Spontane Symmetriebrechung

Aufgrund der SU(2) Invarianz der Lagrangedichte kann ein Higgsfeld-Triplett Φ^a = (0,0, ρ) auf alle anderen Punkte auf der 2-Sph¨are durch

(Φ⁰)^a=

abgebildet werden. Durch Einsetzen von (3.25) in die Lagrangedichte (3.13) erh¨alt man nun [1]

Es sollen nun kleine St¨orungenη(r) um das Vakuum betrachtet werden, dazu w¨ahlt man ρ(r) =v+η(r). Bis zur zweiten Ordnung erh¨alt man durch Einsetzen in (3.26) [1]

Lquad.= 1 Massenterm mit m_A^∓

µ = ev hinzubekommen. Lediglich A³_µ ist masselos geblieben. Da jedoch der Maxwell-Term in der Lagrangedichte nur f¨ur masselose Spin-1 Teilchen invariant unterSU(2) Transformationen ist, sind die Symmetrien, die nicht in Richtung von T³ zeigen, gebrochen. Bei der Restsymmetrie handelt es sich allgemein um die Symmetrie in Φ^a-Richtung. Diese Restsymmetrie ist dann eine U(1) Symmetrie, denn die Lagrangedichte ist nur noch invariant unter Rotationen um Φ^a. Die Felder A^±_µ transportieren zudem eine elektrische Ladung, welche zu dem Generator U(1) Restsymmetrie korrespondiert.

Der Mechanismus, in dem die spontane Symmetriebrechung im Higgsvakuum zur Entstehung von Massen des Eichfeldes f¨uhrt, wird auch Higgs-Mechanismus genannt.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE 3.4. Topologische Betrachtung

In diesem Kapitel soll das statische Georgi-Glashow Modell betrachtet werden, also A^a_µ ≡ A^a_µ(r) und D0Φ^a(r) ≡ 0 und ein verschwindendes elektrisches Feld E_n^a = 0, weshalbA^a₀ = 0 gesetzt wird. F¨ur die Gesamtenergie folgt dann

E= Z

d³r1

2(B~^aB~^a+D_iΦ^aD_iΦ^a) +V(Φ). (3.28) Des Weiteren soll die Energie des Systems endlich sein. Dies ist zwangsl¨aufig nur dann gegeben, wenn f¨ur r → ∞ das Higgsvakuum angenommen wird, sodass das Potential verschwindet. Das Higgsvakuum wird beispielsweise f¨ur

Φ^a= (0,0, v), (3.29)

im gesamtenR³ angenommen, also auch im Unendlichen. Solch eine Konfiguration wird im Folgenden als triviale Higgsfeldkonfiguration bezeichnet. Alternativ liefert die Abbil-dung

Φ^a−−−−→

r→ ∞

vr^a

r (3.30)

ebenfalls Higgsvakuum im Unendlichen. Jedoch h¨angt der Grenzwert noch von den Ort r^a ab, weshalb hier von einer nicht trivialen Higgsfeldkonfiguration gesprochen wird.

Dabei istr^a=r^a(x, y, z) =x^a, also r¹=x,r²=y undr³ =z und r=|~r|=√ r^ar^a. Allgemein handelt es sich dabei um Funktionen, die ausgewertet f¨ur r → ∞ in das Higgsvakuum abbilden

Φ^a(r^a)

_r→∞ :S_∞² →M_H =S², (3.31) welche durch ihren topologischen Grad⁵ N charakterisiert werden. Man nennt diese Gruppe von Funktionen die zweite Homotopie Gruppeπ₂(S²) der 2-Sph¨are.

F¨ur den trivialen Fall Φ^a= (0,0, v) folgt f¨ur dessen topologischen Grad N = 1

8πv³ Z

S_∞²

dS^iijkabcΦ^a∂^jΦ^b∂^kΦ^c= 0 F¨ur den anderen Fall (3.30) erh¨alt man:

N = 1

5Weitere Informationen zum Thema topologischer Grad befinden sich in der Literatur [2]

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

Abbildung 2: Die Abbildung zeigt einen Querschnitt des trivialen Higgsfeldes (3.29) und die Abbildung der S_∞² durch Φ^a auf S² = M. Alle Vektoren werden auf denselben Punkt abgebildet. Der topologische Grad muss daher 0 sein.

Abbildung 3: Die Abbildung zeigt einen Querschnitt des nicht trivialen Higgsfeldes (3.30) und die Abbildung der S_∞² durch Φ^a auf S² = M. Die Vektoren werden insgesamt einmal um die gesamte Oberfl¨ache vonM abgebildet. Der topo-logische Grad ist damit 1.

Im trivialen Fall (3.29) wird das Higgsvakuum im gesamten R³ angenommen. Ent-sprechend gibt es keine SU(2) Symmetrie. Dieser Fall ist daher uninteressant, da keine neuen Resultate zu magnetischen Monopolen zu erwarten sind.

Sei also Φ^aeine Abbildung mitN 6= 0 (im Folgenden soll immerN = 1 gew¨ahlt werden) und verschwinde zudem das Eichfeld A^a_µ, so gilt f¨ur die Gesamtenergie des Systems

E = Z

d³xΘ00= Z

d³x1

2∇Φ^a∇Φ^a+V(Φ)≥ Z

d³x1

2∇Φ^a∇Φ^a.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

Zerlegt man ∇Φ^a in Winkel-und Radialteil (∇Φ^a)² =

∂Φ^a

∂r 2

+ (ˆr× ∇Φ^a)²,

so darf der Winkelanteil wegen (3.32) im Unendlichen nicht verschwinden, wenn N 6= 0 sein soll. Dieser hat jedoch f¨urr→ ∞als f¨uhrende Ordnung _r¹2. Dann gilt allerdings f¨ur die Energie

E >

Z r²dr

r² −−−−→

r→ ∞ ∞.

Zwangsweise kann die Kombination von einem nicht trivialen Higgs-Feld mitN 6= 0 und einem verschwindenden Eichfeld kein System endlicher Energie hervorbringen. Anders sieht dies aus, wenn das Eichfeld nicht verschwindet. Die Gradienten m¨ussen dann wieder durch die kovarianten Ableitungen ersetzt werden. Wenn der Term e^abcA^b_nΦ^c mit ¹_r im Winkelanteil abf¨allt, k¨onnen sich die beiden Winkelanteile aufheben und die Energie divergiert nicht mehr. Dieses Verhalten ist zu beobachten, wenn A^a_n in der Winkelkomponente f¨ur r → ∞ in f¨uhrender Ordnung mit ¹_r abf¨allt. Ein solches Potential geh¨ort typischerweise zu einem magnetischen Monopolfeld im Unendlichen. Es tritt also in diesem Fall eine endliche Energie nur gemeinsam mit einem magnetischen Monopolfeld auf.

Ebenfalls interessant ist die Frage nach der Stabilit¨at einer entsprechenden L¨osung.

Das System ist in einem Zustand minimaler Energie, wenn F^aµν =D^µΦ^a =V(Φ) = 0 gilt. In diesem Fall ist D^µΦ^a nur 0, wenn ∂^µΦ^a = 0 erf¨ullt. Daher muss Φ^a f¨ur eine minimale Energie die triviale Higgsfeld-Konfiguration annehmen. Man k¨onnte meinen, dass eine nicht triviale Higgs-Konfiguration also zwangsweise zu instabilen Zust¨anden f¨uhrt. Es kann jedoch keine stetige Abbildung geben, die die nicht tri-viale Higgsfeld-Konfiguration im r¨aumlich Unendlichen in die Triviale ¨uberf¨uhrt, da der topologische Grad N ∈ N eine nicht stetige Abbildung ist. Folglich bilden die Higgsfeld-Konfigurationen durch ihren topologischen Grad getrennte Sektoren, weshalb die Vakuum-Zust¨ande in den Sektoren stabil sind. Es wird deshalb auch von topologi-schen Solitonen gesprochen.

Im folgenden Abschnitt soll nun der nicht abelschen Feldst¨arketensor konstruieren wer-den um etwas ¨uber die Ladung des Magnetfeldes auszusagen.

3.5. L¨osung f¨ur die nicht triviale Higgsfeld-Konfiguration W¨ahlt man

D_µΦ^a= 0 f¨ur r → ∞, (3.33)

in f¨uhrender Ordnung (1/r), so ist mit dem Argument aus dem vorherigen Kapitel si-chergestellt, dass die Energie endlich ist. Hieraus l¨asst sich durch Umstellen das Eichfeld

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

in Abh¨angigkeit von Φ^a angeben. Dabei sei zu beachten, dass Φ^aΦ^a=v² gilt:

∂_µΦ^a−e^abcA^b_µΦ^c = 0 | ·^deaΦ^{e dea}Φ^e∂µΦ^a−e^deaabcΦ^eA^b_µΦ^c = 0

^deaΦ^e∂µΦ^a−e(δ^dbδ^ec−δ^dcδ^eb)Φ^eA^b_µΦ^c = 0 ^deaΦ^e∂_µΦ^a−ev²A^d_µ+evΦ^dA^em_µ = 0.

Es wurde

A^em_µ = 1

vΦ^aA^a_µ (3.34)

als Projektion von A^a_µ auf Φ^a definiert. Der Ausdruck f¨ur das Eichfeld lautet also A^a_µ= 1

ev^2abcΦ^b∂µΦ^c+1

vΦ^aA^em_µ . (3.35)

A^em_µ ist zudem gerade der Anteil des Eichfeldes, welcher nach der spontanen Symme-triebrechung (3.27) masselos bleibt. Diesbez¨uglich wurde er bereits als Eichpotential des elektromagnetischen Feldes markiert. Aus (3.35) und Gleichung (3.9) folgt der Ausdruck f¨ur den Feldst¨arketensor⁶

F^aµν = 1

vΦ^aF^µν (3.36)

mit

F^µν = 1

v³e^abcΦ^a∂^µΦ^b∂^νΦ^c+∂^µA^em,ν−∂^νA^em,µ = 1

vΦ^aF^aµν 6=F^aµνT^a. (3.37) F^µν ist die Projektion des Feldst¨arketensors auf Φ^a. Dieser Ausdruck muss also invariant unter derU(1) Restsymmetrie sein. Daher handelt es sich hierbei um den elektromagneti-schen Feldst¨arketensor derSU(2) Yang-Mills-Higgs Theorie. Dabei ist entscheidend, dass nun ein Term im elektromagnetischen Feldst¨arketensor auftritt, der nur vom Higgsfeld abh¨angt und allgemein F^µν 6=∂^µA^em,ν −∂^νA^em,µ ist. Durch Einsetzen in die Feldglei-chungen erh¨alt man, wenn Φ^a die triviale Form (3.29) hat f¨ur beliebige Abst¨ande vom Monopol⁷,

∂µF^µν = 0, (3.38)

∂_µ? F^µν = 0. (3.39)

F^µν erf¨ullt dann die klassischen freien Maxwellgleichungen. Dies best¨atigt die Annahme, dass die triviale L¨osung keine magnetische Ladung beinhaltet und der freien Maxwell Elektrodynamik entspricht. Es sind also nur Konfigurationen mit N >0 interessant.

F¨ur den nicht trivialen Fall (3.30) sind die freien Maxwellgleichungen f¨ur große r wegen

6Rechnung im Anhang A.4.

7Rechnung im Anhang A.5.

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Φ^aΦ^a=v² und D_µΦ^a = 0 ebenfalls erf¨ullt⁸. F¨ur kleiner gilt jedoch die abelsche Bian-chiidentit¨at∂µ? F^µν = 0 nicht, da der Higgsfeldterm vonF^µν nicht trivial verschwindet.

Man definiert den topologischen Fluss k^ν als

∂_µ? F^µν =k^ν. (3.40)

W¨ahlt manA^a_µ ¨uberall regul¨ar, so vereinfacht sich k^µ zu k_µ= 1

2_µνρλ∂^νF^ρλ= 1

2v³e_µνρλ^abc∂^νΦ^a∂^ρΦ^b∂^λΦ^c. (3.41) Der entscheidende, nicht verschwindende Beitrag kommt also vom Higgsfeld.

Mit Gleichung (3.41) folgt zugleich, dass

∂_µk^µ= 0 (3.42)

gilt und somit der topologische Fluss eine Erhaltungsgr¨oße ist. F¨ur die magnetische Ladung folgt dann also

Dies ist in der Tat dieselbe Quantisierungsbedingung wie bei Dirac, wobei beachtet werden muss, dass in der adjungierten Darstellung derSU(2) N =n/2 gilt.

Zudem ist wegen (3.42) insbesondere die topologische bzw. magnetische Ladung erhalten, was best¨atigt, dass die L¨osungen topologische Solitonen sind.

Es wurden also magnetische Monopole als topologische Solitonen im Georgi-Glashow Modell nachgewiesen. Der Monopol besitzt dabei die Ladung g und erf¨ullt die Dirac’sche Quantisierungsbedingung. Des Weiteren kann das Eichfeld und damit auch der Feldst¨arketensor ¨uberall regul¨ar gew¨ahlt werden. Aufgrund der spontanen Symmetriebrechung gibt es zudem den Spezialfall (N = 0), in dem ausschließlich die Maxwell-Elektrodynamik gilt.

3.6. ’t Hooft-Polyakov Ansatz

Mit dem Vorwissen aus den vorangegangenen Kapiteln ist es nun m¨oglich, L¨osungen der Feldgleichungen (3.16) und (3.17) weitestgehend vollst¨andig zu interpretieren. Damit die

8Selbe Rechnung wie in A.5.

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zu l¨osenden Differentialgleichungen nicht zu kompliziert sind, werden ein paar vereinfa-chende Annahmen getroffen:

Der Zustand niedrigster Energie ist derjenige mit den meisten Symmetrien. Durch Wahl eines symmetrischen Ansatzes f¨ur die Felder Φ^aundA^a_µund anschließender Variation des Energiefunktionals sollte man nun Differentialgleichungen finden, die einfacher zu l¨osen sind. Zudem soll wieder der statische Fall mit A^a₀ = 0 und N = 1 betrachtet werden.

W¨ahlt man [4]

Φ^a = ˆr^a

erH(ξ), (3.44)

A^a_i = −^a_ijrˆ^j

er(1−K(ξ)) (3.45)

mit

ξ=ver,

so m¨ussenH(ξ) undK(ξ) folgende Randbedingungen erf¨ullen:

K(ξ)→1, H(ξ)→0, r→0, K(ξ)→0, H(ξ)/ξ→1, r→ ∞.

Diese Randbedingungen resultieren aus Gleichung (3.30), welche das Higgsfeld erf¨ullen muss. Daraus folgt, dass Φ^a undA^a_µ ¨uberall definiert sein sollen.A^a_i konnte analog zum vorherigen Kapitel aus der Bedingung f¨ur die endliche Energie gewonnen werden. Durch Variation der Funktionen K(ξ) und H(ξ) im Energiefunktional kann nun der Zustand niedrigster Energie bestimmt werden. Um das Vorgehen hier etwas zu erleichtern, wird vorherB_n^a und D_nΦ^a errechnet⁹:

DnΦ^a = δ^a_n

er²K(ξ)H(ξ) +r^ar_n er⁴

ξH⁰(ξ)−H(ξ)−K(ξ)H(ξ)

, (3.46) wobei

H⁰(ξ) = dH(ξ) dξ

sein soll. Des Weiteren wird H≡H(ξ) undK ≡K(ξ) gesetzt.

F¨ur das Magnetfeld folgt analog B^a_n= r^arn

er⁴ 1−K²+ξK⁰

− δ_n^a

er²ξK⁰. (3.47)

9Die Rechnung befindet sich im Anhang A.6.

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F¨ur das Energiefunktional gilt mit Gleichung (3.28) E = und somit f¨ur die Variation nach K undH

d Dies sind die beiden Differentialgleichungen, welche die Funktionen K und H mit den Randbedingungen f¨ur den Zustand minimaler Energie festlegen.

Auch hier l¨asst sich zeigen, dass die Dirac-Bedingung weiterhin erf¨ullt ist:

g= 1 Im letzten Schritt wurde dabei der Satz von Gauß und die Bianchiidentit¨at D_nB_n^a = 0 verwendet. Durch Einsetzen von (3.46) und (3.47) in (3.50) folgt

g= 4π

Also ist weiterhin die Dirac’sche Quantisierungsbedingung erf¨ullt. Abgesehen von dem Spezialfallλ= 0 sind die Differentialgleichungen allerdings nur numerisch l¨osbar.

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Aus Ya. Shnir Magnetic Monopoles [6] konnten folgende Plots entnommen werden:

Abbildung 4: Dargestellt sind numerische L¨osungen f¨urH(ξ) und K(ξ) der Gleichungen (3.48) und (3.49) f¨ur verschiedene Werte von λ. F¨ur λ = 0 wurden die analytischen L¨osungen aus Kapitel 3.8 verwendet.

Die L¨osungen zeigen, dass die Randbedingungen bereits nach einem relativ geringen Abstand vom Ursprung des Monopolfeldes erreicht werden. Entsprechend wird auch das Higgsvakuum bereits nach einem kurzen Abstand um den Monopol angenommen, sodass hier der 1/r² Abfall des Magnetfeldes beobachtet werden kann. Der Spezialfall des BPS-Limits mit λ= 0 undB_n^a=D_nΦ^a wird im Folgenden genauer besprochen.

3.7. BPS-Limit

Bislang wurde ausschließlich ein statisches System mit verschwindendem elektrischen Feld betrachtet. Soll nun das System weiterhin statisch sein, jedoch das elektrische Feld nicht verschwinden, so gilt f¨ur die Energie des Systems

E = Z

d³r1

2[E_n^aE_n^a+B_n^aB_n^a+DnΦ^aDnΦ^a] +V(Φ) (3.51)

= 1 2

Z

d³r(E_n^a−D_nΦ^asinα)²+1 2

Z

d³r(B_n^a−D_nΦ^acosα)² (3.52) + sinα

Z

d³rE_n^aD_nΦ^a+ cosα Z

d³rE_n^aD_nΦ^a+ Z

d³rV(Φ), (3.53) wobeiα ein beliebiger Parameter ist. Die Energie wird nun minimal, wenn

E_n^a=D_nΦ^asinα und B^a_n=D_nΦ^acosα (3.54)

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

gilt. Dies sind die sogenannten BPS-Gleichungen f¨ur ein nicht verschwindendes elektri-sches Feld im statischen Fall. F¨ur das System gilt dann mit Gleichung (3.50) und einer analogen Definition der elektrischen Ladung

vq= Z

d³rE_n^aD_nΦ^a (3.55)

folgende Massenabsch¨atzung:

M ≥v(qsinα+gcosα). (3.56)

DaM diese Bedingung f¨ur alle α erf¨ullen muss, gilt insbesondere M ≥max{v(qsinα+ gcosα)}. Dies ist f¨ur tanα = q/g der Fall, sodass sich die bessere Absch¨atzung (Bogomol’nyi-Grenze)

M ≥vp

q²+g² =v|q+ig| (3.57)

aufstellen l¨asst, wobei M =vp

q²+g² gilt, wenn λ= 0 bzw. V(Φ) = 0 und die BPS-Gleichungen erf¨ullt sind. Dieser Fall wird dann das BPS-Limit des Dyons genannt.

Soll nun wieder ein verschwindendes elektrisches Feld betrachtet werden, also insbeson-dere q = 0, so muss α = 0 sein und die BPS-Gleichungen f¨ur den Monopol reduzieren sich zu

B^a_n=DnΦ^a. (3.58)

Die Bogomol’nyi Grenze lautet dann

MM ≥vg. (3.59)

Erf¨ullt das System die Gleichung (3.58), so folgt wegen der Bianchiidentit¨at automa-tisch DnDnΦ^a = 0, womit λ wegen der Euler-Lagrange Gleichung (3.17) 0 sein muss.

Betrachtet man nochmal den Ausdruck f¨ur die Masse im BPS-Limit des Monopols M_M =

Z d³x1

2[B_n^aB_n^a+D_nΦ^aD_nΦ^a]

= 1

2 Z

d³r(B_n^a−D_nΦ^a)·(B^a_n−D_nφ^a)

+vg

= vg,

so folgt zudem, dass im BPS-Limit die Energie ausschließlich vom Higgsfeld und nicht vom Eichfeld abh¨angt.

3.8. Prasad-Sommerfield-L¨osung

Im BPS-Limit des Monopols vereinfachen sich auch die Differentialgleichungen (3.48) und (3.49), wenn man Gleichung (3.46) und (3.47) in die BPS-Gleichung (3.58) einsetzt¹⁰:

10Die Rechnung befindet sich im Anhang A.7.

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ξK⁰ = −KH (3.60)

ξH⁰ = H+ (1−K²). (3.61)

Diese Differentialgleichungen lassen sich rein analytisch l¨osen und erf¨ullen zudem die Bewegungsgleichungen (3.16) und (3.17). F¨urK und H ergibt sich mit den Randbedin-gungen

H = ξcothξ−1, (3.62)

K = ξ

sinhξ. (3.63)

Die Funktionen sind ebenfalls in Abbildung 4 (λ = 0) dargestellt. Sie zeigen genauso das im vorherigen Abschnitt angemerkte Verhalten, die Randbedingungen werden also bereits nach kurzen Abst¨anden vom Monopol erreicht.

Durch die Bedingung im BPS-Limit, dass λ = 0 sein muss, wird das Higgs-Vakuum

¨

uberall automatisch angenommen. Es findet jedoch zun¨achst keine spontane Symme-triebrechung statt, da Φ^aΦ^a = v² nicht gefordert werden muss. Man kann allerdings trotzdem (3.30) als Randbedingung fordern, sodass f¨ur große r wieder eine spontane Symmetriebrechung stattfindet. Somit bleiben die vorherigen Eigenschaften der Theorie erhalten.

Weiterhin gibt es wegen V(Φ) ≡ 0 eine Skalen-Symmetrie, wie im Abschnitt f¨ur das Georgi-Glashow Modell erw¨ahnt. Diese Symmetrie wird im Grundzustand gebrochen, da f¨ur großer noch ein Zusatz-Term an das Higgsfeld koppelt, welcher mit ¹_r abf¨allt,

Φ^a→vˆr^a−rˆ^a er.

Nach dem Goldstone-Theorem existiert daher ein masseloses Boson, das sogenannte Dilaton.

Dieses muss ein Freiheitsgrad des Higgsfeldes sein und kann somit als Fluktuation von Φ^a um den asymptotischen Vakuum-Monopole-Zustand betrachtet werden:

Φ^a=vˆr^ae^D =vrˆ^a+vˆr^aD+. . . , sodass wir in erster Ordnung

D=− 1 ver

erhalten. Die Ladung des Dilaton berechnet sich analog zu der des Monopols Qdil=v

Z

S^∞

∇D·d ~S =v Z

S^∞

ˆ r^a

ver²r²sinθˆr^adθdφ= 4π

e =g. (3.64) Dieser zus¨atzliche Term des Higgsfeldes hat die Eigenschaft wie ein Skalarfeld mit der Ladung g f¨ur große Abst¨ande zu wirken. Ein Skalarfeld wirkt jedoch ausschließlich anzie-hend. Im Falle einer Monopol-Monopol-Wechselwirkung im BPS-Limit mit ausreichend

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

großem Abstand zueinander bedeutet das, dass keine Kraft ausge¨ubt wird, wenn die Monopole gleichnamige Ladungen haben. F¨ur diesen Fall lassen sich die Felder also einfach aus den statischen Feldern zusammenbauen. Die Kraft ist jedoch doppelt so stark anziehend, wenn die Ladung entgegengesetzt ist. F¨ur Multimonopolanordnungen im BPS-Limit sind also keine trivialen L¨osungen, die sich aus statischen L¨osungen zu-sammensetzten, zu erwarten.

3.9. Modulraum-Koordinaten des BPS-Limits

Im Folgenden soll gezeigt werden, dass auch im BPS-Limit des Monopols mit A^a₀ = 0 Dyon-L¨osungen durch Rotation des Higgsfeldes m¨oglich sind.

Das System von Feldgleichungen besitzt mehrere L¨osungen, dessen Energie den selben potentiellen Term

V˜ = Z

d³x1

2[B_n^aB_n^a+DnΦ^aDnΦ^a]

beinhaltet. Die verschiedenen L¨osungen unterscheiden sich in gewissen Parametern, die auch Modulraum-Koordinaten genannt werden. Die Modulraum-Koordinaten spannen den Modulraum auf.

Die ersten drei Modulraum-Koordinaten sind die OrtskoordinatenX~ des Monopols, da sich durch Verschieben eines einzelnen Monopols die Energie ˜V nicht ¨andert.

Wenn Dyon-L¨osungen im BPS-Limit vorhanden sein sollen, dann muss es eine weitere Modulraum-Koordinate geben, die ˜V nicht ¨andert und das BPS-Limit erh¨alt. Da jedoch der Monopol in eine Dyon-Konfiguration transformiert werden soll, muss ein Beitrag zur kinetischen Energie hinzukommen. Dies ist m¨oglich, wenn die Modulraum-Koordinate zeitabh¨angig ist.

Zeitabh¨angige U(1) Eichtransformationen U(r, t) = e^ieω(r)t ¨andern f¨ur kleine Zeiten δt die potentielle Energie nicht. Solche Transformationen werden auch als kleine Transfor-mationen bezeichnet, da sie im unendlichen der Identit¨at entsprechen. Durch Entwickeln int1 um 0 erh¨alt man

U(r, δt)≈1 +ieω(r)δt. (3.65)

Den Feldern A_n(r) und Φ(r) kann dann durch Eichtransformationen

Φ(r)→Φ⁰(r, δt)≈U(r, δt)Φ(r)U⁻¹(r, δt) (3.66) und

An(r)→A⁰_n(r, δt)≈U(r, δt)Aµ(r)U⁻¹(r, δt)− i

eU(r, δt)∂µU⁻¹(r, δt) (3.67) eine Zeitabh¨angigkeit hinzugef¨ugt werden, wodurch voraussichtlich ein kinetischer Term entsteht, die potentielle Energie sich nicht ¨andert und die BPS-Gleichungen erhalten bleiben.ω(r) w¨are dann also eine weitere Modulraum-Koordinate. Es folgt

A⁰_n(r, δt) =A_n(r) + (ie[ω(r), A_n(r)]−∂_nω(r))δt mit

∂₀A⁰_n(r, δt) =ie[ω(r), A_n(r)]−∂_nω(r) =−D_nω(r) (3.68)

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE und

Φ⁰(r, δt) = Φ(r) +ie[ω(r),Φ(r)]δt mit

∂₀Φ⁰(r, δt) =ie[ω(r),Φ(r)]. (3.69) Zudem erg¨anzt sich ein Term in der Zeitkomponente des Eichpotentials

A⁰₀(r, t) =−i

eU(r, t)∂₀U⁻¹(r, t) =−ω(r). (3.70) Berechnet man nun das elektrische Feld

E_n=F_0n = ∂₀A⁰_n−∂_nA⁰₀+ie

A_n(r), A⁰₀(r, t)

= ∂₀A⁰_n−D_nA⁰₀ =−D_nω+D_nω= 0,

so ist jedoch f¨ur diesen Fall die kinetische Energie immer noch 0, sodass die Eichung keinen physikalischen Einfluss hat. Man kann jedoch eine andere nicht triviale Eichung w¨ahlen, welche die sogenannte Hintergrund-Eichbedingung

D_n(∂₀A⁰_n)−ie

Φ⁰, ∂₀Φ⁰

= 0, (3.71)

sowie Gleichung (3.68) und (3.69) erf¨ullt.ω ist dann proportional zu Φ und besitzt eine implizite Zeitabh¨angigkeit durch die beliebige Eichfunktionχ(t)

ω= ˙χ(t)Φ. (3.72)

Die zugeh¨orige Eichtransformation lautet

U(r, t) =eieχ(t)Φ(r))≈1 +ieχ(t)Φ(r)δt.˙ (3.73) Da somit die Gleichungen (3.68) und (3.69) weiterhin g¨ultig sind, folgt∂₀A⁰_n= ˙χ(t)D_nΦ und ∂0Φ⁰ = 0. Wegen der BPS-Gleichung gilt zudem DnDnΦ = 0, womit auch die Hintergrund-Eichbedingung (3.71) erf¨ullt ist. Aufgrund der impliziten Zeitabh¨angigkeit ist zudemA₀(r, t) = 0, womitD₀Φ⁰=∂₀Φ⁰+ie[A₀,Φ⁰] = 0 ist. F¨ur das elektrische Feld gilt nun:

E_n=∂₀A⁰_n= ˙χ(t)D_nΦ = ˙χ(t)B_n. (3.74) Dieses elektrische Feld erf¨ullt notwendigerweise weiterhin das Gauß’sche Gesetz

DnEn=ie[Φ, D0Φ], (3.75)

sodass die Feldgleichung nicht verletzt sind.

F¨ur den Fall ˙χ(t) = 0 bleibt der Ausdruck f¨ur die kinetische Energie weiterhin 0, weshalb die Modulraum-Koordinate, wie oben erw¨ahnt, mit diesen Eigenschaften keinen physi-kalischen Einfluss hat.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

Ist jedoch ˙χ(t) 6= 0, so kommt nun der gew¨unschte kinetischer Term T zu der Energie hinzu:

T = Z

d³r1

2E_n·E_n

= Z

d³r1

2δA˙n·δA˙n

= 1 2χ(t)˙ ²

Z

d³rB_n·B_n= 2πvgχ(t)˙ ² = 1

2M_Mχ(t)˙ ².

Es gibt also Konfigurationen, welche das Monopol BPS-Limit und A0 = 0 erf¨ullen und ein Dyon beschreiben.

Da dieU(1) Symmetriegruppe weiterhin kompakt sein soll, nimmtχ(t) Werte zwischen 0 und 2πan, sodass sich mit den Ortskoordinaten des Monopols insgesamt der Modulraum M₁ =R³×S¹ aufspannt. Es ist m¨oglich Multimonopolanordnungen aus den statischen BPS-Konfigurationen mittels sogenannten Schnappsch¨ussen zusammenzusetzen. Hierbei spielt dann die Topologie des Modulraumes eine wichtige Rolle.

3.10. Witten Effekt

In Kapitel 3.9 wurde bereits gezeigt, dass es auch f¨ur statische Systeme in der BPS-Monopol Konfiguration Dyon-L¨osungen gibt. Dies l¨asst die Vermutung offen, dass es m¨oglich ist, einen Term in der Lagrangedichte zu erg¨anzen, bei dem die Feldgleichun-gen invariant bleiben, jedoch der magnetische Monopol zudem eine elektrische Ladung besitzt. Erg¨anzt man den sogenannten θ-Term

L_θ=− θe²

32π²F_µν^a ∗F^aµν (3.76)

zu der Lagrangedichte des Georgi-Glashow Modells, so bleiben die Bewegungsgleichun-gen in der Tat unver¨andert. θsoll dabei ein beliebiger reeller Parameter sein.

Um zu verstehen, was dieser zus¨atzliche Term bewirkt, bietet es sich an, die Wechselwir-kung des Terms mit einem magnetischen Monopolfeld in der klassischen Elektrodynamik zu betrachten. Es sei dabei zu beachten, dass dies nur eine anschauliche Methode ist, um etwas ¨uber die Wirkung des Terms zu erfahren. Die Gleichung (3.76) wird nun zu

L_θ= θe²

8π²E~ ·B.~ (3.77)

Die Wechselwirkung mit dem magnetischen Monopol kann durch eine Korrektur des magnetischen Feldes eingebracht werden:

B~ =∇ ×A~+ gˆr 4πr². Das elektrische Feld lautet

E~ =∇A₀.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE Durch Integration l¨asst sich nun der Term (3.77) vereinfachen:

Z Der Ausdruck (3.78) zeigt, dass der θ-Term eine elektrische Ladung an die Stelle des magnetischen Monopols verschiebt. Die Ladung nimmt allerdings mit der Dirac’schen Quantisierungsbedingung einen nicht quantisierten Wertq =−θe/2π an.

Nach dieser anschaulichen Betrachtung des Ausdrucks (3.76) soll nun eine Betrachtung bez¨uglich derU(1) Symmetrie durchgef¨uhrt werden. Die kleinenU(1) Transformationen, welche in Kapitel 3.9 verwendet wurden um den Monopol in ein Dyon zu ¨uberf¨uhren, waren Rotationen U, welche im Unendlichen der Identit¨at entsprechen. Solche Trans-formationen m¨ussen also insbesondere das Higgs-Vakuum invariant lassen. Daher han-delt es sich um infinitesimale Rotationen δα um Φ: U ≈ 1 +iΦ^a/vT^aδα. Unter diesen Transformationen ¨andert sich das Higgsfeld nicht, das Eichfeld bekommt hingegen einen Korrekturterm. In linearer N¨aherung gilt

A^a_µT^a →A^0a_µT^a =U A^a_µT^aU⁻¹+ i

eU ∂µU⁻¹≈A^a_µT^a+ 1

evDµΦ^aT^aδα.

Die infinitesimale Symmetrietransformation des Eichfeldes lauten damit δA^a_µ= 1

evDµΦ^a. (3.79)

F¨ur die zugeh¨origen Erhaltungsgr¨oßen gilt dann jν = ∂L

der Generator derU(1) Transformationen sein. Mit den Gleichungen (3.50), (3.55), (3.79) und δΦ^a= 0 folgt nm ist der topologische Grad des Higgsfeldes und soll in diesem Fall allgemein als ≥ 0 betrachtet werden. Die U(1) Transformationen haben also die Form U = e^ine. Da Rotationen um 2π wieder die Identit¨at ergeben, muss zudem

e^2πine = 1 (3.82)

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

erf¨ullt sein. Folglich istn_e∈Z. F¨ur die elektrische Ladungq gilt also mit (3.43) q=nee+nmθe

2π . (3.83)

Man erh¨alt also wie postuliert eine nicht quantisierte elektrische Ladungen am Ort des magnetischen Monopols und somit ein Dyon.

Ohne denθ-Term waren jedoch auch Dyon-L¨osungen im Monopol BPS-Limit vorhanden.

Es stellt sich die Frage, welche weiteren Auswirkung dieser Ausdruck auf das System hat.

Betrachtet man in der komplexen Ebene die Anordnung der elektrischen Ladungq und der magnetischen Ladungg des Systems, so gilt

q+ig = nee+n_meθ 2π +inm

4π

e (3.84)

= e(n_mτ +n_e) (3.85)

mit

τ = θ

2π + 4πi

e² . (3.86)

Die Ladung des Dyons ist also auf einem Gitter angeordnet, wobei der Faktor τ das Gitter in Richtung der reellen Achse verzerrt (Abb. 5).

Abbildung 5: Die Abbildung zeigt das Gitter der m¨oglichen Dyon Konfigurationen.

Betrachtet man die Schwinger-Zwanziger-Quantisierungsbedingung f¨ur eine Dipolkon-figuration (2.13)

q1g2−q2g1= 4πn (3.87)

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

so lautet auch hier die allgemeine L¨osung f¨ur die Ladungen [3]

q = e(ne+θnm

2π ) (3.88)

g = nm

4π e . Womit man ebenfalls den Parameterτ mit

4π e . Womit man ebenfalls den Parameterτ mit

Im Dokument Leibniz Universität Hannover (Seite 17-0)