Der Monopol wurde bisher nur sehr oberfl¨achlich betrachtet. So war es zum Beispiel nicht m¨oglich Aussagen ¨uber seine Masse zu treffen. Die folgende Erweiterung auf eine
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE
nicht abelsche Eichtheorie soll mehr Einblick liefern. Es empfiehlt sich Anhang B.2 zu lesen, sofern keine Vorkenntnisse zur Gruppen-und Darstellungstheorie vorhanden sind.
In den n¨achsten Kapiteln werden magnetische Monopole als topologische L¨osungen in der nicht abelschenSU(2) Yang-Mills-Higgs Eichtheorie betrachtet. Die Eichtheorien selber beziehen sich auf Systeme, die unter Eichtransformationen, wie im Fall derU(1) Eichung der Elektrodynamik, invariant bleiben. Man unterscheidet dabei zwischen abelschen und nicht abelschen Eichtheorien. Bei der klassischen Elektrodynamik handelt es sich um eine abelsche Eichtheorie, da die Generatoren derU(1) Gruppe, also die elektrische Ladunge, mit sich selbst kommutiert. Im Falle einer SU(2) eichinvarianten Theorie kommutieren die Generatoren, die Paulimatrizenσa, nicht miteinander, sondern es gilt
h σa, σbi
= 2iabcσc. (3.1)
Es handelt sich also um eine nicht abelsche Eichtheorie. Zudem ist die U(1) Gruppe eine kompakte Teilgruppe derSU(2), womit die Elektrodynamik in der nicht abelschen SU(2) Eichtheorie voraussichtlich enthalten sein wird. Um eine solche Theorie aufzu-stellen, bedarf es der Formulierung einer Lagrangedichte, dessen Wirkung invariant un-terSU(2) Symmetrietransformationen ist. Mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichung ist es dann m¨oglich die Feldgleichungen aufzustellen.
Die nachfolgenden Modelle werden in der adjungierten Darstellung (SO(3) Darstellung) der Felder betrachtet. Die adjungierten Gruppenelemente der SU(2) haben dann die Form
U(t, ~r) =eieχaTa (3.2)
mit den drei Generatoren (Ta)bc=−iabc, welche die Algebra h
Ta, Tb i
=iabcTc (3.3)
erf¨ullen. Die kontinuierlichen Gruppenparameter lauten also Λa(t, ~r) =eχa(t, ~r).
Sei zudem Φ(t, ~r) = ΦaTa dieLie(SU(2)) Matrixdarstellung des Higgsfeld-Triplett Φa(t, ~r) = (Φ1(t, ~r),Φ2(t, ~r),Φ3(t, ~r))
und Aµ(t, ~r) =AaµTa die Lie(SU(2)) Matrixdarstellung des Eichfeld-Triplett Aaµ(t, ~r) = (A1µ(t, ~r), A2µ(t, ~r), A3µ(t, ~r)).
Man assoziiert also mit jedem GeneratorTa ein EichpotentialAaµ und ein skalares Feld Φa. Um eineSU(2) invariante Lagrangedichte zu formulieren, bedarf es einer kovarianten Ableitung, welche Analog zu Gleichung (1.10) formuliert werden muss. Es gilt
∂µ→Dµ=∂µ+ieAaµTa, (3.4) wobeiAµnach
Aµ→A0µ=U AµU−1+ i
eU ∂µU−1 (3.5)
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE transformiert. Damit ist
DµΦa=∂µΦa+ieAbµ(−ibac)Φc=∂µΦa−eabcAbµΦc (3.6) und
DµΦ =∂µΦ +ie[Aµ,Φ]. (3.7) Der Feldst¨arketensorFµνa zum EichfeldAaµkann analog zur klassischen Elektrodynamik durch den Kommutator der kovarianten Ableitungen [7]
Fµν ≡ −i
e[Dµ, Dν] = (∂µAaν −∂νAaµ−eabcAbµAcν)Ta (3.8) definiert werden. Die einzelnen Komponenten lauten dann
Fµνa =∂µAaν−∂νAaµ−eabcAbµAcν. (3.9) In den weiterf¨uhrenden Abschnitten soll ein System, in dem ein Eichfeld-Triplett Aaµ mit einem skalaren Higgsfeld-Triplett Φa wechselwirkt, betrachtet werden. Die Lagran-gedichte setzt sich daher aus einem Maxwell Term (masseloses Photon mit Spin 1 des elektromagnetischen Feldes)
LM =−1
4Fµνa Faµν (3.10)
und einem Klein-Gordon Term (Higgs-Bosonen haben Spin 0 und eine Ruhemassem≡1) LKG=DµΦaDµΦa−V(Φ) (3.11) zusammen. Der Ausdruck (3.11) beinhaltet bereits einen Wechselwirkungsterm der Higgs-und Eichfelder
Lint=−haµAaµ+e2ΦbΦbAcµAcµ−e2ΦbAbµΦcAcµ mit dem Higgs-Strom
haµ= 2eabcΦb∂µΦc. (3.12) Die vollst¨andige Yang-Mills-Higgs Lagrangedichte lautet also
L = LM +LKG =−1
4Fµνa Faµν+DµΦaDµΦa−V(Φ). (3.13) Aufgrund der vorherigen Einf¨uhrung der kovarianten Ableitung und des kanonischen Feldst¨arketensors muss die Lagrangedichte invariant unter denSU(2) Transformationen (3.5) und
Φ→Φ0=UΦU−1 =eieχaTaΦe−ieχaTa (3.14) sein.
In den n¨achsten Kapiteln soll gekl¨art werden, inwiefern diese Theorie magnetische Mo-nopole beinhaltet, und eine explizite L¨osung, der ’t Hooft-Polyakov Monopol, betrachtet werden. Als Vorarbeit wird daf¨ur das Georgi-Glashow Modell behandelt.
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE 3.2. Georgi-Glashow Modell
Die Yang-Mills-Higgs Lagrangedichte in derSO(3) Darstellung mit einem PotentialV(Φ) der Form
V(Φ) =λ(ΦaΦa−v2)2/4 (3.15) bilden das sogenannte Georgi-Glashow Modell. Dabei ist λ ∈ R+∪ {0} ein beliebiger Parameter und v der Vakuum-Erwartungswert des Potentials.
Abbildung 1: HiggspotentialV(Φ) des Georgi-Glashow Modells
Die Feldgleichungen f¨ur die Felder folgen aus den Euler-Lagrange-Gleichungen2. Mit
∂µ ∂L
∂(∂µAaν) − ∂L
∂Aaν = 0 gilt also
DµFaµν =−eabcΦbDνΦc (3.16) und analog f¨ur das Higgs-Feld
∂µ ∂L
∂(∂µΦa) − ∂L
∂Φa = 0
⇔DµDµΦa = −λΦa(ΦbΦb−v2). (3.17) Zudem erf¨ulltFaµν die Bianchiidentit¨at3
Dµ? Faµν = 0. (3.18)
Die Gleichungen (3.16), (3.17) und (3.18) sind dann die Differentialgleichungen f¨ur die Felder.
2Rechnungen in Anhang A.1 und A.2.
3Rechnung in Anhang A.3.
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE Der symmetrisierte Energie-Impuls Tensor4 lautet
Θµν =−FaµλFλaν +DµΦaDνΦa−ηµνL. (3.19) Wenn man V(Φ)≡0 oder λ= 0 w¨ahlt, also das Potential verschwinden l¨asst, so ist der Energie-Impuls-Tensor spurlos und damit der sogenannte Dilatationsstrom
Oµ=xνΘµν wegen
∂µOµ= Θµµ= 0
erhalten. Dieser Dilatationsstrom ist die Erhaltungsgr¨oße zu der Skalensymmetrie
xµ→x0µ=λxµ, λ∈R (3.20)
des Systems. Wichtig soll in diesem Zusammenhang jedoch nur sein, dass die Skalen-symmetrie ausschließlich dann existiert, wenn das Potential verschwindet. Man wird sp¨ater noch sehen, dass diese Symmetrie im Grundzustand gebrochen wird, weshalb ein masseloses Goldstone Boson [7] existiert, welches im ’t Hooft-Polyakov Monopol einen entscheiden Beitrag zum Higgsfeld liefert. Im Folgenden soll der Spezialfall f¨ur ein ver-schwindendes Potential zun¨achst außer Acht gelassen werden.
Aus dem Energie-Impuls Tensor l¨asst sich zudem die Energiedichte ablesen:
Θ00= 1
2(E~aE~a+B~aB~a+D0ΦaD0Φa+DiΦaDiΦa) +V(Φ) (3.21) mit
Eai = Fa0i (3.22)
Bai = 1
2ijkFjka. (3.23)
Dabei soll E~aE~a = E~1E~1 +E~2E~2 +E~3E~3 sein, mit dem Skalarprodukt E~ ·E~ = ExEx+EyEy+EzEz.
Offensichtlich gilt Θ00≥ 0, wobei der Wert 0 nur f¨ur Faµν =DµΦa=V(Φ) = 0 ange-nommen wird. An dieser Stelle unterscheidet man zwischen zwei verschiedenen Vakua.
Es gilt Θ00 = 0, wenn das Eichfeld Aaµ verschwindet und das Higgs-Feld Φa konstant mit ΦaΦa=v2 ist. Es handelt sich hierbei um das normale Vakuum.
Im Gegensatz dazu fordert das Higgsvakuum zwar ebenfalls V(Φ) = 0, jedoch nicht DµΦa = Faµν = 0 und somit auch nicht Θ00 = 0. Dies f¨uhrt dazu, dass immer noch ΦaΦa=v2 gelten muss und somit das Higgsvakuum eine S2-Sph¨areMH mit
MH ={Φ :V(Φ) = 0} (3.24)
bildet.
4Die Symmetrisierung des Energieimpulstensors genauer in Anhang C.
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE
Wegen der speziellen Form des Potentials bildet das Higgsvakuum eine Sph¨are und kei-nen Punkt im Feldraum mit der Basis{Φ1,Φ2,Φ3}. Dies f¨uhrt zu einer spontanen Sym-metriebrechung im Higgsvakuum, wenn ein konkreter Punkt gew¨ahlt werden muss. Auf diese Symmetriebrechung wird im n¨achsten Abschnitt kurz eingegangen, da sie sp¨ater noch eine entscheidende Rolle spielt.
3.3. Spontane Symmetriebrechung
Aufgrund der SU(2) Invarianz der Lagrangedichte kann ein Higgsfeld-Triplett Φa = (0,0, ρ) auf alle anderen Punkte auf der 2-Sph¨are durch
(Φ0)a=
abgebildet werden. Durch Einsetzen von (3.25) in die Lagrangedichte (3.13) erh¨alt man nun [1]
Es sollen nun kleine St¨orungenη(r) um das Vakuum betrachtet werden, dazu w¨ahlt man ρ(r) =v+η(r). Bis zur zweiten Ordnung erh¨alt man durch Einsetzen in (3.26) [1]
Lquad.= 1 Massenterm mit mA∓
µ = ev hinzubekommen. Lediglich A3µ ist masselos geblieben. Da jedoch der Maxwell-Term in der Lagrangedichte nur f¨ur masselose Spin-1 Teilchen invariant unterSU(2) Transformationen ist, sind die Symmetrien, die nicht in Richtung von T3 zeigen, gebrochen. Bei der Restsymmetrie handelt es sich allgemein um die Symmetrie in Φa-Richtung. Diese Restsymmetrie ist dann eine U(1) Symmetrie, denn die Lagrangedichte ist nur noch invariant unter Rotationen um Φa. Die Felder A±µ transportieren zudem eine elektrische Ladung, welche zu dem Generator U(1) Restsymmetrie korrespondiert.
Der Mechanismus, in dem die spontane Symmetriebrechung im Higgsvakuum zur Entstehung von Massen des Eichfeldes f¨uhrt, wird auch Higgs-Mechanismus genannt.
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE 3.4. Topologische Betrachtung
In diesem Kapitel soll das statische Georgi-Glashow Modell betrachtet werden, also Aaµ ≡ Aaµ(r) und D0Φa(r) ≡ 0 und ein verschwindendes elektrisches Feld Ena = 0, weshalbAa0 = 0 gesetzt wird. F¨ur die Gesamtenergie folgt dann
E= Z
d3r1
2(B~aB~a+DiΦaDiΦa) +V(Φ). (3.28) Des Weiteren soll die Energie des Systems endlich sein. Dies ist zwangsl¨aufig nur dann gegeben, wenn f¨ur r → ∞ das Higgsvakuum angenommen wird, sodass das Potential verschwindet. Das Higgsvakuum wird beispielsweise f¨ur
Φa= (0,0, v), (3.29)
im gesamtenR3 angenommen, also auch im Unendlichen. Solch eine Konfiguration wird im Folgenden als triviale Higgsfeldkonfiguration bezeichnet. Alternativ liefert die Abbil-dung
Φa−−−−→
r→ ∞
vra
r (3.30)
ebenfalls Higgsvakuum im Unendlichen. Jedoch h¨angt der Grenzwert noch von den Ort ra ab, weshalb hier von einer nicht trivialen Higgsfeldkonfiguration gesprochen wird.
Dabei istra=ra(x, y, z) =xa, also r1=x,r2=y undr3 =z und r=|~r|=√ rara. Allgemein handelt es sich dabei um Funktionen, die ausgewertet f¨ur r → ∞ in das Higgsvakuum abbilden
Φa(ra)
r→∞ :S∞2 →MH =S2, (3.31) welche durch ihren topologischen Grad5 N charakterisiert werden. Man nennt diese Gruppe von Funktionen die zweite Homotopie Gruppeπ2(S2) der 2-Sph¨are.
F¨ur den trivialen Fall Φa= (0,0, v) folgt f¨ur dessen topologischen Grad N = 1
8πv3 Z
S∞2
dSiijkabcΦa∂jΦb∂kΦc= 0 F¨ur den anderen Fall (3.30) erh¨alt man:
N = 1
5Weitere Informationen zum Thema topologischer Grad befinden sich in der Literatur [2]
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE
Abbildung 2: Die Abbildung zeigt einen Querschnitt des trivialen Higgsfeldes (3.29) und die Abbildung der S∞2 durch Φa auf S2 = M. Alle Vektoren werden auf denselben Punkt abgebildet. Der topologische Grad muss daher 0 sein.
Abbildung 3: Die Abbildung zeigt einen Querschnitt des nicht trivialen Higgsfeldes (3.30) und die Abbildung der S∞2 durch Φa auf S2 = M. Die Vektoren werden insgesamt einmal um die gesamte Oberfl¨ache vonM abgebildet. Der topo-logische Grad ist damit 1.
Im trivialen Fall (3.29) wird das Higgsvakuum im gesamten R3 angenommen. Ent-sprechend gibt es keine SU(2) Symmetrie. Dieser Fall ist daher uninteressant, da keine neuen Resultate zu magnetischen Monopolen zu erwarten sind.
Sei also Φaeine Abbildung mitN 6= 0 (im Folgenden soll immerN = 1 gew¨ahlt werden) und verschwinde zudem das Eichfeld Aaµ, so gilt f¨ur die Gesamtenergie des Systems
E = Z
d3xΘ00= Z
d3x1
2∇Φa∇Φa+V(Φ)≥ Z
d3x1
2∇Φa∇Φa.
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE
Zerlegt man ∇Φa in Winkel-und Radialteil (∇Φa)2 =
∂Φa
∂r 2
+ (ˆr× ∇Φa)2,
so darf der Winkelanteil wegen (3.32) im Unendlichen nicht verschwinden, wenn N 6= 0 sein soll. Dieser hat jedoch f¨urr→ ∞als f¨uhrende Ordnung r12. Dann gilt allerdings f¨ur die Energie
E >
Z r2dr
r2 −−−−→
r→ ∞ ∞.
Zwangsweise kann die Kombination von einem nicht trivialen Higgs-Feld mitN 6= 0 und einem verschwindenden Eichfeld kein System endlicher Energie hervorbringen. Anders sieht dies aus, wenn das Eichfeld nicht verschwindet. Die Gradienten m¨ussen dann wieder durch die kovarianten Ableitungen ersetzt werden. Wenn der Term eabcAbnΦc mit 1r im Winkelanteil abf¨allt, k¨onnen sich die beiden Winkelanteile aufheben und die Energie divergiert nicht mehr. Dieses Verhalten ist zu beobachten, wenn Aan in der Winkelkomponente f¨ur r → ∞ in f¨uhrender Ordnung mit 1r abf¨allt. Ein solches Potential geh¨ort typischerweise zu einem magnetischen Monopolfeld im Unendlichen. Es tritt also in diesem Fall eine endliche Energie nur gemeinsam mit einem magnetischen Monopolfeld auf.
Ebenfalls interessant ist die Frage nach der Stabilit¨at einer entsprechenden L¨osung.
Das System ist in einem Zustand minimaler Energie, wenn Faµν =DµΦa =V(Φ) = 0 gilt. In diesem Fall ist DµΦa nur 0, wenn ∂µΦa = 0 erf¨ullt. Daher muss Φa f¨ur eine minimale Energie die triviale Higgsfeld-Konfiguration annehmen. Man k¨onnte meinen, dass eine nicht triviale Higgs-Konfiguration also zwangsweise zu instabilen Zust¨anden f¨uhrt. Es kann jedoch keine stetige Abbildung geben, die die nicht tri-viale Higgsfeld-Konfiguration im r¨aumlich Unendlichen in die Triviale ¨uberf¨uhrt, da der topologische Grad N ∈ N eine nicht stetige Abbildung ist. Folglich bilden die Higgsfeld-Konfigurationen durch ihren topologischen Grad getrennte Sektoren, weshalb die Vakuum-Zust¨ande in den Sektoren stabil sind. Es wird deshalb auch von topologi-schen Solitonen gesprochen.
Im folgenden Abschnitt soll nun der nicht abelschen Feldst¨arketensor konstruieren wer-den um etwas ¨uber die Ladung des Magnetfeldes auszusagen.
3.5. L¨osung f¨ur die nicht triviale Higgsfeld-Konfiguration W¨ahlt man
DµΦa= 0 f¨ur r → ∞, (3.33)
in f¨uhrender Ordnung (1/r), so ist mit dem Argument aus dem vorherigen Kapitel si-chergestellt, dass die Energie endlich ist. Hieraus l¨asst sich durch Umstellen das Eichfeld
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE
in Abh¨angigkeit von Φa angeben. Dabei sei zu beachten, dass ΦaΦa=v2 gilt:
∂µΦa−eabcAbµΦc = 0 | ·deaΦe deaΦe∂µΦa−edeaabcΦeAbµΦc = 0
deaΦe∂µΦa−e(δdbδec−δdcδeb)ΦeAbµΦc = 0 deaΦe∂µΦa−ev2Adµ+evΦdAemµ = 0.
Es wurde
Aemµ = 1
vΦaAaµ (3.34)
als Projektion von Aaµ auf Φa definiert. Der Ausdruck f¨ur das Eichfeld lautet also Aaµ= 1
ev2abcΦb∂µΦc+1
vΦaAemµ . (3.35)
Aemµ ist zudem gerade der Anteil des Eichfeldes, welcher nach der spontanen Symme-triebrechung (3.27) masselos bleibt. Diesbez¨uglich wurde er bereits als Eichpotential des elektromagnetischen Feldes markiert. Aus (3.35) und Gleichung (3.9) folgt der Ausdruck f¨ur den Feldst¨arketensor6
Faµν = 1
vΦaFµν (3.36)
mit
Fµν = 1
v3eabcΦa∂µΦb∂νΦc+∂µAem,ν−∂νAem,µ = 1
vΦaFaµν 6=FaµνTa. (3.37) Fµν ist die Projektion des Feldst¨arketensors auf Φa. Dieser Ausdruck muss also invariant unter derU(1) Restsymmetrie sein. Daher handelt es sich hierbei um den elektromagneti-schen Feldst¨arketensor derSU(2) Yang-Mills-Higgs Theorie. Dabei ist entscheidend, dass nun ein Term im elektromagnetischen Feldst¨arketensor auftritt, der nur vom Higgsfeld abh¨angt und allgemein Fµν 6=∂µAem,ν −∂νAem,µ ist. Durch Einsetzen in die Feldglei-chungen erh¨alt man, wenn Φa die triviale Form (3.29) hat f¨ur beliebige Abst¨ande vom Monopol7,
∂µFµν = 0, (3.38)
∂µ? Fµν = 0. (3.39)
Fµν erf¨ullt dann die klassischen freien Maxwellgleichungen. Dies best¨atigt die Annahme, dass die triviale L¨osung keine magnetische Ladung beinhaltet und der freien Maxwell Elektrodynamik entspricht. Es sind also nur Konfigurationen mit N >0 interessant.
F¨ur den nicht trivialen Fall (3.30) sind die freien Maxwellgleichungen f¨ur große r wegen
6Rechnung im Anhang A.4.
7Rechnung im Anhang A.5.
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE
ΦaΦa=v2 und DµΦa = 0 ebenfalls erf¨ullt8. F¨ur kleiner gilt jedoch die abelsche Bian-chiidentit¨at∂µ? Fµν = 0 nicht, da der Higgsfeldterm vonFµν nicht trivial verschwindet.
Man definiert den topologischen Fluss kν als
∂µ? Fµν =kν. (3.40)
W¨ahlt manAaµ ¨uberall regul¨ar, so vereinfacht sich kµ zu kµ= 1
2µνρλ∂νFρλ= 1
2v3eµνρλabc∂νΦa∂ρΦb∂λΦc. (3.41) Der entscheidende, nicht verschwindende Beitrag kommt also vom Higgsfeld.
Mit Gleichung (3.41) folgt zugleich, dass
∂µkµ= 0 (3.42)
gilt und somit der topologische Fluss eine Erhaltungsgr¨oße ist. F¨ur die magnetische Ladung folgt dann also
Dies ist in der Tat dieselbe Quantisierungsbedingung wie bei Dirac, wobei beachtet werden muss, dass in der adjungierten Darstellung derSU(2) N =n/2 gilt.
Zudem ist wegen (3.42) insbesondere die topologische bzw. magnetische Ladung erhalten, was best¨atigt, dass die L¨osungen topologische Solitonen sind.
Es wurden also magnetische Monopole als topologische Solitonen im Georgi-Glashow Modell nachgewiesen. Der Monopol besitzt dabei die Ladung g und erf¨ullt die Dirac’sche Quantisierungsbedingung. Des Weiteren kann das Eichfeld und damit auch der Feldst¨arketensor ¨uberall regul¨ar gew¨ahlt werden. Aufgrund der spontanen Symmetriebrechung gibt es zudem den Spezialfall (N = 0), in dem ausschließlich die Maxwell-Elektrodynamik gilt.
3.6. ’t Hooft-Polyakov Ansatz
Mit dem Vorwissen aus den vorangegangenen Kapiteln ist es nun m¨oglich, L¨osungen der Feldgleichungen (3.16) und (3.17) weitestgehend vollst¨andig zu interpretieren. Damit die
8Selbe Rechnung wie in A.5.
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE
zu l¨osenden Differentialgleichungen nicht zu kompliziert sind, werden ein paar vereinfa-chende Annahmen getroffen:
Der Zustand niedrigster Energie ist derjenige mit den meisten Symmetrien. Durch Wahl eines symmetrischen Ansatzes f¨ur die Felder ΦaundAaµund anschließender Variation des Energiefunktionals sollte man nun Differentialgleichungen finden, die einfacher zu l¨osen sind. Zudem soll wieder der statische Fall mit Aa0 = 0 und N = 1 betrachtet werden.
W¨ahlt man [4]
Φa = ˆra
erH(ξ), (3.44)
Aai = −aijrˆj
er(1−K(ξ)) (3.45)
mit
ξ=ver,
so m¨ussenH(ξ) undK(ξ) folgende Randbedingungen erf¨ullen:
K(ξ)→1, H(ξ)→0, r→0, K(ξ)→0, H(ξ)/ξ→1, r→ ∞.
Diese Randbedingungen resultieren aus Gleichung (3.30), welche das Higgsfeld erf¨ullen muss. Daraus folgt, dass Φa undAaµ ¨uberall definiert sein sollen.Aai konnte analog zum vorherigen Kapitel aus der Bedingung f¨ur die endliche Energie gewonnen werden. Durch Variation der Funktionen K(ξ) und H(ξ) im Energiefunktional kann nun der Zustand niedrigster Energie bestimmt werden. Um das Vorgehen hier etwas zu erleichtern, wird vorherBna und DnΦa errechnet9:
DnΦa = δan
er2K(ξ)H(ξ) +rarn er4
ξH0(ξ)−H(ξ)−K(ξ)H(ξ)
, (3.46) wobei
H0(ξ) = dH(ξ) dξ
sein soll. Des Weiteren wird H≡H(ξ) undK ≡K(ξ) gesetzt.
F¨ur das Magnetfeld folgt analog Ban= rarn
er4 1−K2+ξK0
− δna
er2ξK0. (3.47)
9Die Rechnung befindet sich im Anhang A.6.
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE
F¨ur das Energiefunktional gilt mit Gleichung (3.28) E = und somit f¨ur die Variation nach K undH
d Dies sind die beiden Differentialgleichungen, welche die Funktionen K und H mit den Randbedingungen f¨ur den Zustand minimaler Energie festlegen.
Auch hier l¨asst sich zeigen, dass die Dirac-Bedingung weiterhin erf¨ullt ist:
g= 1 Im letzten Schritt wurde dabei der Satz von Gauß und die Bianchiidentit¨at DnBna = 0 verwendet. Durch Einsetzen von (3.46) und (3.47) in (3.50) folgt
g= 4π
Also ist weiterhin die Dirac’sche Quantisierungsbedingung erf¨ullt. Abgesehen von dem Spezialfallλ= 0 sind die Differentialgleichungen allerdings nur numerisch l¨osbar.
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE
Aus Ya. Shnir Magnetic Monopoles [6] konnten folgende Plots entnommen werden:
Abbildung 4: Dargestellt sind numerische L¨osungen f¨urH(ξ) und K(ξ) der Gleichungen (3.48) und (3.49) f¨ur verschiedene Werte von λ. F¨ur λ = 0 wurden die analytischen L¨osungen aus Kapitel 3.8 verwendet.
Die L¨osungen zeigen, dass die Randbedingungen bereits nach einem relativ geringen Abstand vom Ursprung des Monopolfeldes erreicht werden. Entsprechend wird auch das Higgsvakuum bereits nach einem kurzen Abstand um den Monopol angenommen, sodass hier der 1/r2 Abfall des Magnetfeldes beobachtet werden kann. Der Spezialfall des BPS-Limits mit λ= 0 undBna=DnΦa wird im Folgenden genauer besprochen.
3.7. BPS-Limit
Bislang wurde ausschließlich ein statisches System mit verschwindendem elektrischen Feld betrachtet. Soll nun das System weiterhin statisch sein, jedoch das elektrische Feld nicht verschwinden, so gilt f¨ur die Energie des Systems
E = Z
d3r1
2[EnaEna+BnaBna+DnΦaDnΦa] +V(Φ) (3.51)
= 1 2
Z
d3r(Ena−DnΦasinα)2+1 2
Z
d3r(Bna−DnΦacosα)2 (3.52) + sinα
Z
d3rEnaDnΦa+ cosα Z
d3rEnaDnΦa+ Z
d3rV(Φ), (3.53) wobeiα ein beliebiger Parameter ist. Die Energie wird nun minimal, wenn
Ena=DnΦasinα und Ban=DnΦacosα (3.54)
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE
gilt. Dies sind die sogenannten BPS-Gleichungen f¨ur ein nicht verschwindendes elektri-sches Feld im statischen Fall. F¨ur das System gilt dann mit Gleichung (3.50) und einer analogen Definition der elektrischen Ladung
vq= Z
d3rEnaDnΦa (3.55)
folgende Massenabsch¨atzung:
M ≥v(qsinα+gcosα). (3.56)
DaM diese Bedingung f¨ur alle α erf¨ullen muss, gilt insbesondere M ≥max{v(qsinα+ gcosα)}. Dies ist f¨ur tanα = q/g der Fall, sodass sich die bessere Absch¨atzung (Bogomol’nyi-Grenze)
M ≥vp
q2+g2 =v|q+ig| (3.57)
aufstellen l¨asst, wobei M =vp
q2+g2 gilt, wenn λ= 0 bzw. V(Φ) = 0 und die BPS-Gleichungen erf¨ullt sind. Dieser Fall wird dann das BPS-Limit des Dyons genannt.
Soll nun wieder ein verschwindendes elektrisches Feld betrachtet werden, also insbeson-dere q = 0, so muss α = 0 sein und die BPS-Gleichungen f¨ur den Monopol reduzieren sich zu
Ban=DnΦa. (3.58)
Die Bogomol’nyi Grenze lautet dann
MM ≥vg. (3.59)
Erf¨ullt das System die Gleichung (3.58), so folgt wegen der Bianchiidentit¨at automa-tisch DnDnΦa = 0, womit λ wegen der Euler-Lagrange Gleichung (3.17) 0 sein muss.
Betrachtet man nochmal den Ausdruck f¨ur die Masse im BPS-Limit des Monopols MM =
Z d3x1
2[BnaBna+DnΦaDnΦa]
= 1
2 Z
d3r(Bna−DnΦa)·(Ban−Dnφa)
+vg
= vg,
so folgt zudem, dass im BPS-Limit die Energie ausschließlich vom Higgsfeld und nicht vom Eichfeld abh¨angt.
3.8. Prasad-Sommerfield-L¨osung
Im BPS-Limit des Monopols vereinfachen sich auch die Differentialgleichungen (3.48) und (3.49), wenn man Gleichung (3.46) und (3.47) in die BPS-Gleichung (3.58) einsetzt10:
10Die Rechnung befindet sich im Anhang A.7.
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE
ξK0 = −KH (3.60)
ξH0 = H+ (1−K2). (3.61)
Diese Differentialgleichungen lassen sich rein analytisch l¨osen und erf¨ullen zudem die Bewegungsgleichungen (3.16) und (3.17). F¨urK und H ergibt sich mit den Randbedin-gungen
H = ξcothξ−1, (3.62)
K = ξ
sinhξ. (3.63)
Die Funktionen sind ebenfalls in Abbildung 4 (λ = 0) dargestellt. Sie zeigen genauso das im vorherigen Abschnitt angemerkte Verhalten, die Randbedingungen werden also bereits nach kurzen Abst¨anden vom Monopol erreicht.
Durch die Bedingung im BPS-Limit, dass λ = 0 sein muss, wird das Higgs-Vakuum
¨
uberall automatisch angenommen. Es findet jedoch zun¨achst keine spontane Symme-triebrechung statt, da ΦaΦa = v2 nicht gefordert werden muss. Man kann allerdings trotzdem (3.30) als Randbedingung fordern, sodass f¨ur große r wieder eine spontane Symmetriebrechung stattfindet. Somit bleiben die vorherigen Eigenschaften der Theorie erhalten.
Weiterhin gibt es wegen V(Φ) ≡ 0 eine Skalen-Symmetrie, wie im Abschnitt f¨ur das Georgi-Glashow Modell erw¨ahnt. Diese Symmetrie wird im Grundzustand gebrochen, da f¨ur großer noch ein Zusatz-Term an das Higgsfeld koppelt, welcher mit 1r abf¨allt,
Φa→vˆra−rˆa er.
Nach dem Goldstone-Theorem existiert daher ein masseloses Boson, das sogenannte Dilaton.
Dieses muss ein Freiheitsgrad des Higgsfeldes sein und kann somit als Fluktuation von Φa um den asymptotischen Vakuum-Monopole-Zustand betrachtet werden:
Φa=vˆraeD =vrˆa+vˆraD+. . . , sodass wir in erster Ordnung
D=− 1 ver
erhalten. Die Ladung des Dilaton berechnet sich analog zu der des Monopols Qdil=v
Z
S∞
∇D·d ~S =v Z
S∞
ˆ ra
ver2r2sinθˆradθdφ= 4π
e =g. (3.64) Dieser zus¨atzliche Term des Higgsfeldes hat die Eigenschaft wie ein Skalarfeld mit der Ladung g f¨ur große Abst¨ande zu wirken. Ein Skalarfeld wirkt jedoch ausschließlich anzie-hend. Im Falle einer Monopol-Monopol-Wechselwirkung im BPS-Limit mit ausreichend
3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE
großem Abstand zueinander bedeutet das, dass keine Kraft ausge¨ubt wird, wenn die Monopole gleichnamige Ladungen haben. F¨ur diesen Fall lassen sich die Felder also einfach aus den statischen Feldern zusammenbauen. Die Kraft ist jedoch doppelt so stark anziehend, wenn die Ladung entgegengesetzt ist. F¨ur Multimonopolanordnungen im BPS-Limit sind also keine trivialen L¨osungen, die sich aus statischen L¨osungen zu-sammensetzten, zu erwarten.
3.9. Modulraum-Koordinaten des BPS-Limits
Im Folgenden soll gezeigt werden, dass auch im BPS-Limit des Monopols mit Aa0 = 0 Dyon-L¨osungen durch Rotation des Higgsfeldes m¨oglich sind.
Das System von Feldgleichungen besitzt mehrere L¨osungen, dessen Energie den selben potentiellen Term
V˜ = Z
d3x1
2[BnaBna+DnΦaDnΦa]
beinhaltet. Die verschiedenen L¨osungen unterscheiden sich in gewissen Parametern, die auch Modulraum-Koordinaten genannt werden. Die Modulraum-Koordinaten spannen den Modulraum auf.
Die ersten drei Modulraum-Koordinaten sind die OrtskoordinatenX~ des Monopols, da sich durch Verschieben eines einzelnen Monopols die Energie ˜V nicht ¨andert.
Wenn Dyon-L¨osungen im BPS-Limit vorhanden sein sollen, dann muss es eine weitere Modulraum-Koordinate geben, die ˜V nicht ¨andert und das BPS-Limit erh¨alt. Da jedoch
Wenn Dyon-L¨osungen im BPS-Limit vorhanden sein sollen, dann muss es eine weitere Modulraum-Koordinate geben, die ˜V nicht ¨andert und das BPS-Limit erh¨alt. Da jedoch