Leibniz Universität Hannover

Leibniz Universit¨ at Hannover

Fakult¨at f¨ur Mathematik und Physik Institut f¨ur theoretische Physik

Magnetische Monopole und SL(2, Z )-Dualit¨ at in der nicht abelschen Eichtheorie des Georgi-Glashow Modells

Bachelorarbeit

Zur Erlangung des akademischen Grades Bachelor of Science

vorgelegt von

Julius Johannes K¨ohler

Betreuer: Prof. Dr. Olaf Lechtenfeld

Hannover, den 27.11.2018

Erkl¨arung

Ich erkl¨are hiermit, dass ich die vorliegende Arbeit selbst¨andig und ohne Benutzung anderer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe; die aus fremden Quellen direkt oder indirekt ¨ubernommenen Gedanken sind als solche kenntlich gemacht. Die Arbeit wurde nach meiner besten Kenntnis bisher in gleicher oder ¨ahnlicher Form keiner anderen Pr¨ufungsbeh¨orde vorgelegt und auch noch nicht ver¨offentlicht.

Hannover, den

Unterschrift

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1. Symmetrisierungsproblem in der Elektrodynamik 7

2. Dirac Monopol 9

3. Magnetische Monopole in der SU(2) Eichtheorie 12

3.1. Grundlagen der nicht abelschen Eichtheorie . . . 12

3.2. Georgi-Glashow Modell . . . 15

3.3. Spontane Symmetriebrechung . . . 17

3.4. Topologische Betrachtung . . . 18

3.5. L¨osung f¨ur die nicht triviale Higgsfeld-Konfiguration . . . 20

3.6. ’t Hooft-Polyakov Ansatz . . . 22

3.7. BPS-Limit . . . 25

3.8. Prasad-Sommerfield-L¨osung . . . 26

3.9. Modulraum-Koordinaten des BPS-Limits . . . 28

3.10. Witten Effekt . . . 30

4. Zusammenfassung 34

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Mit der theoretischen Elektrodynamik wurde im 19. Jahrhundert ein Grundbaustein der heutigen theoretischen und experimentellen Physik gesetzt. Es gelang zeitlich ver¨anderliche elektrische und magnetische Felder allein auf Basis vierer Gleichun- gen, den Maxwell-Gleichungen, zu beschreiben. Die zu damaliger Zeit beobachteten Ph¨anomene schienen erstaunlich gut theoretisch vorhersagbar. Durch Umformulierung in die Lorentz-Forminvariante Elektrodynamik konnten sp¨ater sogar relativistische Erscheinungen bewegter elektrischer und magnetischer Felder erkl¨art werden. Doch haben die Maxwell-Gleichungen ein fundamentales Problem: Sie beruhen ausschließlich auf Beobachtungen der damaligen Zeit und bilden die Basis f¨ur alle Konzepte ihrer Theorie. Um so weniger verwunderlich ist es, dass in dieser Theorie das elektrische Feld f¨ur ein ruhendes Elektron bis auf den Ort der Ladung definiert ist. Denn der erste experimentelle Nachweis f¨ur das Elektron gelang erst 33 Jahre sp¨ater durch Emil Wiechert. Die Gr¨oßendimensionen, mit denen die Felder also zu damaliger Zeit betrachtet wurden, waren um ein vielfaches Gr¨oßer als heute, weshalb Maxwell nicht zwangsweise davon ausging, dass hier ein Problem in seiner Theorie stecken w¨urde.

Eine wesentliche Aussage der Maxwell-Gleichungen ist ¨uber dies hinaus, dass elektrische Monopole existieren, jedoch keine Magnetischen. Zumindest solange die Felder ¨uberall in dem von Maxwell vorgesehenen Bereich definiert sind. Doch birgt dies ebenso die Tatsache, dass es keine magnetische Ladungsverteilungen geben kann, also insbesondere keine magnetische Elementarladung. Vermutlich war dies mit den damaligen Beobach- tungen durchaus gewollt und scheint auch noch heute seine G¨ultigkeit zu behalten, denn magnetische Elementarteilchen konnten bislang nicht nachgewiesen werden. Paul Adrien Maurice Dirac, einer der bedeutendsten Physiker seiner Zeit, hatte sich jedoch genau mit dieser Frage besch¨aftigt. Die Asymmetrie der Maxwell-Gleichungen, die mit dem Fehlen einer magnetischen Ladung einhergehen wirkten auf ihn unnat¨urlich:

”One would be surprised if Nature had made no use of it.”-P.A.M. Dirac.

Mit seiner ArbeitQuantised Singularities in the Electromagnetic Field von 1931 leitete er eine Kehrtwende ein. In ersten ¨Uberlegungen wurde die Maxwell-Elektrodynamik um magnetische Quellterme erweitert und der sogenannte Dirac-Monopol konstruiert.

Dieses Vorgehen erwies sich jedoch schnell als Sackgasse, sodass versucht wurde gr¨oßere Theorien zu benutzen, die die Erscheinungen der Elektrodynamik erkl¨aren und magnetische Monopole beinhalten. In zahlreichen Theorien konnten bislang solche magnetischen Monopole theoretisch wiedergefunden werden. Die neuen theoretischen Modelle und Konzepte, die auf diesem Weg gefunden wurden, sind jedoch bislang die gr¨oßte Bereicherung f¨ur die Physik gewesen.

Diese Bachelorarbeit orientiert sich in der Vorgehensweise an dem Paper von Jeffrey A. Harvey

”Magnetic Monopols, Duality, and Supersymmetry” [0], welches sich unter Anderem mit magnetischen Monopolen in der nicht abelschen SU(2) Eichtheorie des Georgi-Glashow Modells besch¨aftigt. Es sollen daher wie bei Dirac magnetische Monopole in der klassischen Elektrodynamik konstruiert werden, um anschließend die Resultate auf die gr¨oßere nicht abelsche SU(2) Eichtheorie zu beziehen. Dabei wird auch die Dualit¨at von dem elektrischen und magnetischen Feld eine wichtige Rolle

Inhaltsverzeichnis

spielen, denn sofern magnetische Ladungen existieren liefern die Maxwellgleichungen ein Duales System. Diese Dualit¨at wird in der SU(2) Eichtheorie zu einer SL(2,Z)- Dualit¨at gebrochen, welche einen Hinweis auf die Quantisierung von elektrischer und magnetischer Ladung liefert.

In Kapitel 1 wird die Symmetrisierung der Maxwell-Gleichungen und deren Rota- tionsdualit¨at behandelt. Anschließend wird der Dirac Monopol eingef¨uhrt, welcher uns die Dirac’sche Quantisierungsbedingung liefert. Im folgenden Hauptteil werden die Grundlagen der abelschen und nicht abelschen Eichtheorie erl¨autert, sodass ab Kapitel 3.2 das Georgi-Glashow Modell als Spezialfall der nicht abelschen SU(2) Yang-Mills- Higgs Eichtheorie betrachtet werden kann. Danach wird das Ph¨anomen der spontanen Symmetriebrechung im Georgi-Glashow-Modell kurz angerissen und anschließend die Existenz von magnetischen Monopolen als topologische Soliton aufgezeigt. An dieser Stelle tritt die Dirac’sche Quantisierungsbedingung wieder auf. In Kapitel 3.6 werden unter Symmetrievereinfachungen mit Hilfe des ’t Hooft-Polyakov Ansatzes explizite L¨osungen f¨ur das Higgs-und Monopolfeld betrachtet. Das darauf folgende Kapitel liefert mit der Bogomol’nyi Grenze zudem eine Massenabsch¨atzung f¨ur Monopol und Dyon Konfiguration. Durch die Modulraum-Koordinaten k¨onnen nun auch L¨osungen betrachtet werden, die durch Rotation Monopole in Dyonen transformieren. Die daraus gewonnen Erkenntnisse motivieren zugleich den sogenannten θ-Term in Kapitel 3.10, welcher zu der Yang-Mills-Higgs-Lagrangedichte hinzugef¨ugt werden kann. Dadurch wird gleichzeitig die Theorie

”vervollst¨andigt“ und liefert die Selbe Quantisierungsbe- dingung wie die Schwinger-Zwanziger-Quantisierungsbedingung, eine Erweiterung der Dirac’schen Quantisierungsbedingung auf Dyonen, sowie die SL(2,Z)-Dualit¨at.

Konventionen

In den folgenden Abschnitten wurde eine Reihe von Konventionen verwendet die hier kurz aufgelistet werden:

• (+− −−) Signatur der Minkowskimetrik η^µν

• Die antisymmetrische Strukturkonstante ist durch die Konvention⁰¹²³= +1 fest- gelegt.

• Es sei η^µν =δ^µν.

• Griechische Indizes gehen von 0 bis 3, lateinische Indizes von 1 bis 3.

• x⁰ ist die zeitliche Komponente undxⁿ=~xdie R¨aumliche der Vierervektoren x^µ.

• Die Generatoren t^a geh¨oren der irreduziblen Darstellung der Lie-Gruppe und T^a zu der adjungierten Darstellung.

Inhaltsverzeichnis

• Die Lichtgeschwindigkeitcund das reduzierte planksche Wirkungsquantum~wer- den 1 gesetzt.

1 SYMMETRISIERUNGSPROBLEM IN DER ELEKTRODYNAMIK

1. Symmetrisierungsproblem in der Elektrodynamik

In diesem Kapitel wird zun¨achst die grundlegende Problematik der Maxwell Elektro- dynamik er¨ortert und anschließend die Existenz von magnetischen Monopolen infrage gestellt. Der dabei eingef¨uhrte Begriff der Dualit¨at wird in Kapitel 3.10 und 4 wieder aufgegriffen.

Die Problematik von magnetischen Monopolen in der Maxwell Elektrodynamik zeigt sich bereits beim Betrachten der klassischen Maxwellgleichungen

∇ ·E~ =ρe,

∇ ×B~ −∂ ~E

∂t =~j ,

∇ ·B~ = 0,

∇ ×E~ +∂ ~B

∂t = 0.

(1.1)

Dabei ist E(t, ~~ r) das elektrische und B(t, ~~ r) das magnetische Feld und ρe(t, ~r) die elektrische Ladungsverteilung, sowie~j_e(t, ~r) der elektrische Strom.

Auff¨allig ist, dass zu den elektrischen keine ad¨aquaten magnetischen Quellterme auftreten. Dies f¨uhrt dazu, dass es in der Theorie keine magnetische Ladung gibt und daher auch keine magnetischen Monopole m¨oglich sind. Ebenso resultiert daraus eine Asymmetrie in den Maxwellgleichungen. Um magnetische Monopole also ¨uberhaupt zu realisieren, scheint es am einfachsten, eine magnetische Ladungsverteilung ρg(t, ~r) und einen magnetischen Strom ~j_g(t, ~r) analog zu ihren elektrischen ¨Aquivalenten einzuf¨uhren, wodurch die Maxwellgleichung symmetrisiert werden.

Das Einf¨uhren einer solchen Ladungsverteilung steht im Widerspruch mit der Einf¨uhrung eines ¨uberall regul¨aren Vektorpotential A(t, ~~ r) mit ∇ ×A~ = B, welches~ in der Quantenmechanik eine entscheidende Rolle spielt. Ist das Vektorpotential nicht regul¨ar, sondern singul¨ar, so verschwindet die Divergenz des Magnetfeldes nicht automatisch und l¨asst damit eine magnetische Ladungsverteilung zu.

Es gibt also einen Zusammenhang zwischen der Symmetrisierung der Maxwellglei- chungen und der Existenz von magnetischen Monopolen, sowie einem singul¨aren Vektorpotential.

Sind die Gleichungen symmetrisiert worden, so spricht man auch von einem Dualen System von Feldgleichungen. Genauer nennt man die elektromagnetischen Feldgleichun- gen dual, wenn sie invariant unter den Transformationen

D: (E, ~~ B)→(B,~ −E)~ (1.2) und

K : (e, g)→(g,−e) (1.3)

sind. (e, g) bezeichnet das Paar von elektrischereund magnetischergGesamtladung des Systems. Wegen D²: (E, ~~ B)→(−E,~ −B~) gilt zudem eine Invarianz unter Ladungskon- jugationC =K² : (e, g)→(−e,−g). Diese Symmetrie l¨asst sich f¨ur die symmetrisierten

1 SYMMETRISIERUNGSPROBLEM IN DER ELEKTRODYNAMIK

Maxwellgleichungen auf

D:E~ +i ~B →e^iθ(E~ +i ~B)⇒

(E~ →cosθ ~E+ sinθ ~B ,

B~ → −sinθ ~E+ cosθ ~B (1.4) mit

(e+ig)→e^iθ(e+ig) (1.5)

zu einer Rotationsdualit¨at erweitern. Eine weitere M¨oglichkeit, die Gleichungen zu symmetrisieren, ist es, freie Felder, also eine verschwindende Ladungsverteilung zu betrachten. Dieser Fall ist jedoch eher uninteressant.

Sei im Folgenden x^µ = (t, ~r) mit~r = (x, y, z),∂µ= _∂x^∂µ, Φe(t, ~r) mit ∇Φ_e =−E~ das Skalarpotential des elektrischen Feldes, ρe die elektrische Ladungsverteilung und~j_e der elektrische Strom.

Mit dem Feldst¨arketensorF^µν =∂^µA^ν−∂^νA^µ, dem Vektorpotential A^µ= (Φ_e, ~A) und dem elektrischen Viererstrom j^µ = (ρe,~je) k¨onnen die klassischen Maxwellgleichungen in die Form

∂µF^µν =j^ν , ∂µ∗F^µν = 0 (1.6)

umgeschrieben werden, wobei ∗F^µν = ¹₂^µναβF_αβ gilt. F¨ur die gesamte elektrische La- dung egilt dann

e= Z

d³rj⁰. (1.7)

Die Transformation (1.2) lautet dann D : F^µν → ∗F^µν. Analog kann der magnetische Viererstromk^µ= (ρg,~jg) mit∂µ∗F^µν =k^ν eingef¨uhrt werden. Die magnetische Ladung des Systems berechnet sich dann ¨uber

g= Z

d³rk⁰. (1.8)

Der magnetische Viererstrom liefert jedoch das folgende Problem mit der Einf¨uhrung des Vektorpotentials A^µ:

In der Quantenmechanik sind alle physikalisch messbaren Gr¨oßen ausschließlich vom Betragsquadrat der Wellenfunktionenψ(t, ~r) abh¨angig. Dieses ist jedoch invariant unter Transformationen

ψ→ψ⁰ =e^ieχψ, (1.9)

weshalb eine Eichinvarianz der Schr¨odingergleichung unter der obigen Transformation gefordert werden muss.

χ(t, ~r) ist dabei eine beliebige Eichfunktion. Die Ableitung

∂_µe^ieχψ = e^ieχ∂_µψ+ie(∂_µχ)e^ieχψ

ist nicht invariant bez¨uglich der Phasentransformation. Darum wird die sogenannte ko- variante Ableitung eingef¨uhrt:

∂_µ→D_µ=∂_µ+ieA_µ, (1.10)

2 DIRAC MONOPOL

Es gilt dannD_µe^−ieχψ=e^−ieχD_µψ, wenn ebenfalls eine Eichinvarianz von A^µ nach

A^µ→A^0µ=A^µ+∂^µχ (1.11)

gefordert wird.A^µist dabei das Viererpotential oder auch Eichfeld des, von der Ladung e erzeugten, elektromagnetischen Feld. Die Schr¨odingergleichung ˆHψ = iD₀ψ f¨ur ein freies Elektron mit

Hˆ = 1

2m(i∂n−eAn)² (1.12)

ist dann invariant unter der Transformation U(t, ~r) = e^ieχ. Die Ersetzung ˆ~p = i∇ →

~ˆ

p−e ~A wird als minimale Kopplung bezeichnet. Die Begriffswahl wird klar, wenn der Hamiltonoperator mit der Hamiltonfunktion eines Elektrons im Magnetfeld

H_B= 1

2m(~p−e ~A)²

verglichen wird.Aⁿentspricht also dem VektorpotentialA~ mitB~ =∇ ×A.~ B~ bezeichnet das von der Ladung eerzeugte Magnetfeld.

Anhand dieses Beispiels wurde gezeigt, dass aus der Eichinvarianz der Wellenfunktion eines Elektrons

ψ→U ψ⁰ =e^ieχψ, (1.13)

die Einf¨uhrung eines Vektorpotentials A^µ, welches nach A^µ→A^0µ=U A^µU⁻¹+ i

eU ∂^µU⁻¹=A^µ+ i

ee^ieχ∂^µe^−ieχ =A^µ+∂^µχ (1.14) transformiert, notwendig ist. Die Eichtransformationen U bilden dabei die kompakte U(1) Gruppe¹ mit Elementen e^ieχ.

2. Dirac Monopol

F¨uhrt man ein Vektorpotential wie im vorausgegangenen Abschnitt ein, so gilt zu be- achten: Eine Definition der Felder ¨uber die Potentiale ist nur an den Stellen m¨oglich, an denen die Potentiale regul¨ar sind. Die Maxwelltheorie beinhaltet also nicht den Ort der Ladung selbst.

Analog soll nun auch f¨ur magnetische Monopole der Ort des Monopols unbeachtet blei- ben. Es wird zun¨achst eine Beschreibung innerhalbR\{0}durchgef¨uhrt.

Dabei soll das Feld des magnetischen Monopols der Ladung g die selbe Form wie die eines elektrischen Monopols annehmen:

B~ = gˆr

4πr². (2.1)

1In Anhang B.1 befinden sich noch weitere Informationen zurU(1)-Gruppe.

2 DIRAC MONOPOL ˆ

r ist der Normierte Ortsvektor. Mit den Maxwellgleichung folgt, dass lediglich ein sin- gul¨ares Vektorpotential ein solches Feld zul¨asst, da so nach dem Satz von Schwarz die Ableitungen nicht vertauschen:

k^ν =∂µ∗F^µν =∂µ

1

2^µναβ(∂αAβ−∂βAα) =^µναβ∂µ∂αAβ 6= 0. (2.2) Die einfachste M¨oglichkeit solch ein Potential zu konstruieren ist es, in Kugelkoordinaten den Raum in eine Nord- und S¨udhalbkugel zu splitten und auf jeder H¨alfte separat ein Vektorpotential zu definieren. Problematisch wird es nun an den Polen und dem Aquator. Am ¨¨ Aquator ¨uberlappen sich die Potentiale. Damit dies physikalisch keinen messbaren Unterschied ergibt, d¨urfen sich die Potentiale in der ¨Uberlappregion nur um eine Eichtransformation unterscheiden.

Berechnet man den magnetischen Fluss Ω durch eine von R und Θ vorgegeben Fl¨ache A(R,Θ) der 2-Sph¨are mit RadiusR, so gilt

Ω(R,Θ) = Z

A(R,Θ)

d ~S·B~ = 2· Z 2π

0

Z Θ 0

g

4πsinθdθdφ=g·(1−cos Θ).

F¨ur Θ→0 geht Ω(R,Θ)→2g. Da jedoch die Fl¨acheAin diesem Fall infinitesimal klein wird und somit der Fluss eigentlich verschwinden m¨usste, muss das Vektorpotential an den Polen singul¨ar sein. Mit diesen Vorgaben kann man das folgende Potential finden:

A~ =

(A~N = _4πr^{g (1−cos}_sinθ^θ)eˆ_φ

A~_S=−_4πr^{g (1+cos}_sinθ^θ)eˆ_φ, (2.3) wobei N die Nordhalbkugel mit 0≤θ≤π/2 und S die S¨udhalbkugel mit π/2≤θ≤π kennzeichnen soll. Dieses Potential hat die geforderten Singularit¨aten an den Polen und an der ¨Uberlappregion beiθ=π/2 gilt

A~_N −A~_S = g

2πrˆe_φ=−∇χ mit

χ(φ) =− g 2πφ.

Die Potentiale unterscheiden sich hier also nur um eine Eichtransformation. Ein System, dass von (2.3) beschrieben wird, wird Dirac Monopol genannt. Mit ∇ ×A~ = B~ folgt zudem Gleichung (2.1).

Wegen der neuen Maxwellgleichungen kann nun die magnetische Ladung mit Hilfe des Stokes’schen Integralsatzes aus dem Vektorpotential berechnet werden:

Z

N

d ~S·B~N + Z

S

d ~S·B~S= Z

Aquator¨

d~l·(A~N −A~S) =χ(0)−χ(2π) =g. (2.4)

2 DIRAC MONOPOL

Im vorherigen Kapitel wurde gezeigt, dass die EichtransformationU die kompakte und kontinuierliche U(1) Gruppe bilden. Daher muss insbesondere

e^ieχ(2π)=e^ieχ(0)

gelten. Dies liefert mit Gleichung (2.4) die Dirac’sche Quantisierungsbedingung

eg= 2πn, n∈Z. (2.5)

Interessant ist hierbei die Tatsache, dass sofern ein quantisierter magnetischer Monopol existiert, die elektrische Ladung auch quantisiert sein muss. In der Physik wurden bereits viele Erscheinung mit der Quantisierung der elektrischen Ladung be- gr¨undet, was umso mehr das Suchen nach L¨osungen f¨ur magnetische Monopole motiviert.

Ebenso ist es m¨oglich die Dirac’sche Quantisierungsbedingung aus der Drehimpuls- quantisierung zu erhalten. Dazu soll ein Teilchen mit Ladung e in einem magnetischen Monopolfeld nach (2.1) betrachtet werden. F¨ur den klassischen Gesamtdrehimpuls gilt

~L= Z

d³rh

~r×(E~ ×B)~ i

. (2.6)

Mit den Feldern

E~ = e ~r−~r ⁰ 4π|~r−~r⁰|³, B~ = g ~r

4πr³ folgt

~L = Z

d³r h

(B~ ·~r)E~ −(E~ ·~r)B~ i

= g

4π Z

d³r

(~r

r³ ·~r)E~ −(E~ ·~r)~r r³

= g

4π Z

d³r1 r

hE~ −(E~ ·~r)ˆˆ~ri

= g

4π Z

d³r(E~ · ∇)ˆ~r.

Durch Anwenden der Produktregel und dem Gaußschen Integralsatz erh¨alt man

~L = g 4π

Z

d³r∇ ·(E~ ·r_i)~e_i−(∇ ·E)ˆ~ ~r

= g

4π

I ~rˆ·(E~ ·d~a)− Z

d³r(∇ ·E)ˆ~ ~r

. (2.7)

Da die Felder asymtotisch im unendlichen verschwinden, wird das Kurvenintegral um den gesamten Raum 0. Weiterhin folgt aus den Maxwellgleichungen f¨ur Punktladungen

∇ ·E~ =eδ⁽³⁾(~r−~r ⁰),

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE sodass

L~ = −ge 4π

Z

d³rδ⁽³⁾(~r−~r ⁰)ˆ~r

= −ge 4π

~rˆ⁰ gilt. F¨ur den Betrag des Drehimpulses folgt also:

L = ge 4π.

Da der Drehimpuls in dem betrachteten System quantisiert ist [5], L= n

2, (2.8)

folgt automatisch die Dirac’sche Quantisierungsbedingung eg = 2πn.

Die Dirac’sche Quantisierungsbedingung l¨asst sich zudem auf Dyonen verallgemeinern.

Als Dyonen werden Teilchen (e, g) bezeichnet, die sowohl eine elektrische Ladung e als auch eine magnetische Ladung g besitzen. W¨ahlt man ein analoges Vorgehen durch Drehimpulsquantisierung mit zwei Dyonen (e₁, g₁) und (e₂, g₂), so gilt f¨ur die Felder

E~ = e₁ ~r

4πr³ +E(e~ ₂), (2.9)

B~ = g₁ ~r

4πr³ +B~(g₂). (2.10)

Aus Gleichung (2.6) und (2.7) folgt L~ = g1

4π Z

d³r(∇ ·B~(g₂))ˆ~r− e1

4π Z

d³r(∇ ·E(e~ ₂))ˆ~r (2.11)

= (e₁g₂−g₁e₂)

~ˆr

4π. (2.12)

Entsprechend gilt mit der Drehimpulsquantisierung (2.8) die sogenannte Schwinger- Zwanziger-Quantisierungsbedingung

(e1g2−g1e2) = 2πn. (2.13) In Kapitel 3.10 spielt dieser Ausdruck noch eine entscheidende Rolle.

3. Magnetische Monopole in der SU(2) Eichtheorie

3.1. Grundlagen der nicht abelschen Eichtheorie

Der Monopol wurde bisher nur sehr oberfl¨achlich betrachtet. So war es zum Beispiel nicht m¨oglich Aussagen ¨uber seine Masse zu treffen. Die folgende Erweiterung auf eine

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

nicht abelsche Eichtheorie soll mehr Einblick liefern. Es empfiehlt sich Anhang B.2 zu lesen, sofern keine Vorkenntnisse zur Gruppen-und Darstellungstheorie vorhanden sind.

In den n¨achsten Kapiteln werden magnetische Monopole als topologische L¨osungen in der nicht abelschenSU(2) Yang-Mills-Higgs Eichtheorie betrachtet. Die Eichtheorien selber beziehen sich auf Systeme, die unter Eichtransformationen, wie im Fall derU(1) Eichung der Elektrodynamik, invariant bleiben. Man unterscheidet dabei zwischen abelschen und nicht abelschen Eichtheorien. Bei der klassischen Elektrodynamik handelt es sich um eine abelsche Eichtheorie, da die Generatoren derU(1) Gruppe, also die elektrische Ladunge, mit sich selbst kommutiert. Im Falle einer SU(2) eichinvarianten Theorie kommutieren die Generatoren, die Paulimatrizenσ^a, nicht miteinander, sondern es gilt

h σ^a, σ^bi

= 2i^abcσ^c. (3.1)

Es handelt sich also um eine nicht abelsche Eichtheorie. Zudem ist die U(1) Gruppe eine kompakte Teilgruppe derSU(2), womit die Elektrodynamik in der nicht abelschen SU(2) Eichtheorie voraussichtlich enthalten sein wird. Um eine solche Theorie aufzu- stellen, bedarf es der Formulierung einer Lagrangedichte, dessen Wirkung invariant un- terSU(2) Symmetrietransformationen ist. Mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichung ist es dann m¨oglich die Feldgleichungen aufzustellen.

Die nachfolgenden Modelle werden in der adjungierten Darstellung (SO(3) Darstellung) der Felder betrachtet. Die adjungierten Gruppenelemente der SU(2) haben dann die Form

U(t, ~r) =e^ieχaTa (3.2)

mit den drei Generatoren (T^a)^bc=−i^abc, welche die Algebra h

T^a, T^b i

=i^abcT^c (3.3)

erf¨ullen. Die kontinuierlichen Gruppenparameter lauten also Λ^a(t, ~r) =eχ^a(t, ~r).

Sei zudem Φ(t, ~r) = Φ^aT^a dieLie(SU(2)) Matrixdarstellung des Higgsfeld-Triplett Φ^a(t, ~r) = (Φ¹(t, ~r),Φ²(t, ~r),Φ³(t, ~r))

und Aµ(t, ~r) =A^a_µT^a die Lie(SU(2)) Matrixdarstellung des Eichfeld-Triplett A^a_µ(t, ~r) = (A¹_µ(t, ~r), A²_µ(t, ~r), A³_µ(t, ~r)).

Man assoziiert also mit jedem GeneratorT^a ein EichpotentialA^a_µ und ein skalares Feld Φ^a. Um eineSU(2) invariante Lagrangedichte zu formulieren, bedarf es einer kovarianten Ableitung, welche Analog zu Gleichung (1.10) formuliert werden muss. Es gilt

∂_µ→D_µ=∂_µ+ieA^a_µT^a, (3.4) wobeiA_µnach

A_µ→A⁰_µ=U A_µU⁻¹+ i

eU ∂_µU⁻¹ (3.5)

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE transformiert. Damit ist

D_µΦ^a=∂_µΦ^a+ieA^b_µ(−i^bac)Φ^c=∂_µΦ^a−e^abcA^b_µΦ^c (3.6) und

DµΦ =∂µΦ +ie[Aµ,Φ]. (3.7) Der Feldst¨arketensorF_µν^a zum EichfeldA^a_µkann analog zur klassischen Elektrodynamik durch den Kommutator der kovarianten Ableitungen [7]

F_µν ≡ −i

e[D_µ, D_ν] = (∂_µA^a_ν −∂_νA^a_µ−e^abcA^b_µA^c_ν)T^a (3.8) definiert werden. Die einzelnen Komponenten lauten dann

F_µν^a =∂_µA^a_ν−∂_νA^a_µ−e^abcA^b_µA^c_ν. (3.9) In den weiterf¨uhrenden Abschnitten soll ein System, in dem ein Eichfeld-Triplett A^a_µ mit einem skalaren Higgsfeld-Triplett Φ^a wechselwirkt, betrachtet werden. Die Lagran- gedichte setzt sich daher aus einem Maxwell Term (masseloses Photon mit Spin 1 des elektromagnetischen Feldes)

L_M =−1

4F_µν^a F^aµν (3.10)

und einem Klein-Gordon Term (Higgs-Bosonen haben Spin 0 und eine Ruhemassem≡1) L_KG=D_µΦ^aD^µΦ^a−V(Φ) (3.11) zusammen. Der Ausdruck (3.11) beinhaltet bereits einen Wechselwirkungsterm der Higgs-und Eichfelder

Lint=−h^a_µA^aµ+e²Φ^bΦ^bA^c_µA^cµ−e²Φ^bA^b_µΦ^cA^cµ mit dem Higgs-Strom

h^a_µ= 2e^abcΦ^b∂µΦ^c. (3.12) Die vollst¨andige Yang-Mills-Higgs Lagrangedichte lautet also

L = L_M +L_KG =−1

4F_µν^a F^aµν+D_µΦ^aD^µΦ^a−V(Φ). (3.13) Aufgrund der vorherigen Einf¨uhrung der kovarianten Ableitung und des kanonischen Feldst¨arketensors muss die Lagrangedichte invariant unter denSU(2) Transformationen (3.5) und

Φ→Φ⁰=UΦU⁻¹ =e^ieχaTaΦe^−ieχaTa (3.14) sein.

In den n¨achsten Kapiteln soll gekl¨art werden, inwiefern diese Theorie magnetische Mo- nopole beinhaltet, und eine explizite L¨osung, der ’t Hooft-Polyakov Monopol, betrachtet werden. Als Vorarbeit wird daf¨ur das Georgi-Glashow Modell behandelt.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE 3.2. Georgi-Glashow Modell

Die Yang-Mills-Higgs Lagrangedichte in derSO(3) Darstellung mit einem PotentialV(Φ) der Form

V(Φ) =λ(Φ^aΦ^a−v²)²/4 (3.15) bilden das sogenannte Georgi-Glashow Modell. Dabei ist λ ∈ R+∪ {0} ein beliebiger Parameter und v der Vakuum-Erwartungswert des Potentials.

Abbildung 1: HiggspotentialV(Φ) des Georgi-Glashow Modells

Die Feldgleichungen f¨ur die Felder folgen aus den Euler-Lagrange-Gleichungen². Mit

∂_µ ∂L

∂(∂µA^a_ν) − ∂L

∂A^a_ν = 0 gilt also

DµF^aµν =−e^abcΦ^bD^νΦ^c (3.16) und analog f¨ur das Higgs-Feld

∂_µ ∂L

∂(∂µΦ^a) − ∂L

∂Φ^a = 0

⇔D^µDµΦ^a = −λΦ^a(Φ^bΦ^b−v²). (3.17) Zudem erf¨ulltF^aµν die Bianchiidentit¨at³

D_µ? F^aµν = 0. (3.18)

Die Gleichungen (3.16), (3.17) und (3.18) sind dann die Differentialgleichungen f¨ur die Felder.

2Rechnungen in Anhang A.1 und A.2.

3Rechnung in Anhang A.3.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE Der symmetrisierte Energie-Impuls Tensor⁴ lautet

Θ^µν =−F^aµλF_λ^aν +D^µΦ^aD^νΦ^a−η^µνL. (3.19) Wenn man V(Φ)≡0 oder λ= 0 w¨ahlt, also das Potential verschwinden l¨asst, so ist der Energie-Impuls-Tensor spurlos und damit der sogenannte Dilatationsstrom

O^µ=xνΘ^µν wegen

∂_µO^µ= Θ^µ_µ= 0

erhalten. Dieser Dilatationsstrom ist die Erhaltungsgr¨oße zu der Skalensymmetrie

xµ→x⁰_µ=λxµ, λ∈R (3.20)

des Systems. Wichtig soll in diesem Zusammenhang jedoch nur sein, dass die Skalen- symmetrie ausschließlich dann existiert, wenn das Potential verschwindet. Man wird sp¨ater noch sehen, dass diese Symmetrie im Grundzustand gebrochen wird, weshalb ein masseloses Goldstone Boson [7] existiert, welches im ’t Hooft-Polyakov Monopol einen entscheiden Beitrag zum Higgsfeld liefert. Im Folgenden soll der Spezialfall f¨ur ein ver- schwindendes Potential zun¨achst außer Acht gelassen werden.

Aus dem Energie-Impuls Tensor l¨asst sich zudem die Energiedichte ablesen:

Θ00= 1

2(E~^aE~^a+B~^aB~^a+D0Φ^aD0Φ^a+DiΦ^aDiΦ^a) +V(Φ) (3.21) mit

E^ai = F^a0i (3.22)

B^ai = 1

2^ijkF_jk^a. (3.23)

Dabei soll E~^aE~^a = E~¹E~¹ +E~²E~² +E~³E~³ sein, mit dem Skalarprodukt E~ ·E~ = E_xE_x+E_yE_y+E_zE_z.

Offensichtlich gilt Θ₀₀≥ 0, wobei der Wert 0 nur f¨ur F^aµν =D^µΦ^a=V(Φ) = 0 ange- nommen wird. An dieser Stelle unterscheidet man zwischen zwei verschiedenen Vakua.

Es gilt Θ₀₀ = 0, wenn das Eichfeld A^aµ verschwindet und das Higgs-Feld Φ^a konstant mit Φ^aΦ^a=v² ist. Es handelt sich hierbei um das normale Vakuum.

Im Gegensatz dazu fordert das Higgsvakuum zwar ebenfalls V(Φ) = 0, jedoch nicht D^µΦ^a = F^aµν = 0 und somit auch nicht Θ₀₀ = 0. Dies f¨uhrt dazu, dass immer noch Φ^aΦ^a=v² gelten muss und somit das Higgsvakuum eine S²-Sph¨areM_H mit

MH ={Φ :V(Φ) = 0} (3.24)

bildet.

4Die Symmetrisierung des Energieimpulstensors genauer in Anhang C.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

Wegen der speziellen Form des Potentials bildet das Higgsvakuum eine Sph¨are und kei- nen Punkt im Feldraum mit der Basis{Φ¹,Φ²,Φ³}. Dies f¨uhrt zu einer spontanen Sym- metriebrechung im Higgsvakuum, wenn ein konkreter Punkt gew¨ahlt werden muss. Auf diese Symmetriebrechung wird im n¨achsten Abschnitt kurz eingegangen, da sie sp¨ater noch eine entscheidende Rolle spielt.

3.3. Spontane Symmetriebrechung

Aufgrund der SU(2) Invarianz der Lagrangedichte kann ein Higgsfeld-Triplett Φ^a = (0,0, ρ) auf alle anderen Punkte auf der 2-Sph¨are durch

(Φ⁰)^a=





ρsinθcosφ ρsinθsinφ

ρcosθ



≡U(θ, φ)



 0 0 ρ



 (3.25)

mit

U(θ, φ) =e^−iT3φe^−iT2θ

abgebildet werden. Durch Einsetzen von (3.25) in die Lagrangedichte (3.13) erh¨alt man nun [1]

L= 1

2∂µρ∂^µρ−V(ρ)−1

4F_µν^a F^aµν+e²ρ²1

2(A¹_µ−iA²_µ)(A^1µ+iA^2µ), (3.26) wobei die Felder A^∓_µ ≡ ^√1

2(A¹_µ±iA²_µ) die zwei Winkel-Freiheitsgrade θ und φ von Φ^a beinhalten m¨ussen.

Es sollen nun kleine St¨orungenη(r) um das Vakuum betrachtet werden, dazu w¨ahlt man ρ(r) =v+η(r). Bis zur zweiten Ordnung erh¨alt man durch Einsetzen in (3.26) [1]

Lquad.= 1

2∂µη∂^µη−1 2(2

√

2λv)²η²−1

4F_µν³ F^3µν− 1

2F_µν⁻F^+µν+e²v²A⁻_µA^+µ (3.27) mitF_µν^∓ ≡ ^√1

2(F_µν¹ ±iF_µν² ).

Das Higgsfeld η hat nun die Masse m_H = 2√

2λv und die Felder A^∓_µ haben einen Massenterm mit m_A^∓

µ = ev hinzubekommen. Lediglich A³_µ ist masselos geblieben. Da jedoch der Maxwell-Term in der Lagrangedichte nur f¨ur masselose Spin-1 Teilchen invariant unterSU(2) Transformationen ist, sind die Symmetrien, die nicht in Richtung von T³ zeigen, gebrochen. Bei der Restsymmetrie handelt es sich allgemein um die Symmetrie in Φ^a-Richtung. Diese Restsymmetrie ist dann eine U(1) Symmetrie, denn die Lagrangedichte ist nur noch invariant unter Rotationen um Φ^a. Die Felder A^±_µ transportieren zudem eine elektrische Ladung, welche zu dem Generator U(1) Restsymmetrie korrespondiert.

Der Mechanismus, in dem die spontane Symmetriebrechung im Higgsvakuum zur Entstehung von Massen des Eichfeldes f¨uhrt, wird auch Higgs-Mechanismus genannt.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE 3.4. Topologische Betrachtung

In diesem Kapitel soll das statische Georgi-Glashow Modell betrachtet werden, also A^a_µ ≡ A^a_µ(r) und D0Φ^a(r) ≡ 0 und ein verschwindendes elektrisches Feld E_n^a = 0, weshalbA^a₀ = 0 gesetzt wird. F¨ur die Gesamtenergie folgt dann

E= Z

d³r1

2(B~^aB~^a+D_iΦ^aD_iΦ^a) +V(Φ). (3.28) Des Weiteren soll die Energie des Systems endlich sein. Dies ist zwangsl¨aufig nur dann gegeben, wenn f¨ur r → ∞ das Higgsvakuum angenommen wird, sodass das Potential verschwindet. Das Higgsvakuum wird beispielsweise f¨ur

Φ^a= (0,0, v), (3.29)

im gesamtenR³ angenommen, also auch im Unendlichen. Solch eine Konfiguration wird im Folgenden als triviale Higgsfeldkonfiguration bezeichnet. Alternativ liefert die Abbil- dung

Φ^a−−−−→

r→ ∞

vr^a

r (3.30)

ebenfalls Higgsvakuum im Unendlichen. Jedoch h¨angt der Grenzwert noch von den Ort r^a ab, weshalb hier von einer nicht trivialen Higgsfeldkonfiguration gesprochen wird.

Dabei istr^a=r^a(x, y, z) =x^a, also r¹=x,r²=y undr³ =z und r=|~r|=√ r^ar^a. Allgemein handelt es sich dabei um Funktionen, die ausgewertet f¨ur r → ∞ in das Higgsvakuum abbilden

Φ^a(r^a)

_r→∞ :S_∞² →M_H =S², (3.31) welche durch ihren topologischen Grad⁵ N charakterisiert werden. Man nennt diese Gruppe von Funktionen die zweite Homotopie Gruppeπ₂(S²) der 2-Sph¨are.

F¨ur den trivialen Fall Φ^a= (0,0, v) folgt f¨ur dessen topologischen Grad N = 1

8πv³ Z

S_∞²

dS^iijkabcΦ^a∂^jΦ^b∂^kΦ^c= 0 F¨ur den anderen Fall (3.30) erh¨alt man:

N = 1

8πv³ Z

S_∞²

dS^iijkabcΦ^a∂^jΦ^b∂^kΦ^c (3.32)

= 1

8πv³ Z

S_∞²

dS^iijkabcv³rˆ^a∂^jˆr^b∂^krˆ^c

= 1

8π Z

S²_∞

dS^iijkabcrˆ^a δ^jb

r −r^br^j r³

δ^kc

r −r^kr^c r³

= 1

4π Z

S²_∞

dS^arˆ^a1 r² = 1.

5Weitere Informationen zum Thema topologischer Grad befinden sich in der Literatur [2]

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

Abbildung 2: Die Abbildung zeigt einen Querschnitt des trivialen Higgsfeldes (3.29) und die Abbildung der S_∞² durch Φ^a auf S² = M. Alle Vektoren werden auf denselben Punkt abgebildet. Der topologische Grad muss daher 0 sein.

Abbildung 3: Die Abbildung zeigt einen Querschnitt des nicht trivialen Higgsfeldes (3.30) und die Abbildung der S_∞² durch Φ^a auf S² = M. Die Vektoren werden insgesamt einmal um die gesamte Oberfl¨ache vonM abgebildet. Der topo- logische Grad ist damit 1.

Im trivialen Fall (3.29) wird das Higgsvakuum im gesamten R³ angenommen. Ent- sprechend gibt es keine SU(2) Symmetrie. Dieser Fall ist daher uninteressant, da keine neuen Resultate zu magnetischen Monopolen zu erwarten sind.

Sei also Φ^aeine Abbildung mitN 6= 0 (im Folgenden soll immerN = 1 gew¨ahlt werden) und verschwinde zudem das Eichfeld A^a_µ, so gilt f¨ur die Gesamtenergie des Systems

E = Z

d³xΘ00= Z

d³x1

2∇Φ^a∇Φ^a+V(Φ)≥ Z

d³x1

2∇Φ^a∇Φ^a.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

Zerlegt man ∇Φ^a in Winkel-und Radialteil (∇Φ^a)² =

∂Φ^a

∂r 2

+ (ˆr× ∇Φ^a)²,

so darf der Winkelanteil wegen (3.32) im Unendlichen nicht verschwinden, wenn N 6= 0 sein soll. Dieser hat jedoch f¨urr→ ∞als f¨uhrende Ordnung _r¹2. Dann gilt allerdings f¨ur die Energie

E >

Z r²dr

r² −−−−→

r→ ∞ ∞.

Zwangsweise kann die Kombination von einem nicht trivialen Higgs-Feld mitN 6= 0 und einem verschwindenden Eichfeld kein System endlicher Energie hervorbringen. Anders sieht dies aus, wenn das Eichfeld nicht verschwindet. Die Gradienten m¨ussen dann wieder durch die kovarianten Ableitungen ersetzt werden. Wenn der Term e^abcA^b_nΦ^c mit ¹_r im Winkelanteil abf¨allt, k¨onnen sich die beiden Winkelanteile aufheben und die Energie divergiert nicht mehr. Dieses Verhalten ist zu beobachten, wenn A^a_n in der Winkelkomponente f¨ur r → ∞ in f¨uhrender Ordnung mit ¹_r abf¨allt. Ein solches Potential geh¨ort typischerweise zu einem magnetischen Monopolfeld im Unendlichen. Es tritt also in diesem Fall eine endliche Energie nur gemeinsam mit einem magnetischen Monopolfeld auf.

Ebenfalls interessant ist die Frage nach der Stabilit¨at einer entsprechenden L¨osung.

Das System ist in einem Zustand minimaler Energie, wenn F^aµν =D^µΦ^a =V(Φ) = 0 gilt. In diesem Fall ist D^µΦ^a nur 0, wenn ∂^µΦ^a = 0 erf¨ullt. Daher muss Φ^a f¨ur eine minimale Energie die triviale Higgsfeld-Konfiguration annehmen. Man k¨onnte meinen, dass eine nicht triviale Higgs-Konfiguration also zwangsweise zu instabilen Zust¨anden f¨uhrt. Es kann jedoch keine stetige Abbildung geben, die die nicht tri- viale Higgsfeld-Konfiguration im r¨aumlich Unendlichen in die Triviale ¨uberf¨uhrt, da der topologische Grad N ∈ N eine nicht stetige Abbildung ist. Folglich bilden die Higgsfeld-Konfigurationen durch ihren topologischen Grad getrennte Sektoren, weshalb die Vakuum-Zust¨ande in den Sektoren stabil sind. Es wird deshalb auch von topologi- schen Solitonen gesprochen.

Im folgenden Abschnitt soll nun der nicht abelschen Feldst¨arketensor konstruieren wer- den um etwas ¨uber die Ladung des Magnetfeldes auszusagen.

3.5. L¨osung f¨ur die nicht triviale Higgsfeld-Konfiguration W¨ahlt man

D_µΦ^a= 0 f¨ur r → ∞, (3.33)

in f¨uhrender Ordnung (1/r), so ist mit dem Argument aus dem vorherigen Kapitel si- chergestellt, dass die Energie endlich ist. Hieraus l¨asst sich durch Umstellen das Eichfeld

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

in Abh¨angigkeit von Φ^a angeben. Dabei sei zu beachten, dass Φ^aΦ^a=v² gilt:

∂_µΦ^a−e^abcA^b_µΦ^c = 0 | ·^deaΦ^{e dea}Φ^e∂µΦ^a−e^deaabcΦ^eA^b_µΦ^c = 0

^deaΦ^e∂µΦ^a−e(δ^dbδ^ec−δ^dcδ^eb)Φ^eA^b_µΦ^c = 0 ^deaΦ^e∂_µΦ^a−ev²A^d_µ+evΦ^dA^em_µ = 0.

Es wurde

A^em_µ = 1

vΦ^aA^a_µ (3.34)

als Projektion von A^a_µ auf Φ^a definiert. Der Ausdruck f¨ur das Eichfeld lautet also A^a_µ= 1

ev^2abcΦ^b∂µΦ^c+1

vΦ^aA^em_µ . (3.35)

A^em_µ ist zudem gerade der Anteil des Eichfeldes, welcher nach der spontanen Symme- triebrechung (3.27) masselos bleibt. Diesbez¨uglich wurde er bereits als Eichpotential des elektromagnetischen Feldes markiert. Aus (3.35) und Gleichung (3.9) folgt der Ausdruck f¨ur den Feldst¨arketensor⁶

F^aµν = 1

vΦ^aF^µν (3.36)

mit

F^µν = 1

v³e^abcΦ^a∂^µΦ^b∂^νΦ^c+∂^µA^em,ν−∂^νA^em,µ = 1

vΦ^aF^aµν 6=F^aµνT^a. (3.37) F^µν ist die Projektion des Feldst¨arketensors auf Φ^a. Dieser Ausdruck muss also invariant unter derU(1) Restsymmetrie sein. Daher handelt es sich hierbei um den elektromagneti- schen Feldst¨arketensor derSU(2) Yang-Mills-Higgs Theorie. Dabei ist entscheidend, dass nun ein Term im elektromagnetischen Feldst¨arketensor auftritt, der nur vom Higgsfeld abh¨angt und allgemein F^µν 6=∂^µA^em,ν −∂^νA^em,µ ist. Durch Einsetzen in die Feldglei- chungen erh¨alt man, wenn Φ^a die triviale Form (3.29) hat f¨ur beliebige Abst¨ande vom Monopol⁷,

∂µF^µν = 0, (3.38)

∂_µ? F^µν = 0. (3.39)

F^µν erf¨ullt dann die klassischen freien Maxwellgleichungen. Dies best¨atigt die Annahme, dass die triviale L¨osung keine magnetische Ladung beinhaltet und der freien Maxwell Elektrodynamik entspricht. Es sind also nur Konfigurationen mit N >0 interessant.

F¨ur den nicht trivialen Fall (3.30) sind die freien Maxwellgleichungen f¨ur große r wegen

6Rechnung im Anhang A.4.

7Rechnung im Anhang A.5.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

Φ^aΦ^a=v² und D_µΦ^a = 0 ebenfalls erf¨ullt⁸. F¨ur kleiner gilt jedoch die abelsche Bian- chiidentit¨at∂µ? F^µν = 0 nicht, da der Higgsfeldterm vonF^µν nicht trivial verschwindet.

Man definiert den topologischen Fluss k^ν als

∂_µ? F^µν =k^ν. (3.40)

W¨ahlt manA^a_µ ¨uberall regul¨ar, so vereinfacht sich k^µ zu k_µ= 1

2_µνρλ∂^νF^ρλ= 1

2v³e_µνρλ^abc∂^νΦ^a∂^ρΦ^b∂^λΦ^c. (3.41) Der entscheidende, nicht verschwindende Beitrag kommt also vom Higgsfeld.

Mit Gleichung (3.41) folgt zugleich, dass

∂_µk^µ= 0 (3.42)

gilt und somit der topologische Fluss eine Erhaltungsgr¨oße ist. F¨ur die magnetische Ladung folgt dann also

g= Z

R³

d³rk⁰ = Z

R³

d³r 1

2v³e_0νρλ^abc∂^ν(Φ^a∂^ρΦ^b∂^λΦ^c)

= Z

R³

d³r 1

2v³e^defabc∂^d(Φ^a∂^eΦ^b∂^fΦ^c)

= Z

S^∞

dS^dr 1

2v³e^defabcΦ^a∂^eΦ^b∂^fΦ^c

⇔g = 4πN

e . (3.43)

Dies ist in der Tat dieselbe Quantisierungsbedingung wie bei Dirac, wobei beachtet werden muss, dass in der adjungierten Darstellung derSU(2) N =n/2 gilt.

Zudem ist wegen (3.42) insbesondere die topologische bzw. magnetische Ladung erhalten, was best¨atigt, dass die L¨osungen topologische Solitonen sind.

Es wurden also magnetische Monopole als topologische Solitonen im Georgi-Glashow Modell nachgewiesen. Der Monopol besitzt dabei die Ladung g und erf¨ullt die Dirac’sche Quantisierungsbedingung. Des Weiteren kann das Eichfeld und damit auch der Feldst¨arketensor ¨uberall regul¨ar gew¨ahlt werden. Aufgrund der spontanen Symmetriebrechung gibt es zudem den Spezialfall (N = 0), in dem ausschließlich die Maxwell-Elektrodynamik gilt.

3.6. ’t Hooft-Polyakov Ansatz

Mit dem Vorwissen aus den vorangegangenen Kapiteln ist es nun m¨oglich, L¨osungen der Feldgleichungen (3.16) und (3.17) weitestgehend vollst¨andig zu interpretieren. Damit die

8Selbe Rechnung wie in A.5.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

zu l¨osenden Differentialgleichungen nicht zu kompliziert sind, werden ein paar vereinfa- chende Annahmen getroffen:

Der Zustand niedrigster Energie ist derjenige mit den meisten Symmetrien. Durch Wahl eines symmetrischen Ansatzes f¨ur die Felder Φ^aundA^a_µund anschließender Variation des Energiefunktionals sollte man nun Differentialgleichungen finden, die einfacher zu l¨osen sind. Zudem soll wieder der statische Fall mit A^a₀ = 0 und N = 1 betrachtet werden.

W¨ahlt man [4]

Φ^a = ˆr^a

erH(ξ), (3.44)

A^a_i = −^a_ijrˆ^j

er(1−K(ξ)) (3.45)

mit

ξ=ver,

so m¨ussenH(ξ) undK(ξ) folgende Randbedingungen erf¨ullen:

K(ξ)→1, H(ξ)→0, r→0, K(ξ)→0, H(ξ)/ξ→1, r→ ∞.

Diese Randbedingungen resultieren aus Gleichung (3.30), welche das Higgsfeld erf¨ullen muss. Daraus folgt, dass Φ^a undA^a_µ ¨uberall definiert sein sollen.A^a_i konnte analog zum vorherigen Kapitel aus der Bedingung f¨ur die endliche Energie gewonnen werden. Durch Variation der Funktionen K(ξ) und H(ξ) im Energiefunktional kann nun der Zustand niedrigster Energie bestimmt werden. Um das Vorgehen hier etwas zu erleichtern, wird vorherB_n^a und D_nΦ^a errechnet⁹:

DnΦ^a = δ^a_n

er²K(ξ)H(ξ) +r^ar_n er⁴

ξH⁰(ξ)−H(ξ)−K(ξ)H(ξ)

, (3.46) wobei

H⁰(ξ) = dH(ξ) dξ

sein soll. Des Weiteren wird H≡H(ξ) undK ≡K(ξ) gesetzt.

F¨ur das Magnetfeld folgt analog B^a_n= r^arn

er⁴ 1−K²+ξK⁰

− δ_n^a

er²ξK⁰. (3.47)

9Die Rechnung befindet sich im Anhang A.6.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

F¨ur das Energiefunktional gilt mit Gleichung (3.28) E =

Z d³x1

2[B_n^aB_n^a+DnΦ^aDnΦ^a] +V(Φ)

= 4πv e

Z dξ ξ²

ξ²K⁰²+1

2 ξH⁰−H2

+1

2(K²−1)²+K²H²+ λ

4e²(H²−ξ²)²

= 4πv e

Z dξI

ξ, K(ξ), K⁰(ξ), H(ξ), H⁰(ξ) und somit f¨ur die Variation nach K undH

d dξ

∂I

∂K⁰ − ∂I

∂K = 0

⇔ξ²K⁰⁰ = KH²+K(K²−1), (3.48) d

dξ

∂I

∂H⁰ − ∂I

∂H = 0

⇔ξ²H⁰⁰ = 2K²H+ λ

e²H(H²−ξ²). (3.49) Dies sind die beiden Differentialgleichungen, welche die Funktionen K und H mit den Randbedingungen f¨ur den Zustand minimaler Energie festlegen.

Auch hier l¨asst sich zeigen, dass die Dirac-Bedingung weiterhin erf¨ullt ist:

g= 1 v

Z

d²SnBn= 1 v

Z

d²SnB_n^aΦ^a= 1 v

Z

d³rB^a_nDnΦ^a. (3.50) Im letzten Schritt wurde dabei der Satz von Gauß und die Bianchiidentit¨at D_nB_n^a = 0 verwendet. Durch Einsetzen von (3.46) und (3.47) in (3.50) folgt

g= 4π e

Z ∞ 0

dξ d dξ

1−K² ξ

= 4π e .

Also ist weiterhin die Dirac’sche Quantisierungsbedingung erf¨ullt. Abgesehen von dem Spezialfallλ= 0 sind die Differentialgleichungen allerdings nur numerisch l¨osbar.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

Aus Ya. Shnir Magnetic Monopoles [6] konnten folgende Plots entnommen werden:

Abbildung 4: Dargestellt sind numerische L¨osungen f¨urH(ξ) und K(ξ) der Gleichungen (3.48) und (3.49) f¨ur verschiedene Werte von λ. F¨ur λ = 0 wurden die analytischen L¨osungen aus Kapitel 3.8 verwendet.

Die L¨osungen zeigen, dass die Randbedingungen bereits nach einem relativ geringen Abstand vom Ursprung des Monopolfeldes erreicht werden. Entsprechend wird auch das Higgsvakuum bereits nach einem kurzen Abstand um den Monopol angenommen, sodass hier der 1/r² Abfall des Magnetfeldes beobachtet werden kann. Der Spezialfall des BPS-Limits mit λ= 0 undB_n^a=D_nΦ^a wird im Folgenden genauer besprochen.

3.7. BPS-Limit

Bislang wurde ausschließlich ein statisches System mit verschwindendem elektrischen Feld betrachtet. Soll nun das System weiterhin statisch sein, jedoch das elektrische Feld nicht verschwinden, so gilt f¨ur die Energie des Systems

E = Z

d³r1

2[E_n^aE_n^a+B_n^aB_n^a+DnΦ^aDnΦ^a] +V(Φ) (3.51)

= 1 2

Z

d³r(E_n^a−D_nΦ^asinα)²+1 2

Z

d³r(B_n^a−D_nΦ^acosα)² (3.52) + sinα

Z

d³rE_n^aD_nΦ^a+ cosα Z

d³rE_n^aD_nΦ^a+ Z

d³rV(Φ), (3.53) wobeiα ein beliebiger Parameter ist. Die Energie wird nun minimal, wenn

E_n^a=D_nΦ^asinα und B^a_n=D_nΦ^acosα (3.54)

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

gilt. Dies sind die sogenannten BPS-Gleichungen f¨ur ein nicht verschwindendes elektri- sches Feld im statischen Fall. F¨ur das System gilt dann mit Gleichung (3.50) und einer analogen Definition der elektrischen Ladung

vq= Z

d³rE_n^aD_nΦ^a (3.55)

folgende Massenabsch¨atzung:

M ≥v(qsinα+gcosα). (3.56)

DaM diese Bedingung f¨ur alle α erf¨ullen muss, gilt insbesondere M ≥max{v(qsinα+ gcosα)}. Dies ist f¨ur tanα = q/g der Fall, sodass sich die bessere Absch¨atzung (Bogomol’nyi-Grenze)

M ≥vp

q²+g² =v|q+ig| (3.57)

aufstellen l¨asst, wobei M =vp

q²+g² gilt, wenn λ= 0 bzw. V(Φ) = 0 und die BPS- Gleichungen erf¨ullt sind. Dieser Fall wird dann das BPS-Limit des Dyons genannt.

Soll nun wieder ein verschwindendes elektrisches Feld betrachtet werden, also insbeson- dere q = 0, so muss α = 0 sein und die BPS-Gleichungen f¨ur den Monopol reduzieren sich zu

B^a_n=DnΦ^a. (3.58)

Die Bogomol’nyi Grenze lautet dann

MM ≥vg. (3.59)

Erf¨ullt das System die Gleichung (3.58), so folgt wegen der Bianchiidentit¨at automa- tisch DnDnΦ^a = 0, womit λ wegen der Euler-Lagrange Gleichung (3.17) 0 sein muss.

Betrachtet man nochmal den Ausdruck f¨ur die Masse im BPS-Limit des Monopols M_M =

Z d³x1

2[B_n^aB_n^a+D_nΦ^aD_nΦ^a]

= 1

2 Z

d³r(B_n^a−D_nΦ^a)·(B^a_n−D_nφ^a)

+vg

= vg,

so folgt zudem, dass im BPS-Limit die Energie ausschließlich vom Higgsfeld und nicht vom Eichfeld abh¨angt.

3.8. Prasad-Sommerfield-L¨osung

Im BPS-Limit des Monopols vereinfachen sich auch die Differentialgleichungen (3.48) und (3.49), wenn man Gleichung (3.46) und (3.47) in die BPS-Gleichung (3.58) einsetzt¹⁰:

10Die Rechnung befindet sich im Anhang A.7.

3 MAGNETISCHE MONOPOLE IN DER SU(2) EICHTHEORIE

ξK⁰ = −KH (3.60)

ξH⁰ = H+ (1−K²). (3.61)

Diese Differentialgleichungen lassen sich rein analytisch l¨osen und erf¨ullen zudem die Bewegungsgleichungen (3.16) und (3.17). F¨urK und H ergibt sich mit den Randbedin- gungen

H = ξcothξ−1, (3.62)

K = ξ

sinhξ. (3.63)

Die Funktionen sind ebenfalls in Abbildung 4 (λ = 0) dargestellt. Sie zeigen genauso das im vorherigen Abschnitt angemerkte Verhalten, die Randbedingungen werden also bereits nach kurzen Abst¨anden vom Monopol erreicht.

Durch die Bedingung im BPS-Limit, dass λ = 0 sein muss, wird das Higgs-Vakuum

¨

uberall automatisch angenommen. Es findet jedoch zun¨achst keine spontane Symme- triebrechung statt, da Φ^aΦ^a = v² nicht gefordert werden muss. Man kann allerdings trotzdem (3.30) als Randbedingung fordern, sodass f¨ur große r wieder eine spontane Symmetriebrechung stattfindet. Somit bleiben die vorherigen Eigenschaften der Theorie erhalten.

Weiterhin gibt es wegen V(Φ) ≡ 0 eine Skalen-Symmetrie, wie im Abschnitt f¨ur das Georgi-Glashow Modell erw¨ahnt. Diese Symmetrie wird im Grundzustand gebrochen, da f¨ur großer noch ein Zusatz-Term an das Higgsfeld koppelt, welcher mit ¹_r abf¨allt,

Φ^a→vˆr^a−rˆ^a er.

Nach dem Goldstone-Theorem existiert daher ein masseloses Boson, das sogenannte Dilaton.

Dieses muss ein Freiheitsgrad des Higgsfeldes sein und kann somit als Fluktuation von Φ^a um den asymptotischen Vakuum-Monopole-Zustand betrachtet werden:

Φ^a=vˆr^ae^D =vrˆ^a+vˆr^aD+. . . , sodass wir in erster Ordnung

D=− 1 ver

erhalten. Die Ladung des Dilaton berechnet sich analog zu der des Monopols Qdil=v

Z

S^∞

∇D·d ~S =v Z

S^∞

ˆ r^a

ver²r²sinθˆr^adθdφ= 4π

e =g. (3.64) Dieser zus¨atzliche Term des Higgsfeldes hat die Eigenschaft wie ein Skalarfeld mit der Ladung g f¨ur große Abst¨ande zu wirken. Ein Skalarfeld wirkt jedoch ausschließlich anzie- hend. Im Falle einer Monopol-Monopol-Wechselwirkung im BPS-Limit mit ausreichend