe- kundelang gedrückthalten, dannden PunktmitdenCursortastensteuern).

Umdas vorgegebeneProblemzulösen, müsstenun–wiebereits zuBeginner- wähnt–zusätzlichdieLängederStrecke auf 10 mfestgelegt werden.

(32)

Kurzform graphische Lösung

Dieser Lösungsvorschlag beruht auf der Idee, dass man den Zaun dynamisch konstruiert und dessenLänge fixiert.

Zentralist die folgende Konstruktion:Die Ecke des Geheges wird durch einen Punkt reprä- sentiert. Davon ausgehend wird das Rechteck konstruiert. DieSeitenlängen des Zauns werden gemessen. Daraus können nun (Teil-)Umfang und Flächeninhalt ermittelt werden. Die Zaunlängewirdgesperrt und dasMaximumdesFlächeninhaltsgesucht.

Dasistdafürnützlich:

Siemöchten… Applikation SoerreichenSiedasmitTI-Nspire^TM einenPunkt zeich-

nen Graphs &

Geometry [b, 6:Punkte & Geraden, 1:Punkt]

eineSenkrechte

zeichnen Graphs &

Geometry [b, 9:Konstruktion, 1:Senkrecht]

einenSchnittpunkt

Geometry [b,6:Punkte & Geraden,

3:Schnittpunkt(e)], diesichschneidendenOb- jekteanklicken[x][x]

Punkt, Schnittpunkte eineLängemessen Graphs &

Geometry [b, 7:Messung, 1:Länge], danndiePunkte nacheinanderanklicken[x].

eineFormeleinge-

benund berechnen Graphs &

Geometry [b, 1:Aktionen, 5:Text], dieFormeleingeben.

Berechnenaktivieren[b, 1:Aktionen, 7:Be- rechnen]und dieVariablen nacheinanderaus- wählen. DasErgebnisderBerechnungmit[x]

platzieren.

einMaßfixieren Graphs &

Geometry [b, 1:Aktionen, 3:Attribute], mitdenCursor- tastenaufdasSchlossgehenund dieses schließen[¢].

(33)

Langform graphische Lösung

StartenSiedieApplikationGraphs & Geo- metry. KonstruierenSie einenfreienPunkt imerstenQuadranten[b, 6:Punkte & Ge- raden, 1:Punkt].

MitHilfevonSenkrechten (Linien, besonde- re) [b, 9:Konstruktion, 1:Senkrecht]wird dasRechteck konstruiert. KlickenSie[x]

jeweilsnachAuswahlderOptionSenkrechte aufdenPunkt undeinederAchsen.

KonstruierenSiedanndieSchnittpunkteder Senkrechten mitdenKoordinatenachsen.

[b,6:Punkte & Geraden,

3:Schnittpunkt(e)], diesichschneidenden Objekteanklicken[x] [x] (Punkt, Schnitt- punkte)

(34)

MessenSiedieLängederSeitendesent- standenenRechtecks:[b, 7:Messung, 1:

Länge], danndiePunktenacheinanderankli- cken[x].

GebenSiediebeidenFormeln 2%a + b (zur BerechnungderZaunlänge) und a%b (zur BerechnungderGehegefläche) ein:[b, 1:

Aktionen, 5:Text]. DenTextmit[x]platzieren.

Nun müssendieWertederFormeln noch berechnet werden. DazuBerechnenaktivie- ren[b, 1:Aktionen, 7:Berechnen]und die Variablen nacheinanderauswählen. Das Ergebnisder Berechnungmit[x]platzieren.