Witten Effekt

Z

d³r1

2δA˙n·δA˙n

= 1 2χ(t)˙ ²

Z

d³rB_n·B_n= 2πvgχ(t)˙ ² = 1

2M_Mχ(t)˙ ².

Es gibt also Konfigurationen, welche das Monopol BPS-Limit und A0 = 0 erf¨ullen und ein Dyon beschreiben.

Da dieU(1) Symmetriegruppe weiterhin kompakt sein soll, nimmtχ(t) Werte zwischen 0 und 2πan, sodass sich mit den Ortskoordinaten des Monopols insgesamt der Modulraum M₁ =R³×S¹ aufspannt. Es ist m¨oglich Multimonopolanordnungen aus den statischen BPS-Konfigurationen mittels sogenannten Schnappsch¨ussen zusammenzusetzen. Hierbei spielt dann die Topologie des Modulraumes eine wichtige Rolle.

3.10. Witten Effekt

In Kapitel 3.9 wurde bereits gezeigt, dass es auch f¨ur statische Systeme in der BPS-Monopol Konfiguration Dyon-L¨osungen gibt. Dies l¨asst die Vermutung offen, dass es m¨oglich ist, einen Term in der Lagrangedichte zu erg¨anzen, bei dem die Feldgleichun-gen invariant bleiben, jedoch der magnetische Monopol zudem eine elektrische Ladung besitzt. Erg¨anzt man den sogenannten θ-Term

L_θ=− θe²

32π²F_µν^a ∗F^aµν (3.76)

zu der Lagrangedichte des Georgi-Glashow Modells, so bleiben die Bewegungsgleichun-gen in der Tat unver¨andert. θsoll dabei ein beliebiger reeller Parameter sein.

Um zu verstehen, was dieser zus¨atzliche Term bewirkt, bietet es sich an, die Wechselwir-kung des Terms mit einem magnetischen Monopolfeld in der klassischen Elektrodynamik zu betrachten. Es sei dabei zu beachten, dass dies nur eine anschauliche Methode ist, um etwas ¨uber die Wirkung des Terms zu erfahren. Die Gleichung (3.76) wird nun zu

L_θ= θe²

8π²E~ ·B.~ (3.77)

Die Wechselwirkung mit dem magnetischen Monopol kann durch eine Korrektur des magnetischen Feldes eingebracht werden:

B~ =∇ ×A~+ gˆr 4πr². Das elektrische Feld lautet

E~ =∇A₀.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE Durch Integration l¨asst sich nun der Term (3.77) vereinfachen:

Z Der Ausdruck (3.78) zeigt, dass der θ-Term eine elektrische Ladung an die Stelle des magnetischen Monopols verschiebt. Die Ladung nimmt allerdings mit der Dirac’schen Quantisierungsbedingung einen nicht quantisierten Wertq =−θe/2π an.

Nach dieser anschaulichen Betrachtung des Ausdrucks (3.76) soll nun eine Betrachtung bez¨uglich derU(1) Symmetrie durchgef¨uhrt werden. Die kleinenU(1) Transformationen, welche in Kapitel 3.9 verwendet wurden um den Monopol in ein Dyon zu ¨uberf¨uhren, waren Rotationen U, welche im Unendlichen der Identit¨at entsprechen. Solche Trans-formationen m¨ussen also insbesondere das Higgs-Vakuum invariant lassen. Daher han-delt es sich um infinitesimale Rotationen δα um Φ: U ≈ 1 +iΦ^a/vT^aδα. Unter diesen Transformationen ¨andert sich das Higgsfeld nicht, das Eichfeld bekommt hingegen einen Korrekturterm. In linearer N¨aherung gilt

A^a_µT^a →A^0a_µT^a =U A^a_µT^aU⁻¹+ i

eU ∂µU⁻¹≈A^a_µT^a+ 1

evDµΦ^aT^aδα.

Die infinitesimale Symmetrietransformation des Eichfeldes lauten damit δA^a_µ= 1

evDµΦ^a. (3.79)

F¨ur die zugeh¨origen Erhaltungsgr¨oßen gilt dann jν = ∂L

der Generator derU(1) Transformationen sein. Mit den Gleichungen (3.50), (3.55), (3.79) und δΦ^a= 0 folgt nm ist der topologische Grad des Higgsfeldes und soll in diesem Fall allgemein als ≥ 0 betrachtet werden. Die U(1) Transformationen haben also die Form U = e^ine. Da Rotationen um 2π wieder die Identit¨at ergeben, muss zudem

e^2πine = 1 (3.82)

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

erf¨ullt sein. Folglich istn_e∈Z. F¨ur die elektrische Ladungq gilt also mit (3.43) q=nee+nmθe

2π . (3.83)

Man erh¨alt also wie postuliert eine nicht quantisierte elektrische Ladungen am Ort des magnetischen Monopols und somit ein Dyon.

Ohne denθ-Term waren jedoch auch Dyon-L¨osungen im Monopol BPS-Limit vorhanden.

Es stellt sich die Frage, welche weiteren Auswirkung dieser Ausdruck auf das System hat.

Betrachtet man in der komplexen Ebene die Anordnung der elektrischen Ladungq und der magnetischen Ladungg des Systems, so gilt

q+ig = nee+n_meθ 2π +inm

4π

e (3.84)

= e(n_mτ +n_e) (3.85)

mit

τ = θ

2π + 4πi

e² . (3.86)

Die Ladung des Dyons ist also auf einem Gitter angeordnet, wobei der Faktor τ das Gitter in Richtung der reellen Achse verzerrt (Abb. 5).

Abbildung 5: Die Abbildung zeigt das Gitter der m¨oglichen Dyon Konfigurationen.

Betrachtet man die Schwinger-Zwanziger-Quantisierungsbedingung f¨ur eine Dipolkon-figuration (2.13)

q1g2−q2g1= 4πn (3.87)

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

so lautet auch hier die allgemeine L¨osung f¨ur die Ladungen [3]

q = e(ne+θnm

2π ) (3.88)

g = nm

4π e . Womit man ebenfalls den Parameterτ mit

q+ig = e(ne+τ nm) (3.89)

τ = θ

2π +4πi e²

erh¨alt. Dies zeigt, dass der θ-Term notwendiger Weise erg¨anzt werden musste, damit das vollst¨andige Duale System mit Dyonen betrachtet werden kann. Zum anderen sind nur diskrete Ladungskonfigurationen erlaubt, sodass die kontinuierlicheSO(2) Dualit¨at der Elektrodynamik zu einer diskreten Dualit¨at gebrochen wird. Diese diskreten Dua-lit¨atstransformationen sind solche, die die Basis des Gitters (e, eτ) in eine andere erlaubte Basis (e⁰, e⁰τ⁰) transformieren. Da alle primitiven Gittervektoren eine weitere Basis bilden k¨onnen, gilt [3] mit a, b, c, d ∈ Z und ad−bc = 1. Diese Gruppe von Transformationen beschreibt die SL(2,Z)-Gruppe. Sie k¨onnen auch, als Wirkung auf τ

τ → aτ+b

cτ +d, a, b, c, d∈Z und ad−bc= 1 (3.91) geschrieben werden. Die Feldgleichungen sind also nicht invariant unter den Transfor-mation (1.4), sondern die Dualit¨at wird auf eineSL(2,Z) Dual-Symmetrie gebrochen.

Die Abbildungen, welche dieSL(2,Z) erzeugen, lauten

τ → τ + 1 (3.92)

τ → −1

τ. (3.93)

Sie spiegeln die erwarteten Eigenschaften des betrachteten Systems wieder. (3.92) zeigt, dass wenn der Zustand (n_m, n_e= 0) existiert, dass dann jeder weitere beliebige Zustand (nm, ne) ebenfalls existiert. Abbildung (3.93) ist hingegen f¨ur θ = 0 ¨aquivalent zu der Transformation

e→g= 4π

e . (3.94)

Allgemein handelt es sich dabei um den Austausch von einer starken Kopplungskonstante τ durch eine Schwache und umgekehrt.

4 ZUSAMMENFASSUNG

4. Zusammenfassung

Das Ziel dieser Arbeit war es, magnetische Monopole in der Yang-Mills-Higgs Theorie zu studieren und einen Einblick in die Dualit¨at der Feldgleichungen zu liefern.

F¨uhrt man in der klassischen Maxwell-Elektrodynamik einen magnetischen Quellterm ein oder betrachtet den ladungsfreien Raum so herrscht eine Rotations-Dualit¨at nach Gleichung (1.4). Ein magnetischen Quellterm f¨uhrt jedoch zu Problemen, wenn gleich-zeitig ein Vektorpotential mit ∇ ×A~ =B~ existieren soll.

Der Dirac-Monopol bietet f¨ur dieses Problem eine L¨osung: Das Vektorpotential wird so gew¨ahlt, dass es eine Singularit¨at entlang der z-Achse besitzt, an ¨Uberlappregionen nur um eine Eichung unterscheidet und mit ∇ ×A~ = B~ das Feld eines Monopols mit der magnetischen Ladung g erzeugt. Wegen der Singularit¨at gilt nun ∇ ·B~ =g.

Die Eichungen, unter denen die Maxwellgleichungen invariant bleiben sollen, sind U(1) Transformationen. Die Kontinuit¨at dieser Transformationen f¨uhren zu der Dirac’schen Quantisierungsbedingung (2.5). Es konnten also magnetische Monopol L¨osungen in der abelschen U(1) invarianten Maxwelltheorie konstruiert werden.

In der nicht-abelschen Eichtheorie desSU(2) invarianten Georgi-Glashow-Modells konn-ten magnetische Monopole postuliert werden, wenn man ein System endlicher Energie betrachtet und der topologische Grad des Higgsfeldes nicht 0 ist. Im Higgsvakuum des Modells bricht die SU(2) Symmetrie zu einer U(1) Symmetrie, wodurch sichergestellt werden konnte, dass die Maxwell-Elektrodynamik als Spezialfall enthalten ist. Ein nicht triviales Higgs-Feld f¨uhrte letztendlich zu der Entstehung einer topologischen magneti-schen Ladung, welche ebenfalls die Dirac’sche Quantisierungsbedingung erf¨ullt hat. In der nicht abelschen Eichtheorie wurden also magnetische Monopole gefunden, welche zudem ein regul¨ares Eichpotential erlauben. Die Monopole treten dann als topologische Solitonen an den Stellen der isolierten Singularit¨aten des Higgsfeldes auf.

Betrachtet man die numerische Prasad-Sommerfield-L¨osungen des Georgi-Glashow Mo-dells, so wird zudem deutlich, dass das Higgsvakuum bereits nach kleinen Abstand vom Zentrum des magnetischen Monopolfeldes angenommen wird, sodass sich die Felder des Dirac-Monopols und des ’t Hooft-Polyakov Monopol hier nicht mehr unterscheiden.

Im BPS-Limit erg¨anzt sich zu den bereits existierenden Symmetrien nun zus¨atzlich eine Skalensymmetrie, welche einen Freiheitsgrad des Higgsfeldes enth¨alt. Diese wird jedoch im Grundzustand gebrochen, weshalb der Freiheitsgrad zu einem masselosen Dilaton mit der selben Ladung wie der magnetische Monopol wird. Das Dilaton f¨uhrt dann zu einer doppelt so großen Anziehung bei zwei nicht gleichnamigen und keiner Anziehung bei gleichnamigen Monopolen.

Durch Erg¨anzen einer Zeitabh¨angigkeit der Felder in Form einer U(1) Eichtransforma-tion konnte zudem im BPS-Limit ein elektrisches Feld erzeugt werden, obwohl A^a₀ = 0 gilt. Es gibt also auch Dyon-L¨osungen im Monopol BPS-Limit. Aus dieser Erscheinung konnte derθ-Term motiviert werden, welcher zu der Lagrangedichte erg¨anzt wurde. Da-durch gelang man auf die selbe Ladungs-Quantisierungsbedingung, wie die Schwinger-Zwanziger-Bedingung.

Die Rotationsdualit¨at der Maxwellgleichungen wurde also zu einerSL(2,Z) Symmetrie gebrochen. Um mehr ¨uber die magnetischen Monopole zu erfahren, bedarf es ab diesem

4 ZUSAMMENFASSUNG

Zeitpunkt eine Quantisierung der Felder. Auf diesem Wege k¨onnten zum Beispiel Aus-sagen ¨uber den Spin der magnetischen Monopole getroffen werden.

Ob jedoch magnetische Monopole als topologische Solitonen zu einem gewissen Zeit-punkt ¨uberhaupt existiert haben oder es immer noch tun ist bis zum heutigen Zeitpunkt ungekl¨art. Eine Theorie besagt, dass m¨oglicher Weise kurz nach dem Urknall durch Symmetriebrechung topologische Defekte im Eichfeld aufgetreten sind, welche zu ma-gnetischen Monopolfeldern gef¨uhrt haben [8].

A RECHNUNGEN

A RECHNUNGEN

Wegen der Bianchiidentit¨at der Lie-Klammer gilt:

[D^ρ,[D^µ, D^ν]]ψ+ [D^ν,[D^ρ, D^µ]]ψ+ [D^µ,[D^ν, D^ρ]]ψ = 0 Yang-Mills-Higgs Feldst¨arketensorF^aµν folgt damit:

F_µν^a = ∂_µ

A RECHNUNGEN

B GRUPPEN-THEORIE

B. Gruppen-Theorie

Gruppen sind Mengen von Elementen mit einem assoziativen Multiplikationsgesetz, einem Einselement und einem zu jedem Element definierten inversen Element. Ist die Multiplikation kommutativ, so wird die Gruppe abelsch genannt, andernfalls ist sie nichtabelsch.

B.1. Die abelsche U(1)-Gruppe

DieU(1)-Gruppe ist die einfachste abelsche Lie-Gruppe und ein Spezialfall der unit¨aren Matrizen GruppenU(n) n∈Z. Dessen Elemente sind die komplexen Zahlen

U(θ) =e^iθ, θ∈R. (B.1)

In der Eichtheorie ist die U(1)-Symmetriegruppe die Erzeugende der elektrischen La-dung. Der Phasenfaktorθ wird dann durch eine Kopplungskonstanteebeziehungsweise die elektrische Ladung und ein kontinuierliches Eichfeld χ(t, ~r) ersetzt,θ=eχ(t, ~r). Die elektrische Ladungeist dann gleichzeitig der Generator der Gruppe.

B.2. SU(N)-Gruppen

Im folgenden werden n-parametrigen Lie-Gruppen betrachten, wobei die Parameter im Rⁿ liegen. DieSU(N) sind die Lie-GruppenN×N-dimensionaler unit¨arer Matrizen mit Determinante Eins. Diese MatrizenU stellen in der Feldtheorie eine lineare Transforma-tion der Feld-Multipletts vonN komplexen Feldern {Φ^a} dar:

Φ^a→Φ^0a=U_j^aΦ^j ≡(UΦ)^a (B.2) Dabei gilt wegen der Unitarit¨at der Transformationen

U U^†=U^†U =1 (B.3)

wodurch die Norm inavriant ist:

(Φ^†U^†)(UΦ) =

N

X

a=1

(Φ^a)^∗Φ^a (B.4)

DieN×N Matrizen besitzenN²komplexe Eintr¨age und daher 2N²reelle Eintr¨age. Die Unitarit¨at liefert jedoch N² Bedingung und DetU = 1 noch eine weitere, wodurch sich die Anzahl der unabh¨angigen Parameter Λ^a der Matrizen U auf N²−1 reduziert. Die SU(N) Gruppen besitzen also die Dimension n=N²−1.

Die Lie-Gruppe wird mittels derN²−1 Generatoren t^adurch die Abbildung

U(Λ¹,Λ², . . . ,Λ^N2−1) =e^iΛata (B.5)

B GRUPPEN-THEORIE erzeugt.

Die Generatoren der SU(N) in der fundamentalen Darstellung sind die Verallgemei-nerung der Matrizen t^a = τ^a/2, mit den Paulimatrizen τ^a, auf N ×N Matrizen. Sie gen¨ugen der zugrundeliegenden Lie-Algebra:

h

F¨ur die antisymmetrische Strukturkonstantef^abc gilt dabei f^abc=−2i Sph

Die fundamentale Darstellung der SU(2)-Gruppe folgt dann aus den Generatoren t^a= τ^a/2 mit den Paulimatrizen

τ¹= mit der antisymmetrischen Strukturkonstante f^abc=^abc, dem Levi-Civita Zusammen-hang.

Es gilt also

SU(2) ={e^iΛata|Λ∈R^N2−1} (B.10) Neben der fundamentalen Darstellung gibt es noch weitere Darstellungen mittelsM×M -Matrizen T^a (M > N), welche der selben Lie-Algebra

h

T^a, T^bi

=if^abcT^c (B.11)

gen¨ugen. Ein Spezialfall ist hierbei die adjungierte Darstellung (T^a)^bc=−if^abc. Im Falle derSU(2) lauten diese (T^a)^bc=−i^abc:

Diese Generatoren sind zugleich identisch mit denen der SO(3)-Liegruppe, also den orthogonalen Rotationen im R³. Folglich sind die Lie-Algebren der SU(2) und SO(3) isomorph zueinander und man spricht oft von der adjungierten SO(3) Darstellung. In dieser Darstellung gilt nun ebenfalls

U(Λ¹,Λ², . . . ,Λ^N2−1) =e^iΛaTa (B.13) Φ^a→Φ^0a=U_j^aΦ^j ≡(UΦ)^a, (B.14) wobei Φ^abeziehungsweiseA^a_µ im Falle der adjungierten Darstellung derSU(2) Tripletts sind. Die adjungierte Darstellung ist dabei allgemein wie folgt definiert:

C SYMMETRISIERUNG DES ENERGIE-IMPULS-TENSORS: DER BELINFANTE-TENSOR

Sei G eine Lie-Gruppe und Ψ_g(h) = ghg⁻¹ ein Lie-Gruppenhomomorphismus, also ein innerer Automorphismus Ψg:G→Gmitg, h∈G. Definiert man zudem die adjungierte AbbildungAd_g als Ableitung von Ψ_g ine, dem neutralen Element von G,

Adg = (dΨg)e:TeG→TeG (B.15) so lautet die adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe G

Ad:G→Aut(g), g→Adg. (B.16) WobeiAut(g) die Automorphismen-Gruppe der Lie-Algebra g von Gist.

C. Symmetrisierung des Energie-Impuls-Tensors: Der Belinfante-Tensor

[9] Der kanonische EIT(Energie-Impuls-Tensor) muss nicht zwangsweise symmetrisch sein. Um jedoch sp¨atere Betrachtungen zu vereinfachen, bietet es sich an diesen zu symmetrisieren. Es soll im Folgenden eine Transformation betrachtet werden, die die erhaltenen Gr¨oßen des EIT unbeeinflusst l¨asst, jedoch den Tensor symmetrisiert. Durch diese Transformation erh¨alt man den sogenannten Belinfante-Tensor:

SeiTcan^µν der kanonische EIT mit

T_can^µν = ∂L

∂(∂_µΦ^a)∂^νΦ^a−η^µνL (C.1) und

∂µT_can^µν =T_can^ν = 0 (C.2) so lautet der erhaltene Fluss unter infinitesimalen Translationenx_µ:

j^µ=x_νT^µν (C.3)

mit

∂µj^µ= 0 (C.4)

Weiterhin sei die kanonische Gesamtdrehimpulsdichte Mcan^µνλ gegeben durch die Summe von BahndrehimpulsdichteL^µνλ und SpindichteS^µνλ:

M_can^µνλ=L^µνλ+S^µνλ (C.5)

wobei

L^µνλ = x^νT_can^µλ −x^λT_can^µν (C.6) ist, sodass die Gesamtdrehimpulsdichte unter infinitesimalen Lorentz-Tansforamtionen erhalten ist:

∂_µM_can^µνλ = 0 (C.7)

C SYMMETRISIERUNG DES ENERGIE-IMPULS-TENSORS: DER

Man sieht hier bereits, dass der kanonische EIT nur dann symmetrisch ist, wenn die Spindichte 0 oder ebenfalls erhalten ist. Definiert man nun den Belinfante-Tensor:

T_bel^µν = Θ^µν ≡T_can^µν +∂λK^µνλ=T_can^µν +1 sodass mit dem vorherigen Ausdruck der Tensor symmetrisch ist:

Θ^µν−Θ^νµ=T_can^µν −T_can^νµ +∂λS^µνλ = 0 (C.12)

antisymmetrisch unter Vertauschung der Indizes ist.

Ist der Belinfante-Tensor spurlos, so ist der Strom

O^µ=xνΘ^µν (C.15)

wegen

∂_µO^µ= Θ^µ_µ= 0 (C.16)

automatisch erhalten. Dieser Strom wird dann auch Dilaton-Strom genannt und geh¨ort zu einer Skalen-Symmetrie.

Der kanonische EIT derSU(2) Yang-Mills-Higgs Theorie lautet T_can^µν = ∂L

∂(∂µA^a_λ)∂^νA^a_λ+ ∂L

∂(∂µΦ^a)∂^νΦ^a−η^µνL (C.17)

= −F^aµλ∂^νA^a_λ+D^µΦ^a∂^νΦ^a−η^µνL (C.18) Durch erg¨anzen des Ausdrucks

K^aµνλ=F^aµλA^aν (C.19)

kann der Belinfante-Tensor konstruiert werden, K^µνλ ist dabei antisymmetrisch unter Vertauschung der Indizes. F¨ur den Belinfante-Tensor folgt

Θ^µν = T_can^µν +D_λF^aµλA^aν (C.20)

= −F^aµλ∂^νA^a_λ+ (DλF^aµλ)A^aν+F^aµλ(DλA^aν) (C.21)

+D^µΦ^a∂^νΦ^a−η^µνL. (C.22)

Literatur

Mit den Feldgleichungen gilt dann

Θ^µν = − F^aµλ∂^νA^a_λ+ (e^abcΦ^bD^µΦ^c)A^aν (C.23) + F^aµλ(∂_λA^aν +e^abcA^b_λA^aν) +D^µΦ^a∂^νΦ^a−η^µνL, (C.24) sodass sich folgender Ausdruck ergibt:

Θ^µν =−F^aµλF_λ^aν +D^µΦ^aD^νΦ^a−η^µνL, (C.25) wobei der Term vom Higgsfeld bereits symmetrisch ist.

Literatur

[0] Harvey, J. A.:Magnetic Monopoles, Duality, and Supersymmetry

[1] Ebert, D.:Eichtheorien - Grundlagen der Elementarteilchenphysik S. 66 ff [2] Manton, N. und Sutcliffe, P.:Topological Solitons S. 54 ff

[3] Alvarez-Gaum´´ e, L. und Zamora, F.:Duality in Quantum Field Theory S. 3 f [4] Polyakov A. M.:Particle spectrum in quantum field theory

[5] Shnir, Y.:Magnetic Monopoles S.27 ff [6] Shnir, Y.:Magnetic Monopoles S.153

[7] Ebert, D.:Eichtheorien - Grundlagen der Elementarteilchenphysik S. 61 f [8] Mielke, E. W.:Magnetische Monopole in vereinheitlichten Eichtheorien

[9] Bandyopadhyay, A.: Improvements of stress-energy tensor using space-time symme-tries Chapter 3

Im Dokument Leibniz Universität Hannover (Seite 30-43)